蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：勾股定理（原卷版+解析）

專(zhuān)題n易錯(cuò)易混集訓(xùn)：勾股定理

聚焦考點(diǎn)

易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解

易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解

易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解

易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式

易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解

例題：（2022?湖北,恩施市崔壩鎮(zhèn)民族中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4,則它第三

邊的長(zhǎng)為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東?深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）在RZ0ABC中，AB2=10,AC2=6.貝UBC?=（）

A.8B.16或64C.4D4或16

2.（2021?甘肅?景泰縣第四中學(xué)八年級(jí)期中）已知直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為6,7,x,貝.

3.（2022?遼寧撫順?八年級(jí)期末）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為8和15,那么這個(gè)三角形的第三邊

長(zhǎng)為.

4.（2022?安徽哈肥市西苑中學(xué)八年級(jí)期中）已知尤、y為直角三角形的兩邊且滿(mǎn)足^/^^+（尤-y+l）2=0,

則該直角三角形的第三邊為.

5.（2020?四川成都?八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M,N把線段分割成AM,MN和NB,若以AM,MN,

為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)N是線段的"勾股分割點(diǎn)已知點(diǎn)N是線段A8的

“勾股分割點(diǎn)"，若AM=3,MN=4,則8N的長(zhǎng)為.

易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解

例題：（2021?北京市魯迅中學(xué)八年級(jí)期中）在EA8C中，AB=15,AC=20,8c邊上的高AO=12,則

BC=.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?黑龍江牡丹江?八年級(jí)期末）在EA8C中，若AC=15,BC=13,AB邊上的高CO=12,則MBC的周

長(zhǎng)為.

2.（2022?北京TOI中學(xué)八年級(jí)期中）在R/0ABC中，EL4CB=90°,AC=4,AB=5.點(diǎn)P在直線AC上，且

BP=6,則線段AP的長(zhǎng)為.

易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解

例題：（2022?浙江紹興?二模）在AABC中,AC=4,BC=2,AB=2斯，以AB為邊在"BC外作等腰直角AABD,

連接CD,則CD=.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?遼寧?沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在R/fflABC中，90°,AB=5cm,AC=

3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以lcm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒，當(dāng)0ABp為等腰三角形時(shí)，

t的取值為.

2.（2022?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直角三角形紙片ABC中，fflACB=90。，回8=30。，AC=3,點(diǎn)

。是邊上的點(diǎn)，將團(tuán)C8O沿C￡＞折疊得至峋CPO,CP與直線A2交于點(diǎn)E,當(dāng)出現(xiàn)以。尸為邊的直角三角

形時(shí)，8。的長(zhǎng)可能是.

3.（2022?湖北武漢?八年級(jí)階段練習(xí)）R/a42c中，直角邊AC=8,斜邊42=17,在直線AC上取一點(diǎn)。,

使0A2O為等腰三角形，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為.

易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式

例題：（2021?新疆伊犁,八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為3。相，高是12c機(jī)的長(zhǎng)方體紙

箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是cm.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?山東?煙臺(tái)市福山區(qū)教學(xué)研究中心七年級(jí)期中）如圖，A,8是一棱長(zhǎng)為3c機(jī)的正方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)C

在棱上，且8C=1C7W.若一只螞蟻每秒爬行2cm,在頂點(diǎn)A處的螞蟻沿著正方體的前側(cè)面和右側(cè)面爬行到

C點(diǎn)，至少爬行秒？

2.（2022?廣東梅州?八年級(jí)期末）如圖所示，ABCD是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)AB=20〃z,寬A￡>=10根.中間豎有一

堵磚墻高M(jìn)N=2〃z.一只螞蚱從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走的路程.

3.（2022,廣東茂名?九年級(jí)期末）如圖，圓柱形玻璃容器高12c〃z,底面周長(zhǎng)為24c〃z,在容器外側(cè)距下底1c%

的點(diǎn)A處有一只螞蟻，在螞蟻正對(duì)面距容器上底2cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最

短距離為cm.

4.（2022?全國(guó)?八年級(jí)）如圖是一塊長(zhǎng)、寬、高分別為40"、2c和1c:九的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方

體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體木塊的表面爬到長(zhǎng)方體木塊上和頂點(diǎn)A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么

它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是

5.（2022?山東?濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室一模）云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會(huì)7個(gè)雪上競(jìng)賽場(chǎng)館中唯

一利用現(xiàn)有雪場(chǎng)改造而成的.下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場(chǎng)U型池的實(shí)景圖和示意圖，該場(chǎng)地

可以看作是從一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去了半個(gè)圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為1上2m,其邊緣

n

AB=CD=24m,點(diǎn)E在CO上，CE=4m.一名滑雪愛(ài)好者從點(diǎn)A滑到點(diǎn)E,他滑行的最短路線長(zhǎng)為

m.

專(zhuān)題n易錯(cuò)易混集訓(xùn)：勾股定理

聚焦考點(diǎn)

易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解

易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解

易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解

易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式

易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解

例題：（2022?湖北?恩施市崔壩鎮(zhèn)民族中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3

和4,則它第三邊的長(zhǎng)為.

【答案】近或5

【分析】分邊長(zhǎng)為4的邊是斜邊和直角邊兩種情況，再分別利用勾股定理即可得.

【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：

（1）當(dāng)邊長(zhǎng)為5的邊是斜邊時(shí)，

則第三邊長(zhǎng)為J42-3?；

（2）當(dāng)邊長(zhǎng)為5的邊是直角邊時(shí)，

則第三邊長(zhǎng)為正彳=5；

綜上，第三邊長(zhǎng)為6或5,

故答案為："或5.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022,廣東?深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）在R/HABC中，AB2=10,AC2=6.則=

（）

A.88.16或64C.4D4或16

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理分情況討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)NC=90。時(shí)，

BC2=AB2-AC2=4-.

當(dāng)乙4=90。時(shí)，

BC2=AB2+AC2=16；

故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理解三角形，理解題意進(jìn)行分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵.

2.（2021?甘肅?景泰縣第四中學(xué)八年級(jí)期中）己知直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為6,7,無(wú)，則/

【答案】85或13##13或85

【分析】分6和7都為兩直角邊和6為直角邊，7為斜邊，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)6和7都為直角邊時(shí)，由勾股定理得/=6?+72=85；

222

當(dāng)6為直角邊，7為斜邊時(shí)，%=7-6=13,

綜上,為2=85或13,

故答案為：85或13.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理，利用分類(lèi)討論思想求解是解答的關(guān)鍵.

3.（2022?遼寧撫順?八年級(jí)期末）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為8和15,那么這個(gè)

三角形的第三邊長(zhǎng)為.

【答案】17或必

【分析】分兩種情況：當(dāng)8和15都是直角邊時(shí)；當(dāng)15是斜邊長(zhǎng)時(shí)；分別利用勾股定理計(jì)算

出第三邊長(zhǎng)即可.

【詳解】解：當(dāng)8和15都是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：,8?+15?=17,

當(dāng)15是斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：7152-82=V161.

故答案為：17或?qū)?/p>

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是0，b,斜邊長(zhǎng)為c,那

么a2+b2=c2.

4.（2022?安徽?合肥市西苑中學(xué)八年級(jí)期中）已知x、y為直角三角形的兩邊且滿(mǎn)足

VT三+（x-y+l『=0,則該直角三角形的第三邊為.

【答案】5或4##"或5

【解析】

【分析】

由非負(fù)性的性質(zhì)可求得x與y的值，再分兩種情況，利用勾股定理即可求得第三邊的長(zhǎng).

【詳解】

回Jx-320,（x—y+1）>0,且5/無(wú)一3+（尤一y+l『=0，

團(tuán)％—3=0,X—y+1=0,

解得：x=3,y=4.

當(dāng)行3,方4為直角三角形的兩直角邊時(shí)，由勾股定理得第三邊為：疹百=5；

當(dāng)x=3為一直角邊，y=4為斜邊時(shí)，由勾股定理得第三邊為：742-32=^7-

故答案為：5或幣.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零則它們均為零的性質(zhì)，注意求得

的兩邊無(wú)法確定都是直角邊還是一條直角邊和一條斜邊，故要分類(lèi)討論.

5.（2020?四川成都?八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M,N把線段A3分割成AM,MN和NB,若

以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱(chēng)點(diǎn)是線段A8的"勾股分割點(diǎn)己

知點(diǎn)M,N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)"，若AM=3,MN=4,則BN的長(zhǎng)為.

【答案】5或?qū)?#近或5

【解析】

【分析】

分兩種情況討論：當(dāng)AM=3,M0=4為直角邊時(shí)，當(dāng)MN=4為斜邊時(shí)，則AM=3為直角邊，

再利用勾股定理可得答案.

【詳解】

解：當(dāng)AM=3,=4為直角邊時(shí)，

\BN=1m+A1=5,

當(dāng)MN=4為斜邊時(shí)，則AM=3為直角邊，

\BN=1U-?=布,

故答案為：5或近

【點(diǎn)睛】

本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應(yīng)用，理解新定義，再分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解

例題：（2021?北京市魯迅中學(xué)八年級(jí)期中）在0A8C中，A8=15,AC=20,邊上的高40=12,

則BC=.

【答案】7或25

【解析】

【分析】

已知三角形兩邊的長(zhǎng)和第三邊的高，未明確這個(gè)三角形為鈍角還是銳角三角形，所以需分情

況討論，即SABC是鈍角還是銳角，然后利用勾股定理求解.

【詳解】

解：分兩種情況：

①如圖1,0A2C中，AB=15,AC=20,BC邊上高AO=12,

在RZEIAB。中48=15,AD=12,

由勾股定理得：BO=7152-122=9

在40AOC中AC=20,4。=12,

由勾股定理得：OC=也。?=16

0BC的長(zhǎng)為BD+DC=9+16=25.

②如圖2,同理得：BD=9,DC=16,

國(guó)BC=CD-BD=7.

綜上所述，BC的長(zhǎng)為25或7.

故答案為：25或7.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在直角三角形中用勾股定理求得線段的長(zhǎng).當(dāng)

已知條件中沒(méi)有明確角的大小時(shí)，要注意討論.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?黑龍江牡丹江?八年級(jí)期末）在a48c中，若AC=15,BC=13,AB邊上的高C￡>=12,

則0ABe的周長(zhǎng)為.

【答案】32或42##42或32

【解析】

【分析】

作出圖形，利用勾股定理列式求出AD、BD,再分CO在AABC內(nèi)部和外部?jī)煞N情況求出A3,

然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義解答即可.

【詳解】

解：vAC=15,3c=13,A3邊上的高CD=12,

AD=4AC2-CD2=9>

BD=^BC2-CD1=5>

如圖1,CD在AABC內(nèi)部時(shí)，AB=AD+BD=9+5=14,

此時(shí)，AABC的周長(zhǎng)=14+13+15=42,

如圖2,CD在AABC外部時(shí)，AB=AD-BD=9-5=4,

此時(shí)，AABC的周長(zhǎng)=4+13+15=32,

綜上所述，A4BC的周長(zhǎng)為32或42.

故答案為：32或42.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分情況討論求出A3的長(zhǎng)，作出圖形更形象直觀.

2.（2022?北京中學(xué)八年級(jí)期中）在R他A8C中，0ACB=9O。，AC=4,AB=5.點(diǎn)尸在

直線AC上，且BP=6,則線段AP的長(zhǎng)為.

【答案】3有-4或3g+4

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出圖形，分類(lèi)討論，根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】

解：如圖,

SACB=90°,AC=4,AB=5

BC=y/AB2-AC2=A/52-42=3

在RtZkBPC中，PC7PB2-BC，=,62-32=36

PA=PC-AC=3^-4^PA=PC+AC=3-j3+4

故答案為：3出-4或3g+4

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，根據(jù)題意作出圖形，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解

例題：（2022?浙江紹興?二模）在AABC中，AC=4,BC=2,AB=2下,以4B為邊在AABC

外作等腰直角△45。，連接C。，則C￡）=.

【答案】2版或2而■或3亞

【解析】

【分析】

分三種情況畫(huà)出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案.

【詳解】

解:如圖1,0AB￡）=90。，

A

D

CBE

圖1

0AC=4,BC=2,AB=2yj5,

她G+BG=A",

豳AC3為直角三角形，0ACB=9O°,

延長(zhǎng)圓，過(guò)點(diǎn)。作。丸CB于點(diǎn)E,

團(tuán)。丸C3,

^\BED=^ACB=90°,

團(tuán)團(tuán)CA3+團(tuán)CBA=90°,

麗ABD為等腰直角三角形，

^\AB=BDf她30=90°,

^\CBA^DBE=90°f

團(tuán)團(tuán)CAB二團(tuán)項(xiàng)。，

在"05與反即中，

/ACB=/BED

</CAB=/EBD,

AB=BD

^\ACB^\BED(AA5),

0BE=AC=4,DE=CB=2,

^\CE=6,

根據(jù)勾股定理得：CD=\/CE2+DE2=2M；

如圖2,回54。=90。，過(guò)點(diǎn)。作OE0CA,垂足為點(diǎn)E.

圖2

團(tuán)3CWCA,

^\AED=^ACB=90°.

^\EAD^EDA=90°,

團(tuán)的30為等腰直角三角形,

^AB=AD,^BAD=90°,

WCAB+^\DAE=90°,

^\BAC=^\ADEf

在△ACB與△OE4中，

ZACB=ZDEA

<ZCAB=ZEDA,

AB=DA

甌AC3釀OEA(A4S),

回。氏A04,AE=BC=2,

0CE=6,

根據(jù)勾股定理得：CD=JCE，+DE、2岳；

如圖3,0AOB=9O。，過(guò)點(diǎn)。作。碩CB,垂足為點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作A/W5E,垂足為點(diǎn)f

圖3

E0ACB=9O",

團(tuán)團(tuán)CA3+團(tuán)G5A=90°,

團(tuán)團(tuán)D45+團(tuán)084=90°,

團(tuán)團(tuán)破。+團(tuán)D4F=90°,

團(tuán)團(tuán)EBQ+團(tuán)8?！?90°,0DAF+0ADF=9OO,

釀。3氏她。死

在△AH)和△。班中，

NDBE=NADF

<NBED=/AFD,

DB=AD

m\FD^\DEB(A45),

^\AF=DE,DF-BE,

02+DF+BE=4,

^\DF=BE=lf

0CE=Z)E=3,

CD=y/CE2+DE2=35/2?

綜合以上可得CD的長(zhǎng)為2J元或2屈'或3亞.

故答案為2J元或2屈■或3行-

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三

角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021,遼寧?沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在R他ABC中，0ACB=9O°,

AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)沿射線BC以lc%/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

r秒，當(dāng)0ABp為等腰三角形時(shí)，r的取值為.

【解析】

【分析】

當(dāng)0ABp為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)尸時(shí)；②當(dāng)尸時(shí)；③當(dāng)2P=AP

時(shí)，分別求出3尸的長(zhǎng)度，繼而可求得f值.

【詳解】

在R/a48c中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,

0BC=4(cm)；

①當(dāng)尸時(shí)，如圖1,f=5；

②當(dāng)A8=AP時(shí)，如圖2,BP=2BC=8cm,f=8；

③當(dāng)2尸=AP時(shí)，如圖3,AP=BP=tcm,CP=(4-f)cm,AC=3cm,

在R/E1ACP中，AP2=A(?+CP2,

所以產(chǎn)=32+(4-f)2,

解得：胃科25，

o

25

綜上所述：當(dāng)0ABP為等腰三角形時(shí)，f=5或/=8或￡=

O

故答案為：5或/=8或,=或25.

O

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及

分情況討論，注意不要漏解.

2.(2022?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試)如圖，在直角三角形紙片ABC中，0ACB=9O0,SB=

30。,47=3,點(diǎn)。是邊AB上的點(diǎn)，將團(tuán)C2D沿CO折疊得至幅CPD,CP與直線AB交于點(diǎn)E,

當(dāng)出現(xiàn)以。尸為邊的直角三角形時(shí)，2。的長(zhǎng)可能是.

【分析】分CP^AB，CDLAB,DP,AB三種情況，分別作出圖形，解直角三角形即可.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得：

ZP=ZB=30°,DP=BD,ZPCD=/BCD,

在RtAABC中，

ZA=90°-30°=60°,AB=2AC=6,BC=6AC=3。

①如圖，當(dāng)CPLAB時(shí)，

APDE為直角三角形,

Z.PDE=90°-30°=60°,ZACE=90°-ZA=30°,

.\ZDCP=ZDCB=30°f

:.ZACD=ZA=60°,

AACD為等邊三角形，

AD=AC=3,

:.BD=AB-AD=3；

②如圖，當(dāng)COLAS時(shí),

P（E）

ACPD為直角三角形，

9

:.BD=BCcos/B=BC-cos30°=-；

2

③當(dāng)DP_LAB時(shí)，

APD6為直角三角形，

..ZAEC=ZPED=90°-ZP=60°f

.??AACE為等邊三角形，

.-.AE=AC=3f

在RtAPDE中,

vZP=30°,

:.DP=6DE,

.?.BD=DP=6DE,

：AB=AE+DE+BD,

6=3+DE+由DE,

.,DE=^,

2

:.BD=6DE=9-36,

2

綜上，3D=3或2或吃空，

22

故答案為：3或/或支芋.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論，將圖形作出.

3.（2022,湖北武漢?八年級(jí)階段練習(xí)）中，直角邊AC=8,斜邊AB=17,在直線AC

上取一點(diǎn)。，使0ABO為等腰三角形，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為.

4?5

【答案】50或34+3后或34+5后或7-

O

【分析】分三種情況討論：①如圖1,當(dāng)AB=BD=17時(shí)；②如圖2,當(dāng)A2=AO=17時(shí)；

③如圖3,當(dāng)A2為底時(shí)，AD=BD.

【詳解】解：在咫0ABe中，BC^yjAB2-AC2=15>

①如圖，

當(dāng)42=80=17時(shí)，CZ)=CA=8時(shí),

40=16,

EHABD的周長(zhǎng)為17x2+16=50；

②如圖,

當(dāng)AB=A￡)=17時(shí)，

得CD=AD-AC=9或CD=AO+AC=25,

在Rf3\BCD中，BD=VBC2+CD2=>/152+92=34或

BE>=VBCI+C￡>2=V152+252=5取，

EEAB。的周長(zhǎng)為17+17+3西=34+3扃或17+17+5取=34+5庖.

③如圖,

當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)4D=BO=x,則C￡）=x-8,

在R/fflBC。中，BD^^CD^BC2,

即r=（工一8）2+152,解得：x=T289，

16

41/上289289—425

甌A5D的周長(zhǎng)為——+——+17=——.

16168

425

綜上，胡2。的周長(zhǎng)為50或34+3扃或34+5后或丁.

O

425

故答案為：50或34+3或34+5J同或-.

8

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的存在性問(wèn)題，分類(lèi)討論思想是本題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式

例題：（2021?新疆伊犁?八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為3,高是12cm

的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是cm.

【答案】V193

【分析】先將圖形展開(kāi)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理解答即可.

【詳解】解：如圖

AB=>/162+32=7265

如圖

B

AB=A/122+72^^/i93

-.?^/T93<A^41<7265

它所行的最短路線的長(zhǎng)為：阿

故答案為：A/193.

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)圖一最短路徑問(wèn)題，是重要考點(diǎn)，掌握分類(lèi)討論法是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?山東?煙臺(tái)市福山區(qū)教學(xué)研究中心七年級(jí)期中）如圖，A,8是一棱長(zhǎng)為3c%的正

方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在棱上，且8C=lc機(jī).若一只螞蟻每秒爬行2c7",在頂點(diǎn)A處的螞蟻沿

著正方體的前側(cè)面和右側(cè)面爬行到C點(diǎn)，至少爬行秒？

【答案】2.5

【分析】把此正方體的點(diǎn)A所在的面展開(kāi)，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和C點(diǎn)間

的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短距離，根據(jù)螞蟻爬行的距離，即可求出爬行時(shí)間.

【詳解】解：將正方體的前側(cè)面和右側(cè)面展開(kāi)，如圖所示：

根據(jù)題意可得：DC=Z）B+BC=3+l=4（cm）,

回螞蟻爬行的最短距離為：AC=-JAD2+DC2=A/32+42=5（cm）,

回螞蟻每秒爬行2cm,

回螞蟻爬行的最短時(shí)間為：5+2=2.5（秒）.

故答案為：2.5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的拓展應(yīng)用，"化曲面為平面"是解決"怎樣爬行最近"這類(lèi)

問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.（2022,廣東梅州?八年級(jí)期末）如圖所示，48cD是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)人2=20"，寬AD=

10%中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N=2他.一只螞蚱從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻,

則它至少要走的路程.

【答案】26m

【分析】連接AC,利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再把中間的墻平面展開(kāi)，使原來(lái)的矩形長(zhǎng)

度增加而寬度不變，求出新矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖所示，將圖展開(kāi)，圖形長(zhǎng)度增加2MN,

連接AC,

13四邊形ABC。是長(zhǎng)方形，AB=2.4m,寬AD=10"z,

MC=ylAB2+BC2=7242+102=26（M，

團(tuán)螞蚱從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它至少要走26m的路程.

故答案為：26m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題及勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解答此題的

關(guān)鍵.

3.（2022?廣東茂名?九年級(jí)期末）如圖，圓柱形玻璃容器高12c〃z,底面周長(zhǎng)為24c",在容

器外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)A處有一只螞蟻，在螞蟻正對(duì)面距容器上底2cm的點(diǎn)B處有一滴蜂

蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最短距離為cm.

【答案】15

【分析】根據(jù)題意得到圓柱體的展開(kāi)圖，確