與大學(xué)高等數(shù)學(xué)接軌的三類函數(shù)-高考數(shù)學(xué)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展03與大學(xué)高等數(shù)學(xué)接軌的三類函數(shù)（精講+

精練）

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

高考數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)（如歐拉公式、高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)）的接軌，常以小題的形式

呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).因此在復(fù)習(xí)備考中，

有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練是很有必要的，這有利于培養(yǎng)個(gè)人的探究、創(chuàng)新精神，拓寬思維，

提升核心素養(yǎng).

二、題型精講精練

【題型訓(xùn)練】

1.歐拉公式

1.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）歐拉公式（EulerFormula）e加+1=0被數(shù)學(xué)家們

稱為“宇宙第一公式其中無理數(shù)

e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669

676277240766303535475945713821785251664274???）,如果記e小數(shù)點(diǎn)后第n位上的數(shù)字為

m,則俄是關(guān)于〃的函數(shù)，記為〃?=/（"）.設(shè)此函數(shù)定義域（domain）為A,值域（range）

為3,則關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的有（）

A./⑸=8B.函數(shù)/（"）的圖像是一群孤立的點(diǎn)

C."是機(jī)的函數(shù)D.BA

【答案】ABD

【分析】根據(jù)加=/（〃）的定義可知A正確；由〃eN*可知B正確；根據(jù)函數(shù)定義可知C錯(cuò)

誤；根據(jù)A=N*,可知D正確.

【詳解】對于A,「e小數(shù)點(diǎn)后第5位上的數(shù)字為8,二〃5）=8,A正確；

對于B,,??〃eN*,.?.〃”）的圖像是一群孤立的點(diǎn)，B正確；

對于C,由e的值可知：當(dāng)%=8時(shí)，〃=3,5,7,…，不符合函數(shù)的定義，C錯(cuò)誤；

對于D,由題意知：A=N*;又根eN*,=D正確.

故選：ABD.

2.（單選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）歐拉公式（EulerFormula）e加+1=0被數(shù)學(xué)家們

稱為“宇宙第一公式”.(其中無理數(shù)

e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669

676277240766303535475945713821785251664274???),如果記e小數(shù)點(diǎn)后第〃位上的數(shù)字為

m,則機(jī)是關(guān)于"的函數(shù)，記為帆=/(〃).設(shè)此函數(shù)定義域(domain)為A,值域(range)

為8,則關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的有()

A."5)=8B.函數(shù)/(")的圖像是一群孤立的點(diǎn)

C.〃是加的函數(shù)D.BcA

【答案】A

【分析】利用歐拉公式即可判斷①，逆用歐拉公式即可判斷②

【詳解】0e?+1=COSH+isinre+1=—1+1=0

71..71V2兀..2兀、9兀..9兀

②cos——+isin——cos-----Fisin——cos——+isin——

(1010人1010)1010

iAi”色心+里+...+%!i電9兀9兀

-ioio..,iouo102

exexxe=e=e=cos一+isin——=i

22

則①②均正確

故選：A

3.(填空題)(2023春?上海浦東新?高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí))歐拉公式

*=cos6+isin。，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，

被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋“，已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=cos-^+isin-^-(n=l,2,3,-),

則數(shù)列｛%｝前2022項(xiàng)的乘積為一.

【答案】-i

.nit

【分析】根據(jù)題意，4=0。$墨+1向薪=0'題，然后根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則求積，再根據(jù)等

差數(shù)列求和公式化簡，最后根據(jù)定義求結(jié)果.

.nn

【詳解】因?yàn)檎?cos6+isine,所以=cos-^^+isin-^―=e2022,

20222022

.兀.2兀,2022nit2n2022%.202371

所以%…〃2022=G2°22^2022...02022=e202220222022-e2

2023兀..2023兀.兀、..,兀、.

=cos---------Pisin--------=cos(l0117i+—)+isin(l011TH--)=—i.

2222

故答案為：-i.

2.高斯函數(shù)

一、單選題

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中

享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)丁=[司，[x]表示不超過X的最大整數(shù)，例如

「41「1、

[—1』=—2.已知/（%）=x+-,xe-,6,則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

L%」\_2J

A.{4,6,8}B.{4,5,6}C.{4,5,6,7,8}D.{4,8}

【答案】C

【分析】根據(jù)題意y=x+?,將其變形分析其取值范圍結(jié)合取整函數(shù)y=x,即可求得結(jié)

X

果.

【詳解】易知y=x+：,xeg,6）在g,2上單調(diào)遞減，[2,6）上單調(diào)遞增.

4]142

當(dāng)光=2時(shí),y=x+—=4；當(dāng)工=一時(shí),y=—+8；當(dāng)%=6時(shí),y=x+—=6+—；

x22x3

所以則函數(shù)〃x）的值域?yàn)閧4,5,6,7,8}.

故選：C.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)

王子”的美譽(yù).函數(shù)〃力=國稱為高斯函數(shù)，其中xeR,國表示不超過x的最大整數(shù)，例

如：[-1』=-2,[2.5]=2,則方程[2x+l]+[x]=4x的所有解之和為（）

A.1B.-C.-D.-

2424

【答案】C

左一]k

【分析】VxeR,3A;GZ,使左<2%+1〈k+1,可得---<x<—,2k-2<4x<2k,分類討

22

論k為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，求出k的值，再代入求解即可.

【詳解】解：VxeR,使左<2x+l<左+1,則[2%+1]=左，

左一1k

可得V尤2k-2<^x<2k,

若k為奇數(shù)，貝）與eZ,所以田=7，

22

“一1k—\

[2x+l]+[x]=k+=4x,貝！）2左一2V%+—^―<2k,

解得一1<左《3,.,.左=1或左=3,

當(dāng)左=1時(shí)，0<x<—,[x]=0,[2x+l]=l,.\l+0=4x=>x=—G0,—|,

24L2；

3「3、

當(dāng)左=3時(shí)，l<x<—,[x]=1,[2x+l]=3,/.3+l=4x=>x=le1,-1,

若k為偶數(shù)，則geZ,所以⑶=9一1,

kk

/.[2x+1]+[x]=^+--1=,貝fj2k-2VZ:+5—1<2左，

解得-2<發(fā)<2,.?.左=0或左=2,

當(dāng)％=0時(shí)，—<x<0,[A]=—1,[2x+1]=0,—1+0=4x=>x=—s—,0j

24_2J

當(dāng)左=2時(shí)，gwxcl,[x]=0,[2尤+1]=2,0+2=4xnx=：,

1113

因此，所有解之和為：-+1--+-=^,

4422

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)

算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣

有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以

說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

3.（2023春?寧夏銀川?高三銀川一中?？计谥校└咚故堑聡臄?shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者

之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.用其名字命名

的“高斯函數(shù)”為：y=[x]（xeR）,因表示不超過x的最大整數(shù)，如[一1.6]=-2,=

[2]=2,已知/（同="+；,則函數(shù)y="（切的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,01}D.{-2,—1,01

【答案】C

【分析】先進(jìn)行分離，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)性質(zhì)求出了⑺的值域，結(jié)合已知定

義即可求解.

【詳解】因?yàn)椤胺?口+'=』-一J

v7ex+l22l+ex

又+

7

所以?！窗?lt;2,

2

所以一2（一看<°

3

所以〃制=5

則g(x)="。)］的值域{-1,0,1}.

故選：C.

4.（2023秋?江蘇南京?高三南京師大附中?？计谀└咚故堑聡臄?shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠

基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則

丁=國稱為高斯函數(shù).例如：[-3.6]=-4,[3.6]=3.已知函數(shù)〃司=1-三，則函數(shù)

y=+的值域是（）

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【答案】A

【分析】依題意可得〃耳=-：+￡,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)討論彳＞（）,x=0和x＜。時(shí),

函數(shù)的單調(diào)性與值域，即可得出答案.

1-無11I1+±，定義域?yàn)镽,

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?5一五6=5一=7

乙1十C乙1I-C

因?yàn)閥=1+e”在定義域上單調(diào)遞增，則y=Jr在定義域上單調(diào)遞減，

所以/(X)=-1+Jr在定義域R上單調(diào)遞減，

2l+e

“時(shí)，/€(0,1),擊]川,〃木/，3[〃切=0,"(0小0

x>0時(shí)，e"e(1,+0C),e|^0,0^[/(%)]=-1；

則x>0時(shí)，[/(x)]+[/(-x)]=-l+O=-l,

元<0時(shí)，[/(x)]+[/(-%)]=0+(-1)=-1,

x=0時(shí),[/(x)]+[/(-x)]=O+O=O.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于理解題中高斯函數(shù)的定義，才能通過研究"％）的性

質(zhì)來研究丫=[〃力]+[/（—）]的值域，突破難點(diǎn).

二、多選題

1.（2023春?廣東廣州?高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)

學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其

名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,用[可表示不超過x的最大整數(shù)，則，=[引稱為高斯函

數(shù)，如：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，

諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確

的是（）

A.VxeR,[2x]=2[x]B.VxeR,[x]+x+g=[2x]

C.Vx,yeR,若印=[列，貝情D.方程/=3[幻+1的解集為{近M}

【答案】CD

【分析】取x=L5,[2x]=3,2[x]=2,A錯(cuò)誤，取x=0,[x]+x+g=g,[2x]=0,B錯(cuò)

誤，[尤]=3=m，則y<m+l,故C正確，計(jì)算2<尤4圭八他，[x]=2

或[x]=3,D正確，得到答案.

【詳解】對選項(xiàng)A：取x=L5,則[2x]=3,2國=2,錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)B：^lx=O,[x]+x+--=—,[2x]=0,錯(cuò)誤；

22

對選項(xiàng)C：[x]=[y]=機(jī)，則XNM,y<m+l,故正確；

對選項(xiàng)D：x2=3[%]+1,故3》-2</=3印+143》+1,解得2<x/+屈,

2

故[無]=2或[x]=3,故了=療或行加，正確.

故選：CD

2.（2023春?湖南長沙?高三長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開學(xué)考試）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,

近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，

用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,用品表示不超過的最大整數(shù)，則，=團(tuán)稱為高斯

函數(shù)，例如[-3.2]=T,[2.3]=2.已知函數(shù)/⑺=怎一g,則關(guān)于函數(shù)g（x）=[〃x）]的

敘述中正確的是（）

A.是奇函數(shù)

B.“X）在R上是減函數(shù)

C.g（x）的值域是{-1,0}

D.[log31]+[log32]+[log33]+-+[log3243]=857

【答案】ACD

【分析】利用奇偶性的定義判斷A,利用函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論判斷B,由單調(diào)性求出了（X）的

取值范圍，結(jié)合定義判斷C,利用對數(shù)函數(shù)的值域結(jié)合定義判斷D.

【詳解】因?yàn)椤ㄖ?上2=一工=1一一^--=~一一二，

'71+2"21+2”221+2、

所以〃一同二言7-3二六一:二一八尤），所以“X）是奇函數(shù)，選項(xiàng)A正確；

因?yàn)閥=l+2,在R上是增函數(shù)，所以>=-4在R上是增函數(shù)，/（》）=:-二7在口上

是增函數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)?。〈?<1，所以所以g（x）的值域是｛T。｝，選項(xiàng)C正確；

1I乙乙乙，I乙乙

令%=[log3n]，“eZ*,

由高斯函數(shù)定義可得當(dāng)1V"3時(shí)，4=0；當(dāng)34〃<8時(shí)，an=\.當(dāng)9<〃<27時(shí)，4=2；

當(dāng)27〈〃<81時(shí)，?！?3；當(dāng)81口<242時(shí)，an=4；當(dāng)”=243時(shí)，?！?5；

所以[1（嗎l]+[log32]+[log33]+…+[log3243]

=0x2+1x6+2x18+3x54+4x162+5x1=857,選項(xiàng)D正確；

故選：ACD

3.狄利克雷函數(shù)

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)是兩個(gè)特殊函數(shù)，狄利克雷函數(shù)為

L%EQ,

°（x）=CYUA八黎曼函數(shù)定義在QI〕上，其解析式為

0,X￡,Q,

蛆）/《戶看。'"為正整數(shù)’.是不可以再約分的真分?jǐn)?shù);則二（）

0,尤=0,1和無理數(shù)，IS）

A.1B.0C.J2D.也

2

【答案】A

【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)的定義求解即可.

八山小廠生〉、=為正整數(shù)屈是不可以再約分的真分?jǐn)?shù)]-1上

【詳解】因?yàn)镽（x）=0p（p又改為[0』上

0,x=0,l和無理數(shù)

的無理數(shù)，所以尺圉=。，因?yàn)椤?[二篇，所以⑼二】

故選:A.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）德國著名數(shù)學(xué)家、解析數(shù)論的創(chuàng)始人狄利克雷（1805年2月

13日~1859年5月5日），對函數(shù)論、三角級數(shù)論等都有重要貢獻(xiàn)，主要著作有《數(shù)論講義》

f1X為有理數(shù)

《定積分》等.狄利克雷函數(shù)就是以其名字命名的函數(shù)，其解析式為如）=0,X為無理數(shù)則

下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)。(X)的判斷錯(cuò)誤的是()

A.對任意有理數(shù)f,D(x+t)=D(x)

B.對任意實(shí)數(shù)x,￡>CD(x))=l

C.D(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

D.存在實(shí)數(shù)x,y,D(尤+y)=O(無)+￡>(>)

【答案】C

【詳解】對于A,對任意有理數(shù)t,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x+f為有理數(shù)，則E>(x+f)=l=O(x)；

當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，x+r為無理數(shù)，則。(x+f)=O=D(x),故A正確；

對于B,若x為有理數(shù)，則￡>(*)=￡>(1)=1；若x為無理數(shù),則于。(功=。(0)=1,故B

正確；

對于C,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，則f為有理數(shù)，則D(-尤)=1="無)；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，則-尤為

無理數(shù)，則。(-幻=0=。(幻，于是對任意實(shí)數(shù)x,都有。(f)=￡>(x),即狄利克雷函數(shù)為

偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對于D,取x=0,y=6,因?yàn)閼?yīng)+6為無理數(shù)，所以。(應(yīng)+6)=0=。(&)+￡>(括),

故D正確.

故選：C.

二、多選題

l,xeQ

1.(2023秋?江西上饒?高三統(tǒng)考期末)函數(shù)。(x)=被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)

0,xeQ

論成立的是()

A.函數(shù)。⑺的值域?yàn)椋?』B.若￡>伉)=1,貝1

C.若￡>(%)—。(動(dòng)=。，則玉-尤2eQD.%eR,D(XO+V2)=1

【答案】BD

【分析】根據(jù)函數(shù)值域的定義，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】由函數(shù)的值域定義可知函數(shù)。(對的值域?yàn)閧01},所以選項(xiàng)A不正確；

因?yàn)?所以%02)=1,所以選項(xiàng)B正確；

當(dāng)西=0,馬=及時(shí)，顯然滿足。&)-。(％)=0,但是0-若￡(2,所以選項(xiàng)C不正確；

當(dāng)時(shí)，°+@=。(0)=1,所以選項(xiàng)D正確，

故選：BD

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且是有意識(shí)地“以

概念代替直覺”的人.在狄利克雷之前，數(shù)學(xué)家們主要研究具體函數(shù),進(jìn)行具體計(jì)算，他們不大

考慮抽象問題，但狄利克雷之后，人們開始考慮函數(shù)的各種性質(zhì),例如奇偶性、單調(diào)性、周期性

等.1837年,狄利克雷拓廣了函數(shù)概念，提出了自變量x與另一個(gè)變量y之間的現(xiàn)代觀念的對

1,XGQ

應(yīng)關(guān)系，并舉出了個(gè)著名的函數(shù)?狄利克雷函數(shù):。(x)=n下列說法正確的有

e

（）

A.Q（x+l）=D（x）B.D（D（x））=D（x）

C.。(力是偶函數(shù)D.O（x）的值域?yàn)椋鹹|04y41｝

【答案】AC

【分析】根據(jù)選項(xiàng)對xeQ,xe兩種情況分類討論，即可得出A,C的正誤,xeR時(shí),

O(x)eQ,所以以O(shè)(x))=1,選項(xiàng)B錯(cuò)誤，由D(x)=可知,D(x)e｛0,1｝，選項(xiàng)D錯(cuò)

誤.

[1,XGQ

【詳解】解:由題知。(x)=n“IC，

關(guān)于選項(xiàng)A,

當(dāng)xeQ時(shí)，尤+1eQ,.1Z)(x+1)=0(無),

當(dāng)xe\Q時(shí)/+1e\Q,O(x+1)=D(x)，故選項(xiàng)A正確；

關(guān)于選項(xiàng)B,當(dāng)尤e\Q時(shí),D(x)=0,二O(D(x))=0(0)=1豐D(x)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

關(guān)于選項(xiàng)C,當(dāng)xeQ時(shí),teQ,二。(力=D(-x),

當(dāng)xe\Q時(shí),te\Q,二。(力=D(-x),.'.D(x)為偶函數(shù),故選項(xiàng)C正確；

關(guān)于選項(xiàng)D,由解析式可知D(x)e｛0,1｝，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AC

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù)，若

“?I：*,；,其中Q為有理數(shù)集，則稱為狄利克雷函數(shù).對于狄利克雷函數(shù)”X),

IU,X仁Q

下面4個(gè)命題中真命題是()

A.對任意xeR,都有了"(切=1

B.對任意xeR,都有〃-x)+〃x)=0

C