人教版高中數(shù)學(xué)《統(tǒng)計》重難點歸納總結(jié)（解析版）

第9章統(tǒng)計重難點歸納總結(jié)

普查

抽簽法

收物據(jù)簡單隨機抽樣r——-

抽查隨機數(shù)表法

分層隨機抽樣

頻率分布直方圖

統(tǒng)領(lǐng)里州直克表

計扇形圖

圖表

折線圖

箜衫圖

直視圖

用樣本估計總體

平均數(shù)

申械

特征數(shù)眾數(shù)

方差

極差

百分位數(shù)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

考點一簡單隨機抽樣

【例「1】（2023?云南）某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的700個零件進行抽樣測試，先將700個零件進行編號

001,002,……，699,700,從中抽取70個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行

第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第8個樣本編號是（）

33211834297864560732524206443812234356773578905642

84421253313457860732253007328523457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.368C.253D.072

【答案】B

【解析】從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，得到的前8個編號分別是：253,313,457,860（舍）,

732（舍），253（舍），007,328,523,457（舍），889（舍），072,368,則得到的第8個樣本編號是368.

故選:B.

【例1-2］（2023貴州六盤水）為研究病毒的變異情況，某實驗室成功分離出貝塔毒株、德爾塔毒株、奧密

克戎毒株共130株，其數(shù)量之比為7:2:4,現(xiàn)采用按比例分配的分層抽樣的方法從中抽取一個容量為26的樣

本，則奧密克戎毒株應(yīng)抽?。ǎ┲?/p>

A.4B.6C.8D.14

【答案】C

4

【解析】由題意可得：奧密克戎毒株應(yīng)抽取26x」「=8株.故選：C.

【一隅三反】

1（2023?四川綿陽）現(xiàn)須完成下列2項抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進行食品衛(wèi)生檢查；②某生活

小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡在超過30歲不超過60歲的有270人，60歲

以上的有90人，為了解居民對社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見，擬抽取一個容量為30的樣本.較為合理的抽樣方

法分別為（）

A.①抽簽法，②分層隨機抽樣B.①隨機數(shù)法，②分層隨機抽樣

C.①隨機數(shù)法，②抽簽法D.①抽簽法，②隨機數(shù)法

【答案】A

【解析】對于①，由于抽取的總體個數(shù)與樣本個數(shù)都不大，則應(yīng)用抽簽法；

對于②，抽取的總體個數(shù)較多，且總體有明確的分層，抽取的樣本個數(shù)較大，則采用分層隨機抽樣.

故選：A.

2（2022春?廣東揭陽?高一普寧市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）為了解某市高三畢業(yè)生升學(xué)考試中數(shù)學(xué)成

績的情況，從參加考試的學(xué)生中隨機地抽查了1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，下列

說法錯誤的是（）

A.總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生

B.個體指的是1000名學(xué)生中的每一名學(xué)生

C.樣本容量指的是1000名學(xué)生

D.樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)升學(xué)考試成績

【答案】ABC

【解析】因為要了解某市高三畢業(yè)生升學(xué)考試中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的情況，所以要進行成績統(tǒng)計，

因此，本題的總體是該市高三畢業(yè)生的數(shù)學(xué)成績，個體是指每名學(xué)生的成績，樣本容量是1000,

因此樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故選：ABC

3.（2022?江蘇?高一專題練習(xí)）已知總體容量為106,若用隨機數(shù)表法抽取一個容量為10的樣本.下面對總體

的編號最方便的是（）

A.1、2、3、…、106B.0、1、2、…、105

C.00、01、02、…、105D.000、001、002、…、105

【答案】D

【解析】由隨機數(shù)抽取原則可知最方便的編號應(yīng)為均編排為三位數(shù)，從000開始，到105結(jié)束，D為正確

答案..故選：D

4.（2022?高一單元測試）（多選）下面的抽樣方法不是簡單隨機抽樣的是（）

A.在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709

的為三等獎

B.某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格

C.某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學(xué)校機構(gòu)改革的意見

D.用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗

【答案】ABC

【解析】A、B不是簡單隨機抽樣，?.?抽取的個體間的間隔是固定的，

C不是簡單隨機抽樣，?.?總體的個體有明顯的層次，屬于分層抽樣，

D是簡單隨機抽樣，故選：ABC.

考點二統(tǒng)計圖的解讀

【例2-1］（2022?高一單元測試）新高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選

擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績將計入高考總成績，即“選擇考”成績根據(jù)學(xué)生考試時的原始卷面分

數(shù)，由高到低進行排序，評定為/、B、C、D、E五個等級.某試點高中2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2016年

參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計了該校2016年和2018年

“選擇考”成績等級結(jié)果，得到如下圖表：針對該?！斑x擇考”情況，2018年與2016年比較，下列說法正確的

是（）

2016年該?！斑x擇考”等級統(tǒng)計2018年該校“選擇考”等級統(tǒng)計

■4等級28%

■8等級32%

■C等級30%

。等級8%

■E等級2%

A.獲得A等級的人數(shù)減少了

B.獲得8等級的人數(shù)增加了1.5倍

C.獲得。等級的人數(shù)減少了一半

D.獲得E等級的人數(shù)相同

【答案】B

【解析】設(shè)2016年參加考試尤人，則2018年參加考試2x人,

根據(jù)圖表得出兩年各個等級的人數(shù)如下圖所示：

年份ABCDE

20160.28%0.32%0.3x0.08x0.02x

20180.48%0.8x0.56x0.12x0.04x

由圖可知A、C、D選項錯，B選項對.

故選:B.

【例2-2］（2022?高一單元測試）（多選）某家庭2019年的總支出是2018年的總支出的1.5倍，其各項支出

占家庭這一年支出的比例如下圖，則下面結(jié)論正確的是（）

2018年家庭各項支出比例2019年家庭各項支出比例

①日常生活②房貸還款③旅游①日常生活②房貸還款③旅游

④教育⑤保險⑥其他④教育⑤保險⑥其他

A.2019年日常生活支出減少

B.2019年保險支出增加了一倍以上

C.2019年其他支出是2018年其他支出的兩倍多

D.2018年和2019年每年中的日常生活和房貸還款支出之和占該年總支出的一半以上

【答案】BCD

【解析】設(shè)2018年的總支出為x,則2019年的總支出為1.5x,

又2018年家庭各項支出分別為：

①0.35x、②0.3x、③O.lx、④0.15x、⑤0.05x、@0.05x,

又2019年家庭各項支出分別為：

①0.51x、@0.375%,③0.18x、@0.195%,⑤0.105x、@0.135x,

比較相應(yīng)數(shù)據(jù)，0.51x>0.35x/選項不正確，

2019年保險支出為0.105x,比較0.05x,增加了一倍以上，B正確；

2019年其他支出為0.135X,2018年其他支出0.05x的兩倍多，C正確；

2018年和2019年每年中的日常生活和房貸還款支出之和分別為0.65X,0.885X，都占該年總支出的一半以上,

D正確，故選：BCD.

【一隅三反】

1.（2022?高一單元測試）某只股票近10個交易日的價格如下:

天數(shù)12345678910

股價/元4.324.184.284.344.304.454.514.484.524.55

下列幾種統(tǒng)計圖中，表示上面的數(shù)據(jù)較合適的是（）

A.柱形圖B.扇形圖C.折線圖D.莖葉圖

【答案】C

【解析】柱形圖主要用來比較每天股價的最大值和最小值，開盤價和收盤價，也有一定的表示趨勢的作用;

扇形圖主要用來表示價格區(qū)間的比例關(guān)系，用扇形面積比較彼此之間的比例很直觀，但不能表示股價的趨

勢和波動情況；

折線圖則能有效地表示出每天的股價波動情況和趨勢；

莖葉圖可以收集所以的原始數(shù)據(jù)，便于隨時填寫，也能看出主干上數(shù)據(jù)的多少，但不能表示股價波動的情

況；

通過以上比較，作如圖的折線圖，我們比較直觀地看出此股票在這10天中，

其價格總體是一個上升趨勢，也可以看出每天的變化，

.??用折線圖表示不斷變化的數(shù)據(jù)，是有優(yōu)越性的；

2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）（多選）某市為最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招賢納士”，推進

了人才引入落戶政策.隨著人口增多，對住房要求也隨之而來，而選擇購買商品房時，佳戶對商品房的戶型

結(jié)構(gòu)越來越重視，因此某商品房調(diào)查機構(gòu)隨機抽取〃名市民，針對其居住的戶型結(jié)構(gòu)和滿意度進行了調(diào)查,

如圖1調(diào)查的所有市民中四居室共200戶，所占比例為!，二居室住戶占，如圖2是用分層抽樣的方法從所

有調(diào)查的市民的滿意中，抽取10%的調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）

A.樣本容量為70

B.樣本中三居室住戶共抽取了25戶

C.根據(jù)樣本可估計對四居室滿意的住戶有70戶

D.樣本中對三居室滿意的有15戶

【答案】ABC

【解析】A選項，總體容量為600,樣本容量為600x10%=60,故選項A錯誤，

B選項，樣本中三居室住戶共抽取300xl0%=30（戶），故選項B錯誤，

C選項，對四居室滿意的住戶共有200x40%=80（戶），故選項C錯誤，

D選項，樣本中三居室住戶有300xl0%=30（戶），

對三居室滿意的住戶有30x50%=15（戶），故選項D正確，

故選：ABC.

3.（2022?高一單元測試）（多選）下列說法中，錯誤的是（）

A.頻率分布直方圖中各小長方形的面積不等于相應(yīng)各組的頻率

B.一組數(shù)據(jù)的標準差是這組數(shù)據(jù)的方差的平方

C.數(shù)據(jù)2、3、4、5的方差是數(shù)據(jù)4、6、8、10的方差的一半

D.一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大

【答案】ABC

【解析】A選項，頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，故A錯，

B選項，一組數(shù)據(jù)的方差是這組數(shù)據(jù)的標準差的平方，B錯，

C選項，數(shù)據(jù)2、3、4、5的平均數(shù)為3.5,設(shè)其方差為s?,

4、6、8、10在2、3、4、5的基礎(chǔ)上擴大了2倍，

二方差將變?yōu)樵瓉淼??=4倍，,4、6,8、10的方差為4sz,C錯，

D選項，方差越大，表示這組數(shù)據(jù)的波動越大，即不越穩(wěn)定，波動越大，D對，

故選：ABC.

4.（2022?高一單元測試）（多選）關(guān)于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析，則以下結(jié)論中錯誤的是（）

A.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后，方差沒有變化

B.繪制頻率分布直方圖時，各小矩形的面積等于相應(yīng)各組的組距

C.一組數(shù)據(jù)的方差一定是正數(shù)

D.如圖是隨機抽取的200輛汽車通過某一段公路時的時速分布直方圖，根據(jù)這個直方圖，可以得到時速在

[50,60）的汽車大約是60輛

頻率

【答案】BC

【解析】A選項，..?方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，...整體變化不改變波動大小，

，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后，方差不變，對，

B選項，頻率分布直方圖中，各小矩形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，錯，

1--_

C選項，由S-=—［（X］-X）-+（%-x）2+-X）］得出方差是非負數(shù)，錯，

n

D選項，根據(jù)頻率分布直方圖得，時速在［50,60）的汽車大約是200x0.03x10=60（輛），對，

故選：BC.

5.（2022?高一單元測試）（多選）某市為最大限度的吸弓1“高精尖缺”人才，向全球“招賢納士”，推進了人才

引入落戶政策.隨著人口增多，對住房要求也隨之而來，而選擇購買商品房時，住戶對商品房的戶型結(jié)構(gòu)越

來越重視，因此某商品房調(diào)查機構(gòu)隨機抽取“名市民，針對其居住的戶型結(jié)構(gòu)和滿意度進行了調(diào)查，如圖1調(diào)

查的所有市民中四居室共200戶，所占比例為2，二居室住戶占j如圖2是用分層抽樣的方法從所有調(diào)查的

市民的滿意中，抽取10%的調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）

A.樣本容量為60

B.樣本中三居室住戶共抽取了25戶

C.根據(jù)樣本可估計對四居室滿意的住戶有70戶

D.樣本中對三居室滿意的有15戶

【答案】BC

【解析】A選項，總體容量為600,樣本容量為600x10%=60,對，

B選項，樣本中三居室住戶共抽取300x10%=30（戶），錯，

C選項，對四居室滿意的住戶共有200x40%=80（戶），錯，

D選項，樣本中三居室住戶有300xl0%=30（戶），

對三居室滿意的住戶有30x50%=15（戶），對，故選：BC.

考點三特征數(shù)

【例3-1］（2022?高一單元測試）某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測

試結(jié)果按如下方式分成六組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；…;

第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績小于17

秒的學(xué)生人數(shù)占全部總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績大于等于15秒的學(xué)生人數(shù)為丁，則從頻率分布直方圖中可分

析出x和了分別為（）

A.0.135B.0.145C.0.935D.0.940

【答案】D

【解析】成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占的頻率=0.34+0.36+0.18+0.02=0.9,

則成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為90%,

成績大于等于15秒的學(xué)生的頻率為=0.34+0.36+0.06+0.04=0.8,

則人數(shù)等于50x0.8=40人，

故選：D.

【例3-2］（2023?全國?專題練習(xí)）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段事件內(nèi)沒有發(fā)

生大規(guī)模群體感染的標志是“連續(xù)10日，每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日，甲、乙、丙、丁四地

新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：

甲地：總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4；

乙地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0;

丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3；

丁地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3.

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】D

【解析】對于甲地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,則滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為4,但不符合

沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志，A錯誤；

對于乙地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,0,0,0,0,0,0,04。，則滿足平均數(shù)為1,方差大于0,但不符合沒有發(fā)生

大規(guī)模群體感染的標志，B錯誤；

對于丙地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,則滿足中位數(shù)為2,眾數(shù)為3,但不符合沒有發(fā)生大

規(guī)模群體感染的標志，C錯誤；

對于丁地，若總體平均數(shù)為2,假設(shè)有一天數(shù)據(jù)為8人，則方差S2>\X（8-2）2=3.6>3,不可能總體方差

為3,則不可能有一天數(shù)據(jù)超過7人，符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志，D正確.

故選：D.

【例3-3］（2022?高一單元測試）給定一組數(shù)5、5、4、3、3、3、2、2、2、1,則85%分位數(shù)為

【答案】5

【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排序得1、2、2、2、3、3、3、4、5、5,則急xlO=8.5,.?.第85百分位

數(shù)為5.故答案為：5

【一隅三反】

1.（2022?高一單元測試）如圖是2022年在北京舉行的冬季奧運會上，七位評委為某高山滑雪打出的分數(shù)的

莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）

79

844647

93

A.842.4

B.844.84

C.851.6

D.854

【答案】C

【解析】由莖葉圖知，去掉一個最高分93和一個最低分79后，

所剩數(shù)據(jù)84、84、86、84、87的平均數(shù)為4=吃吧等曳區(qū)=85,

方差為2_(84-85)2+(84-85)2+(86-85)24(84-8^24(87-8^2J

'5V

故選：C.

2.(2022春?新疆塔城?高一沙灣縣第一中學(xué)校考期末)2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校團委在7

月1日前，開展了“奮斗百年路，啟航新征程"黨史知識競賽.團委工作人員將進入決賽的100名學(xué)生的分數(shù)(滿

分100分且每人的分值為整數(shù))分成6組：[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]得到如

圖所示的頻率分布直方圖，則下列關(guān)于這100名學(xué)生的分數(shù)說法錯誤的是()

A.分數(shù)的中位數(shù)一定落在區(qū)間[85,90)

B.分數(shù)的眾數(shù)可能為97

C.分數(shù)落在區(qū)間[80,85)內(nèi)的人數(shù)為25

D.分數(shù)的平均數(shù)約為85

【答案】B

【解析】A,由頻率分布直方圖可得

(0.01+0.02x2+0.03+6+0.07)x5=1,解得6=0.05,

前三組的概率為(0.02x2+0.05)x5=0.45<0.5,

前四組的概率為(0.02x2+0.05+0.07)x5=0.7>0.5,

所以分數(shù)的中位數(shù)一定落在第四組[85,90)內(nèi)，故A正確;

B,分數(shù)的眾數(shù)可能為87.5,故B錯誤；

C,分數(shù)落在區(qū)間［80,85）內(nèi)的人數(shù)約為0.05x5x100=25,故C正確.

D,分數(shù)的平均數(shù)為：

72.5x0.02義5+77.5義0.02x5+82.5x0.05x5

+87.5x0.07x5+92.5x0.03x5+97.5x0.01x5=85,故D正確.

故選：B

3（2023四川廣元）為比較甲，乙兩名籃球運動員的近期競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場的得分制成如

圖所示的莖葉圖.有下列結(jié)論：

甲乙

985289

213012

①甲最近五場比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場比賽得分的中位數(shù)；

②甲最近五場比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場比賽得分的平均數(shù)；

③從最近五場比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；

④從最近五場比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.②③B.①④

C.①③D.②④

【答案】A

【解析】甲的得分為25,28,29,31,32；

乙的得分為28,29,30,31,32；

因為#25+28+29+31+32）=29,#28+29+30+31+32）=30

|［（25-29）2+（28-29）2+（29-29f+01-29J+02-29力=6

|［（28-30）2+（29-30）2+（30-30）2+（31-30）2+（32-30）2］=2

故甲、乙得分中位數(shù)分別為29、30；平均數(shù)分別為29、30；方差分別為6、2；

故正確的有②③；

故選：A

考點四綜合運用

【例4】(2023?全國?高二專題練習(xí))某地統(tǒng)計局就該地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了

樣本的頻率分布直方圖(每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在［1000,1500).

頻率

0.0005-----------------I------------

0.0004-----------I——

0.0003------------------------------------

0.0002----|-----

0.0001------------------------------------——??

O1000150020002500300035004000月收入/元

(1)求居民月收入在［3000,3500)的頻率；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出

100人作進一步分析，則月收入在［2500,3000)的這段應(yīng)抽多少人？

【答案】⑴0.15

(2)2400元

(3)25人

【解析】⑴月收入在［3000,3500)的頻率為：

0.0003x(3500-3000)=0.15

居民月收入在［3000,3500)的頻率為0.15.

(2)0.0002x(1500-1000)=0.1,

0.0004x(2000-1500)=0.2,

0.0005x(2500-2000)=0.25,

0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,

51+02

樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2000+°--(°--)=2000+400=2400

0.0005

樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2400元.

(3)居民月收入在［2500,3000)的頻率為：

0.0005x(3000-2500)=0.25,

：.10000人中月收入在［2500,3000)的人數(shù)為：

0.25x10000-2500,

再從10000人中分層抽樣方法抽出100人,

則月收入在［2500,3000)的這段應(yīng)抽取:

，八八2500

100x--------=25,

10000

/.月收入在［2500,3000)的這段應(yīng)抽25人.

【一隅三反】

1.(2022?高一單元測試)2016年1月1日，我國實施“全國二孩”政策，中國社會科學(xué)院在某地隨機抽取了150

名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，經(jīng)統(tǒng)計，該100名男性的年齡情況對應(yīng)的頻率分布直方圖如下:

頻率

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名已婚男性的年齡平均值無、眾數(shù)和樣本方差$2(同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中

點值代替，結(jié)果精確到個位)；

(2)若在愿意生育二孩的且年齡在［30,34)、［34,38)、［38,42)的三組已婚男性中，用分層抽樣的方法抽取19人,

試估計每個年齡段應(yīng)各抽取多少人？

【答案】⑴平均值36、眾數(shù)為36,方差25

(2)人數(shù)分別為4人、11人、4人.

【解析】⑴

已婚男性的平均年齡元和樣本方差S?分別為：

x=24-0.04+28-0.08+32-0.16+36-0.44+40-0.16