浙江省數(shù)海漫游2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

浙江省數(shù)海漫游2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.20lnln24-（ln24）'n20=（）

A.0B.1C.2024D.2025

2.已知夕tan°=2,則6=（）

I2Jsinl

一一71—2

A.1B.2C.------D.7i—2

2

3.已知長(zhǎng)方體ABCD-A'3'CZ>'中，AB=BC=23E=4,則四面體的體積是（）

A.—B.16C.—D.32

33

4.設(shè)乙，5是單位向量，則（。+5的最小值是（）

A.-1B.0C.-D.1

4

5.天上有三顆星星，地上有四個(gè)孩子.每個(gè)孩子向一顆星星許愿，如果一顆星星只收到一

個(gè)孩子的愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩個(gè)孩子的愿望，那么向這顆星星許

愿的所有孩子的愿望都無(wú)法成真，則至少有兩個(gè)孩子愿望成真的概率是（）

1242

A.—B.—C.—D.一

9993

6.若數(shù)列｛%｝也｝滿足：對(duì)于任意正整數(shù)〃,如）40,則稱。“，6互為交

錯(cuò)數(shù)列.記正項(xiàng)數(shù)列｛玉｝的前〃項(xiàng)和為S“，己知1,#7口，x“成等差數(shù)列，則與數(shù)列｛七｝

互為交錯(cuò)數(shù)列的是（）

A.an=n+sinrmB.bn=n+cosrmC.cn=2n+sinnnD.dn=2n+cosrm

22

7.已知片，尸2分別為橢圓C：]+方=ig>b>0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)F2的一條直線與C交

于A,B兩點(diǎn),且|明1=1,則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是（）

A.4A/2B.3+20C.6D.4+20

8.已知貝IJ（）

y

A.x>0B.y>0

C.x<2D.y<2

二、多選題

9.已知正方形A8C。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且AC2x-y+l=0,則直線AB的方程

可能為（）

A.x+3y+l=0B.x-3y+l=0

C.3x+y+l=0D.3x-y+l=0

10.已知模長(zhǎng)均為1的復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足Z1+Z2=Z]Z2，則（）

A.[Z]+Z2|=1B.zl+z2=l

C"z；+z"=2D.z：+z；2

11.如圖，小黃家的墻上固定了一盞圓錐（截面△的為等腰直角三角形）形狀的燈，燈光

可以照亮的部分是個(gè)無(wú)限大的圓臺(tái)，其截面的邊界分別垂直于PA,PB.已知墻與地板垂直，

燈向上或向下轉(zhuǎn)動(dòng)的極限均為45。（即A8可以繞。點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。）.若地板和

墻都充分大，則燈光照在地板上的邊界的可能形狀有（）

墻

A.橢圓B.雙曲線的一支

C.拋物線D.一條直線

三、填空題

12.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，為，與構(gòu)成等比數(shù)列，則十的值是.（任寫(xiě)出一

個(gè)即可）

13.己知a,b,c>0,二次函數(shù)〃力=加+法+。有零點(diǎn)，則f+%9的最小值是.

14.若兩個(gè)體積相等的圓錐底面半徑之比為2,則它們表面積之比的取值范圍是.

四、解答題

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

15.在正四面體ABC。中,P是VABC內(nèi)部或邊界上一點(diǎn),滿足而=2荏+〃同，2+〃=；.

⑴證明：當(dāng)|。耳取最小值時(shí)，DP1BC；

(2WDP=xDA+yDB+zDC,^x2+y2+z2的取值范圍.

16.設(shè)a>0,函數(shù)/(x)="+x2+ln(a-x2).

⑴若aWl,討論〃尤)的單調(diào)性；

(2)求〃x)的最大值.

17.隨著疫情防控政策的優(yōu)化，國(guó)內(nèi)演唱會(huì)市場(chǎng)迅速升溫，一眾熱門(mén)歌手的演唱會(huì)現(xiàn)場(chǎng)更是

“一座難求”.小林是林俊杰的粉絲，他很想?yún)⑴c林俊杰“JJ20”世界巡回演唱會(huì)-杭州站.主辦

方被小林的真誠(chéng)打動(dòng)，特為小林開(kāi)辟了一個(gè)搶票通道，共100人從該通道參與搶票，每個(gè)人

能搶到票的概率均去，且搶票結(jié)果相互獨(dú)立

(1)為保證該搶票通道不會(huì)出現(xiàn)故障(不存在搶到票卻沒(méi)有座位的人)，主辦方至少要為該通

道預(yù)留多少?gòu)埰保?/p>

(2)由于主辦方非常喜歡小林于是允許多個(gè)人幫小林一同搶票,

但如果存在兩個(gè)人都幫小林搶到了票(包括小林自己)，則小林因?yàn)椤耙蝗硕嗥薄保瑹o(wú)法觀看

演出.那么，你建議小林額外找?guī)讉€(gè)人幫他一起搶票呢?請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

18.已知產(chǎn)為雙曲線C：V一與=i上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OP的垂直平分線與雙曲

a

線C相切.

⑴若點(diǎn)尸是直線x=與圓/+丁=2的交點(diǎn)，求a；

(2)求。尸|的取值范圍.

19.設(shè)數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增且各項(xiàng)均為正整數(shù)，數(shù)列｛%｝滿足％=工，記數(shù)列｛%｝的前，項(xiàng)

Z+1

和為s"，數(shù)列｛-%log?%｝的前w項(xiàng)和為7；.若存在正整數(shù)％22,使得s*=l,則稱,為數(shù)

列｛”｝的信息牖.

(1)已知存在正整數(shù)左，滿足log2%=；w(〃T),n=l,2,k,Sk=l,

①求尤川(用含人的表達(dá)式表示);

②證明：數(shù)列｛%｝的信息燧小于2；

⑵請(qǐng)寫(xiě)出Inx用，〃-5“，1ln2四個(gè)表達(dá)式的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ACADCDBDBCABC

題號(hào)11

答案BC

1.A

【分析】令％=ln24,y=ln20,可得20=e3結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】令元=ln24,y=ln20,則20=e>

所以20sM24_24)瓜2°=3)r」=(e吁

故選：A.

2.C

【分析】利用誘導(dǎo)公式可得tanO=tan[j_lJ,即可得結(jié)果.

C0C1

【詳解】因?yàn)閠an6=—

sinl

cos--1

(2

且。e%，尸71e%71,所以7171—2

2222

故選：C.

3.A

【分析】可知四面體AB'CD'即為長(zhǎng)方體ABC。-AB'C'D中去掉4個(gè)全等的三棱錐，結(jié)合

棱柱、棱錐的體積公式運(yùn)算求解.

【詳解】如圖所示:

可知四面體AB'CD'即為長(zhǎng)方體ABCD-AB'C'D'中去掉4個(gè)全等的三棱錐,

1132

所以四面體AB'CD的體積為4x4x2-4x-x2x—x4x4=—.

323

故選：A.

4.D

【分析】設(shè)商，5的夾角為。40,兀],則]]=cos6e[-l,l],結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律分析求解.

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】設(shè)入B的夾角為兀],

因?yàn)閨「|=|可=1，則。。=1?|z?|COS0=COSG[-1,1],

/rr、2rrr2r2「r,

可得(a+可-a-b=a+b+a-b=2+cos6)>l,當(dāng)且僅當(dāng)cos6=-l時(shí)，等號(hào)成立，

所以R+B)~-萬(wàn)-5的最小值是1.

故選：D.

5.C

【分析】利用古典概型的概率公式，結(jié)合排列組合知識(shí)求解.

【詳解】四個(gè)孩子向三顆星星許愿，一共有3、=81種可能的許愿方式.

由于四個(gè)人選三顆星星，那么至少有一顆星星被兩個(gè)人選，這兩個(gè)人愿望無(wú)法實(shí)現(xiàn)，至多只

能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)人的愿望，

所以至少有兩個(gè)孩子愿望成真，只能是有兩顆星星各有一個(gè)人選，一顆星星有兩個(gè)人選，

可以先從四個(gè)孩子中選出兩個(gè)孩子，讓他們共同選一顆星星，其余兩個(gè)人再選另外兩顆星,

有C；C；A；=36種情況，

364

所以所求概率為「=77=八.

ol9

故選：C.

6.D

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和乙與S”的關(guān)系，推得招=2〃+1,再由互為交錯(cuò)數(shù)列的定義,

對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析，可得結(jié)論.

【詳解】由1,斤斤，%成等差數(shù)列，可得2￡7?=1+為，%>。，

當(dāng)〃=1時(shí)，27^71=27^T1=1+不，解得再=3,

當(dāng)心2時(shí)，由4(S“+l)=(l+xJ,可得4(S,T+1)=(1+X“T)2,

上面兩式相減可得4x”=(2+x.+X,T)(X“-X“T),

化為2(%+%T)=(X“+X“_])(X“-X,T),

由％>0,即有無(wú)“一％_i=2,

代｝是3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可得％=3+2(,-1)=2”+1,

對(duì)A,an=n+sinnjt=n,

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

—％+1)=5—2幾一1)(〃+1—2〃-3)=〃2+3〃+2>0,

與數(shù)列｛%｝不互為交錯(cuò)數(shù)列，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)B,由[=〃+cos〃冗,可得(A-七)(4一九2)=(。一3"(3—5)=6>0,

與數(shù)列｛當(dāng)｝不互為交錯(cuò)數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)C,由%=2〃+sinmt=2n,

(cn_%〃)(c〃+i—七+i)=(2〃-2〃一1)(2〃+2—2幾-3)=1>0,

與數(shù)列｛五｝不互為交錯(cuò)數(shù)列，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)D,由4=2九+cos〃兀可得

(%-%)(4用—x”+i)=(2〃+cosmt—2〃—1)[2"+2+cos(〃7r+兀)-2w—3]=1—cos2ZZTI=0,

與數(shù)列｛%｝互為交錯(cuò)數(shù)列，故D正確.

故選：D.

7.B

【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合勾股定理，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】設(shè)|伍|=r,M|AB|=?+1,\BF\=2a-\,\AF\=2a-t,

由A￡_LAB,(z+1)2+(2a-1)2=(2a-1)2,貝!12a=^^>0,有Z>1,

t-1

)5)fl^2<7=-^-^I=(f-l)+—+3>3+2./(r-l)--=3+272,

t-\t-iVt-\

當(dāng)且僅當(dāng)(-1)=二；，即t=l+立時(shí)取等號(hào).

則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是3+20.

故選：B.

8.D

丫2jly-1

【分析】整理可得1-獷=F>0,可得中>d,利用圖象解不等式可得了2)"4,+e),

Ly

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

進(jìn)而可得0<1-|7M1,則2y<2|y|,利用圖象解不等式可得y口[1,2],對(duì)比選項(xiàng)

即可得結(jié)果.

2-2

^x+2y-22Q^

【詳解】因?yàn)?-—整理可得1—>o,則丁〉一，

y2、V

如圖所示：

可知：y=2"與y=d有3個(gè)交點(diǎn)，依次為不€[1,-],2,4,

可知2”>尤2的解集為(5,2)u(4,+oo),即XW(5,2)U(4,+8),

此時(shí)2工>爐20,可得0V二<1,則0<1-土W1,

2X2'

即0<勺41,整理可得2>422|,

y

_11

注意到2°>2x0,22<2--,

可知，=2>與7=2卜|有3個(gè)交點(diǎn)，依次為%

則不等式2”2M的解集為(一力,%]31,2],即ye(―%,%]u[l,2]；

對(duì)比選項(xiàng)可知：一定成立的只有選項(xiàng)D.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做

到心中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維.使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的

相關(guān)結(jié)論求解.

9.BC

【分析】由正方形的特征可知，直線科與直線AC夾角為｝由直線AC斜率利用兩角差

的正切公式求出直線A3的斜率，對(duì)照選項(xiàng)即可判斷.

【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為a,直線AC的傾斜角為P,

直線AC斜率為2,有tan"2,則六/磴

依題意有”":或八a三，

JTz\tana-tan,兀tana—21

當(dāng)，-尸」時(shí),tan(6T-p)=------------=tan—,即---------=1,

1+tanatan分4l+2tan。

解得tana=-3,即直線A3的斜率為-3,C選項(xiàng)中的直線斜率符合;

/、tan萬(wàn)一tana兀2—tana

當(dāng)即”:時(shí),tan(萬(wàn)一。)=-----------=tan—,即---------=],4

1+tantana4l+2tancr

解得tana=；,即直線A3的斜率為:，B選項(xiàng)中的直線斜率符合.

故選：BC

10.ABC

【分析】設(shè)馬="+Z?i(a,b￡R),z2=c+6fi(c,<7eR),由已知復(fù)數(shù)z-z2的模長(zhǎng)均為1,通

過(guò)變形可得負(fù)土至=“+c-(6+")i=l，即a+c=l且6+d=0,即可判斷選項(xiàng)AB,根據(jù)

Z1Z2

32

zf+zf=(Z1+Z2)-3(4+Z2)可判斷選項(xiàng)CD.

【詳解】設(shè)馬=a+Z?i(〃,Z?￡R),z?=c+4(c,d￡R),

因?yàn)閆]+Z2=Z]Z2，所以幺士三=1,

Z1Z2

z.+z1111c-dia-bi

-------9=----1—=-------1--------=--------------------1-------------------

ZKz2z1c+dia+bi(c+di)(c-di)(〃+歷)(〃一/?i)

-..c.-.d.i..1--a---b-i-

~c2+d2cr+b2'

因?yàn)閺?fù)數(shù)4，Z2的模長(zhǎng)均為1,

所以〃2+〃=],C1+d2=19

Z[+Z2c-dia-bi1

所以-----=——五+—~萬(wàn)=c-di+a-bi=a+c-(b+dji=19

Z]z2c+ua+b

即a+c=l且Z?+d=0,

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

所以Z1+Z2=〃+歷+c+di=〃+c+(b+d)i=l,故選項(xiàng)B正確；

所以t+Z2|=l,故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)?4+Z2丫=Z；+Z；+3Z^Z2+3Z]Z；=zf+z1+3平2(4+z2)

=z；+z；+3(Z]+z2)，

32

所以z：+z：=(zl+z2)-3(^+z2)=1-3x1=-2,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

又|z；+z；|=2,故選項(xiàng)C正確.

故選：ABC.

11.BC

【分析】根據(jù)題意建立用平面截圓臺(tái)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.

【詳解】根據(jù)題意，燈光可以照亮的部分是個(gè)無(wú)限大的圓臺(tái)，

該問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為用平面截圓臺(tái)，所得的截面問(wèn)題，

若固定燈不動(dòng)，則只考慮地板從ME旋轉(zhuǎn)到“邑，設(shè)NSMS]=e,

則根據(jù)圓錐曲線的定義，有：

截面與圓臺(tái)的軸平行時(shí)，截得雙曲線的一支；

截面與圓臺(tái)的母線平行時(shí)，截得拋物線；

截面不可能只與圓臺(tái)側(cè)面相交，不能截得橢圓；

截面不可能與圓臺(tái)側(cè)面相切，不能截得直線.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：燈向上或向下轉(zhuǎn)動(dòng)，判斷燈光照在地板上的邊界的可能形狀，問(wèn)題可以

轉(zhuǎn)化為用平面截圓臺(tái)，所得的截面問(wèn)題.

3

12.1或萬(wàn)(任寫(xiě)一個(gè)即正確)

【分析】設(shè)｛為｝公差為d,依題意有一=%%6,求得4=?；?=心可求:的值.

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝公差為“，由q,“4，%構(gòu)成等比數(shù)列，則有靖=。臼6,

即(4+3d)?=4(4+15d),解得&=0或4=d,

a3_q+2d_3d_3

d=0時(shí)，—=1；ax=d時(shí),

a2a2q+d2d2

3

故答案為：1或不（任寫(xiě)一個(gè)即正確）

2

13

-4

【分析】設(shè)6="奴，。=也,加,〃>。，則:+2+￡=,+'+〃，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)可得77122冊(cè)，

bcamn

設(shè)〃根）=,+"+〃，根N2?,利用對(duì)勾函數(shù)可得了㈣力（26），再結(jié)合基本不等式運(yùn)算

mn\7

求解.

nhc1m

【詳解】因?yàn)椤ǎ琤,c>Q,設(shè)b=ma,c=na,m,幾>0,貝"一+—+—=—+—+〃，

bcamn

二次函數(shù)f(%)=ax2+/?%+c有零點(diǎn),

則A=Z?2-4ac=^2Q2一4也2NO,可得mN2石i,

f(in\=—+—+n=—\m+—\+n,m>2G,

mnn\mJ

顯然2?>?,可知/㈣在[2而+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

555、°I55-3^/100

—n-\----7=—TI~\----H-------7=之3?]〃x—產(chǎn)x—■；=-----------

2sz44n4jn\Zn44n4

m=2y/n

當(dāng)且僅當(dāng)5加=10；時(shí)，等號(hào)成立,

n=一7=

[4〃

日n〃bc、3%00=匚］。。c.曰［/古曰3%00

BP-+-+->———，所以7+一+一的最小值是二——.

bca4bca4

故答案為：獨(dú)叵.

4

14.（對(duì)

【分析】設(shè)兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為2,了,高分別為〃,根據(jù)體積關(guān)系可得%=4〃,

，利用換元法令'一1］6⑷?+「°”，整理可

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

得2"+產(chǎn)+4_8/+,64』-2/+1

，分析可知關(guān)于的方程尤有正根，更

寸J1+16產(chǎn)+12x42-32a+21—1=0

換主元法結(jié)合一次函數(shù)零點(diǎn)分析求解.

【詳解】設(shè)兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為2r,r,高分別為

由題意可知：/=!%5產(chǎn)，可得期=4/7,

71x2rd4r之+02+兀x4r2

則它們表面積之比為

7ixr^r1+16/?2+兀x廠2

士K■工r>rIsi214+t?4-48%+464/-21+1

表面積之比為/--~

+16/+12

設(shè)x=切+&4產(chǎn)-2'+」>0,可知關(guān)于X的方程4/—32"+2,—1=0有正根,

2

即關(guān)于f的方程（2—32x）.+4Y—1=0在有根，

設(shè)/⑺=（2-32x）f+4x2-1,/

若2—32x=。，即工=上時(shí)，/(?)=--,不合題意;

［時(shí)，則〃。)/

若2—32xr0,即xx4x2-1）（4工2-16x）<0,

16

因?yàn)椋?必—1乂4%2—16x）=4x（2x+l）（2x—l）（x—4）<0,

且%>0,貝!!2x+l〉0,可得(2x—D(x—4)<0,解得5Vx<4；

綜上所述：X的取值范圍為g,4；

所以表面積之比的取值范圍是g,41

故答案為：g』.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:對(duì)于表面積之比利用換元法分析可知關(guān)于x的方程4/一32女+2/-1=0

有正根，更換主元可知關(guān)于/的方程(2-32x)"4f-1=0在10,￡|有根，結(jié)合一次函數(shù)零點(diǎn)

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

分析求解.

15.（1）證明見(jiàn)解析

⑵品

oZ_

【分析】（1）先根據(jù)條件確定P點(diǎn)的位置，再證明線線垂直.

（2）先探究％y，z與尢〃的關(guān)系，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求范圍.

【詳解】（1）如圖：取A8中點(diǎn)Af,AC中點(diǎn)N,連接跖V,AP=AAB+juAC

則荏=2麗/，AC=2AN.

因?yàn)镼=+〃次=24麗+2〃酢，彳+〃=：=24+24=1,

所以三點(diǎn)尸,M,N共線.

又四面體ABCD為正四面體，所以。0=DN,當(dāng)尸為MN中點(diǎn)時(shí)，DPLMN,此時(shí)⑷升取

得最小值.

又MNUBC,所以DP_L3c.

(2)易知0,-y,

DP=DA+AP=DA+^AB+iLiAC=DA+A{15B-DA^+in(DC-DA^=^DA+U5B+/jDC

=xDA+yDB+zDC.

所以x==，y=A,z=〃，

2

222222

i^x+y+z=-+A+ju=l+2+fl-2^=2矛-2+工(0<2<-).

44(2J22

1a

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)力=:時(shí)，尤?+y2+z?有最小值，為［；

4o

當(dāng)2=0或;時(shí)，V+y2+z2有最大值，為;.

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

31

故Y+J+zZ的取值范圍為：

o2_

16.(1)答案見(jiàn)詳解

(2)答案見(jiàn)詳解

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷了("的單調(diào)性；

(2)求導(dǎo)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷〃x)的單調(diào)性和最值.

【詳解】(1)令〃一％2>0,且〃>0,解得一夜<%<五，

可知“X)的定義域?yàn)椴酚?右)，且廣(同=2》_二^=包之二由，

a-x2a-x2

因?yàn)镺vaKl,_&-4a<x<4a則。一/>0,f_〃+]>0,

f

當(dāng)-V^<x<0時(shí)，/'(%)>。；當(dāng)0<X〈A/^時(shí)，/(x)<0；

可知/(%)在卜^/^,0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(。,內(nèi)單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知：〃x)的定義域?yàn)椴?,G)，且/,(引=2小2：+1),

若0<aVl,可知/(x)在卜G,。)內(nèi)單調(diào)遞增，在(0,6)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以“X)的最大值為“0)=o+lna；

若a>l,令尸(x)>0,解得一&<x<7a-1或0<x<y/a-1；

令/'(%)<。，解得-y/a-1<x<0或y/a-1<x<y[a；

可知/(%)在,7a-11(°，Jq-1)內(nèi)單調(diào)遞增，在卜7。-內(nèi)單調(diào)遞減,

且f卜八-1)=f(夜-1)=2a—l,

所以/(%)的最大值為2〃-1；

綜上所述：若0<々<1,"%)的最大值為〃0)=a+lna；

若/(%)的最大值為2〃-1.

17.(1)100

(2)18或19

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】（I）因?yàn)檫@100人均有可能搶到票，根據(jù)極大化原則分析判斷;

（2）設(shè)小林額外找左-l（AeN*）個(gè)人幫他一起搶票，可得搶到票的概率為4=

進(jìn)而求其最大值即可判斷.

【詳解】（1）因?yàn)檫@100人均有可能搶到票，若要保證該搶票通道不會(huì)出現(xiàn)故障,

所以主辦方至少要為該通道預(yù)留100張票.

（2）若小林額外找左-l9eN*）個(gè)人幫他一起搶票，

則搶到票的概率為久=C＞—xf—

"卜20UOj

令/＜1，解得人＞19；令*=1解得左=19；令率＞1,解得"左＜19；

即片〈鳥(niǎo)＜…＜/=蜃＞%＞…,

所以小林額外找18或19個(gè)人幫他一起搶票.

18.(I)i7=±l

⑵。，2）

【分析】（1）聯(lián)立方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程運(yùn)算求解即可;

（2）設(shè)尸（加,〃），r^\OF\,根據(jù)中垂線方程以及雙曲線的切線方程解得

2-。2+2a-/+/

換元令"1_",可得產(chǎn)=2,+/T+1),令x=r+J產(chǎn)一t+1,

可知關(guān)于x的方程--2比+”-1）=0有正根，更換主元法求范圍即可.

A/6\瓜

x二——x=-----

[x=y[iy2T2

【詳解】（1）聯(lián)立方程：解得＜l或彳i—，

[x+y=2o6

y=——y=-----

1212

旦_叵\

2_￡

將點(diǎn)尸代入雙曲線C：爐-當(dāng)=1可得。_2_|，解得/=1，

cT7Ti~L

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

所以a=±l.

22

⑵先證：在雙曲線3-斗=1上一點(diǎn)5,為）處的切線方程為笠-誓=1.

dbdb

2222

因?yàn)辄c(diǎn)優(yōu),為）在雙曲線3-2=1上，則號(hào)-普=1,

abab

顯然直線笑-碧^=1過(guò)點(diǎn)（%,%）,

ab

序丫2

即￥=整-見(jiàn)屋野一片君一%2,

R_￡=1

聯(lián)立方程屋"2，消去y可得正二匕巾爐+型元一;=。

xx420

oyoyzidd

db2~

即尤一/_容+/=o,則X2_2X°X+X；=0,解得X=X0,

22

所以在雙曲線*-5=l上一點(diǎn)5,為）處的切線方程為茨-咨=1.

d,bdb

設(shè)尸（伙*r=\OP\=7m2+n2,則療一勺=1,

—r/n/KtrnccEH±F/\/b、r7根)〃m^口rt2加2n,

可得線段。尸的垂直平分線為/：＞=x-—+-=-一x+———,BP—x+—y=l,

n\2y2n2nrr

設(shè)直線/與雙曲線c切于點(diǎn)01，%),則直線/：占彳-岑=i,

a

_2m_2m

24a4n2

且才一月=1,即4/,整理可得4（/-6/）=/=（布+/『，

a~A~2-1

又因?yàn)镻（〃2,〃）在雙曲線C上，則一5=1,即/="（療—1）,

2-。2+2a-。2+/

可得4-1）］="+"（療-訂，解得?。ㄉ嶝?fù)）,

1+〃2

貝|r2=m2+n2=m2+?2(^m2-1)=2H-?2-i-y/l-a2+a4

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

令t=I—。？e(—8,1),則/=1—f,可得廠=2,+，廠T+1}

令X=/+，則關(guān)于X的方程尤2-2a+("1)=0有正根，

即關(guān)于f的方程(1-2沙+/-1=0在(-8,1)內(nèi)有根，

設(shè)/⑺=(1-2%)+12-1,

13

若1—2x=0,即x=],則/“)=—^WO,不合題意；

若1一2了>0,即貝1]/(1)=f一2%>0,解得x<0,不合題意；

若1一2%<0,即x>：,貝1]/(1)=/一2了<0,解得:<x<2；

綜上所述：1<%<2,

2

則，=2xe(l,4),gp|0^=re(l,2).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中范圍問(wèn)題的方法

一般題目中沒(méi)有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾

何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值

域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的

轉(zhuǎn)化.

僅一1)僅+2)

19.⑴①x—2—^；②證明見(jiàn)解析

(2)5?(1-S,,)<7；,ln2<M-S?<lnx?+1

【分析】(l)①由l。g2X.=gw(〃T)，l。g2無(wú)"M=}7(〃+l)，兩式相減可得；②利用錯(cuò)位相

減求和即可證明.

(2)先令〃