高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)（解析版）

專題03三角函數(shù)專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022春?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）屏風(fēng)文化在我國源遠(yuǎn)流長，可追溯

到漢代.某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計(jì)了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為2.4m,內(nèi)環(huán)弧長為0.6m,

徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為0.9m,若不計(jì)外框，則扇環(huán)內(nèi)需要進(jìn)行工藝制作的面積的估計(jì)值為（）

A.1.20m2B.1.25m2C.1.35m2D.1.40m2

【答案】C

【解析】設(shè)扇環(huán)的圓心角為a,內(nèi)環(huán)半徑為/，外環(huán)半徑為弓，根據(jù)題設(shè)可得弓-4=0.9和￡（/+幻=3,

從而可求扇環(huán)的面積.

【詳解】設(shè)扇環(huán)的圓心角為a,內(nèi)環(huán)半徑為勺外環(huán)半徑為4,則4f=?！?

由題意可知，=0.6,ar2=2.4,所以a（q+弓）=3,

所以扇環(huán)內(nèi)需要進(jìn)行工藝制作的面積的估計(jì)值為

2

S==^a（rx+-=gx3x0.9=1.35m.

故選：C.

2.（2021秋?湖南婁底?高三?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率

三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點(diǎn)

出發(fā)，甲的速度為7步/秒，乙的速度為3步/秒，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東某方

向走了一段后與乙相遇.甲、乙各走了多少步？（）

A.20,8B.24,10

C.10.5,24.5D.24.5,10.5

【答案】D

【分析】根據(jù)題目信息畫出示意圖，假設(shè)甲、乙相遇時經(jīng)過時間為f秒，每步走。米，分別得到AC=3S,

AB=10a,8c=(7-10皿，再在直角三角形中利用勾股定理求解相遇時經(jīng)過的時間，從而得到甲乙相遇時，

甲、乙各走的步數(shù).

【詳解】由題意，得到示意圖如圖所示，甲、乙從A點(diǎn)出發(fā)，甲走到B處后，又斜向北偏東某方向走了一段

后與乙相遇，即在C點(diǎn)相遇，假設(shè)甲、乙相遇時經(jīng)過時間為f秒，每步走4米，則AC=3ta,AB^lOa,

BC=(lt-lO)a

在Rt^ABC中，AC2+AB2=BC1,

即(3⑷2+(ioa>=[(7-10)02,

解得：”彳，

4921

故甲走了〃===24.5步，乙走了3公二=10.5步.

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系.

(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型.

(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.

(4)將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等.

3.(2021?河南許昌?校聯(lián)考一模)某校高一年級研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測速儀實(shí)地測量復(fù)興號高鐵

在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收

反射光.當(dāng)物體橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發(fā)生頻移力=竺吆，其中v為測速儀測得被測

物體的橫向速度，4為激光波長，為"兩束探測光線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵1m處，

9

發(fā)出的激光波長4=1600nm（lnm=l（Tm）,測得某時刻頻移fp=9.0xl0（l/h）,則該時刻高鐵的速度約等

于（）

A.360km/hB.340km/hC.320km/hD.300km/h

【答案】A

【分析】由已知函數(shù)關(guān)系知v=結(jié)合已知及示意圖求出sin。，代入求值即可.

2sin°

2f0.020.02

【詳解】由題設(shè)知：-冷，而sm仁;=則行l(wèi)ExlLm,

1.6x10^x9.0xl09

v=----------------------

2*°。2即360km/h.

71.0004

故選：A.

4.（2021?全國?高三專題練習(xí)）音樂，是人類精神通過無意識計(jì)算而獲得的愉悅享受，1807年法國數(shù)學(xué)家傅

里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如了=Asin?的簡單正弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函數(shù)的頻

率都是其中一個最小頻率的整數(shù)倍，比如用小提琴演奏的某音叉的聲音圖象是由下圖1,2,3三個函數(shù)圖象組

成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為（）

音叉

A./(/)=0.06sin1000R+0.02sin1500"+0.01sin3000R

B./(，)=0.06sin500R+0.02sin2000加+0.01sin300加

C./(^)=0.06sin1000^+0.02sin2000^+0.01sin3000/rt

D./(/)=0.06sin1OOOR+0.02sin2500?/+0.01sin3000^

【答案】C

【分析】由圖1求出A、T、。的值，寫出對應(yīng)函數(shù)的解析式，再結(jié)合選項(xiàng)得出函數(shù)/⑺的解析式.

211

【詳解】解：由圖1知，-，7.一麗=前，

所以0=干=1000萬，所以y=0.06sin1000加；

結(jié)合題意知，?/(0=0.06sin1000^-?+0.02sin2000^-f+0.01sin3000^/.

故選：c.

5.(2022春.陜西漢中?高一統(tǒng)考期中)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，即2022年北京冬季奧運(yùn)會，是由中國

舉辦的國際性奧林匹克賽事.2月5日，在北京冬奧會短道跑道速滑混合接力的比賽中，中國隊(duì)以2分37

秒348的成績獲得金牌，這也是中國代表團(tuán)在本屆冬奧會上贏得的首枚金牌.短道速滑，全稱短跑道速度

滑冰，是在長度較短的跑道上進(jìn)行的冰上競速運(yùn)動.如圖，短道速滑比賽場地的內(nèi)圈半圓的彎道計(jì)算半徑

為8.5m，直道長為28.85m.若跑道內(nèi)圈的周長等于半徑為27.78m的扇形的周長，則該扇形的圓心角為(參

考數(shù)據(jù)：取17%=53.42)()

nr5-八一2"

A.—B.—C.2D.—

233

【答案】C

【分析】先計(jì)算出跑道內(nèi)圈的周長，利用扇形的弧長公式即可求得扇形的圓心角.

【詳解】由題意得跑道內(nèi)圈的周長為2%x8.5+28.85x2=111.12m,所以該扇形的圓心角為

111.12-2x27.78c

27.78

故選：c

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了已知三角形三邊求三角形面積的方法，他

把這種方法稱為“三斜求積”：以斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜塞乘大斜幕減上，余四

約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積.在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里就有已知三邊求三角形面積

的問題，該問題翻譯成現(xiàn)代漢語就是：一塊三角形田地，三邊分別為13,14,15,則該三角形田地的面積

是（）

A.84B.168C.79D.63

【答案】A

【分析】根據(jù)“三斜求積”可得三角形面積公式為S=J一］，代入數(shù)值計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意設(shè)AASC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c^a>b>c,則三角形面積公式為

2

°1122iiA1o11,*2sz（+14~—13

5=-a2c2-\---------,又a=l5,6=14,c=l3,所以5=匕Sx”：［-----------I=84

故選：A

7.（2022.全國?高一假期作業(yè)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級，抗日戰(zhàn)爭

中被日軍飛機(jī)炸毀，現(xiàn)僅存三級，它的底座是近似圓形的，如圖I.我國古代工匠已經(jīng)知道，將長方體成塊

以某個固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用I。塊一樣的長方體磚塊砌成的近似

圓形的墻面，每塊長方體磚塊底面較長的邊長為I個單位，如圖2,則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓

的半徑是（）

圖I圖2

tan18°2tan18°

【答案】B

【分析】設(shè)。為內(nèi)切圓的圓心，「為內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，可得NAOB=36。，再根據(jù)銳角

三角函數(shù)計(jì)算可得；

【詳解】解：如圖，

設(shè)。為內(nèi)切圓的圓心，「為內(nèi)切圓的半徑.正十邊形的每個外角為360。+10=36。，內(nèi)角為180。-36。=144。,

所以NO8A=-xl44°=72°,所以NAOB=36°,AB=1,

2

故選：B.

8.（2022.全國?模擬預(yù)測）《幾何原本》卷II的幾何代數(shù)法成了后世數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù)，通過

這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，這種證明方式優(yōu)雅而直

觀.觀察圖形可知，陰影直角三角形的短直角邊為cos（￡+，）或cosacos/7-sinasin尸，所以該圖直觀地反映

了公式cos（a+p）=cos&cosp-sincsin。通過觀察圖中陰影直角三角形長直角邊和長方形的寬，可得公式

cosacosp

A.cos(a-=cosacos+sinorsin(3

B.sin(a-y0)=sin?cos/?-cosasin/7

C.cos((z+/)=cosacos'-sinasin'

D.sin(6/+")=sinacos/+cosasin/

【答案】D

【分析】觀察可知圖中陰影直角三角形長直角邊為sin（a+0,長方形的寬為sinccos尸+cosasin￡,由二

者相等可得結(jié)果.

【詳解】圖中陰影直角三角形長直角邊為sin（a+力），長方形的寬為sinacos^+cosasinA，

顯然二者相等，所以有sin（a+，）=sinacos/?+cosasin/7.

故選：D.

9.（2022?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測）智能主動降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲,

然后通過主動降噪芯片生成的聲波來抵消噪聲（如圖）.已知噪聲的聲波曲線是V=2cos3x,通過主動降噪

芯片生成的聲波曲線是〉=45皿8+0）（其中4>0,0>0,。<。<2萬），則。=（）

用來降噪的聲波

A-IB."C-TD-I

【答案】c

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由于抵消噪聲，所以振幅沒有改變，周期沒有改變，即A=2,。=3,

即y=2sin（3x+。），要想抵消噪聲，需要主動降噪芯片生成的聲波曲線是y=-2cos3x,

BP^?=—+2kn（keZ）,

3兀

因?yàn)?40<2兀，所以令％=0,即0=三，

故選：C

10.（2022.高一課時練習(xí)）2021年1月7日，一個戴著紅帽子，扎著紅圍脖，身材圓滾的大雪人在哈爾濱

市友誼西路音樂公園內(nèi)落成.這個用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人“，寓意著可愛祥和、喜慶豐收，

每天約有3000人前來和大雪人合影打卡，已成為松花江畔冬天的新地標(biāo)，這滿滿的冬日儀式感就是冰城獨(dú)

特的浪漫.小明同學(xué)為了估算大雪人的高度，在大雪人的正東方向找到一座建筑物A8,高為曳!，

2

在它們之間的地面上的點(diǎn)M（8,M,。三點(diǎn)共線）處測得樓頂A,雪人頭頂C的仰角分別是15。和45。，在

樓頂A處測得雪人頭頂C的仰角為15。，則小明估算大雪人的高度為（）

A.13V2mB.13mC.180mD.13gm

【答案】A

【分析】先根據(jù)題設(shè)畫出示意圖，利用三角變換公式可求雪人的高度.

【詳解】根據(jù)題意可得如圖所示的示意圖：

13(76-72)

故/AMC=120。，所以/ACM=30。，故AB-----丁

CM=MA=-------=--------乜-----

sin15°sin15°

又sin15。=sin（45。-30。）=孝孝-；=痣

13(A/6-A/2)

故CM=—廠2=26，tkCD=—CM=13y/2,

卡-02

4

故選：A.

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）擲鐵餅是一項(xiàng)體育競技活動.如圖，這是一位擲鐵餅運(yùn)動員在準(zhǔn)備擲出鐵

餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”.經(jīng)測量，此時兩手掌心之間的弧長是A,“弓”

所在圓的半徑為L05米，則這位擲鐵餅運(yùn)動員兩手掌心之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：應(yīng)-1.414,73^1.732）

()

A.1.819米B.1.485米

C.1.649米D.1.945米

【答案】A

【分析】由扇形弧長公式可求得圓心角ZAOC,根據(jù)4?=2AC可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意作圖如下，

萬

/_7__

由題意知：AO3的長為方，。為AD3的中點(diǎn)，.NAOC=20=%，

°一-1.05-3

/.AB=2AC=2xl.05sin-=2.1x^?1.819,即所求距離約為1.819米.

32

故選：A.

12.（2022春?北京豐臺?高一統(tǒng)考期末）古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus,約前417-前369）通過圖

來構(gòu)造無理數(shù)百，….記NB4C=a,ADAC=P,則cos(a+0=()

A,逅_正B,且一如C,@+諉D,"+"

32363632

【答案】B

【分析】利用銳角三角函數(shù)求出cosa,sina,cos",sin￡,再利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得；

【詳解】解：由圖可知cosa=^^,sina=^~,cos/3=,sin/?=,

所以cos(a+/?)=cosacos/?-sinasin/?

也瓜也6c瓜

-........X--------------------X--------=--------------------

232336

故選：B

13.(2022.四川廣安.統(tǒng)考模擬預(yù)測)我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服號影算法”在《大衍歷》中建立了號影

長/與太陽天頂距e(o°<e<180。)的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可

知，密影長度/等于表高。與太陽天頂距夕正切值的乘積，即/=〃tand.對同一“表高”兩次測量，第一次和第

7

二次太陽天頂距分別為a、P，若第一次的“辱影長”是“表高”的3倍，且tan(c-0=3,則第二次的“號影

長”是“表高”的()倍

A.1B.-C.—D.—

322

【答案】B

【分析】由已知可得出tana=3,由已知條件結(jié)合兩角差的正切公式可求得tan^的值，即可得解.

【詳解】設(shè)第4=1,2)次的“辱影長”是“表高”為4,

I7

由題意可知tana=j^=3,又因?yàn)閠an(a-/7)=g,

-7

則tanZ?=tan「a_(a_0btana_tan?_m—二型;工

L\中」i+tanatan(a—夕)1+3xl303

9

l2

故廣?=tann/=q.

n,3

故選：B.

14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中

國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.小李為測

量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖，測得ZZMC=3O。，ZDBC=60°,AS=14米，則岳陽

樓的高度CO為（）

【答案】B

【分析】由題意可得△ABD為等腰三角形，故有BD=AB=14米，在RtABCD中，利用CD=&）.cos?

求解即可.

【詳解】解：因?yàn)閆ZMC=30。，ZZ）BC=60°,

所以/ADB=30。，

所以△ABD為等腰三角形，

所以5￡>=AB=14米，

在RtABCD中，ZBZ）C=90°-60°=30°,

所以C￡>=8Z）.cos?80c14豫os30=7石米

故選：B.

15.（2022春.遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末）圣?索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓

柱、棱柱于一體，極具對稱之美.為了估算圣?索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物

AB,高約為36m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B,M,。三點(diǎn)共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角

分別是45。和60。，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15。，則可估算圣?索菲亞教堂的高度CD約為（）

A.54mB.47mC.50mD.44m

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求得［4⑷=360,在AAMC中由正弦定理求出即可在直角VCDM中求出|CD|.

【詳解】由題可得在直角AABM中，ZAMB=45。，k36,所以|AM|=360,

在AAMC中，ZAMC=180°-60°-45°=75°,/M4c=15°+45°=60°,

所以ZACM=180°-75°-60°=45°,

所以由正弦定理可得心2L=叵L，所以|CM|=3f2=36班，

sin45°sin6001V2

V

則在直角VCDM中，|CD|=|CM|-sin60o=54,即圣?索菲亞教堂的高度約為54m.

故選：A.

16.（2022?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服號影算法”在《大衍歷》中建立了影長/

與太陽天頂距。（0°?夕＜180。）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可

知，辱影長/等于表高//與太陽天頂距。正切值的乘積，即/itan，.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二

次太陽天頂距分別為a,P，若第一次的“辱影長”是“表高”的3倍，且tan（a-2）=；,則第二次的“辱影長”

是“表高”的（）

257

A.1倍B.-C.7倍D.5倍

【答案】A

【分析】先由題意可得tan（z=3,再由正切的和差公式求得tan/,進(jìn)而可得第二次“辱影長”與“表高”的倍

數(shù)關(guān)系.

【詳解】由第一次的“辱影長”是“表高”的3倍得，tana=3,

又tan（a-夕）=5,

/、3-1

,、rtana-tan（tz-萬）Jo

所以tan￡=tanr[e_（tz_￡）]=---------------------<=----十=1,

LJ

l+tanatan（a-^）1+3xJ_

2

故第二次的“辱影長”是“表高”的1倍.

故選：A.

17.（2022?廣西南寧.統(tǒng)考模擬預(yù)測）“割圓術(shù)”是我國古代計(jì)算圓周率兀的一種方法.在公元263年左右，由

魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明.其原理就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進(jìn)而求兀.根據(jù)“割

圓術(shù)”，若用正二十四邊形來估算圓周率兀，則兀的近似值是（）（精確到001）（參考數(shù)據(jù)sinl5°=0.2588）

A.3.05B.3.10C.3.11D.3.14

【答案】C

【分析】根據(jù)24個等腰三角形的面積之和約等于圓的面積即可求解.

【詳解】設(shè)圓的半徑為廠，以圓心為頂點(diǎn)將正二十四邊形分割成全等的24個等腰三角形，

且頂角為3三60-°=15。，

24

所以正二十四邊形的面積為24x』xrxrxsinl5°=12/sin15°,

2

所以有12/sinl5°=兀/,解得7i=12sinl5°a3.11,

故選：C.

18.（2022秋.全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中提出

了已知三角形的三邊求面積的方法：“以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜幕

減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”以上文字用公式表示就是S=

其中a,6,c分別是△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，S是△ABC的面積，在AABC中，若。=3,b=5,c=6,

則△ABC的內(nèi)切圓的面積為（）

A.型B,生叵rC.迎D.里

2777

【答案】C

【分析】由內(nèi)心性質(zhì)得（/為△ABC周長），即可求出內(nèi)切圓半徑為廠，即可求內(nèi)切圓的面積.

【詳解】因?yàn)閍=3,b=5,c=6,

所以S,BC=2V14.

△ABC的周長/=3+5+6=14,

設(shè)AABC的內(nèi)切圓半徑為r,

由工旗c=；>，解得/=干?

所以AABC的內(nèi)切圓的面積為兀產(chǎn)=與.

故選：C.

19.（2021秋?遼寧營口?高三統(tǒng)考期末）勒洛三角形是定寬曲線所能構(gòu)成的面積最小的圖形，它是德國機(jī)械

學(xué)家勒洛首先進(jìn)行研究的，其畫法是：先畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，

在另兩個頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形A3C的邊長

為2,則勒洛三角形面積為（）

A.7.71-2-$/3B.2>T+A/3C.+A/3D.4乃

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，勒洛三角形面積為以2為半徑的半圓的面積減去兩個邊長為2的正三角形的面積，再代

入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)題意，以正三角形三個頂點(diǎn)為圓心，以邊長2為半徑形成的三個圓弧的構(gòu)成了以2為半徑的

半圓，此時勒洛三角形面積為半圓的面積再減去兩個正三角形的面積即可.

所以勒洛三角形面積為S=S半圓-ZSBcugxaZZ-ZxgxZxZxsinGO。=2萬-2g.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，將問題

轉(zhuǎn)化為求以2為半徑的半圓的面積減去兩個邊長為2的正三角形的面積.

20.（2022?全國?高三專題練習(xí)）勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，

漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1）,證

明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至。）得到圖2.在圖2中,

若AO=5,BD=3?,D,E兩點(diǎn)間的距離為則弦圖中小正方形的邊長為（）

A-TB.子c.1D.拒

【答案】C

【分析】在△瓦歷中利用余弦定理可求出COSND3E,則可得cos/CBD,再由銳角三角函數(shù)的定義可求出

CB,由勾股定理求出8,從而可求得答案

【詳解】連接DE,由條件可得BE=A￡>=5,在△3DE中，由余弦定理得

/egBD1+BE1-DE2（3>/10）+25-（7145）1

cosZDBE=---------------=------------------=——=

2BDBE2x5x3710710

/.cosZCBD=cos（1一/DBE）=-cosZ.DBE~~^=,

：.BC=BD.cosZCBD=3回X4=3,CD=y/BD2-BC2=9>

A/10

04=4,

所以弦圖中小正方形的邊長為C4-C3=l.

故選：C

21.（2022?福建漳州.統(tǒng)考三模）英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利?卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人,

卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻

上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設(shè)計(jì)了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)來測量萬有引力，由此計(jì)算

出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲

上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠(yuǎn)的地方，標(biāo)記下此時激光所在的點(diǎn)，然后用兩個質(zhì)

量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2）,由于萬有引力作用，根秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反

射的點(diǎn)卻移動了較大的距離，他用此計(jì)算出了萬有引力公式中的常數(shù)G,從而計(jì)算出了地球的質(zhì)量.在該

實(shí)驗(yàn)中，光源位于刻度尺上點(diǎn)P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點(diǎn)〃處）反射后，反射光線照射在刻度尺

的點(diǎn)。處，鏡面繞M點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)。角后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)。'處，若是正三角

形.PQ=a,QQ'=b（如圖3）,則下列等式中成立的是（）

【答案】C

【分析】過點(diǎn)M作則=/“。'。=60。-2即所以tan（60。-2a）=^^,

即可求解tan2cr.

【詳解】過點(diǎn)“作因?yàn)槭钦切?PQ=a,QQf=b

則=L+MD力a,ZMQ'D=60°-2a

22

所以tanZMQrD-tan（60°一2a）==―-—=°。

DQ—+bQ+2

2

EItan60°-tan2a百一tan2。y/3a左力/口J3b

貝J；-----------=---T=------=-----，角牛得tan2a二-----

l+tan60°-tan26z1+V3-tanltra+2b2a+b

故選：C

22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）趙爽是我國古代著名的數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》

一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形組成），如圖（1）類比“趙

爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的

一個大等邊角形，設(shè)。尸=3AF,若向三角形ABC內(nèi)隨機(jī)投一粒芝麻（忽略該芝麻的大小），則芝麻落在陰

影部分的概率為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式，求出ADEF和△△人?的面積，計(jì)算所求的概率值.

【詳解】由題意，NDFE=g,-.ZAFC=K-^=^-,

27r

DF^3AF,:.CF=4AF,由余弦定理可得AC?=A尸+C＞一2AFCFcos],

AC2=21AF2,

.S.DEFg。尸'in,9A尸_3

21獷7'

23

???芝麻落在陰影部分的概率為尸=：3.

故選：D.

23.（2022?河南鄭州.統(tǒng)考三模）位于登封市告成鎮(zhèn)的觀星臺相當(dāng)于一個測量日影的圭表.圭表是我國古代

一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向

水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面

上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.如圖是一個根據(jù)鄭州市的地理位置

設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知鄭州市冬至正午太陽高度角（即NABC）約為32.5。，夏至正午太陽高度角（即

-4DC）約為79.5。，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即。3的長）為14米，則表高（即AC的長）約

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米

【答案】C

ACAC

【分析】根據(jù)題意2C=,CD=BC-CD^14,進(jìn)而代入數(shù)據(jù)求解即可.

tanZABCtan/ADC

【詳解】解：如圖，ZABC=32.51,ZADC=79.5°,DB=14,

ACAC

設(shè)表IWJAC=/Z,則由題知，tanZ.ABC=,tanADC=

BCCD

所以5C=484

tanZABC'tanNADC

327

因?yàn)閠an32.5OBy,tan79.5°?—,DB—14,

55?71QQ

所以巳/i一二/7=14,解得〃=,xl4=上=9.45,

3274020

所以，表高（即AC的長）約為9.45米.

故選：C

24.（2022秋?河南鄭州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖,

發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sinl8。表示.若實(shí)數(shù)〃滿足4sin21++"=4,則.°

4/sin2181

的值為（）

A.4B.-C.2D.；

4

【答案】D

1-sin18°1-sin18°

【分析】先由平方關(guān)系得R=4COS2：18。，再由倍角公式化簡得4“2$皿218。=2（1-COS72。）'最后由誘導(dǎo)公式

求解即可.

【詳解】由題意知，n2=4-4sin2180=4cos2180,則

1-sin18。_1-sin18。_l-sinl80_1-sin18°_1-sin18。

4n2sin218°16cos218csin218°4.（2cosl8°sinl8°）24sin236°2（l-cos72°）'

又cos72°=cos（90'-18°）=sinl8°,則上吧”-=L

、'4/sin?18。2

故選：D.

25.（2022?高一課時練習(xí)）數(shù)學(xué)家傅里葉關(guān)于三角函數(shù)的研究告訴我們：人類的聲音，小提琴的奏鳴，動物

的叫聲等都可以歸結(jié)為一些簡單聲音的組合，而簡單聲音是可以用三角函數(shù)模型描述的.已知描述百靈鳥

的叫聲時用到如圖所示的圖象，對應(yīng)的函數(shù)解析式是/■（x）=Asin（0x+（p）（A>O,0>O,O<（p<7t）,貝I］（）

B.a）=6,（p=一

3

/5萬

C.0=3,9=?D.a>=6,（p=—

【答案】C

【分析】由圖象求得函數(shù)"X）的最小正周期，可求得。的值，然后代入點(diǎn)I亍,0|可求得。的值.

【詳解】由圖象可知，函數(shù)/（無）的最小正周期為T=2x

則。=干27r=3,所以/（元）=Asin（3尤+。）.

7%=Asin［與+夕）=0,且函數(shù)/（尤）在77r

因?yàn)榱??XF附近單調(diào)遞增,

77r1TC

所以---\-m=2kn（左eZ）,則m=2k兀----（左eZ）,

44

TT

因?yàn)樗?/p>

故選：c.

26.（2022秋?山西太原?高二山西大附中校考開學(xué)考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又

環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖1）,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的

工作原理（圖2）.現(xiàn)有一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度

為2米，設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水

2

筒P剛浮出水面為初始時刻，經(jīng)過t秒后,下列命題正確的是（）（參考數(shù)據(jù):cos48°?—）

3

圖1圖2

①1=2—3sin,其中sin6=§,且Oe］。,,

②d=2+3sin］京/-“，其中sin6=g,且

③當(dāng)t~38時，盛水筒P再次進(jìn)入水中，

④當(dāng)^22時，盛水筒P到達(dá)最高點(diǎn).

A.①③B.②③C.②④D.①④

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示,其中。為筒車的軸心的位置，AC為水面，過。作ODLAC于

點(diǎn)。，尸為筒車經(jīng)過r秒后的位置，連接OP,過P作依_LOD于點(diǎn)B,首先根據(jù)已知條件求出。，進(jìn)而得

出08=。尸d=2-OB,即可判斷①②，將t=38代入求得的解析式可判斷③，將f=22代入

求得的解析式可判斷④.

【詳解】根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示，其中。為筒車的軸心的位置，AC為水面，過。作ODLAC于

點(diǎn)D,尸為筒車經(jīng)過/秒后的位置，連接OP,過尸作PB，OD于點(diǎn)B,筒車的角速度為。=牛=總=三rad/s,

由題意可知sinNOAC=sin6=0^=2,6?e|0,-

OA3I2J

所以sinNOPB=sin（6-二]="

（30JO尸

所以O(shè)B=OPsin（6-4），

因?yàn)閐=2-OB,

所以d=2-3sin[”^]=2+sin[^-q,其中sin6=g,且所以①錯誤，②正確，

對于③，當(dāng)f=38時，—=180?48?,sin48。。好，sin。二好，所以

3033

t/=2+sin（48°-0）=2-3（sin48°cos0-cos48°sin0）=1,故盛水筒尸沒有進(jìn)入水中，所以③錯誤，

對于④，當(dāng)f=22時，籌=90?42?,sin42°=cos48°=|,即。=42?,所以

d=2+cos（42。-6）=2+3cos（）o=5,所以盛水筒尸到達(dá)最高點(diǎn)，所以④正確,

故選：C

27.（2022秋?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡便并且更加追求計(jì)算的精確性,

曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義1-cosO為角。的正矢，記作versin。；定義1-sin。為角。的余矢，記作

covers。.給出下列結(jié)論:

①函數(shù)/(%)=versinx-covers%在(，?上單調(diào)遞增;

Z-X.+4,coversx-1-…2

②右---------=2,則versin2x-covers2x-1=—；

versinx-15

③若g(x)=versincovers%,則g(x)的最小值為0；

④若//(%)=versin2%-coversx,則人(光)的最小值為-

8

其中所有正確結(jié)論的序號為（）

A.①②B.③④C.①③④D.②③④

【答案】D

【分析】利用定義性函數(shù)和三角函數(shù)關(guān)系式的變換判斷各選項(xiàng)即可得到結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?71

(x)=versinx-coversx=sin%-cosx=6sinx~~

rr3T7-37T

所以/?（》）在pY上單調(diào)遞增，在牛37r兀上單調(diào)遞減，故①錯誤;

4

covers%-1-sin%

因?yàn)?tanx=2,

versinx-1-cosx

所以versin2x—covers2x-1=-1—cos2x+sin2x=-2cos2x+2sinxcosx

-2cos2x+2sinxcosx-2+2tan尤2上八公十必

=一，故②正確;

si.n2x+cos2xtan2x+15

g(x)=versinx-coversx=(1-cosx)(l一sin%)=1—(sinx+cosx)+sinxcosx,

令sinx+cosx=.￡[一夜,0],則sinxcosx=?-l

2

,11

所以〃?)=!一+2=?”1)2,所以g(x)1111n=7力⑴=0,故③正確;

因?yàn)镸%）=versinlx—covers^=-cos2%+sinx=2sin2x+sinx-1=2|sinx+—|,

(4)8

o

所以〃（x）1nhi=-1,故④正確.

8

故選：D.

28.（2022秋?廣東肇慶.高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學(xué)典籍，書中記載：我國早在商代

時期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，亦稱商高定理三國時期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖“（以

弦為邊長得到的正方形A3CD是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成），用數(shù)形結(jié)合法

給出了勾股定理的詳細(xì)證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若AF=6,

BF=4V10,G,尸兩點(diǎn)間的距離為2而'，貝『'勾股圓方圖”中小正方形的面積為（）

G

A.9B.4C.3D.8

【答案】B

【分析】先在△班G中，利用余弦定理求解cos/防/二,再在/XBEF中結(jié)合勾股定理求解,繼

而分析即得解.

【詳解】由條件可得BG=AF=6.

BG2+BF2-GF236+160-2441

在AePG中，由余弦定理得cos/GBF=

2BGBF2x6x4屈-M

/.cosNEBF=—=

Vio

22

...BE=BFcos/EBF=4回又一^=4,EF=^BF-BE=12，

710

EA=6,

“勾股圓方圖”中小正方形的邊長為EA-BE=2,

面積為4.

故選：B

29.（2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模）中國古代數(shù)學(xué)家用圓內(nèi)接正6〃邊形的周長來近似計(jì)算圓周長，以估計(jì)圓周

率兀的值.若據(jù)此證明兀＞3.14,則正整數(shù)〃至少等于（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】先求出圓內(nèi)接正6〃邊形的周長，與直徑之比與3.14進(jìn)行比較即可.

27rTL

如圖，圓內(nèi)接6〃邊形，//、。4