2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義：函數(shù)的應(yīng)用（二）（含答案）

復(fù)習(xí)材料

4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)(精講)

函數(shù)的零點(diǎn)

1.概念：對(duì)于一般函數(shù)y=/(x),我們把使外)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)>=加)的零點(diǎn).

2.函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：

二.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

1.條件：①如果函數(shù)>=兀0在區(qū)間［a,6］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；@/(a)-?<0.

2.結(jié)論：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c€(a,b),使得人c)=0,這個(gè)c也就是方程五x)

=0的解.

3.零點(diǎn)存在定理注意事項(xiàng)

①函數(shù)段)在區(qū)間口，6］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；

②/(a)負(fù)6)0.這兩個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不一定成立.

滿足上述兩個(gè)條件，則函數(shù)了=〃)的圖象至少穿過x軸一次，即方程危)=0在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)

數(shù)根c,但不能確定有幾個(gè)，只有再借助于啟)在(訪6)內(nèi)的單調(diào)性才能確定於)在(a,6)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

三.二分法

1.定義：對(duì)于在區(qū)間［a,切上圖象連續(xù)不斷且八.)大6)<0的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一

分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

2.用二分法求函數(shù)加)零點(diǎn)近似值的步驟

給定精確度￡,用二分法求函數(shù)>=/)零點(diǎn)X。的近似值的步驟：

⑴確定零點(diǎn)劭的初始區(qū)間⑷b］,驗(yàn)證人a)負(fù)6)0；

(2)求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)c；

(3)計(jì)算八c),進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：

①若/(c)=0(此時(shí)x()=c),則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若黃a)負(fù)c)<0(此時(shí)刈6(。，c)),則令6=c；

③若人c)負(fù)6)0(此時(shí)xo€(c,6)),則令a=c.

(4)判斷是否達(dá)到精確度e：^\a-b\<s,則得到零點(diǎn)近似值a(或6)；否則重復(fù)(2)?(4).

四.常見的函數(shù)模型

(1)一次函數(shù)模型y=kx+b(k,6為常數(shù)，厚0)

(2)二次函數(shù)模型y=ax1-\-bx-\~c(a,b,c為常數(shù)，存0)

x

常用(3)指數(shù)函數(shù)模型y=ba-\-c{a,b,c為常數(shù),厚0,〃>0且

為常數(shù)，加#),且

函數(shù)y=mlogflx+n(rn,a,na>0

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型

模型中1)

(5)幕函數(shù)模型y=axn~\~b(a,b為常數(shù),a=/=0)

_cf(x)(x<m)，

(6)分段函數(shù)模型

V(g(x)(x>m)

復(fù)習(xí)材料

一.求函數(shù)零點(diǎn)的兩種方法

1.代數(shù)法：求方程｛x)=0的實(shí)數(shù)根，若存在實(shí)數(shù)根，則函數(shù)存在零點(diǎn)，否則函數(shù)不存在零點(diǎn).

2.幾何法：與函數(shù)/=段)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).

二.確定函數(shù)外)零點(diǎn)所在區(qū)間

1.解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程次x)=0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.

2.利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)了=段)在區(qū)間卬6]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有人。)負(fù)6)0.若

Xa)?<0,則函數(shù)了=加)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).

3.數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.

三.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法

1.利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根就有幾個(gè)零點(diǎn).

2.畫出函數(shù)y=/(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3.結(jié)合單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理，可判定y=/(x)在(a,6)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

4.轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.

四.已知函數(shù)有零點(diǎn)(方根有根)求參數(shù)值

1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

2.分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

3.數(shù)形結(jié)合，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.

五.運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件

1.函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷.

2.在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào).

只有滿足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn).

考點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)

【例1】(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出零點(diǎn).

(1)/(x)=-8x2+7x+l；

⑵/(x)=l+bg3%；

⑶/㈤=4-16；

[x2+3x-4,x<0

⑷/(%)=-n

[-l+lnx,x>0

【答案】(1)一)和1(2)：(3)2(4)-4和e

o3

【解析】(])令-8x2+7x+l=0,解得尤=-g或x=l.所以函數(shù)的零點(diǎn)為尤=-g，1.

(2)令l+log3X=0,BPlog3x=-l,解得x=；.所以函數(shù)的零點(diǎn)為;.

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(3)令4、-16=0,即4、=42,解得％=2.所以函數(shù)的零點(diǎn)為2.

(4)當(dāng)時(shí)，由，(%)=。，BPx2+3x—4=0,也就是(工一1)(工+4)=0,

角牟得％=1或x=-4.因?yàn)閤W0,所以、二一4；

當(dāng)x>0時(shí)，由〃幻=0,BP-l+lnx=O,解得X=e,滿足％〉0.所以函數(shù)的零點(diǎn)為-4和e.

【一隅三反】

1.(2023?陜西西安)函數(shù)/@)=1-炮(3，+2)的零點(diǎn)為()

A.log38B.2C.log37D.log25

【答案】A

【解析】令〃x)=l-lg(3*+2)=0,得3*+2=10,貝h=log38.故選：A

fx+l,x<0

2.(2023秋?福建莆田)設(shè)函數(shù)/(》)=/,、2八，則方程了(/(力)=。的解集為.

(x-1),x>0

【答案】｛-2,0,2)

x+l,x<0

【解析】函數(shù)〃X)=/,、2C，令/(x)=，，則方程/(/(x))=0化為〃f)=0,

,x>0

當(dāng)，W0時(shí)，/+1=0,解得，二一1,當(dāng)，>0時(shí)，(￡—1)2=0,解得，=1,因此，=-1或％=1,

當(dāng)，=-1時(shí)，/(x)=-1,顯然即x+1=-1,解得工二-2,

當(dāng)，=1時(shí)，/(x)=1,若1V0,貝lJx+l=O,解得工=0,若1>0,則(％—1)2=1,解得％=2,因此x=0或

x=2,

所以方程/(/(X))=0的解集為｛-2,0,2｝.

故答案為：｛-2,0,2)

3.(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出.

r_|_Q

2X

(l)/(x)=——；(2)/(X)=X+2X+4；(3)/(X)=2-3；(4)/(x)-l-log3x.

【答案】⑴零點(diǎn)是-3(2)不存在(3)零點(diǎn)是log?3⑷零點(diǎn)是3

【解析】(1)=0,解得》=-3,所以函數(shù)/(x)=U的零點(diǎn)是-3；

XX

(2)^/(X)=X2+2X+4=0,由于A=22_4X4=_12<0,

所以方程X2+2X+4=0無解，所以函數(shù)〃x)=/+2x+4不存在零點(diǎn);

復(fù)習(xí)材料

（3）令2:3=0,解得X=10g23,所以函數(shù)/（x）=2:3的零點(diǎn)是1（^3；

（4）令〃x）=l-log3X=0,解得x=3,所以函數(shù)〃x）=l-log3X的零點(diǎn)是3.

考點(diǎn)二零點(diǎn)的區(qū)間

【例2-1］（2023?全國(guó)?高一課堂例題）方程的根所在區(qū)間是（）

J_2

A.1B.D.

I253

【答案】C

【解析】構(gòu)造函數(shù)/（》）=

1/、

因?yàn)閥=和》=一戶在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)/（x）在R上單調(diào)遞減,

且函數(shù)/（X）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,

因?yàn)?(0)=I-0=1>0,

2

由/（x）的單調(diào)性可知了

故函數(shù)/（X）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為,

2_

一的根/屬于區(qū)間

即方程?

故選:C

的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)

【例2-2］（2023秋?重慶九龍坡?高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)/（x）3+a

X

間（1,2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

7]

A.(l,+oo)C.u(l,+8)D.

-吟-3

【答案】B

3

【解析】???^=2、和）=—―在（0,+”）上是增函數(shù)，

x

.-./（X）=2"-1+Q在（0,+。）上是增函數(shù)，

.?.只需/⑴?〃2）＜0即可，即（-l+a）］|+a］＜0,解得一

故選：B.

復(fù)習(xí)材料

【例2-3］（2020秋,陜西渭南）已知函數(shù)/（x）=lnx+3x-7的零點(diǎn)位于區(qū)間（〃,〃+l）5eN）內(nèi)，貝！J"=.

【答案】2

【解析】由題意可知函數(shù)/（x）=lnx+3x-7在定義域（0,+e）內(nèi)單調(diào)遞增,

易知/（2）=ln2+3x2-7=ln2-l<0,

而〃3)=ln3+3x3-7=ln3+2>0,所以/⑵⑶<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)〃x）在區(qū)間（2,3）內(nèi)存在零點(diǎn),

所以可得“=2.

故答案為：2

【一隅三反】

1.（2023春?安徽亳州,高一?？计谥校┖瘮?shù)/（%）=%一嚏"+1的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

2

【答案】C

【解析】?7=工+1在（0,+。）上單調(diào)遞增，>=一1°8尸在（0,+8）上單調(diào)遞增,

2

二函數(shù)/（X）=X-loggX+1在（0,+8）上單調(diào)遞增,

1

-=--lo1g1-1+,l=--3<0c,

4544

1141-

33

=r-log!-+l=--log23=log216-log227<0,

ji3J

1111八

=—ltog.—I-1=—>0,

2322

函數(shù)〃x）=x-log1*+1的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

214}

故選：C

2.（2023春?海南省直轄縣級(jí)單位?高一校考期中）若看是函數(shù)=的零點(diǎn)，則%屬于區(qū)間（）.

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【答案】B

【解析】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的性質(zhì)，可得

■<0.

又=-f為R上的減函數(shù),

可得函數(shù)〃x）=（力有且只有一個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn)%

由零點(diǎn)存在定理,

故選：B.

3.（2024秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?）若函數(shù)/（無）=2-嚏-a存在1個(gè)零點(diǎn)位于（1,2）內(nèi),a的取值范圍是（）

A.（0,3）B.（-3,3）C.[-3,3]D.（-3,0）

【答案】A

【解析】若函數(shù)/（X）=2,-嚏-a存在1個(gè)零點(diǎn)位于（1,2）內(nèi)，

/（%）=2、---6/單調(diào)遞增，又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，

0<a<3.

故選：A.

考點(diǎn)三零點(diǎn)個(gè)數(shù)

【例3-1】6（2023秋?高一課時(shí)練習(xí)）方程x+lnx=3解的個(gè)數(shù)為.

【答案】1

【解析】解法一：令/（x）=x-3+lnx=0,貝ljlnx=3-x；

在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)N=lnx與y=-x+3的圖象，如圖所示.

由圖可知函數(shù)>=lnx與y=-x+3的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)/（x）=x-3+lnx只有一個(gè)零點(diǎn).

故原方程只有1個(gè)解.

2

解法二：因?yàn)?（3）=ln3>0,/（2）=-l+ln2=ln-<0,

e

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所以〃3）./（2）＜0,說明函數(shù)〃（=、-3+111%在區(qū)間（2,3）內(nèi)有零點(diǎn).

又/（'）在區(qū)間（0,+"）上是增函數(shù)，所以原方程只有一個(gè)解.

故答案為：1

【例3-2]（2023?全國(guó)?高一課堂例題）若方程1|=左有一解，則上的取值范圍為.

【答案】{0}U[l,+⑹

【解析】函數(shù)＞="-1|的圖象是由函數(shù)y=3,的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后，

再把位于無軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，

函數(shù)圖象如下圖所示，

當(dāng)左=0或徑1時(shí)，直線、=左與函數(shù)＞的圖象有唯一的交點(diǎn)，

即方程|3,-1卜后有一解.

故答案為：{0}U[l,+⑹.

【一隅三反】

1.（2023?全國(guó)?高一課堂例題）方程1英2（尤+4）=3工的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)J=bg2（x+4）與、=3為的大致圖像，如圖由圖像，可觀察出兩

個(gè)函數(shù)圖像共有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故方程1。82（尤+4）=3工有兩個(gè)根.

故選：C.

2.（2023春,江蘇南通?高一金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)/（月=^+5-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

【答案】2

【解析】函數(shù)/（x）=/+g-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程￡=3-V的解得個(gè)數(shù)，

即函數(shù)y?與y=3-2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

作出函數(shù)了=5與昨3-/的圖象如下圖所示，

由圖象可知：函數(shù)y=±與y=3-x2有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

復(fù)習(xí)材料

二函數(shù)/(無)=/+g-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

［2~xx<l

3.(2023?陜西渭南)已知函數(shù)/(》)=,'一，，若函數(shù)g(x)=〃x)-。恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)0的取值

［log8x,x>l

范圍是.

【答案】g,+8)

【解析】由題設(shè)夕=。與〃x)有兩個(gè)交點(diǎn)，

根據(jù)的解析式，可得其圖象如下：

當(dāng)xVl時(shí)，/(x)e［1,+co)；當(dāng)x>l時(shí)，/(x)e(0,+oo)；

要使>=。與/(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，則。之3.

故答案為：［于+8)

2x-l,x<0

4.(2023湖南)已知函數(shù)〃x)="x-2|,04x43,g(x)=〃x)-左，且g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的取

23

1-2X-Ax+—2,x>

值范圍是.

【答案】｛；』｝

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=2,-1在(-8,0)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為(-1,0),

當(dāng)04x43時(shí),f(x)=|x-2］在［0,2］上單調(diào)遞減,函數(shù)值從2減小到0,在。,3］上單調(diào)遞增,函數(shù)值從0增

大到1,

當(dāng)x>3時(shí)，/(X)=:(X-4)2+：在(3,4］上遞減，函數(shù)值從1減小到;，在［4,+⑹上遞增，函數(shù)值集合為

222

1、

［萬,+⑹,

由g(x)=0,得〃x)=笈，因此函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)》=〃幻的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線^=后與函數(shù)V=〃X)的圖象，

觀察圖象知，當(dāng)4=；或％=1時(shí)，直線>=左與函數(shù)V=/(x)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)人的取值范圍是｛；1｝.故答案為：｛1,1｝

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考點(diǎn)四比較零點(diǎn)的大小

【例4】(2022秋?四川綿陽?高一四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？计谀?設(shè)正實(shí)數(shù)。也c分別滿足

a-T=/>.log3/>=c-log2c=l,則a也c的大小關(guān)系焉()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>ob

【答案】B

【解析】由己知可得,=2",7=log36,-=log9c,

abc

作出>==log2x,y=log3x的圖像如圖所示：

它們與V」交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a,Ac,

X

由圖像可得％>c>a,

故選：B

【一隅三反】

1.(2023?浙江溫州)已知y=-(x-。)(芯-6)+2,且a,〃是方程>的兩根，則。力,見〃大小關(guān)系可能是

()

A.a<a<b<PB.a<a</3<b

C.a<a<P<bD.a<a<b<f)

【答案】D

【解析】/(x)=-(x-a)(x-^)+2,由題意得,/(a)=f(b)=2>0,而/(a)=/(￡)=0,借助圖象可知，

a,6,a,尸的大小關(guān)系可能是a<a<],

故選：D.

2.(2022秋?陜西咸陽?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x+x3,g(x)=x+3=〃(x)=x+log3x的零點(diǎn)

分別為X[,x2,X3,則X1,x2,w的大小順序?yàn)?)

A.x2>x3>xxB.x3>x2>xx

C.xx>x2>x3D.x3>x1>x2

【答案】D

【解析】依題意令/(x)=X+x'=0,即d=T,

同理可得3*=-x,log3x=-x,

復(fù)習(xí)材料

則函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=x,%3入了=1%%與3;=-％的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

在平面直角坐標(biāo)系上畫出函數(shù)圖象如下：

由圖可得為=0,X2<0,x3>0,即天3>網(wǎng)>%.

故選：D

3.(2023?福建福州)已知方程2*+2x=0、log2x+2x=0,工3+2x=0的根分別為a,b,c,則a,b,c的

大小順序?yàn)?).

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】由力(x)=X，+x=0得x=0,：.c=0,

A

由方程2*+2x=0得2=-2x的根為a,由方程log2x+2x=0得log2x=-2x的根為b.

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出>=2"、y=log2x,y=-2x的圖象，

由圖象知，a<0,b>0,:.a<c<b.

故選：B

考點(diǎn)五零點(diǎn)之和

【例5-1](2023安徽)>=/卜)是R上的偶函數(shù)，若方程2/(x)=l有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則這些根之和為

()

A.2B.1C.0D.y

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，那么2/(x)=l,即/(x)=g有5個(gè)

實(shí)數(shù)根，可知其中4個(gè)實(shí)數(shù)根，有兩對(duì)關(guān)于V軸對(duì)稱，另外一個(gè)為x=0,所以這些根的和為0.

故選：C

x+l|,x<0

【例5-2】(2023秋?河北保定?高一保定市第三中學(xué)校考期末)已知函數(shù)〃x)=1,n，若方程

/(x)=a(aeR)有四個(gè)不同的解國(guó),々,三戶4，且再<々<當(dāng)<匕，貝股花+乙)乙的取值范圍是()

A.[-4,-2)B.[-4,-2]C.(-4,-2)D.(-4,-2]

【答案】A

fx+l|,x<0

【解析】由題意作函數(shù)〃X)=1,c與>的圖象如下，

Ilog2x|,x>0

復(fù)習(xí)材料

???方程/（》）=。有四個(gè)不同的解再也用用，且再<X?<%3〈工彳，

=

,X2于X一1對(duì)稱，即X]+X2=-2,

當(dāng)|log2%|=1得x=2或g,貝!|1<X442,故-4<（再+三）三<-2,

故選：A.

【一隅三反】

1.（2023福建）若玉,是二次函數(shù)y=/+x-2的兩個(gè)零點(diǎn)，則再+工2+卬；2=.

【答案】-3

【解析】因?yàn)闉?是二次函數(shù)y=/+x-2的兩個(gè)零點(diǎn)，

所以/+x-2=0的兩根為百/2,所以玉+%=-1,占工2=-2,所以玉+X2+玉%2=-3.故答案為：-3

2.（2023?貴州畢節(jié)）已知函數(shù)/（x）=jbgxx>0，則函數(shù)>=的所有零點(diǎn)之和為.

【答案】49

4

【解析】設(shè)加=/（%）,貝！J/（加）=0,

①當(dāng)冽（0時(shí)，2加+2=0,得根=一1；

②當(dāng)相>0時(shí)，log4m=0,得冽=1；

綜上所述：若/（加）=0,則相=-1或冽=1.

故/（x）=T或/（x）=l，則有：

x<0[x>31

①由/(x)=T

2x+2=-l^[log4x=-l解得”-5或““

7、fx<0fx>0

②由〃x)=l,可得\x+2=1或[iOg4X=l解得無=-；或x=4；

a1i

綜上所述：函數(shù)歹=/（/（、））的所有零點(diǎn)為-；，4.

故所有零點(diǎn)的和為+；++4='.

Q

故答案為：—.

4

3.（2023秋?四川成都）已知函數(shù)/口）二4一尸+4,若方程/（x）=而+4-左（左〉0）有三個(gè)不同的根

占戶2，％3，則再+工2+工3=（）

復(fù)習(xí)材料

A.4B.3C.2D.k

【答案】B

【解析】由題意，因?yàn)槭?廿=-.-尸)，所以y=e=er為奇函數(shù)，

/(x)由函數(shù)-片工向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的，

所以“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,4)對(duì)稱.

而〃x)=^+4-左=左(》-1)+4所表示的直線也關(guān)于點(diǎn)(1,4)對(duì)稱，

所以方程〃x)=Ax+4-左的三個(gè)實(shí)根再，無2，W中必有一個(gè)為1，另外兩個(gè)關(guān)于x=l對(duì)稱，所以

再+%+%3=3.

故選：D.

考點(diǎn)六二分法

【例6-1](2023秋?江蘇淮安)已知函數(shù)/(無)=/+工-1在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且求得〃x)的部分函數(shù)值數(shù)

據(jù)如下表所示：

X010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875

/(X)-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483

要使/(x)零點(diǎn)的近似值精確到0.1,則對(duì)區(qū)間(0,1)的最少等分次數(shù)和近似解分別為()

A.6次0.7B.6次0.6

C.5次0.7D.5次0.6

【答案】C

【解析】由題意可知，對(duì)區(qū)間(0,1)內(nèi)，需要求解〃0.5),〃0.75),〃0.625),〃0.6875),

/(0.65625)的值，然后達(dá)到〃x)零點(diǎn)的近似值精確到0.1,所以零點(diǎn)的近似解為0.7,

共計(jì)算5次.

故選：C

【例6-2】(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))用二分法求方程的近似解，精確度為￡,則終止條件為()

A.|X[-x2|>￡B.|X[-x2|<￡

C.xx<s<x2D.x2<￡<xx

【答案】B

復(fù)習(xí)材料

【解析】根據(jù)題意，用二分法求方程的近似解，若要求的精確度為￡,

當(dāng)時(shí)，即表示滿足精度要求，可以確定近似解.

故選：B

【例6-3](2023秋,高一課時(shí)練習(xí))用二分法可以求得方程/+5=0的近似解(精確度為0.1)為()

A.—1.5B.—1.8

C.-1.6D.—1.7

【答案】D

【解析】令/(x)=/+5,記其零點(diǎn)為%,

易知/(-2)=-3(0,/(-1)=4)0,所以％e(-2,-1),

3

又/(-,)=1.625>0,所以x°e(-2,-1.5),

因?yàn)?(-1.75)a-0.35<0,所以修武一1.75,-1.5),

因?yàn)?(-1.625)。0.71>0,所以(-1.75,-1.625),

因?yàn)?(-L6875)a0.19>0,所以e(-1.75,-1.6875),

X-1.6875-(-1.75)=0.0625<0.1,

所以區(qū)間(-1.75,T.6875)內(nèi)的實(shí)數(shù)均可作為方程V+5=0的近似解.

故選：D

【一隅三反】

1.(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是。

【答案】C

【解析】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)〃x)在區(qū)間[。向上的圖象連續(xù)不斷，且即函數(shù)的零點(diǎn)

復(fù)習(xí)材料

是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間(。力)一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值.

對(duì)各選項(xiàng)的函數(shù)圖象分析可知，A,B,D都符合條件，

而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn).

故選：C.

2.(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))用二分法求函數(shù)/(x)=2,-3的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間可選為()

A.[-1,0]B.[0,1]

C.[1,2]D.[2,3]

【答案】C

【解析】/(-1)=-1<0,/(0)=-2<0,/(1)=-1<0,/(2)=1>0,/(3)=5>0,

則"1).“2)<0,即初始區(qū)間可選[1,2].

故選：C.

3(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x3+2x-9在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且/(x)的部分函數(shù)值數(shù)

據(jù)如下：/(1)=一6,/(1.5)=-2.625,/(1.75)?-0.1406,/(1.7578)?-0.0530,7(1.7617)?0.0090,

“1.7656)。0.0352,/(2)=3,要使〃x)零點(diǎn)的近似值精確度為0.01,則對(duì)區(qū)間(1,2)的最少等分次數(shù)和近

似解分別為()

A.6次，1.75B.6次，1.76

C.7次，1.75D.7次，1.76

【答案】D

【解析】由題中數(shù)據(jù)知，零點(diǎn)區(qū)間變化如下：

(1,2)->(1.5,2)f(1.75,2)T(1.75,1.875)f(1.75,1.8125)->(1.75,1.78125)T(1.75,1.7656)T(1.7578,1.7656),

此時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度小于0.01,在區(qū)間(1.7578,1.7656)內(nèi)取近似值，最少等分了7次，近似解取1.76.

故選：D.

4.(2023?全國(guó)?高一課堂例題)用二分法求函數(shù)〃x)=ln(x+l)+x-l在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)，要求精確度為

0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

復(fù)習(xí)材料

【解析】因?yàn)殚_區(qū)間（0,1）的長(zhǎng)度等于L每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

所以經(jīng)過”（〃eN*）次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?/p>

令￡<0.01,解得〃27,且〃eN*,

故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.

故選：C.

考點(diǎn)七函數(shù)模型的應(yīng)用

【例7-1］（2023?遼寧大連）為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2020年全國(guó)掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾

分類已經(jīng)成為新時(shí)尚，假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為5000萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的

資金比上一年增長(zhǎng)20%,則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：

lgl.2k0.079,1g2.56?0.408）（）

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

【答案】C

【解析】設(shè)2020后第x年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元，

貝1|5000（1+20%）%>12800,即12'>2,56,

解得%>1。&.22.56=￥譽(yù)。5.16,

1g1.2

則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是2026.

故選：C.

【例7-2】（2022秋?江蘇南通?高一?？茧A段練習(xí)）（多選）某打車平臺(tái)欲對(duì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制定了甲、

乙兩種方案供乘客選擇，其支付費(fèi)用與打車?yán)锍虜?shù)的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)打車距離為8km時(shí)，乘客選擇乙方案省錢

B.當(dāng)打車距離為10km時(shí)，乘客選擇甲、乙方案均可

C.打車3km以上時(shí)，每公里增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多

D.甲方案3km內(nèi)（含3km）付費(fèi)5元，行程大于3km每增加1公里費(fèi)用增加0.7元

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,當(dāng)打車距離為3Vx<10時(shí)，甲對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象在乙圖象的下方，

即甲對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于乙對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，故當(dāng)打車距離為8km時(shí)，乘客選擇甲方案省錢，即A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)打車距離為10km時(shí)，由圖可知，甲、乙均為12元，因此乘客選擇甲、乙方案均可，即B正確;

復(fù)習(xí)材料

對(duì)于C,打車3km以上時(shí)，甲方案每公里增加的費(fèi)用為"=二1（元），

10—3

12-75

乙方案每公里增加的費(fèi)用為而｝=,（元），故每公里增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多，即c正確；

對(duì)于D,由圖可知，甲方案3km內(nèi)（含3km）付費(fèi)5元，行程大于3km每增加1公里費(fèi)用增加1元，故D

錯(cuò)誤;

故選：BC

【一隅三反】

1.（2023?四川遂寧）在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧（無債務(wù)）致富，企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)情況良好的某種消費(fèi)品

專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)

中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)（不計(jì)息）.在甲提供的

資料中有：①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；②該店月銷量。（百件）與銷售價(jià)格P（元）的關(guān)系如圖所

示；③每月需各種開支2000元.當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并

求最大余額.

【答案】當(dāng)尸=19.5元，4ax=450元

【解析】設(shè)該店月利潤(rùn)余額為1則由題設(shè)得￡=0（2-14）x100-3600-2000,①

-2P+50,14<P<20

由銷量圖，易得。=

--P+40,20<P<26,

(-2P+50)(尸-14)x100-5600,14<P<20

代入①式得工=，j-1p+40j(P-14