天津市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)第一次限時(shí)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第

一次限時(shí)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若直線/的方向向量a=(1,2,-1),平面二的一個(gè)法向量%=(-2,-4,左)，若/_Ltz,則實(shí)數(shù)

k=()

A.2B.-10C.-2D.10

2.已知平面a的一個(gè)法向量為=(-2,點(diǎn)N(-l,3,0)在平面a內(nèi)，則點(diǎn)尸(-2,1,4)到平

面a的距離為()

108

A.10B.3C.—D.-

33

3.設(shè)點(diǎn)/(3,2,1),點(diǎn)次1,0,5),點(diǎn)。(0,2,1),若的中點(diǎn)為“，則|CN|等于()

A.372B.V3C.2A/3D.3

4.如圖，平行六面體—其中48=4,AD=3,AA'=3,ABAD=90°,

ABAA'=60°,ADAA'=60°,則NC'的長(zhǎng)為()

A.V55B.V65C.D.795

5.已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)4-5,0),8(3,-3),C(0,2),則BC邊上中線所在直線方程是()

A.x-13〉+5=0B.x-13>-5=0C.x+13y+5=0D.x+13y=0

6.已知直線4:ax+4y-2=0與直線4：2x-5y+b=o互相垂直,交點(diǎn)坐標(biāo)為(l,c),貝ija+b+c

的值為()

A.20B.-4C.0D.24

7.圓/+了2-2工一5=0與圓工2+/+2X-4>>-4=0的交點(diǎn)為人，B,則線段AB的垂直平分

線的方程是

試卷第1頁，共4頁

A.x+y-l=OB.2x—jv+1-0

C.x-2j+l=0D.x-y+l=0

8.圓/+/—4、—4y_io=。上的點(diǎn)到直線x+y—14=0的最大距離與最小距離的差是()

A.36B.18C.5亞D.672

9.在x軸上的截距為2且傾斜角為135。的直線方程為.

A.y=—x+2B.y=—x—2C.y=x+2D.y=x—2

10.由直線V=x+1上的點(diǎn)向圓(x-3y+V=i作切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()

A.1B.V7C.272D.3

11.已知圓C的圓心與點(diǎn)尸(-2,1)關(guān)于直線y=x+l對(duì)稱,直線3x+4y-ll=0與圓C相交于A、

3兩點(diǎn)，且|/%=6,則圓C的方程為().

A.(x-l)2+/=18B./+(y-l)2=18

C.x2+(y+l)2=18D.(X+1)2+J^2=18

12.直線/：ax+gy-l=0與x,y軸的交點(diǎn)分別為/,B,直線/與圓。：,+y=1的交點(diǎn)為

C,D,給出下面三個(gè)結(jié)論：①VaNl，S^AOB=Y②三d1，③三位1,SACOD

〈工其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

2

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空題

13.經(jīng)過點(diǎn)』(3,2),且與直線4x+y-2=0垂直的直線的方程為.

14.已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若則/=.

15.已知空間向量2=(3,0,4),刃=(-3,2,1),則向量在在向量乙上的投影向量是.

16.已知實(shí)數(shù)x,y滿足6x+8y-l=0,則Jx?+y?-2y+l的最小值為.

17.已知點(diǎn)尸(2,1)在圓。:/+/+^-2^+6=0上，點(diǎn)尸關(guān)于直線工+了-1=0的對(duì)稱點(diǎn)也

在圓。上，則圓C的半徑為.

18.如圖，在正四面體尸-NBC中，分別為尸42c的中點(diǎn)，。是線段MV上一點(diǎn)，且

試卷第2頁，共4頁

ND=2DM,^PD=xPA+yPB+zPC,貝”+>+z的值為

19.已知圓x，+y2=4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值

范圍是__________

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線了=x+加(優(yōu)＞0)與x軸，y軸分別交于N兩點(diǎn),

點(diǎn)尸在圓(x-mf+V=1上運(yùn)動(dòng)，若NMPN恒為銳角，則正實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

三、解答題

21.已知空間三點(diǎn)4(0,2,3)津(—2,1,6),C(l,—1,5).

⑴求以AB,/C為鄰邊的平行四邊形的面積；

⑵若向量￡分別與48,/C垂直，且|°|=6，求￡的坐標(biāo).

22.已知圓。過點(diǎn)/(8,-1),且與直線L：2x-3y+6=0相切于點(diǎn)3(3,4).

(1)求圓C的方程；

⑵過點(diǎn)尸(-3,0)的直線/z與圓C交于M,N兩點(diǎn)，若ACMN為直角三角形，求/z的方程.

23.如圖，在四棱柱/BCD-44GA中，側(cè)棱4/，底面NBC。，AB1AC,AB=1,

AC=AA,=2,AD=CD=y/5,且點(diǎn)W和N分別為8。和DQ的中點(diǎn).

c

(1)求證：MN//平面4BCD；

試卷第3頁，共4頁

(2)求二面角A-ZC-耳的正弦值；

(3)設(shè)￡為棱4耳上的點(diǎn)，若直線油和平面所成角的正弦值為:，求線段4E的長(zhǎng).

24.圓C:/+(y_3)2=l,點(diǎn)尸&0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓C的兩條切線，切點(diǎn)分

別為M,N.

(1)若，=1,求切線方程；

(2)直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由；

(3)若兩條切線尸”，PN與直線＞=1分別交于/,3兩點(diǎn)，求V/BC面積的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ACDACBADAB

題號(hào)1112

答案CC

1.A

【分析】利用空間位置關(guān)系的向量證明，列式求解即得.

【詳解】由直線/的方向向量2=(1,2,-1),平面。的一個(gè)法向量片=(-2,-4,左)，11a,

得a///，則—=—=,解得k=2,

所以實(shí)數(shù)上=2.

故選：A

2.C

【分析】利用向量法求點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.

【詳解】由題得力=(1,2,-4),

\n-PA1-2-4-4110

所以尸(-2,1,4)到平面。的距離為^^」“+4+]=彳，

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)“，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.

【詳解】因?yàn)?3,2,1),點(diǎn)3(1,0,5),所以48的中點(diǎn)為以為(2點(diǎn),3),又C(0,2,l),

所以|CM|=J(2_0)2+(l_2y+(3_ir=3.

故選：D

4.A

【分析】由/=Z§+75+Z?,^^AC'2=AB2+AD2+AA'2+2AB-AD+2AB-AA,+24D-AAr>

再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

【詳解】解：ABAD=9>AA'2=9，AB-AD=4x3xcos90°=0,

ZB-Z7=4X3XCOS600=6,15-Z?=3x3xcos60°=|.

AC'=AB+AD+AA',

答案第1頁，共12頁

?.2.2?2*2*.?.-?

??AC=AB+AD+AA'+24B-AD+2AB-AAr+TADAA1

9

=16+9+9+2x0+2x6+2x-=55,

2

"而|二A,

即4C的長(zhǎng)為序.

故選：A.

5.C

【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得5C的中點(diǎn)坐標(biāo)，再求出5C邊上中線的斜率，由直線方程的

點(diǎn)斜式得答案.

【詳解】由8(3,-3),C(0,2),得8C的中點(diǎn)坐標(biāo)為-；),

又4-5,0),

-+5j

2

,5C邊上中線所在直線方程是y-0=-七(x+5),即x+13y+5=0.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

6.B

【分析】根據(jù)兩直線垂直可求出。的值，將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線4的方程，可得出c的值,

再將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線4的方程，可得出。的值，由此可得出a+6+c的值.

【詳解】已知直線4的斜率為-直線4的斜率為：.

又兩直線垂直，貝「qx2=_l,解得。=10.

45

二.4:10x+4y-2=0,即5%+2>-1=0,

將交點(diǎn)(l,c)代入直線4的方程中，得。=-2.

將交點(diǎn)(1,-2)代入直線/2：2x-5y+/>=0的方程中，得6=-12.

所以，a+b+c=10-12-2=-4.

故選：B.

答案第2頁，共12頁

7.A

【詳解】圓2x—5=0的圓心為M（1,O）,圓/+/+2、——=0的圓心為N（—1,2）,

兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線其方程為=即x+.y-l=0；故

X-L-1-1

選A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時(shí),

往往結(jié)合平面幾何知識(shí)（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓

心的直線方程）可減小運(yùn)算量.

8.D

【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑，判斷直線與圓的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】解：因?yàn)閳A/+產(chǎn)一4無一4/-10=0,即（》一2『+（>-2）2=18,

所以圓心坐標(biāo)為（2,2）,半徑廠=3行，

_|2+2-14|I-/-

因?yàn)閳A心到直線x+y-14=0的距離5V2>3立，

Vi2+i2

所以直線》+〉一14=0與圓（工一2『+（y—2）2=18相離，

所以圓/+/一4》-4了-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差為

（d+廠）-（（/-,■）=2r—642,

故選：D.

9.A

【詳解】直線的斜率為tanl35o=-l，由點(diǎn)斜式求得直線的方程為y=-x+b,將截?fù)?jù)y=0,x=2代

入方程，解得b=2,所以，可得y=-x+2,故答案為A

10.B

【分析】先求圓心到直線的距離，此時(shí)切線長(zhǎng)最小，由勾股定理不難求解切線長(zhǎng)的最小值.

【詳解】切線長(zhǎng)的最小值是當(dāng)直線y=x+i上的點(diǎn)與圓心距離最小時(shí)取得，

圓心（3,0）到直線的距離為d=%+h=2亞，

圓的半徑為1,

故切線長(zhǎng)的最小值為:T7=摳二？=V7,

故選：B.

答案第3頁，共12頁

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離，是基礎(chǔ)題.

II.C

【分析】根據(jù)對(duì)稱性得到圓心的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線

3x+4y-ll=0,利用弦長(zhǎng)公式求得半徑，進(jìn)而得到圓的方程.

【詳解】點(diǎn)尸(-2,1)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱的點(diǎn)C(O,-1),

|0-4-11|

圓心到直線3x+4y-ll=0的距離為4==3,

62+下

所以r=J32+3?=3^2，

所以圓的方程為V+0+1>=18,

故：C.

12.C

【分析】①當(dāng)時(shí)，分別可得直線的截距，由三角形的面積公式易得結(jié)論①正確；②當(dāng)

時(shí)，反證法可得結(jié)論②錯(cuò)誤；③由三角形的面積公式可得SACOD=；sin/NOCW；,

可得結(jié)論③正確.

【詳解】解:①當(dāng)時(shí)，把x=0代入直線方程可得把>=0代入直線方程可得了=1，

a

'.S^AOB=}-xa^—=}-,故結(jié)論①正確；

2a2

②當(dāng)時(shí)，|4兇=Jo?+4'故|45|2=/_|—_,

、.\-a\

直線I可化為a2x+y-a=Q,圓心。到I的距離d=—r==

Vu+1

Q_11

-V7+I-[2±?故|C02=4（1-屋）=4（T21）,

V/0/

1----1---

假設(shè)|48|<|CD|,則必砰V|CZ>|2,即/+<4（121）,

aq+=

a

整理可得（6Z2H--7）2-4（6Z2H--z-）+4<0,即--2）2V0,

aaa

顯然矛盾，故結(jié)論②錯(cuò)誤；

S^COD=1\OA\\OC\sinZAOC=|sinZAOC<1,

故女21,使得品COD<；,結(jié)論③正確.

答案第4頁，共12頁

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及基本不等式和三角形的面積公式，屬中檔題.

13.無一4y+5=0

【分析】先由垂直關(guān)系求出所求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線方程

【詳解】解：因?yàn)樗笾本€與直線4x+y-2=0垂直，

所以所求直線的斜率為:，

因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)/（3,2）,

所以所求直線方程為＞-2=（（彳-3）,即x-4y+5=0,

故答案為：X-47+5=0

14.2

【分析】由題意可得限但一篇）=0,由向量的數(shù)量積公式求解即可.

【詳解】因?yàn)榉?，（?花），所以方?（3-篇）=0,即/一花石=0，

所以14-72=0,解得2=2.

故答案為：2

【解析】設(shè)向量5在向量4上的投影向量是42，由題意可得H=求得實(shí)數(shù)4的值,

即可得解.

【詳解】設(shè)向量5在向量乙上的投影向量是彳7,

由題意可得H=即-5=252,解得4=一^,

因此，向量5在向量3上的投影向量是-gZ=：|,0,-g］

故答案為：［［。―

【分析】可得收+丫2-2丫+1=J（x-0）2+（廣1）2,原式的最小值即為點(diǎn)N（0,l）到直線的距

離，可得答案.

【詳解】解：-??7x2+y2-2y+l=7（x-0）2+（j^-l）2，

答案第5頁，共12頁

，上式可看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)N(O,1)的距離，

即為點(diǎn)N到直線6x+8y-l=0上任意一點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)N(O,1)的距離，

S=\MN\的最小值應(yīng)為點(diǎn)N到直線1的距離，

,,|8-1|7

即：\MN\.=d='——L=—.

1lm,n病TFio

故答案：小7

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的相關(guān)知識(shí)及點(diǎn)到直線的距離公式，相對(duì)簡(jiǎn)單.

17.2

【分析】寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由點(diǎn)P關(guān)于直線》+了-1=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓。上，則圓心在

直線x+y-1=0上，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，再根據(jù)點(diǎn)尸(2,1)在圓

C:x123+y2+ax-?.y+b=0上列方程組求解即可.

【詳解】解：由C:x2+/+ax-2y+6=0得++(y-l)2=^-6+1,

則圓C的圓心為(-于1],

由點(diǎn)P關(guān)于直線x+V-1=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓。上，則圓心在直線x+y-1=0上,

BP--+1-1=00,

2

又4+1+2。-2+6=0②

由①②得。=0,6=-3,

所以圓C的半徑為，寧-6二=\[4=2.

故答案為：2.

【分析】利用基向量表示麗，結(jié)合空間向量基本定理可得.

【詳解】PD=PM+MD=-PA+-MN=-PA+-(PN-7M)=-PA+-PB+-PC

2323366

112

所以x=-,y=z=-,所以x+〉+z=—.

363

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的基本定理，把目標(biāo)向量向基底向量靠攏是求解的主要思路.

19.-13<c<13

答案第6頁，共12頁

\c\

【分析】轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為小于一1,解不等式溟

即得解.

【詳解】因?yàn)閳A/+，=4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,

所以原點(diǎn)至U直線12x-5y+c=0的距離為1<r一1=2—1=1,

由點(diǎn)到直線的距離公式可得

解得一13<c<13,

故答案為：-13<c<13.

V10+V2]

20.---------------------,4-00

4

7

【分析】設(shè)以"N為直徑的圓的圓心為力,求出圓心坐標(biāo)與半徑得到圓的方程，由題意可轉(zhuǎn)

化為兩圓外離，據(jù)此列出不等式即可求解.

【詳解】設(shè)以"N為直徑的圓的圓心為力,

由題意可知M（-加,0）,N（0,加）,

叵

所以的中點(diǎn)半徑為R=----m，

2

又圓（X—加）2+J?=1得圓心為（加,0）,半徑尸=1,

由恒為銳角可知兩圓外離，如圖,

6即回>1+與,

所以H---------m，

222

融zVTo+y/2

解何B加〉--------

4

V10+V2

故答案為:--------------,+00

4

答案第7頁，共12頁

21.⑴76

⑵a—(1,1,1)或a=(-1,-1,-1)

【分析】(1)利用空間向量的夾角余弦公式求出NBNC=60。，從而得到以/瓦/C為鄰邊的

平行四邊形的面積；

(2)設(shè)出Z=(x),z),根據(jù)空間向量垂直關(guān)系和模長(zhǎng)，列出方程組，求出￡的坐標(biāo).

【詳解】(1)=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

AB|=,4+1+9=V14,|l4C|=Jl+9+4=V14，

ABAC(-2,-1,3)-(I-3,2)1

cosABAC=

714x714-2

\AB\-\AC\

Z5/lCe[0o,180o],

ABAC=60°.

故以N5,NC為鄰邊的平行四邊形的面積S=2xLgx&ixsin6()o=7G.

2

(2)設(shè)Q=(%/,z).

aJLAB,aJLAC,且|a|=6,

—2x—y+3z=0x=1,\x=—1,

<x-3y+2z=0,解得〈y=i,或"{y=T

x2+y2+z2=3z=1.z=-1.

故:=(1,1,1)或(-1,T,T).

22.(l)(x-5)2+(y-l)2=13

(2)x+5y+3=0或1lx-23y+33=0

【分析】(1)根據(jù)題意中設(shè)圓心C(a,6),分別求出過圓心與切點(diǎn)的直線斜率，且圓過8點(diǎn),

利用|G4|=|C@,從而求解.

(2)根據(jù)題意設(shè)出過點(diǎn)尸的直線，然后利用圓心到直線乙的距離建立等式，從而求解.

答案第8頁，共12頁

【詳解】(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,6),又直線4與圓C相切，所以：CB",

設(shè)場(chǎng)；，勺分別代表直線CB,4的斜率，所以有：kCB-klt=-1,

由題意得：k,=|,所以有：UN—,

3a-32

b-4_3

結(jié)合|C4|二|CS|,并聯(lián)立得:(〃—32

(a-8)2+(/?+l)2=(a-3)2+(6-4)2

a=5

解之得:

6二1

所以：圓的半徑尸=J(叱3)2+"4)2=岳,

所以：圓c的方程為：(x-5)，(y-l『=13.

(2)因?yàn)锳CW為直角三角形且|CM|=|CN|,所以CMLGV,

7V2衣

圓心C到直線4的距離:a=--r=----,

22

易知直線4的斜率存在，記為左，又直線4過點(diǎn)尸(-3,0),

設(shè)直線方程乙的方程為:y=k(x+i),

即:日一>+3左=0,

因?yàn)閳A心。(5,1)到直線。的距離為：=，

整理得：115人2—32左—11=0,解之得：左二—J或左=三，

523

所以直線方程4的方程為：％+5>+3=0或llx-23y+33=0.

23.(1)證明見解析；(2)嚕；(3)V7-2

【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得

4(0,0,0),5(0,1,0),C(2,0,0),。(1,-2,0),

答案第9頁，共12頁

zk

又因?yàn)镸N分別為耳。和*的中點(diǎn)，得川

(I)證明：依題意，可得萬=(0,0」)為平面N8C。的一個(gè)法向量，MV=k-1,0

由此可得，加.元=0，又因?yàn)橹本€AGVU平面48CD,所以MN//平面48CD

-----——n,?AD,=0

=(LT2)：aC=(2?0)，設(shè)4=(x,%2)為平面/cn的法向量，貝iJU一］

e4c—0

%—2v+22=0UL

即￡=0,不妨設(shè)z=l，可得4=(。，1』)，

一名?ABy=0---->

設(shè)〃2=(x,%z)為平面4cBi的一個(gè)法向量，則｛一_.，又力用=(0,1,2),得

n2AC=0

y+2z=0一

，不妨設(shè)z=l,可得〃2=(0,-2,1)

2x=n0

因此有cos〈晨元〉==-雪，于是s%〈晨凌=誓，

所以二面角A-NC-片的正弦值為題.

10

(III)依題意，可設(shè)m=4泡，其中北[0內(nèi)，則頤0,42),從而屜=(-1,2+2,1),又

元=(0,0,1)為平面/BCD的一個(gè)法向量，由已知得

NE-n________1__1

cos〈NE,弁〉=整理得分+44-3=0,

陽.同7(-1)2+(2+2)2+12~3

又因?yàn)?e[0,l],解得彳=療一2,

所以線段4E的長(zhǎng)為療-2.

考點(diǎn)：直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)

用.

答案第10頁，共12頁

24.(l)x=l和4x+3y—4=0；

Q

⑵直線MN過定點(diǎn)(0,；),理由見解析;

⑶e

2

【分析】(1)設(shè)過點(diǎn)尸。,0)且與圓C相切的直線方程x-叼-1=0,由直線與圓相切的相關(guān)

知識(shí)求解即可；

(2