人教版三年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十九講簡(jiǎn)單枚舉（含答案）

第十九課時(shí)簡(jiǎn)單枚舉第一部分：趣味數(shù)學(xué)小歐拉智改羊圈小朋友們，當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，怎樣圍羊圈的面積更大呢？讓我們看一看數(shù)學(xué)家-----歐拉小時(shí)候發(fā)生了什么有趣的故事？歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個(gè)數(shù)學(xué)的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就。小時(shí)候他幫助爸爸放羊，成了一個(gè)牧童。爸爸的羊群漸漸增多了，達(dá)到了100只。原來(lái)的羊圈有點(diǎn)小了，爸爸決定建造一個(gè)新的羊圈。他用尺量出了一塊長(zhǎng)方形的土地，長(zhǎng)40米，寬15米，他一算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米。正打算動(dòng)工的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。若要圍成長(zhǎng)40米，寬15米的羊圈，其周長(zhǎng)將是110米（15+15+40+40=110）。父親感到很為難，若要按原計(jì)劃建造，就要再添10米長(zhǎng)的材料；要是縮小面積，每頭羊的面積就會(huì)小于6平方米。小歐拉卻向父親說(shuō)，不用縮小羊圈，也不用擔(dān)心每頭羊的領(lǐng)地會(huì)小于原來(lái)的計(jì)劃，他有辦法。父親不相信小歐拉會(huì)有辦法，沒(méi)有理他。小歐拉急了，大聲說(shuō)只要稍稍移動(dòng)一下羊圈的樁子就行了。父親聽(tīng)了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情？”但是小歐拉卻堅(jiān)持說(shuō)他一定能兩全齊美，父親終于同意讓兒子試試看。小歐拉見(jiàn)父親同意了，站起身來(lái)，跑到準(zhǔn)備動(dòng)工的羊圈旁忙了起來(lái)。他以一個(gè)木樁為中心，將原來(lái)的40米邊長(zhǎng)截短，縮短到25米。父親著急了，說(shuō)：“那怎么成呢？那怎么成呢？這個(gè)羊圈太小了，太小了?！毙W拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來(lái)15米的邊長(zhǎng)延長(zhǎng)，又增加了10米，變成了25米。經(jīng)這樣一改，原來(lái)計(jì)劃中的羊圈變成了一個(gè)邊長(zhǎng)為25米的正方形。然后，小歐拉很自信地對(duì)爸爸說(shuō)：“現(xiàn)在，籬笆也夠了，面積也夠了。”父親照著小歐拉設(shè)計(jì)的羊圈扎上了籬笆，100米長(zhǎng)的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光。面積也足夠了，而且還稍稍大了一些。父親心里感到非常高興。孩子比自己聰明，真會(huì)動(dòng)腦筋，將來(lái)一定大有出息。父親感到，讓這么聰明的孩子放羊?qū)嵲谑翘上Я?。后?lái)，他想辦法讓小歐拉認(rèn)識(shí)了一個(gè)大數(shù)學(xué)家伯努利。通過(guò)這位數(shù)學(xué)家的推薦，1720年，小歐拉成了巴塞爾大學(xué)的大學(xué)生。這一年，小歐拉13歲，是這所大學(xué)最年輕的大學(xué)生。十萬(wàn)個(gè)為什么小朋友們，都說(shuō)“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”，為什么這樣說(shuō)呢？看看下面的資料吧！為什么說(shuō)正方形是特殊的長(zhǎng)方形在教學(xué)中，對(duì)于為什么正方形是特殊的長(zhǎng)方形學(xué)生總是不大理解。仔細(xì)回想教學(xué)過(guò)程與細(xì)節(jié)，長(zhǎng)方形的特點(diǎn)是有四個(gè)直角、對(duì)邊相等；正方形的特點(diǎn)是有四個(gè)直角、四條邊都相等。在正方形中含有長(zhǎng)方形的一切特點(diǎn)，怎樣理解這句話(huà)呢？其實(shí)在總結(jié)各自特點(diǎn)時(shí)可以溝通一句話(huà)，正方形的四條邊都相等，那么對(duì)邊也當(dāng)然相等。這樣就可以更好地理解正方形是特殊的長(zhǎng)方形（它符合長(zhǎng)方形的特征，但又有自己的特別之處），正方形是四條邊相等的長(zhǎng)方形。數(shù)學(xué)謎語(yǔ)（開(kāi)心一刻）生就一副格格模樣（打一數(shù)學(xué)名詞）答案：長(zhǎng)方形小幽默：多一點(diǎn)爸爸：“這次數(shù)學(xué)測(cè)試，大明考了95分。小明，你考了多少分？”小明：“我比大明多一點(diǎn)?！卑职郑骸澳憧剂?6分還是97分？”小明：“都不是，我考了9.5分?！钡诙糠郑簥W數(shù)小練枚舉是一種常見(jiàn)的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法。一般地，要根據(jù)問(wèn)題要求，一一列舉問(wèn)題解答。運(yùn)用枚舉法解應(yīng)用題時(shí)，必須注意無(wú)重復(fù)、無(wú)遺漏，因此必須有次序、有規(guī)律地進(jìn)行枚舉。運(yùn)用枚舉法解題的關(guān)鍵是要正確分類(lèi)，要注意以下兩點(diǎn)：一是分類(lèi)要全，不能造成遺漏；二是枚舉要清，要將每一個(gè)符合條件的對(duì)象都列舉出來(lái)?！纠}1】從小華家到學(xué)校有3條路可走，從學(xué)校到文峰公園有4條路可走。從小華家到文峰公園，有幾種不同的走法？【思路導(dǎo)航】為了幫助理解題意，我們可以畫(huà)出如上示意圖。我們把小華的不同走法一一列舉如下：根據(jù)列舉可知，從小明家經(jīng)學(xué)校到文峰公園，走①路有4種不同走法，走②路有4種不同走法，走③路也有4種不同走法，共有4×3=12種不同走法。練習(xí)1：1.從甲地到乙地，有3條公路直達(dá)，從乙地到丙地有2條鐵路直達(dá)。從甲地到丙地有多少種不同走法？2.新華書(shū)店有3種不同的英語(yǔ)書(shū)，4種不同的數(shù)學(xué)讀物銷(xiāo)售。小明想買(mǎi)一種英語(yǔ)書(shū)和一種數(shù)學(xué)讀物，共有多少種不同買(mǎi)法？3.明明有2件不同的上衣，3條不同的褲子，4雙不同的鞋子。最多可搭配成多少種不同的裝束？【例題2】用紅、綠、黃三種信號(hào)燈組成一種信號(hào)，可以組成多少種不同的信號(hào)？【思路導(dǎo)航】要使信號(hào)不同，要求每一種信號(hào)顏色的順序不同，我們可以把這些信號(hào)進(jìn)行列舉。可以看出，紅色信號(hào)燈排在第一個(gè)位置時(shí)，有兩種不同的信號(hào)，綠色信號(hào)燈排在第一個(gè)位置時(shí)，也有兩種不同的信號(hào)，黃色信號(hào)燈排在第一個(gè)位置時(shí)，也有兩種不同的信號(hào)，因而共有3個(gè)2種不同排列方法，即2×3=6種。練習(xí)2：用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂圓圈，每個(gè)圓圈涂一種顏色，一共有多少種不同的涂法？○○○2.用數(shù)字1、2、3.可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分別是哪幾個(gè)數(shù)？3.用2、3、5、7四個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？【例題3】一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是22米，如果它的長(zhǎng)和寬都是整米數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積有多少種可能？【思路導(dǎo)航】由于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是22米，可知它的長(zhǎng)與寬之和為11米。下面列舉出符合這個(gè)條件的各種長(zhǎng)方形：練習(xí)3：1.一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是30厘米，如果它的長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積有多少種可能值？2.把15個(gè)玻璃球分成數(shù)量不同的4堆，共有多少種不同的分法？3.3個(gè)自然數(shù)的乘積是18，問(wèn)由這樣的3個(gè)數(shù)所組成的數(shù)組有多少個(gè)？如（1.2.9）就是其中的一個(gè)，而且數(shù)組中數(shù)字相同但順序不同的算作同一數(shù)組，如（1.2.9）和（2.9，1）是同一數(shù)組?！纠}4】有4位小朋友，寒假中互相通一次電話(huà)，他們一共打了多少次電話(huà)？【思路導(dǎo)航】把4個(gè)小朋友分別編號(hào)：A、B、C、D，A與其他小朋友打電話(huà)，應(yīng)該打3次，同樣B小朋友也應(yīng)打3次電話(huà)，同樣C、D應(yīng)該各打3次電話(huà)。4個(gè)小朋友，共打了3×4=12次。但題目要求兩個(gè)小朋友之間只要通一次電話(huà)，那么A打電話(huà)給B時(shí)，A、B兩人已經(jīng)通過(guò)話(huà)了，所以B沒(méi)有必要再打電話(huà)給A，照這樣計(jì)算，12次電話(huà)中，有一半是重復(fù)計(jì)算的，所以實(shí)際打電話(huà)的次數(shù)是3×4÷2=6次。練習(xí)4：1.6個(gè)小隊(duì)進(jìn)行排球比賽，每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng)，共要進(jìn)行多少次比賽？2.有8位小朋友，要互通一次電話(huà)，他們一共打了多少次電話(huà)？3.小芳出席由19人參加的聯(lián)歡會(huì)，散會(huì)后，每?jī)扇硕家找淮问郑麄円还参樟硕嗌俅问?？【例題5】一條鐵路，共有10個(gè)車(chē)站，如果每個(gè)起點(diǎn)站到終點(diǎn)站只用一種車(chē)票（中間至少相隔5個(gè)車(chē)站），那么這樣的車(chē)票共有多少種？【思路導(dǎo)航】我們可以利用列舉的方法：如果起點(diǎn)站是1.那么終點(diǎn)站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么終點(diǎn)站只能是8、9或10；如果起點(diǎn)站是3.那么終點(diǎn)站只能是9或10；如果起點(diǎn)站是4，終點(diǎn)站只能是10；如果起點(diǎn)站是5、6時(shí)，就找不到與它至少相隔5站的終點(diǎn)站了；如果起點(diǎn)站是7，終點(diǎn)站只能是1；如果起點(diǎn)站是8，那么終點(diǎn)站是2或1；如果起點(diǎn)站是9，那么終點(diǎn)站是3、2或1；如果起點(diǎn)站是10，那么終點(diǎn)站是4、3、2或1。所以，起點(diǎn)到終點(diǎn)至少相隔5個(gè)車(chē)站的車(chē)票有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20種。練習(xí)5：1.上海、北京、天津三個(gè)城市分別設(shè)有一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，它們之間通航一共需要多少種不同的機(jī)票？2.一條公路上，共有8個(gè)站點(diǎn)。如果每個(gè)起點(diǎn)到終點(diǎn)只用一種車(chē)票（中間至少相隔3個(gè)車(chē)站），那么共有多少種不同的車(chē)票？3.在長(zhǎng)江的某一航線(xiàn)上共有6個(gè)碼頭，如果每個(gè)起點(diǎn)終點(diǎn)只許用一種船票（中間至少要相隔2個(gè)碼頭），那么這樣的船票共有多少種？第三部分：數(shù)學(xué)史話(huà)國(guó)旗上的分?jǐn)?shù)小朋友們，你們知道下面國(guó)旗中都隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識(shí)嗎？今天小熊和小猴到小牛家里做客，他們正在一起欣賞小牛收集的國(guó)旗。法國(guó)印尼泰國(guó)丹麥小熊看著這些五顏六色的國(guó)旗，眼睛瞪得大大的，說(shuō)：“這些國(guó)旗可真漂亮，上面還有有關(guān)分?jǐn)?shù)的知識(shí)呢！”小牛高興地說(shuō)：“是啊，你看，這面國(guó)旗上有三種顏色每種顏色占它的EQ\F(1,3)?！毙『镆宦?tīng)，也來(lái)了精神，緊接著說(shuō)：“這面國(guó)旗上分成了四份，每份是它的EQ\F(1,4)?！毙⌒苓B忙搖頭，說(shuō)：“不對(duì)不對(duì)，這面國(guó)旗上沒(méi)有分?jǐn)?shù)EQ\F(1,4)。因?yàn)檫@面國(guó)旗上的四份不是平均分的?！薄皩?duì)呀，我怎么忘了這一點(diǎn)呢”，小猴不好意思地?fù)狭藫狭祟^。小朋友們，你們?cè)賮?lái)找一找、看一看，還有哪面國(guó)旗上有分?jǐn)?shù)？答案：這面國(guó)旗上有分?jǐn)?shù)EQ\F(1,2)。參考答案：練習(xí)一：1.3×2=6（種）答：從甲地到丙地有6種不同的走法。2.3×4＝12種3.2×3×4=24（種）答：最多可搭配成24種不同的穿法。練習(xí)二：1.3×2=6（種）2.3×2=6（種）3.4×3×2=24（種）練習(xí)三：1.用列舉法，將符合條件的長(zhǎng)，寬數(shù)值寫(xiě)入表中，可求解：長(zhǎng)（厘米）141312111098寬（厘米）1234567面積（平方厘米）14263644505456答：有7種可能。2.根據(jù)題意可得：15=1+2+3+9；15=1+2+4+8；15=1+2+5+7；15=1+3+4+7；15=1+3+5+6；15=2+3+4+6；一共有6種。分析：要把15個(gè)小球分成數(shù)量不同的4堆，把15拆成4個(gè)不同的數(shù)相加，然后一一列舉出來(lái)，然后再進(jìn)一步解答即可。3.1×2×9＝18，1×3×6＝18，2×3×3＝18，1×1×18＝18，（1，2，9），（1，3，6），（2，3，3），（1，1，18），所以，一共有四組。練習(xí)四：1.6×（6－1）÷2＝15（次）2.7+6+5+4+3+2+1=28（次）答：他們一共打了28次電話(huà)。3.18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1＝（18+1）×18÷2＝171(次)練習(xí)五：1.可分類(lèi)討論，將三個(gè)地方分別作為出發(fā)點(diǎn)，看沒(méi)種情況有多少種票，再將結(jié)果詳解，即可確定答案。從北京出發(fā)要兩種機(jī)票：北京到上海、北京到天津；從上海出發(fā)要兩種機(jī)票：上海到北京、上海到天津；從天津出發(fā)要兩種機(jī)票：天津到北京、天津到上海。所以一共要準(zhǔn)備6種機(jī)