傳熱學(xué)-10-導(dǎo)熱微分方程

冶金傳輸原理冶金工程專業(yè)本科生必修課北京科技大學(xué)冶金與生態(tài)工程學(xué)院

冶金傳輸原理第二部分傳熱學(xué)第十章：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱傳熱吳鏗

2011.03.05第十章導(dǎo)熱微分方程2.1導(dǎo)熱微分方程

2.2導(dǎo)溫系數(shù)(熱擴散系數(shù))

2.3柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程2.4定解條件一、導(dǎo)熱微分方程式確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場，理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+熱力學(xué)第一定律，假設(shè)：

(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；

(2)熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知；

(3)物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強度qv[W/m3]；內(nèi)熱源均勻分布；

qv

表示單位體積的導(dǎo)熱體在單位時間內(nèi)放出的熱量:10.1導(dǎo)熱微分方程

在導(dǎo)熱體中取一微元體,dt時間內(nèi)微元體中：

[導(dǎo)入的總凈熱量Qd]

+[內(nèi)熱源的發(fā)熱量Qr]

=[內(nèi)能增加ΔU]熱力學(xué)第一定律，微元體的內(nèi)能變化加上對外界所做的功，等于微元體與外界的熱量交換，即：Q=△U+W。討論導(dǎo)熱問題，不考慮與外界的功交換，Q=△U。dt時間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：10.1導(dǎo)熱微分方程

導(dǎo)入導(dǎo)出x方向?qū)氲膬魺崃浚和恚何⒃w內(nèi)熱源生成熱：微元體內(nèi)能的增量：10.1導(dǎo)熱微分方程

式中：a=λ/ρcp━導(dǎo)溫系數(shù)，?2

－拉普拉斯算符固體導(dǎo)熱無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)溫度場另外：由此可得：需要指出：對于固體和不可壓縮流體cv≈cp，組成：物性參數(shù)

λ、cp和

ρ單位：m2/s如把傅里葉定律中的導(dǎo)熱系數(shù)用導(dǎo)溫系數(shù)代替，則傅里葉定律可改寫為：10.2導(dǎo)溫系數(shù)是單位體積物體在y方向的熱量梯度反映了流體的動量傳輸能力與熱量傳輸能力的關(guān)系從導(dǎo)溫系數(shù)的定義可知，導(dǎo)溫系數(shù)反映了物體的導(dǎo)熱能力(λ)與蓄熱能力(ρcp）之間的關(guān)系。在同樣的加熱或冷卻條件下，a越大物體內(nèi)溫度越均勻。普朗特數(shù)10.3柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程(a)柱坐標(biāo)系(b)球坐標(biāo)系熱量傳輸微分方程是描述物體內(nèi)溫度隨時間和空間變化的一般關(guān)系式，它沒有涉及特定熱量傳輸過程的具體特點。為求得某一特定的熱量傳遞過程的特解，還必須給出“定解條件”。從數(shù)學(xué)理論上講，微分方程反映了同一類現(xiàn)象的共性，而“定解條件”則反映了具有共性的各具體現(xiàn)象的個性。①幾何條件：任何具體現(xiàn)象都發(fā)生在一定的幾何空間內(nèi)。因此物體的幾何形狀和大小必須事先給定。②物理條件：任何具體現(xiàn)象，都必須有介質(zhì)參與。因此，介質(zhì)的物理性質(zhì)(如密度、熱容、導(dǎo)溫系數(shù)等)也是定解所需的條件。由于密度ρ與重力加速度g有關(guān)，因此g是伴隨ρ出現(xiàn)的物理量，故g也屬于定解條件。2.4定解條件③邊界條件：任何具體現(xiàn)象都發(fā)生在某一體系內(nèi)，而該體系必然受到其直接相鄰的邊界情況的影響。因此，發(fā)生在邊界的情況也是定解條件。④初始條件：除非進入穩(wěn)態(tài)，任何過程的發(fā)展都會受到初始狀態(tài)的影響。例如，流速、溫度等在初始時的分布規(guī)律直接影響以后的過程。因此，初始條件也屬于定解條件。最簡單的溫度初始條件是，開始時刻物體內(nèi)各點溫度相同，即：邊界條件(Boundaryconditions)一般可分為三類：第一類、第二類、第三類邊界條件。2.3導(dǎo)熱微分方程

常見的溫度邊界條件可分為三類：第一類邊界條件已知任一時刻導(dǎo)熱體邊界上溫度值：第二類邊界條件已知物體邊界上熱流密度的分布及變化規(guī)律：即第三類邊界條件當(dāng)物體壁面與流體相接觸進行對流換熱時，已知任一時刻邊界面周圍流體的溫度Tf和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)

α：2.3導(dǎo)熱微分方程

例題1：一厚度為s的無限大平板，其導(dǎo)熱系數(shù)λ為常數(shù)，平板內(nèi)具有均勻的內(nèi)熱源qv(W/m3)。平板x=0的一側(cè)是絕熱的，x=s的一側(cè)與溫度為Tf的流體直接接觸，已知平板與流體間的對流給熱系數(shù)為α。試寫出這一穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的微分方程和邊界條件。解：對于λ=const，具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題。無限大平板的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，簡化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程，即2.3導(dǎo)熱微分方程

x=0-側(cè)為絕熱邊界，x=s-側(cè)為對流邊界

例題2：一厚度為s，寬和長遠大于s的平板，導(dǎo)熱系數(shù)為常量，開始時整個平板溫度均勻為T0，突然有電流通過平板，板內(nèi)均勻產(chǎn)生熱量qv(W/m3)。假定平板x=0的一側(cè)仍保持T0；x=s的一側(cè)與溫度為Tf的流體相接觸，流體與平板間的給熱系數(shù)為α，試寫出描述該問題的導(dǎo)熱微分方程和單值性條件。解：為不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和一維的問題。當(dāng)λ、qv均為常數(shù)時，一維不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程簡化和邊界層如下：2.3導(dǎo)熱微分方程

t=0，x=0，T(0，x)=T02.4小結(jié)本章以傅里葉導(dǎo)熱定理和熱力學(xué)第一定律為基礎(chǔ)，給出了的固體導(dǎo)熱微分方程。通過導(dǎo)熱微分方程及結(jié)合具體的定解條件，可以求得不同條件下物體內(nèi)部的溫度場。傅里葉定律是從實際導(dǎo)熱現(xiàn)象中概括出的基本規(guī)律，要深刻理解它的意義和應(yīng)用。導(dǎo)熱系數(shù)反映了物體的導(dǎo)熱能力，其數(shù)值根據(jù)傅里葉定律，以實驗方法測得。在實際應(yīng)用中應(yīng)注意溫度、濕度和密度等因素對導(dǎo)熱系數(shù)的影響。另外，還定義了導(dǎo)溫系數(shù)。導(dǎo)出的Pr是聯(lián)系動量傳輸和熱量傳輸?shù)囊粋€重要指標(biāo)。為了求解傳熱的微分方程，需要給出定解條件。要熟悉定解條件的內(nèi)容，特別是要熟練掌握導(dǎo)熱的三種不同邊界條件的表達式和物理意義。

傅里葉(JeanBaptisteJosephFourier，1768~1830)生于法國中部歐塞爾一個裁縫家庭，8歲時淪為孤兒，就讀子地方軍校，1795年任巴黎綜合工科大學(xué)助教，1798年隨拿破侖軍隊遠征埃及，受到拿破侖器重，回國后被任命為格倫諾布爾省省長，由于對熱傳導(dǎo)理論的貢獻于1817年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士，1822年成為科學(xué)院終身秘書。

傅里葉旱在1807年就寫成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本論文，但經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱后被科學(xué)院拒絕，1811年又提交了經(jīng)修改的論文，該文獲科學(xué)院大獎，卻未正式發(fā)表。

1822年，傅里葉終于出版了專著《熱的解析理論》(Theorieana1ytiquedelaCha1eur，Didot，Paris，1822)。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級數(shù)后來就以傅里葉的名字命名。

傅里葉應(yīng)用三角級數(shù)求解熱傳導(dǎo)方程