利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題及方程的根（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第09講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題及方程的根

（6類核心考點精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)對稱性的應(yīng)用

2024年新H卷，第11題,6分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

極值與最值的綜合應(yīng)用

判斷零點所在的區(qū)間

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

2023年新H卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

根據(jù)極值點求參數(shù)

求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

2022年新I卷，第10題,5分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

求已知函數(shù)的極值點

2022年新I卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）

求離散型隨機(jī)查量的均值

2021年新H卷，第21題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

均值的實際應(yīng)用

2021年新II卷,第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能結(jié)合零點的定義及零點存在性定理解決零點問題

3能結(jié)合方程的根的定義用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題

【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點內(nèi)容，也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等多個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)

知識講解

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點的方法

（1）通過最值（極值）判斷零點個數(shù)的方法

借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零

點個數(shù)或者通過零點個數(shù)求參數(shù)范圍.

（2）數(shù)形結(jié)合法求解零點

對于方程解的個數(shù)（或函數(shù)零點個數(shù)）問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖

數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點

①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在

給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.

②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)

化與化歸的思想方法.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法

（1）通過最值（極值）判斷零點個數(shù)（方程的根）的方法

借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零

點個數(shù)（方程的根）或者通過零點個數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.

（2）數(shù)形結(jié)合法求解零點（方程的根）

對于方程解的個數(shù)（或函數(shù)零點個數(shù)）問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖

數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點（方程的根）

①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)（方程的根）

尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.

②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)

化與化歸的思想方法.

考點一、求函數(shù)零點及其個數(shù)

典例引領(lǐng)

L(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃無)=ln尤-g/geR).

(1)當(dāng)。=1時，求/(X)的最大值；

(2)討論函數(shù)/(x)在區(qū)間口,]上零點的個數(shù).

2.(2024?湖南長沙?三模)已知函數(shù)/(x)=xe*-l,g(x)=lnx-7〃x,"7eR.

⑴求/(x)的最小值;

(2)設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x),討論力(x)零點的個數(shù).

3.(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(%)=四加+猶0牘.

(1)若°=0,求曲線y=/(可在點(oj(o))處的切線方程；

(2)若心(一兀,兀),試討論〃無)的零點個數(shù).

1.(2024?山東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=；e"4.

⑴求曲線J=〃x)在點(1,7(1))處的切線/在V軸上的截距；

(2)探究/(x)的零點個數(shù).

2.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=a(e'+siWr-L

⑴當(dāng)a=g時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=1時，判斷〃x)的零點個數(shù).

3.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=](aH0,aeR).

⑴求/(x)的極大值;

(2)若a=l,求g(x)=/(x)-cosx在區(qū)間-],2024兀上的零點個數(shù).

考點二、由函數(shù)零點及個數(shù)求參數(shù)值

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國,高考真題)已知函數(shù)/1(無)="-1-(a+l)ln尤.

x

(1)當(dāng)。=0時，求，⑴的最大值；

⑵若/(X)恰有一個零點，求。的取值范圍.

2.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+axeT

(1)當(dāng)a=l時，求曲線昨“X)在點(0,〃0))處的切線方程；

(2)若“X)在區(qū)間(T0),(0,+⑹各恰有一個零點，求a的取值范圍.

3.(2024?湖南邵陽?三模)已知函數(shù)/(力=一3/+/+1.

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若函數(shù)g(x)=〃x)-左化eR)有且僅有三個零點，求后的取值范圍.

4.(2024?廣東茂名?一模)設(shè)函數(shù)〃x)=e*+asinx,xe[0,+oo).

⑴當(dāng)a=-l時，加+1在[0,+功上恒成立，求實數(shù)6的取值范圍；

(2)若a>0J(x)在[0,+句上存在零點，求實數(shù)。的取值范圍.

1.(2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)/(x)=x(e]ax2).

⑴若曲線V=〃x)在尸-1處的切線與V軸垂直，求>=/(x)的極值.

(2)若/(x)在(0,+8)只有一個零點，求

2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=/-ax+2,aeR.

⑴若x=-2是函數(shù)/(x)的極值點，求。的值，并求其單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)在1,3上僅有2個零點，求。的取值范圍.

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=hx+丘的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).

⑴求函數(shù)/(x)的圖象在點(ej(e))處的切線方程；

⑵若函數(shù)g(x)=￡-/(x)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

4.(2024?安徽?三模)已知函數(shù)〃x)=ae*-eT-(a+l)x,a>0.

⑴求證：，(x)至多只有一個零點；

(2)當(dāng)0<.<1時，4馬分別為，(x)的極大值點和極小值點，若〃再)+廳(％)>。成立，求實數(shù)人的取值范

圍.

考點三、求方程根的個數(shù)

典例引領(lǐng)

■——

1.(2024?浙江溫州?一模)已知=(x>0).

⑴求導(dǎo)函數(shù)r(x)的最值；

⑵試討論關(guān)于x的方程/(》)=日(4>0)的根的個數(shù)，并說明理由.

1.(2024?山西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)=5也》+1115+1)-仆，且y=/(x)與X軸相切于坐標(biāo)原點.

⑴求實數(shù)”的值及/(x)的最大值；

兀1

(2)證明：當(dāng)xe-57t時，/(x)+2x>-；

_6J2

⑶判斷關(guān)于X的方程/(x)+X=0實數(shù)根的個數(shù)，并證明.

2.(2024?河南信陽?一模)已知函數(shù)/a)=ln(x+l)+wX.

⑴若加=-3,求證：f(x)<0；

?TTY

(2)討論關(guān)于x的方程/(x)+9sin?=0在(-1,2)上的根的情況.

3兀2

考點四、由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍

典例引領(lǐng)

1.(2024?貴州貴陽?二模)已知函數(shù)/(x)=axlnx+-'-,aeR.

2x

⑴當(dāng)a=1時.求/(x)在(1,7(1))處的切線方程；

⑵若方程/(x)=+二存兩個不等的實數(shù)根,求。的取值范圍.

2.(2024?山東煙臺?三模)已知函數(shù)/'(x)=x+ae*(aeR).

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=3時，若方程+>、=加+1有三個不等的實根,求實數(shù)小的取值范圍.

f^)-x/(x)

即0舉丈

1.(2023?廣東梅州?三模)魚知函數(shù)〃x)=e'-"2,aeR,7'(x)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

⑴討論函數(shù)尸(x)的單調(diào)性；

⑵若方程〃x)+/'(x)=2-4在(0,1)上有實根，求。的取值范圍.

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(乃=上一的圖象在點(0J(0))處的切線方程為2x+y+l=0.

ax+b

⑴求。力的值；

(2)若/。)=二有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)加的取值范圍.

2x-l

考點五、圖象交點問題

典例引領(lǐng)

,,一

1.(2021?全國?高考真題)已知。〉0且awl,函數(shù)/(x)=—(x>0).

ax

(1)當(dāng)a=2時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線V=/(x)與直線夕=1有且僅有兩個交點，求。的取值范圍.

2.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)"x)="-◎和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線丁=6,其與兩條曲線V=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

1.(2024?江蘇,模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)="lnx+x2+3在x=l處的切線經(jīng)過原點.

⑴判斷函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)求證：函數(shù)/(x)的圖象與直線y=5x有且只有一個交點.

1°

2.(2024?陜西西安?二模)設(shè)函數(shù)〃幻=5辦2+(1_?。?/p>

⑴當(dāng)aKl時，討論/(%)的單調(diào)性；

⑵若、￡［-2,2］時，函數(shù)〃x)的圖像與歹=e'的圖像僅只有一個公共點，求。的取值范圍.

3.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=野土.

⑴當(dāng)。=2時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：若曲線y=/(x)與直線y=3有且僅有兩個交點，求。的取值范圍.

a

考點六、零點、方程的根、圖象交點小題綜合

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國,高考真題)函數(shù)〃X)=/+G+2存在3個零點，則。的取值范圍是()

A.(—co,—2)B.(―℃,—3)C.(-4,-1)D.(—3,0)

2.(2024?全國?高考真題)(多選)設(shè)函數(shù)/(x)=2d-3辦2+1,則()

A.當(dāng)。＞1時，/*)有三個零點

B.當(dāng)。＜0時，x=0是f(x)的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點(1J⑴)為曲線N=/(x)的對稱中心

3.(2022?全國高考真題)(多選)已知函數(shù)/(x)=x3-x+l,則()

A./(X)有兩個極值點B./(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線V=/(x)的對稱中心D.直線夕=2x是曲線y=〃x)的切線

4.(2021?北京?高考真題)已知函數(shù)〃x)=|lgx卜丘-2,給出下列四個結(jié)論：

①若無=0,/")恰有2個零點；

②存在負(fù)數(shù)左，使得/(x)恰有1個零點；

③存在負(fù)數(shù)左，使得/(x)恰有3個零點；

④存在正數(shù)左，使得/(x)恰有3個零點.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

位即時啊

1.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=e*-日-6恰好有一零點飛,且左＞6＞0,則%的取值范圍是

()

A.(-<?,0)B.(0.1)C.(-00,1)D.(1,+<?)

Inx——>0,

3

2.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）已知0,若函數(shù)/■")=有4個零點，則0的取值

sinI69X+yI,-7C<X<0

范圍是（）

（^71「47、（7101「710A

A，C.Ij'T]D.[§'5）

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)/（切=尤3-公+1,aeR,則（）

A.若“X）有極值點，則

B.當(dāng)。=1時，/（X）有一個零點

C./（x）=2-f（-x）

D.當(dāng)。=1時，曲線J=/（x）上斜率為2的切線是直線＞=2》-1

4.（2024?安徽?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程加+eln"?=j+e（lnx-x）有解，則實數(shù)加的最大值為.

5.（2024?天津北辰?三模）若函數(shù)/（x）=42尤-3|-3"無（-3）2有四個零點，則實數(shù)。的取值范圍

為.

12.好題沖關(guān)?

基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）方程ae-，=x+l有兩個不等的實數(shù)解，貝壯的取值范圍為（）

A,：。]B.11,-JC.[5可]卬

2.（2024?四川涼山?二模）若〃x）=xsinx+cosx-l,xe-p7t,則函數(shù)〃x）的零點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

二、多選題

3.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=/+x+l,則（）

A./（x）有兩個極值點

B.“X）有一個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心

D.直線了=2x是曲線y=/(x)的切線

4.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=-/,則下列說法正確的是()

A./(x)的極值點為

B.f(x)的極值點為1

c.直線k是曲線y=〃x)的一條切線

D./(x)有兩個零點

三、填空題

5.(2024?全國,模擬預(yù)測)方程(T+lnx)x+4=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)上的取值范圍為.

6.(2024?山西?三模)己知函數(shù)/(x)={x,若函數(shù)g(x)=/(x)-x+加(加eR)恰有一個零點，貝Ip"

e\x＜0

的取值范圍是.

7.(23-24高三上?四川內(nèi)江?期末)已知函數(shù)〃x)=2尤3+4xT,若函數(shù)〃無)的圖象與曲線＞=5/有三個交

點，貝"的取值范圍是.

四、解答題

8.(2023?廣西河池?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=21nx-無2+辦(qeR)

(1)當(dāng)a=l時，求函數(shù)“X)在(1J。))處的切線方程；

⑵若函數(shù)/(x)與直線＞=在1,e上有兩個不同的交點，求實數(shù)。的取值范圍.

9.(23-24高三上?北京大興,階段練習(xí))已知/'(x)=lnx,

⑴求』⑴的極值；

⑵若函數(shù)了=/(x)-"存在兩個零點，求。的取值范圍.

10.(2024?湖南邵陽?三模)已知函數(shù)/(x)=+i.

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-M^eR)有且僅有三個零點，求上的取值范圍.

能力提升

一、單選題

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知過點(-2,0)的直線與函數(shù)〃幻=無產(chǎn)2+2的圖象有三個交點，則該直線的斜

率的取值范圍為()

A.(-00,-1)B.(-?,0)C.(-1,0)D.(-l,+oo)

e

/、QH,Xx*0/、__

2.(2024?貴州貴陽?一模)已知函數(shù)/(x)=x',若方程/(x)+ex=0存在三個不相等的實根，則

e-',x<0

實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-℃,e)B.(-<?,-e)C.(-co,-2e)D.(-co,2e)

二、填空題

3.(2024?重慶?模擬預(yù)測)若函數(shù)〃x)=a+W的圖象與函數(shù)g(x)=V-的圖象有三個不同的公共點，則實

ex+ex

數(shù)〃的取值范圍為.

4.(2024?湖北黃岡二模)已知函數(shù)〃x)=Me-l)-e"與函數(shù)g(x)="Z學(xué)二1的圖象有且僅有兩個不同

的交點，則實數(shù)上的取值范圍為.

5.(2024?福建泉州?一模)己知函數(shù)，。)=(》-1回+卜工-a］有且只有兩個零點，則。的范圍_________.

三、解答題

6.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知〃x)=xsinx-acosx在x=5時取得極大值.

(1)討論/(X)在卜兀，兀］上的單調(diào)性；

(2)令=-4xsinx-4cosx+4,試判斷在R上零點的個數(shù).

2

7.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)無)=e工一無2+。，xeR^(x)=/(x)+x-x.

⑴若。(x)的最小值為0,求〃的值；

(2)當(dāng)a<0.25時，證明：方程〃x)=2x在(0,+s)上有解.

8.(2024?廣東梅州?二模)已知函數(shù)/'(x)=e、，g(x)=x2+1,=asinx+1(a>0).

⑴證明：當(dāng)xe(0,+co)時，/(x)>g(x)；

⑵討論函數(shù)/(x)="x)-"x)在(0,兀)上的零點個數(shù).

1.2.3.4.9.(2024?廣西南寧?二模)已知函數(shù)〃x)=lnx-G

①若/(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求。的取值范圍，

⑵若函數(shù)g(x)=〃x)-x+l恰有兩個零點，求。的取值范圍，

10.(2024?廣西賀州?一模)已知函數(shù)/(x)=x+lnx+2_,〃￡R.

2x

(1)若。>-)，討論/(X)的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于x的方程/(x)=42有且只有一個解，求。的取值范圍.

e

真題感也

e

1.(2022?浙江?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=「+lnx(x>0).

2x

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知a/eR,曲線J=/(x)上不同的三點(七，/(毛氏七，/仁)),仁,〃％))處的切線都經(jīng)過點(a,6).證

明：

(i)若a>e,則；

..4八,2e-a112e-a

(ii)右0<a<e，M<x2<x3,則方++6e2,

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

2.(2021?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=(x-l)e"-"之+6.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個條件中選一個