專題14《復(fù)數(shù)》-《2020-2021學(xué)年高一下期末（浙江）數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)解析》（新高考新教材）

專題1.4《復(fù)數(shù)》一、單選題1．（2021·浙江湖州·高一期末）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)其幾何意義判斷其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限即可.【詳解】由，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A2．（2021·浙江杭州·高一期末）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由給定等式兩邊同時(shí)除以再經(jīng)計(jì)算即可得解.【詳解】因，則.故選：B3．（2021·浙江寧波·高一期末）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)判斷所在象限即可.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)象限為第二象限.故選:B4．（2021·浙江臺(tái)州·高一期末）在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.5．（2021·浙江麗水·高一期末）復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意可得，再由復(fù)數(shù)虛部的概念即可求解【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為2，故選：C6．（2021·浙江溫州·高一期末）的虛部為（

）A．1 B．1 C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用，化簡(jiǎn)，再得到其虛部．【詳解】因?yàn)?，的虛部?．故選：．7．（2021·浙江紹興·高一期末）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的幾何意義得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而判定.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,為第四象限的點(diǎn)，故選:D.8．（2021·浙江溫州·高一期末）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由此可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.9．（2021·浙江·高一期末）復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可【詳解】故選：A10．（2021·浙江嘉興·高一期末）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求解即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以．故選：．11．（2021·浙江寧波·高一期末）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：因?yàn)椋裕蔬x：．12．（2021·浙江湖州·高一期末）如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)m等于（

）A．﹣1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1【答案】D【解析】【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，然后使其實(shí)部為零，虛部不為零，從而可求出實(shí)數(shù)m的值【詳解】解：，因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以且，解得或，故選：D13．（2021·浙江衢州·高一期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.二、多選題14．（2021·浙江紹興·高一期末）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A．的實(shí)部為 B．的共軛復(fù)數(shù)是C． D．【答案】BD【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)概念，模的計(jì)算公式，以及共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為，所以A不正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，所以B正確；根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，可得，所以C不正確；由，所以D正確.故選：BD.15．（2021·浙江寧波·高一期末）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)的點(diǎn)在第四象限B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．的最大值為D．的最小值為【答案】AC【解析】【分析】復(fù)數(shù)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選項(xiàng)A正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，1為半徑的圓，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不一定在第一象限，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；的最大值為，故選項(xiàng)C正確；的最小值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【詳解】復(fù)數(shù)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以點(diǎn)在第四象限，故選項(xiàng)A正確；復(fù)數(shù)滿足i|=1，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，1為半徑的圓，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不一定在第一象限，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；表示點(diǎn)，之間的距離，所以的最大值為，故選項(xiàng)C正確；表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，所以的最小值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC16．（2021·浙江麗水·高一期末）下列四個(gè)命題中，不正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則B．若復(fù)數(shù)，滿足，則C．若復(fù)數(shù)（），則為純虛數(shù)的充要條件是D．若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用特值法與復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A：令，則，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若復(fù)數(shù)，滿足，令，則，，故B正確；對(duì)于C：若復(fù)數(shù)（），則為純虛數(shù)的充要條件是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)，，時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：ACD17．（2021·浙江省桐廬中學(xué)高一期末）是著名的歐拉公式，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.若，，恒成立且，則表示的復(fù)數(shù)不可能位于復(fù)平面中的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BCD【解析】【分析】利用平方關(guān)系及二倍角的余弦公式可求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及，可求得的范圍，再根據(jù)歐拉公式及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】解：，由，，則，，所以，又因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以，根?jù)，則，因?yàn)?，則，所以，所以表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的第一象限.故選：BCD.三、填空題18．（2021·浙江金華·高一期末）______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.19．（2021·浙江臺(tái)州·高一期末）已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則滿足，解得.故答案為：.20．（2021·浙江麗水·高一期末）設(shè)復(fù)數(shù)，則_________________.【答案】1【解析】【詳解】解法一：由題意可得：.解法二：21．（2021·浙江寧波·高一期末）設(shè)，若，則的最大值為________．【答案】3【解析】【分析】設(shè)，，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式及函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】解：，，設(shè)，，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以，所以則的最大值為3，故答案為：3．22．（2022·浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）設(shè)，且滿足，則______．【答案】1【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法及復(fù)數(shù)相等求得，即可得結(jié)果.【詳解】由，則，所以.故答案為：123．（2021·浙江溫州·高一期末）若復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式代入計(jì)算，可得，化簡(jiǎn)配方可求出模的最小值.【詳解】解：，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：24．（2021·浙江溫州·高一期末）若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算求解即可．【詳解】因?yàn)椋?，所以的最小值為．故答案為：?5．（2021·浙江省桐廬中學(xué)高一期末）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，使得關(guān)于的方程有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)的和為________【答案】【解析】【分析】設(shè)，（且），將原方程變?yōu)椋瑒t①且②；再對(duì)分類討論可得；【詳解】解：設(shè)，（且）則原方程變?yōu)樗?，①且，②；?）若，則解得，當(dāng)時(shí)①無(wú)實(shí)數(shù)解，舍去；從而，此時(shí)，故滿足條件；（2）若，由②知，或，顯然不滿足，故，代入①得，所以綜上滿足條件的所以復(fù)數(shù)的和為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用，屬于中檔題.四、解答題26．（2021·浙江麗水·高一期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是____．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)在以圓心是，半徑為的圓上，而表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，所以的最大值就是.故答案為：7.27．（2021·浙江寧波·高一期末）（Ⅰ）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：；（Ⅱ）如圖，在矩形中，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，求的值．【答案】（Ⅰ）方程的根為或；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把方程化為，開平方求出方程的解；（Ⅱ）建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，計(jì)算的值．【詳解】解：（Ⅰ）方程可化為，所以，解得原方程的根為或．（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，．設(shè)，，由，解得，所以，，所以．28．（2021·浙江·高一期末）已知，為復(fù)數(shù)，且滿足，(是虛數(shù)單位).（1）若是純虛數(shù)，求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）由題意，設(shè)，根據(jù)題意列出方程，即可求解；（2）因?yàn)?，得到?duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓上，結(jié)合的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）由題意，設(shè)，可得為純虛數(shù)，則.則，所以.（2）因?yàn)?，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓上，表示的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以當(dāng)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即時(shí)，有最大值6.29．（2021·浙江臺(tái)州·高一期末）已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位).（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求得；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到，利用復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.【詳解】（1）由題意，復(fù)數(shù)，可得.（2）因?yàn)椋傻?，所?30．（2021·浙江溫州·高一期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（1，2），，，且為純虛數(shù)．（1）求a的值；（2）若的共軛復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)，的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用復(fù)數(shù)的幾何意義，求得，再設(shè)，利用復(fù)數(shù)相等求a的值；（2）將代入方程，求實(shí)數(shù)，的值.【詳解】（1）由條件可知，，，則，所以，解得：