江西省2024-2025學年九年級上學期階段評估（一）數(shù)學試卷（含答案）

江西省2025屆九年級階段評估（一）

數(shù)學

說明：共有六個大題，23個小題，滿分120分，作答時間120分鐘.

一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四

個備選項中只有一項是最符合題目要求的，請將其代碼填入題后括號內(nèi).錯選、

多選或未選均不得分.

1.把一元二次方程無（》+1）=3--2化為一般形式，正確的是（）

A.x2-2x-2=0B.-2x2+x-2=0

C.2X2-X-2=0D.2X2-3=0

2.若函數(shù)了=（。-1?2的圖象是一條拋物線，且開口向上，貝巾的取值范圍是（）

A.a>0B.a<1C.a>\D.a>\

3.已知x=l是關于x的一元二次方程卡+辦+26=0的解，貝!］。+26=（）

A.1B.2C.-1D.-2

4.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-/-3x+2的圖象的頂點所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.開學第一節(jié)班會課，九（1）班全體學生每兩人之間互贈“祝福卡”，祝福學業(yè)進步，身心

健康.已知共贈“祝?？ā?980張，問九（1）班共有多少名學生？設九（1）班共有x名學生,

那么可列方程（）

A.%2=1980B.1x（x-l）=1980

C.x（x-l）=1980D.x（x+l）=1980

6.如圖，在水平向右為X軸正方向，豎直向上為y軸正方向的平面直角坐標系中標記了5

個格點，已知網(wǎng)格的單位長度為1,若二次函數(shù)>="2+加+。的圖象經(jīng)過其中3個格點，

則最多可畫出二次函數(shù)圖象的個數(shù)為（）

試卷第1頁，共6頁

A.3B.4C.5D.6

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

7.拋物線卜=（工-2）2-1的對稱軸是直線.

8.若方程①+1）/+1-辦=2是關于龍的一元二次方程，則”的取值范圍為.

9.在平面直角坐標系中，將拋物線了=3/+6x-3向左平移2個單位長度，再向上平移1個

單位長度所得到的拋物線的解析式為.

10.已知一元二次方程辦2+2x-l=0的兩根分別為X],%，若再々=2,貝!|。的值

為.

11.如圖，一個小球在并不光滑但均勻的水平地面上滾動，下表是小球，s內(nèi)滾動的路程s

12.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=*+2x+3與x軸的負半軸交于點A,點B

在y軸正半軸上，OA=OB,P為直線4B上一點，過點尸作直線尸M//V軸，直線尸M交拋

9一

物線歹=-丁+2%+3于點〃，當尸M的長為二時，點P的坐標為

4

試卷第2頁，共6頁

三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.(1)解方程：x2-4x=0.

(2)已知函數(shù)y=3/-x+2,求當x=-2時，函數(shù)的值.

14.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=-/+4與x軸交于A,B兩點，點A在點5的

左側，與》軸交于點C.連接/c,BC,求△A8C的面積.

15.下面是某老師講解一元二次方程的解法時，在黑板上的板書過程.

解方程：2X2-5X-3=0

253

X—X=——

22

(1)請將該老師的解題過程補充完整.

(2)該老師說，解一元二次方程的方法不止一種，請你用另一種方法解該方程.

16.已知點(-2,-3)在二次函數(shù)了="2的圖象上.

⑴求。的值.

(2)若點,(0,j2),--->73都在二次函數(shù)y=的圖象上，請將必，%，%

直接用連接起來.

試卷第3頁，共6頁

17.在平面直角坐標系中，拋物線y=2尤2-1與拋物線＞=_2/+1如圖所示.請僅用無刻度

的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

圖1圖2

⑴在圖1中作一菱形；

⑵在圖2中作一矩形.

四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.已知直角三角形的兩邊長分別是方程x2-10x+24=0的兩個根.

（1）若這兩邊是該直角三角形的直角邊，求這個直角三角形的周長.

（2）求這個直角三角形的面積.

19.在平面直角坐標系中，拋物線＞-6ox+2a-2（a*0）上有不重合的兩點A,B,它

們的坐標分別為（加,必），（9-3m,y2）.

（1）若該拋物線與＞軸交于點（0,-3）,求該拋物線的解析式.

（2）當必=%時，求機的值.

20.追本溯源

題（1）來自于課本中的習題，請你完成解答，并利用類似方法完成題（2）.

（1）無論。取何值，方程（工-3）@-2）-加=?？傆袃蓚€不等的實數(shù)根嗎？給出答案并說明

理由.

變式拓展

（2）無論。取何值，方程（x+0+l）（x-2+0+l=O總有兩個不等的實數(shù)根嗎？給出答案

并說明理由.

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21.當前，南昌市正在全力推進城市水環(huán)境治理攻堅行動，通過建設雨水、污水獨立的管網(wǎng)

及其附屬設施，改善城市水環(huán)境、水生態(tài).如圖，這是施工的某工程隊在工地利用互相垂直

試卷第4頁，共6頁

的兩面墻43、AC,另兩邊用鐵柵欄圍成一個矩形場地4DEE,中間再用鐵柵欄分割成四

個小矩形，已知鐵柵欄總長180米，墻N8的長為100米，墻/C的長為60米.設4E=x

WAD的長為米，矩形ADFE的面積為平方米.

⑵矩形石的面積能等于1800平方米嗎？若能，求出/￡的長；若不能，請說明理由.

(3)矩形/。尸￡的面積能等于2100平方米嗎？若能，求出NE的長；若不能，請說明理由.

22.在如圖所示的平面直角坐標系xQy中，有一斜坡。4,從點。處拋出一個小球，落到點

力(4,2)處.小球在空中所經(jīng)過的路線是拋物線y=ax2+4x的一部分.

⑴求該拋物線的解析式.

(2)求該拋物線的頂點坐標.

(3)斜坡上點B處有一棵樹，B是CM的中點，小球恰好越過樹的頂端C,直線軸，橫、

縱坐標的每個單位長度均為1米.求這棵樹的高度.

六、解答題(本大題共12分)

23.綜合與實踐

如圖1,△/BC是以8c為斜邊的等腰直角三角形，四邊形DMG是矩形，點A,C,D,

G在同一條直線上，AC=CD=DE=2,將△4BC沿射線NC向左平移，得到點

A,B,C的對應點分別為點H,B,,C.平移的速度為1個單位長度/秒.

試卷第5頁，共6頁

特例感知

當f=8時，S的值恰好變?yōu)?.

（1）OG的長為.

規(guī)律探究

（2）①求出S與/之間的函數(shù)解析式，并直接寫出/的取值范圍；

②在如圖2所示的平面直角坐標系中，畫出①中所求得函數(shù)（含自變量取值范圍）的圖

數(shù)學思考

o

（3）請直接寫出滿足S=：的所有，的值.

O

試卷第6頁，共6頁

1.c

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，正確把握定義是解題的關鍵.先計算整式的

乘法，再移項整理即可.

【詳解】解：將一元二次方程x(x+l)=3/-2化為一般形式之后，變?yōu)?--x-2=0,

故選：C.

2.D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，以及二次函數(shù)了=。/(.20)的性質(zhì)，是基礎知識，需

熟練掌握.”>0時，開口向上；。<0時，開口向下.根據(jù)函數(shù)圖象是一條拋物線可知該函

數(shù)是二次函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖象開口向上即可求解.

【詳解】解：?.?函數(shù)了=(。-1)/的圖象是一條拋物線，

???Q-1W0,

QW1.

,?,圖象開口向上，

Q—1>0,

????！?.

故選D.

3.C

【分析】將工=1代入方程求解.

【詳解】解：???x=l是關于x的一元二次方程—+辦+26=0的解

I2+ax1+2b=0,即a+2b=—1

故選：C.

【點睛】本題考查一元二次方程的解，理解概念，正確代入計算是解題關鍵.

4.B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是確定二次函數(shù)的頂點坐標.首先確定二

次函數(shù)的頂點坐標，然后根據(jù)點的坐標特點寫出頂點的位置.

【詳角星】y=-x2-3x+2=-^x+-1^+?

???頂點坐標為(一

答案第1頁，共15頁

???頂點所在的象限是第二象限.

故選：B.

5.C

【分析】本題考查一元二次方程的應用，審清題意找到等量關系是解題的關鍵.根據(jù)每個同

學都要送其他(x-l)個學生賀卡，因此總贈送賀卡數(shù)是(尤-1)張，再根據(jù)共贈賀卡1980張列

方程即可.

【詳解】解：由題意得：每個學生需要向其他(》-1)個學生，

則得方程得：x(x-l)=1980

故選：C.

6.D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對于每一個自變量的值有唯一的函數(shù)值與其對

應，即函數(shù)圖象上不能有兩個點的橫坐標相同，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：二次函數(shù)了=辦2+為+。的圖象可以經(jīng)過格點A,B,￡或A,D,C或A,

D,E或A,E,C或B,E,C或。，E,C,共6種，故最多可畫出二次函數(shù)圖象的

個數(shù)為6.

ABC

D

故選D.

7.x=2

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在

y=a(x-〃)2+左中，對稱軸為x=頂點坐標為他收).根據(jù)拋物線解析式是頂點式直接得

其對稱軸.

【詳解】解：??-y=(x-2)2-l,

??拋物線對稱軸為直線x=2,

答案第2頁，共15頁

故答案為：x=2.

8.aw—1

【分析】本題考查了一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整

式方程，根據(jù)一元二次方程的定義進行列式計算，即可作答.

【詳解】解：??,方程(a+l)/+l-ax=2是關于x的一元二次方程，

???Q+1W0,

???QW—1,

故答案為：a^-1.

9.y=3(x+3)12-5

【分析】本題考查了函數(shù)圖象的平移，熟練掌握平移的規(guī)律是解題關鍵.先將拋物線化為頂

點式，再根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律求解即可.

【詳解】解：?.■〉=3/+6工-3=31?+2x)-3=3(x+l)2-6,

???將拋物線y=3/+6x-3向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度所得到的拋物

線的解析式為y=3(x+l+2)2—6+1=3(X+3)2-5,

故答案為：y=3(x+3)2-5.

10.—##—0.5

2

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，若X],9為方程ax2+6x+c=0(aw0)

bc

的兩個根，則多，%與系數(shù)的關系式：%+3=-2,陽/2=土.直接根據(jù)根與系數(shù)的關系

aa

求解即可.

【詳解】解：?.?一元二次方程辦2+2x-l=0的兩根分別為不，%,

-1、

:.xx=——=2.

{2a

1

J.Q=----,

2

故答案為：.

11.9.6

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用.利用待定系數(shù)法得到函數(shù)解析式，再將"4代入計

答案第3頁，共15頁

算即可得到答案.

【詳解】解：設二次函數(shù)的解析式為s=a/+6.

將(/1,3.6、),(/2,64、)代入得f3篙.6=—a++b26

a=—0.4

解得

b=4

二次函數(shù)的解析式為s=-0.4r+4/,

2

當f=4時，5=-0,4X4+4X4=9.6,

故答案為：9.6

(13、jl+3行3+3近-3亞3-3⑥

口?匕,J或]〒'-氏二,一]

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先求出直線的解析為＞=x+i,然后設

尸(p,p+l),貝(〃一/+2p+3),根據(jù)PM的長為彳可得卜p2+2p+3-p-i|=：,然后

解方程即可求解.

【詳解】解：令歹=。，則一/+2》+3=0,

解得再=一1,%=3,

???4(T0),

AO=1,

又OA=OB,

OB=1,

.*.5(0,1),

設直線ZB解析式為歹=丘+6,

J-左+6=0

'[b=\，

解得Li

[0=1

?,?直線AB解析式為歹=%+1,

設尸(0,0+1),貝iJM(p,-p2+2p+3),

答案第4頁，共15頁

99

2

-即--

4-4-

9

-

4

Q17

對于,2_p_2=a，化簡得夕2_,_1=0,

1±V1+171±3V2

??.p=--------------=-----------，

22

、匕1+3A/2n-U[3+3-\/2

三〃=------町,p+l=p=-----------，

22

也1—3-\/2n_r3-3^2

三〃=------町,p+l=p=-----------，

22

cCl+3收3+3⑻-303-3拒)

???尸的坐標為一-一，一-一或一-一,一--

k227k22

Q1

對于22—夕一2=—彳，化簡為)2一7+=0,

44

1

???Pi=p?=3,

13

當P=5時，P+l=P=2'

...p的坐標為I1,g[,

‘1+3收3+3收、1-3>/23-3收

綜上,的坐標為或或〔丁"

P3-2~"2~

13.(1)%=0,%2=4；(2)16

【分析】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程和己知自變量的值求函數(shù)的值等知識點,

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)將x的值代入函數(shù)解析式，求出相應的y的值即可；

熟練掌握因式分解法解方程是解決此題的關鍵.

【詳解】(1)%(%-4)=0,

二.％=0或%-4=0,

芭=0,々=4

(2)vx--2,

答案第5頁，共15頁

.■,^=3X(-2)2-(-2)+2=12+2+2=16.

14.8

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，令x=0和>=0求出4B,C三點的坐標，然后求解即

可.

2

【詳解】解：當X=0時，y=-x+4=4f

???點。的坐標為(0,4),

/.OC=4

當尸。時，一'2+4=0,

角軍得再=2,x2=—2,

AB=2-(-2)=4f

4Am=-2-^5-OC=-2x4x4=8.

15.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查的是解一元二次方程,掌握一元二次方程的解法是解題關鍵.

(1)根據(jù)配方法補充解題過程即可；

(2)利用公式法解方程即可.

【詳解】(1)解：2X2-5X-3=0

Y\-3

22

卜用Y

517

x—=+—,

44

??玉=一'，X2-3;

(2)解：2X2-5X-3=0,

</<7=2,b=-5,c=-3,

答案第6頁，共15頁

A=Z>2-4ac=(-5)2-4x2x(-3)=49>0

.-b￡b?-4ac-(-5)土歷5±7

…'―2a-2^2-~1~

3

16.(1)<2=——

(2)y3<y1<y2

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，比較二次函數(shù)值的大小.

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)函數(shù)開口向下，得到離對稱軸越遠函數(shù)值越小，再求出各點到對稱軸的距離，然

后比較距離的大小即可得到答案.

【詳解】(1)解：???點(-2,-3)在二次函數(shù)尸辦2的圖象上，

??--3=(-2『a,

3

解得a=1;

4

3

(2)解：???二次函數(shù)y=-：x2的圖象開口向下，

???二次函數(shù)對稱軸為y軸，離對稱軸越遠函數(shù)值越小,

MiV5-1_叵\=顯

----------0n=--------<0-

222J2

2.

17.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了二次函數(shù)的軸對稱變換，菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì).

(1)由拋物線了=2/-1與拋物線＞=-2x2+1知，兩函數(shù)圖象關于x軸對稱，即8。和4C

都關于原點對稱，順次連接4B、C、D,菱形即為所作；

答案第7頁，共15頁

(2)延長4D、CD交拋物線了=2/_1于點￡、F,延長/8、CB交拋物線了=-2/+1于點

H、G,順次連接爪F、G、H,矩形EFG”即為所作.

【詳解】(1)解：如圖，

???拋物線y=2x2-l與拋物線y=-2x2+1的對稱軸都是y軸,

x=0時，y=~l,y=1,

.-.S（O,-1）,D（O,1）,

1=0時,2x2-l=-2x2+l=0,

解得X.=,x=--，

1222

（V2（行〕

:.A--,0,C—,0,

22

\7\7

.?.兩函數(shù)圖象關于X軸對稱，即氏。和4C都關于原點對稱,

/(7,8?；ハ啻怪逼椒智?5=80=8=/0,

四邊形/BCD是菱形，

菱形/BCD即為所作；

(2)解：如圖，由(1)可知，兩函數(shù)圖象關于x軸對稱，四邊形/BCD是菱形,

尸,G關于x軸對稱,E,H關于x軸對稱，

.?.凡E關于了軸對稱，G冉關于'軸對稱，

EF||GH,FG||EH,且FG與x軸垂直,

四邊形EFG”是矩形,

矩形跖G8即為所作.

答案第8頁，共15頁

18.(1)這個直角三角形的周長為10+2萬

(2)這個直角三角形的面積為12或46

【分析】本題考查的知識點是解一元二次方程、勾股定理，解題關鍵是熟練掌握一元二次方

程的解法.

(1)求出一元二次方程/-10x+24=0的解后，由勾股定理得直角三角形的斜邊即可求出

周長；

(2)根據(jù)一元二次方程的解分兩種情況進行計算：①根據(jù)方程得出的兩邊是該直角三角形

的直角邊；②直角三角形的斜邊長為6.

【詳解】(1)解：X2-10X+24=0,

(x-4)(x-6)=0,

解得芯=4,x2=6,

由題意可得該直角三角形的斜邊長為"百=2713，

這個直角三角形的周長為4+6+2V13=10+2內(nèi).

(2)解：①若這兩邊是該直角三角形的直角邊，則這個直角三角形的面積為

1

-x4x6=12；

2

②若該直角三角形的斜邊長為6,則這個直角三角形的另一直角邊長為后彳=2追，

這個直角三角形的面積為gx4x2括=4指.

綜上所述，這個直角三角形的面積為12或4vL

1

19.(l)y=-—x7+3x-3

答案第9頁，共15頁

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì).

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)當必=%時，點(加，必)和點(9-3〃?,%)關于對稱軸對稱，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解:將點(0,-3)代入尸辦2-6辦+2”2(。彳0),

得2。-2=-3,

解得

該拋物線的解析式為N=-g/+3x-3；

(2)解：由題意得當％=%時，則上士2二四=土匈=3,

22a

解得加=去3

20.(1)方程總有兩個不等的實數(shù)根，理由見解析；(2)方程總有兩個不等的實數(shù)根，理由

見解析

【分析】本題考查了一元二次方程#+6x+c=0(a#0)根的判別式A="_4ac與根的關系,

熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵.當A>0時，一元二次方程有兩個不相

等的實數(shù)根；當A=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當A<0時，一元二次方程沒

有實數(shù)根.

(1)先把方程整理為一般形式，再利用一元二次方程根的判別式，即可求解.

(2)先把方程整理為一般形式，再利用一元二次方程根的判別式，即可求解.

【詳解】解：(1)方程總有兩個不等的實數(shù)根

理由：原方程整理，得/_5x+6-/=0,

A=/)2-4ac=(-5)2-4x(6-7?2)=4j92+l,

???無論P取何值，p2>0,

.?.A>0,即原方程總有兩個不等的實數(shù)根.

(2)方程總有兩個不等的實數(shù)根.

理由：原方程整理，得(x+p+l)(x+p-2)+l=0,

答案第10頁，共15頁

[(z+p)+l][(無++1=0,

(x+p)—(x+pj—2+1=0,

(x+p)~_(x+p)-l=0

設x+p=y,

二原方程可化為/—y—1=0,

A=Z?2-4ac=(-l)2-4xlx(-l)=5>0,

.?./-y-1=0總有兩個不等的實數(shù)根，

.?.無論?取何值，原方程總有兩個不等的實數(shù)根.

21.⑴(180-4x)；龍(180-4x)

(2)能，NE的長為30米

⑶不能，見解析

【分析】本題考查了一元二次方程的圖形幾何問題，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關

鍵.

(1)因為鐵柵欄總長180米，/石=X米，則4。的長為(180-4x)米，矩形的面積公式列

式得矩形”〃配的面積x(180-4x)平方米，即可作答.

(2)根據(jù)矩形/￡)底E的面積x(180-4x)平方米，列式計算，即可作答.

(3)依題意，列式x(180-4x)=2100,整理得x?一45x+525=0,運用根判別式計算得出

結論，即可作答.

【詳解】(1)解：依題意，???鐵柵欄總長180米，N￡=x米，

則4D的長為(180-4x)米，

二矩形的面積公式列式得矩形/￡>尸￡的面積x(180-4x)平方米

故答案為：(180-4x)；x(180-4x).

(2)解：能.由題意，得x(180-4x)=1800,

整理，WX2-45X+450=0,

答案第11頁，共15頁

解得x=15或x=30.

當x=15時，180-4x=120>100,不符合題意，舍去；

當x=30時，180—4x=60<100,符合題意.

答：若矩形/。/花的面積等于1800平方米，/￡的長為30米.

(3)解：不能.理由：由題意，得x(180-4x)=2100,

整理,得X2-45X+525=0,

A=ZJ2-4GC=(-45)2-4x1x525=-75<0,

???原方程無實數(shù)根.

答：矩形4DEE的面積不能等于2100平方米.

7,

22.(l)y=+4x

(3)5米

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，中位線的判定與性質(zhì)，正

確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵.

(1)將點/(4,2)代入拋物線〉=。/+4》，進行計算，即可作答.

7

(2)把y=-gx2+4x化為頂點式，再作答即可.

O

(3)過點A作x軸的垂線，垂足為。，取。。的中點E,連接BE,證明BE是△/OD的一

條中位線，然后求出點B的坐標為(2,1).再求出點C的坐標為則CE=g,代入

2。=廢-3￡進行計算，即可作答.

【詳解】(1)解：將點/(4,2)代入拋物線y=，+4x,

得“4+4x4=2,

7

解得。

O

7

???該拋物線的解析式為y=--x2+4x；

O

(2)解：???拋物線尸-工/+4》=二仆-劃+—,

881.7J7

答案第12頁，共15頁

???該拋物線的頂點坐標為

（3）解：如圖，過點A作x軸的垂線，垂足為。，取。。的中點連接8E,

???點A的坐標為（4,2）,

0D=4,AD=2.

是。/的中點，E是。。的中點,

.〔BE是的一條中位線,

BELOD,BE=-AD=l,

2

二點B的坐標為（2,1）.

???直線8C_Lx軸，

7

將x=2代入y=——x2+4x,

8

79

得歹=-722+4、2=]