抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用（5大壓軸考法）解析版-2024-2025學(xué)年人教版2高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題14抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單

調(diào)性、奇偶性

目錄

解題知識(shí)必備..............................................

壓軸題型講練...................................................................4

題型一、抽象函數(shù)定義域..................................................4

題型二、抽象函數(shù)求值....................................................5

題型三、抽象函數(shù)解析式..................................................8

題型四、抽象函數(shù)的單調(diào)性...............................................10

題型五、抽象函數(shù)的奇偶性...............................................13

壓軸能力測(cè)評(píng)(12題)........................................................19

??解題知識(shí)必備”

一、抽象函數(shù)定義域的確定

所謂抽象函數(shù)是指用〃%)表示的函數(shù)，而沒(méi)有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題，關(guān)鍵是

注意對(duì)應(yīng)法則。在同一對(duì)應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對(duì)象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致

的，都在同一取值范圍內(nèi)。

抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由a空(x)@求出.

⑵若已知函數(shù)/(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則/(x)的定義域?yàn)間(x)在加時(shí)的值域.

注：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問(wèn)題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用

集合或區(qū)間來(lái)表示.

二、抽象函數(shù)的性質(zhì)

L周期性：f(x+a)-f(x)=>T=a；/(%+a)=-/(%)=>T-2a；

f[x+a)=x=>T=2tz；(左為常數(shù))；f(x+a)=f(x+b)^>T=|a-Z?|

2.對(duì)稱性：

對(duì)稱軸：f(a-x)=y(a+x)^<f[la-x)=/(%)=>/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱；

對(duì)稱中心：/(a-x)+/(a+x)=2b或者/(2a-x)+/(x)=2bn/(x)關(guān)于(a,b)對(duì)稱；

3.如果/(x)同時(shí)關(guān)于x=a對(duì)稱，又關(guān)于0,c)對(duì)稱，則/(x)的周期T=|a—4

4.單調(diào)性與對(duì)稱性(或奇偶性)結(jié)合解不等式問(wèn)題

①/(x)在R上是奇函數(shù)，且/'(X)單調(diào)遞增n若解不等式/(XJ+/(%2)>0,則有

再+%>0；

/(X)在R上是奇函數(shù)，且/(X)單調(diào)遞減n若解不等式/(^)+/(%2)>0,則有

再+%2<°；

②/(X)在R上是偶函數(shù)，且/(X)在(0,"。)單調(diào)遞增n若解不等式/(%1)>/(%2),則有聞>網(wǎng)(不

變號(hào)加絕對(duì)值)；

/(x)在7?上是偶函數(shù)，且/(x)在(0+。)單調(diào)遞減n若解不等式/(x1)>/(x2),則有同<國(guó)(變號(hào)

加絕對(duì)值)；

③/(x)關(guān)于(a,b)對(duì)稱，且/⑴單調(diào)遞增n若解不等式/(斗)+/(々)>2兒則有

西+冗2>2。；

/(X)關(guān)于(a1)對(duì)稱，且/(X)單調(diào)遞減n若解不等式/(%1)+/(%2)>2&,則有

再+犬2<2。；

④/(X)關(guān)于X=a對(duì)稱，且/(X)在(凡”)單調(diào)遞增n若解不等式/(^)>/(々)，則有\(zhòng)xx-d\>\x2-a\

(不變號(hào)加絕對(duì)值)；

/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱，且/(x)在(a,+QO)單調(diào)遞減n若解不等式/(^)>/(x2)>則有上一。|<民一《

(不變號(hào)加絕對(duì)值)；

三、抽象函數(shù)的模型

【反比例函數(shù)模型】

反比例函數(shù)-(X+M點(diǎn)累p則〃x)=—,[訝⑴)均不見(jiàn)

【一次函數(shù)模型】

模型1：若/(X土y)=/(x)±〃y),則/(%)=/⑴X；

模型2：若"X土y)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數(shù);

模型3：若/(%+y)=/(x)+f(y)+m,則/(x)=[/(l)+m\x-m；

模型4：若/0-丁)=/(%)-/(?+加,則/(x)=[/(l)-m]x+m；

【指數(shù)函數(shù)模型】(供提前了解)

模型1：若y)=/(x)f(yr則f(x)=[/(l)r；模X)>0

模型2：若/(%一丁)=荒^,則/(x)=["l)『/(x)>0

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)m,則/⑴」“[)向；

m

模型4：若/(x-y)=mH,則y(x)=m""；

J\y)m

【對(duì)數(shù)函數(shù)模型】(供提前了解)

模型1：若/(/)=叭*)，則/(x)=/(a)log“x(a>dl.wLx>0)

模型2：若/(盯)=/(%)+/(丁)，則/0)=/(。)1080%(。>0且/1,羽丁>0)

Y

模型3：若/(7)=/(%)-/(>),則/(x)=/(a)log“x(a>(X@.wLx,y>0)

模型4：若/(盯)=/(x)+/(y)+m,則/(%)=[/(。)+加]108/-加伍>0且彳1,%?>0)

模型5：若/(：)=/(x)—/(y)+m,則/(x)=[/(a)-問(wèn)噫I+加(。>0且工1,%,>>0)

【幕函數(shù)模型】(供提前了解)

模型1：若/(盯)=/(x)/(y)，則/(力=/(。產(chǎn)"(?！?且工1)

模型2：若/(j)=黑，則〃％)=〃"嗎”(。>0且21,丁20,〃丁)工0)

代入則可化簡(jiǎn)為募函數(shù)；

【余弦函數(shù)模型】(供提前了解)

模型1：若/(%+y)+/(X-y)=2/(x)/(X)(/(x)不值為0),則/(%)=coswx

模型2：若〃x)+/(y)=2/(4產(chǎn))/(三馬(〃x)不恒為0)，則/(x)=coswx

【正切函數(shù)模型】(供提前了解)

模型.若/(x土y)=/(x)±/(y)"(x)/(y)wl),則〃、,

醫(yī)士，七八刀1干/(%)〃,)\八"'八f(x)=tanwx

一9

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=4(x)/(>0(/(x”p[lM),貝ij/(x)=^coswx

K

x壓軸題型講練2

【題型一抽象函數(shù)定義域】

一、單選題

1.(23-24高一上?重慶璧山?階段練習(xí))已知函數(shù)/(元)的定義域?yàn)椤?,2],則/(3-2x)的定義域?yàn)?)

A.[1,2]B.[-1,2]C.[-1,5]D.[1,1]

【答案】A

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】由于函數(shù)/(元)的定義域?yàn)閇T,2],故—143—2龍W2,解得;4x42,

即函數(shù)〃3-2尤)的定義域?yàn)槎?2].

故選:A.

2.(23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?期中)已知函數(shù)f(x+2)的定義域?yàn)?T3),則，(x)的定義域?yàn)?)

A.(-1.DB.(1,5)C.(-3,1)D.(0,2)

【答案】B

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的對(duì)應(yīng)特征分析求解.

【詳解】對(duì)于函數(shù)f(x+2)：因?yàn)閤e(T3),則x+2e(l,5),

所以的定義域?yàn)?1,5).

故選：B.

3.(24-25高一上?全國(guó)?單元測(cè)試)已知函數(shù)y=〃x-l)的定義域是[-L2],則y=/(l-3x)的定義域?yàn)?)

A.一；,0B.-1,3C.[0,1]D.

【答案】C

【分析】由函數(shù)y=〃x-l)的定義域可得彳-1目-2』，對(duì)于y=/(l-3x)可得1-3xe[-2』，運(yùn)算求解即

可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)>1)的定義域是[T2],即-1,2],貝！|x—1目-2』；

對(duì)于函數(shù)y=/(l-3x),可知1-3彳目-2』，解得xe[0』，

所以函數(shù)y=/(l-3x)的定義域?yàn)閇0,1].

故選：C.

二、填空題

4.（23-24高一上.湖南邵陽(yáng)?期中）已知函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)閇1,9],則函數(shù)>=/（無(wú)B的定義域

為.

【答案】

【分析】可根據(jù)相同對(duì)應(yīng)關(guān)系括號(hào)內(nèi)取值范圍一樣解出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/（x）的定義域?yàn)閇1,9],

所以l<x<9,

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/（尤2）,

所以即14尤W3或—3WXW—1,

故答案為：卜3,-1]口[1,3]

5.（24-25高一上?全國(guó)?課堂例題）若/（2%+1）的定義域是[-L3],則〃尤）的定義域?yàn)?

【答案】[-1,7]

【分析】根據(jù)題意，列出不等式求解即可.

【詳解】???-1WXV3,

/.-l<2x+l<7,

???”尤）的定義域?yàn)閇T，7].

故答案為：[T,7].

/（2x-3）

6.（23-24高一上.江西贛州.階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是[2,5],則函數(shù)y=的定義域

是?

【答案】（3,4]

【分析】應(yīng)用求解抽象函數(shù)的定義域的方法求出了（2x-3）的定義域，和--2%-3>0的解集，即可求解.

【詳解】由題意得函數(shù)f（x）的定義域是[2,5],

令t=2x—3,所以2W/W5,即242x—3W5,解得

由f一2了一3>0,解得x<-l或x>3,

了⑵一3）,1

所以函數(shù)>=[）的定義域?yàn)椋?,4].

yx—2x—3

故答案為：（3,4],

【題型二抽象函數(shù)求值】

一、單選題

1.（24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）滿足則“2）()

A-4B-i-I

【答案】D

【分析】根據(jù)題意分別令尤=2、x=g和x=T,運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?/[占）=1+尤，

令x=2,可得〃2）+/（-1）=3；

令x=j可得][+〃2）=|；

兩式相加可得/（-l）+/[|j+2/（2）=|,

令x=_l,可得"T+ffo；

QQ

則2/（2）礙即"2）="

故選：D.

2.（24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)"X）滿足=-=則下列結(jié)論中正確

的是（）

A./g]=-2B./⑵=0C./（4）=1D.48）=2

【答案】A

【分析】利用賦值法對(duì)無(wú),V進(jìn)行合理取值，即可得出選項(xiàng)中各函數(shù)值，得出結(jié)論.

【詳解】令…得"1)=。;

令x=l,y=2得=-/(2)=-1,所以"2)=1；

令元=2,y=4得〃4)=—1,所以44)=2；

令x=4,y=8得/［；)=”4)一/⑻=-1,所以48)=3；

令x=l,y=4得/⑴-”4)=-2.

綜上只有A正確.

故選：A

3.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)“X)滿足"X+y)=/(X)++2孫，若"1)=1,則"25)=(

A.25B.125C.625D.15625

【答案】C

【分析】利用賦值法結(jié)合條件可得/(〃)=〃?進(jìn)而即得；或構(gòu)造函數(shù)/(力=》2求解.

【詳解】解法一：由題意取x=〃(〃eN),y=l,可得

門(mén)〃+1)=/(〃)+川)+2〃

=f(n-l)+2f(1)+2(/I-1)+2M

=/(71-2)+3/(1)+2(?-2)+2(?-1)+2；7

=5+1)/⑴+2(1+2+…+”)

即知/(〃)=/(1)+〃(〃-1)="+〃("-1)=〃2,貝!|/(25)=625.

解法二：令g(x)=〃x)--，貝Ijg(x+y)=〃x+y)-(x+_y)2

=/W+/(J)+2xy-(x+v)2=/(x)+/(y)-x2-y2=g(x)+g(y),

所以g(")=g(〃T)+g⑴=?,?=監(jiān)⑴=〃(”1)-產(chǎn))=。，

即g(")=/5)—/=0,所以"")=〃2,貝！|〃25)=625.

解法三：由〃尤+，)="力+〃村+2孫可構(gòu)造滿足條件的函數(shù)/("=/，

可以快速得到“25)=625.

故選：C.

二、多選題

4.(23-24高一上?吉林?期末)已知函數(shù)/(X)對(duì)任意x,yeR,恒有/(x+y)=〃x)+〃y)+2孫+2,且

=則()

A./(0)=-1B."2)=6C./(O)=-2D.42)=2

【答案】CD

【分析】賦值法，分別令無(wú)=、=。，》=y=i,即可得出答案.

【詳解】令x=y=。，得/(0)=/(0)+/(0)+2,則〃o)=-2.故A錯(cuò)誤,C正確;

令尤=y=l,得〃2)=〃1)+〃1)+2+2=2.故8錯(cuò)誤，D正確.

故選：CD.

三、填空題

5.（23-24高一上.山東.階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,若/（x+y）=/（x）+/（y）+2召-1對(duì)任意

實(shí)數(shù)無(wú)，y都成立，則/'（（））=；/（4）—4/（1）=.

【答案】19

【分析】令x=y=O可求得"0）=1;令x=y=l得〃2）=2〃1）+1,令X=y=2得,

/（4）=2/（2）+7,相減即可求得.

【詳解】因?yàn)椤▁+y）=/（x）+〃y）+2沖-1對(duì)任意實(shí)數(shù)X,y都成立，所以令x=y=o得,

/(0)=2/(0)-1,解得"0)=1；令x=y=l得,

/(2)=2/(1)+1,令x=y=2得,

/(4)=2/(2)+7,所以〃4)=2[2〃1)+1]+7=4〃1)+9,所以八4)—"(1)=9.

故答案為：1;9.

6.（24-25高一上?湖南?開(kāi)學(xué)考試）如果函數(shù)y=/⑺滿足：〃。+6）=〃?！?）（。,6為實(shí)數(shù)），且/。）=2,

那“在茄比/⑶+/⑸+/（2019）7（2021）

那么代數(shù)式面+麗+…+7P+7P

【答案】505

【分析】根據(jù)題目規(guī)律，先求出篇，進(jìn)而求得答案?

【詳解】根據(jù)題意，令6=1,貝U/（a+l）=/（a）/XD,

11

所由以14而/（??。┖右?

所以蟲(chóng)2=心=/(202DJ

/(4)/(6)/(2022)2

因?yàn)?,5,7,9,…,2021共有1010個(gè),

所以懵端…譚

故答案為:505.

【題型三抽象函數(shù)解析式】

一、填空題

1.（23-24高三上.廣東惠州?階段練習(xí)）已知函數(shù)“X）滿足〃x+l）=〃x）+2,則〃x）的解析式可以

是.（寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)解析式即可）

【答案】/（尤）=2x（答案不唯一）

【分析】利用待定系數(shù)法求解即可，若設(shè)/（?=依，然后代入化簡(jiǎn)求出。即可.

【詳解】若設(shè)/（幻=5則由"x+l）=〃x）+2,

得。(尤+l)=ox+2,解得。=2,

所以/(x)=2無(wú)，

故答案為：/U)=2x(答案不唯一)

2.(23-24高一上?廣東佛山?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足Vx,yeR,

f(2xy+3)=/(x)./(j)-3/(y)-6.r+9,/(0)=3,不等式/(x)>x的解集為.

【答案】(T+8)

【分析】利用賦值法先求出解析式，再求解不等式可得答案.

【詳解】令x=y=O,得/(3)=/(0)"(0)-3f(0)+9=9.

令>=0,則”3)=/(x)"(0)—3/(0)—6尤+9,ap9=3/(x)-9-6x+9,解得/'(無(wú))=2尤+3,

則不等式/⑺>x的解集為(-3,+8).

故答案為：(-3,內(nèi))

二、多選題

3.(23-24高一上.安徽淮南?階段練習(xí))已知函數(shù)Ax)滿足f(x+y)=f(x)+/(y),x,yeR,則()

A./(0)=0B.〃左)=必⑴歡eZ

C./(X)=V(￡|，(DD./(-%)/?<0

【答案】ABC

【分析】結(jié)合已知條件，利用賦值法逐項(xiàng)判斷.

【詳解】對(duì)于A,7(0)=/(0+0)=/(0)+/(0)=2/(0),/(0)=0,故A正確；

對(duì)于B,f(k)=f(k-I)+f(V)=f(k-2)+/(I)+/(I)=?,?=/(l)+/(l)+-?■+/(I)=^(1),MB1E^;

對(duì)于c的7〔？尤+，7tH+佃寸山卜佃

=...=/(胃+q+…+4L'肛故c正確；

對(duì)于D,f(x-x)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=f(0)=0,f(x)=-f(-x),f(x)f(-x)=-(/(x))2<0,故D錯(cuò)

誤.

故選：ABC.

三、解答題

4.(2024高一?全國(guó)?專題練習(xí))已知“X)-2/(￡|=3X+2,求〃x)的表達(dá)式

【答案】/(x)=-x---2(x^0)

【分析】在原式中用工替換X,得力口-2/3=3+2,與原式聯(lián)立方程組，求解即可.

XJ%

【詳解】在原式中用工替換X,得/已[-2〃X)=3+2,

XIxJX

消去了［￡|,得/(x)=-x-，2(xw0).

9

所求函數(shù)的表達(dá)式為〃龍)=-尤-最-2(xw0).

5.(23-24高一?江蘇.假期作業(yè))設(shè)/'(X)是R上的函數(shù)，/(0)=1,并且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)尤,V都有

/(x+y)=/(y)+x(x+2y+l),求〃x).

【答案】/(x)=x2+x+l

【分析】利用賦值法可求〃x)的解析式.

【詳解】由已知條件得"0)=1,又〃x+y)=/(y)+x(x+2y+l),

設(shè)丫=一龍，貝!|/(%—力=/(-尤)+%(—尤+1),

所以1=/(--X)-^2+x即/(-x)=x2-x+1

/(x)=x2+x+l.

此時(shí)/(x+y)=x?+2xy+y1+x+y+1,

而/(y)+x(x+2y+l)=》2+1xy+x+y1+y-sr-1=f{x+~y),

符合題設(shè)要求，故〃x)=d+x+l.

【題型四抽象函數(shù)的單調(diào)性】

一、解答題

1.(23-24高二下?四川南充?階段練習(xí))已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y,

y(x+2y)=/(x)+2/(y).

⑴若/⑴=-2,求/[)，的值?

⑵若久〉0時(shí)恒有/(x)<0,試判斷函數(shù)/0)單調(diào)性，并說(shuō)明理由.

⑵f(x)為R上的減函數(shù)，理由見(jiàn)解析.

【分析】⑴取尸產(chǎn)0,可得"0)=0,取x=0,y=1,解得/取尤=y=|，解得破，即可

得出答案.

(2)由題意可知〃x+2y)-〃x)=2/(y),設(shè)馬＞王，令:血萬(wàn)土，則小。，作差，伍)-〃王)，進(jìn)而可

得答案.

【詳解】解：⑴取戶產(chǎn)。，則〃0)=〃0)+2〃0),“0)=0,

取x=0,y=；,則八1)=〃0)+2/出，/出=一1，

取尸0,y=l,解得〃0+2)="0)+2/⑴,則八2)=T,

取x=y=|,貝+解得=

(2)由題意可知〃x+2y)—/(x)=2/(y),

設(shè)尤2＞為，令1=%2?，則才＞0，

所以/(尤2)-〃%)=〃%+2。一/(3)=2/(。＜0,

所以/(%)＜?/■&)，

所以函數(shù)在R上為減函數(shù).

2.(23-24高一下?貴州六盤(pán)水?期中)已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x,'都滿足〃x+y)=〃x)/(y),

且〃x)w0.當(dāng)尤＞0時(shí)，/(x)＞l,且〃2)=9.

⑴求"1),“3)的值；

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明/(X)在R上單調(diào)遞增；

⑶若對(duì)任意的xeR,/(2尤2-4+0”3〃尤-5)〃3彳-4)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴"1)=3,*3)=27

(2)證明見(jiàn)解析

(3)-2＜a＜3

【分析】(1)利用賦值法可得/■⑴與f(3)；

(2)利用賦值法可得"0)=1,且當(dāng)x＜0時(shí)〃力＞0；

2

(3)結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性可得不等式2f一人+82/j,BP(2x-4x+8)min之/—d,

據(jù)二次函數(shù)最值可知片-“46,解不等式即可.

【詳解】⑴由/(尤+y)=〃x)〃y),

則〃2)=〃1+1)=/(1)=9,

又當(dāng)尤>0時(shí)，/(%)>1,

則“1)=3,

/(3)=/(l+2)=/(l)-/(2)=3x9=27；

⑵令尸0,貝！l/(x+O)=〃x)"(O),即"0)=1,

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,/(-力>1且/卜+(—句)=/'(尤).〃一力=1,

即"看

>0,

即〃x）>0在R上恒成立,

“尤+y）

由/(x+y)=f(x)/(y),可知

?。?/p>

令%=X+y,x2=x,且石>%2，即玉一>°，

則瑞

所以/（占）>/（當(dāng)），

即f（x）在R上單調(diào)遞增；

（3）由已知/（2尤-2+a）N3"x-5）/（3x-4）=3〃4x-9）,

又由（1）得"1）=3,

所以f（2x2-/+a）N3/（4x-9）=/（l）f（4x-9）=/（4x-8）,

又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

貝！12/一/+々z4無(wú)一8恒成立，

所以2X2-4X+8>/一。恒成立,

X2X2-4X+8=2(X-1)2+6>6,

即/一Q46,

解得-2<aK3.

3.（23-24高二下?福建福州?期中）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椋ā?+動(dòng)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)4，馬都有

/（^x2）=/（^）+/（x2）+l,且當(dāng)0cx<1時(shí)，.

⑴求〃1）的值；

⑵試判斷了（x）的單調(diào)性，并證明；

⑶若/(6%2-5%)+1＞0,求x的取值范圍.

【答案】(1)〃1)=一1

⑵“X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由賦值法即可求解，

(2)利用單調(diào)性的定義即可求證，

(3)由函數(shù)的單調(diào)性，列不等式即可求解.

【詳解】(1)令再=苫2=1,得〃1)=〃1)+〃1)+1,解得〃1)=一1；

(2)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減,證明如下：

不妨設(shè)?！丛佟从?，

所以/(工2)-/(%)=/(工2)-［土,工2

\x27

=/(々)_/%］+/(工2)+1=_/［工］-1，

\X2J\X2J

/、

所以?！次澹?,所以-廣生

又°＜王＜乙,<1,所以〃%)-〃不)<0,

%J

即/㈤<〃%),

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

(3)由(2)知〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

若f(6爐-5x)+1>0,即/(6X2-5X)>-1=/(1),

2

叫?,,f16x-5x><01，

解得」<x<0或|<x<l,即X的取值范圍是卜

【題型五抽象函數(shù)的奇偶性】

一、單選題

1.(23-24高一下?貴州遵義?期末)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,/(x+y)=/(x)+/(y)-2,則(

A./(0)=0B.函數(shù)/(x)-2是奇函數(shù)

C.若"2)=2,則廣(2024)=-2D.函數(shù)〃x)在(0,+8)單調(diào)遞減

【答案】B

【分析】對(duì)A,賦值法令x=y=o求解；對(duì)B,賦值法結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷；對(duì)C,令y=2求得函數(shù)的

周期求解；對(duì)D,利用單調(diào)性定義結(jié)合賦值法求解判斷.

【詳解】對(duì)于A,令x=y=O,可得〃0)=〃0)+〃0)-2,解得7(0)=2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令—可得〃0)=/(6+〃一力—2,又"0)=2,

貝！]/(-x)-2=—/(x)+2=-[/(x)-2],所以函數(shù)/(x)-2是奇函數(shù)，故B正確；

對(duì)于C,令y=2,得“x+2)=/(x)+〃2)-2=/(x),則/?(%)是周期函數(shù)，周期為2,所以

廣(2024)="0)=2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令x=&,y=x2-xlt且三>玉>0,貝！|/(占+%_玉)=/(玉)+/(%_%1)_2,

即“工2)--石)-2,而x>0時(shí)，f(x)與2大小不定，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

2.(23-24高一下?河南洛陽(yáng)?期末)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,f^)f(b)-f(a)=ab-b,則()

A./(0)=0B./(1)=2C.〃%)-1為偶函數(shù)D./⑺―1為奇函數(shù)

【答案】D

【分析】對(duì)于A,令b=。,可求出”0)進(jìn)行判斷，對(duì)于B,令。=人=1,可求出了⑴進(jìn)行判斷，對(duì)于CD,

令a=0,6=x,可求出/(x),從而可求出進(jìn)而可判斷其奇偶性.

【詳解】對(duì)于A,令b=0,則〃。)〃0)-〃。)=0,得/⑷"⑼-1]=0,

所以“。)=0或"0)=1,

當(dāng)/(〃)=0時(shí)，〃。)/儂)-/(。)=必一萬(wàn)不恒成立，所以"0)=1,所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,令a=b=l,則-/⑴=0,得/⑴"(1)-1]=0,

所以“1)=0,或"1)=1，

由選項(xiàng)A可知/(1)片0,所以“1)=1,所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于CD,令a=0,6=x,貝!|〃0)〃x)-〃0)=T,由選項(xiàng)A可知40)=1,

所以/(x)=l-x,所以/(X)-1=1-X-1=T,

令g(x)=/(尤)-l=-x,貝!]g(T)=尤=-g(x),

所以g(x)為奇函數(shù)，即〃力-1為奇函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，D正確，

故選：D

3.(23-24高一下?黑龍江大慶.開(kāi)學(xué)考試)己知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且若

/(x+y)+f(x)/(y)=4xy,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.

D.函數(shù)/[x+g]是減函數(shù)

C.是偶函數(shù)

【答案】C

【分析】首先利用賦值法求得了1-￡]的值，再賦值＞=-＜，求得/的解析式，即可判斷C,再根

據(jù)函數(shù)的解析式，賦值判斷BD.

【詳解】對(duì)于A,令尤=；、y=°，則有1￡|+/1卜〃0)=/0+〃0)]=0,

又卜0,故1+〃0)=0,即〃0)=-1,

令X=g、＞=_

BP/(O)+/Q]/^-1]=-I,由〃0)=-I,可得.'4一3=°，

又嗎卜0,故O,故A正確；

對(duì)于C,令y=T，貝！]有/、一￡|+/3(-￡|=4”

則[尤-m=-2肛故函數(shù)/卜-￡|是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,有/(X+1-￡|=-2(X+1)=-2X-2,即1X+J=-2X-2,

則函數(shù)是減函數(shù)，故D正確；

對(duì)于B,由無(wú)一￡|=-2X,令X=1,有H=-2xl=-2,故B正確.

故選：C

二、多選題

4.(23-24高一上?遼寧遼陽(yáng)?期末)已知函數(shù)"為)對(duì)任意x,yeR恒有f(x+y)=f(x)+f(y)+4取+1,且

"1)=1,則()

A./(O)=-lB.“X)可能是偶函數(shù)

C.〃2)=8D.〃x)可能是奇函數(shù)

【答案】AB

【分析】根據(jù)條件，通過(guò)賦值法，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,令x=y=O,得〃0)=〃0)+〃0)+1,則”0)=-1,所以選項(xiàng)A正確；

令丫=一元，得f(0)=〃x)+/(T)-4d+l,則小)+〃-力=4幺-2,

對(duì)于選項(xiàng)B,若“X)是偶函數(shù)，貝4(力=/(-力=2/-1,所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,若〃x)是奇函數(shù)，貝！+1)=2/0,所以“X)不可能是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,令x=y=l,得〃2)=〃1)+〃1)+4+1=7,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

故選：AB.

5.(23-24高一上.浙江金華?階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(尤)滿足/(x)+/(y)=/(x+y),則下列說(shuō)法正

確的是()

A./(O)=OB.=

C./(尤)為奇函數(shù)D.f(x)在區(qū)間共九,〃］上有最大值f(〃)

【答案】ABC

【分析】令x=y=o,求得〃0)=0,可判定A正確；令丫=一了,推得/(—x)=—/(x),可判定c正確；

用一，代替y,可判定B正確；由〃%)-/5)=〃玉)+〃-三)=〃%-%),因?yàn)?(x「x2)的符號(hào)不確定，可判

定D不正確.

【詳解】由定義在R上的函數(shù)〃力滿足〃x)+/(y)=/(x+y),

令無(wú)=y=0,可得"⑼=〃0),可得"0)=0,所以A正確；

令丁=一，可得/(、)+/(-尤)"(。),因?yàn)?0)=0,可得=

所以函數(shù)7'(x)為定義域上的奇函數(shù)，所以C正確；

用-y代替y,可得/(x)+/(-y)"(x)-/(y)=/(x-y),所以B正確；

任取尤i，%eR,且王＜%,貝！

則〃x)-〃丈2)=/(占)+/(-/2)=/(西-三)，

其中…J的符號(hào)不確定，所以函數(shù)/(尤)的單調(diào)性不確定，

所以/(x)在區(qū)間卜外山上的最大值不一定為了(〃)，所以D不正確.

故選：ABC.

6.(23-24高一上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(無(wú))，對(duì)任意實(shí)數(shù)羽兒都有

/3)=W(x)+V(y),則()

A./(o)=oB./(1)=0

C./(16)=16/(2)D.“X)為奇函數(shù)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，令令x=y=O,可判定A正確；令x=y=l,可判定B正確；令x=y=4,求得

f(16)=8/(4),再令x=y=2,可判定C錯(cuò)誤；令尤=y=T,求得〃T)=0,

再令y=-i,得至U/(—x)=-/(x),可判定D正確.

【詳解】由題意知，定義在R上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)尤,V,都有〃W)=W(x)+4(y),

對(duì)于A中，令尤=y=0,得/'(0)=0,所以A正確；

對(duì)于B中，令尤=y=l,得/(1)=/(1)+/(1),則/(1)=0,所以B正確；

對(duì)于C中，令無(wú)=y=4,得〃16)=4〃4)+4〃4)=8〃4),

再令x=y=2,得〃4)=2/(2)+2〃2)=4/(2),

可得〃16)=8〃4)=32/(2),所以C錯(cuò)誤.

對(duì)于D中，令x=y=T,M/(l)=-2/(-l)=0,則/(-l)=0,

再令y=-i,得〃-0=-〃力+獷(-1)=-/(尤)，則”尤)為奇函數(shù)，所以D正確.

故選:ABD.

三、解答題

7.(23-24高一下?河北保定?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足：〃x+y)=/(x)+〃y)-3^(x+y).

⑴判斷V=/(x)的奇偶性并證明；

⑵若/'⑴=1,求/(-2)；

⑶若Vx>0"(力+無(wú)3>0,判斷并證明y=/⑺+d的單調(diào)性.

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析

⑵4

(3)y=/(x)+d在R上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析

【分析】(I)根據(jù)條件，通過(guò)賦值x=y=o,得到"0)=0,再賦值y=-x,即可證明結(jié)果；

(2)通過(guò)賦值x=y=l,得到〃2)=-4,再利用(1)中結(jié)果，即可求出結(jié)果；

(3)根據(jù)條件，直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義法，即可證明結(jié)果.

【詳解】(I)y=/(x)是奇函數(shù)，證明如下：

因?yàn)?(x+y)=/(x)+/(y)-3節(jié)(x+y),令％=丁=。，得到"0)=0,

令y=得至U/(o)=/(x)+/(一尤)=0,即〃T)=-/(x),所以y=/(x)是奇函數(shù).

⑵令x=y=l,得至|]〃2)=〃1)+/(1)—6=T,由⑴知y=/(x)是奇函數(shù)，

所以〃-2)=-八2)=4.

（3）y=/（x）+x3在R上單調(diào)遞增，證明如下：

在R上任取網(wǎng)>々，令h{x}=/（x）+X3,

則〃（占）-//（々）=/（占）+X：-/（尤2）—X；=/（玉-尤2+%）-/（尤2）+（再一%）（工：+XlX2+X2）

x

=/(Xj—x2)—3(玉—x2)x2xt+(Xj—x2)(無(wú)；+XjX2+尤;)=/(王一尤2)+(七一2)(x；-2XJX2+x；)

3

=/(x1-x2)+(x1-x2),

又因?yàn)閈/》>0,/(%)+尤3>0,而％-尤2>0,所以/(王一%)+(王-X2)3>0,

即〃(玉)-拉(三)>。，得到以為)>/&),所以y=/(x)+x3在R上單調(diào)遞增.

8.(23-24高一上?山東?階段練習(xí))已知定義在(-8,0)U(0,+8)上的函數(shù)“X)滿足%鬻,

當(dāng)x>0時(shí)，/W>0,且/⑴=1.

⑴求f(2)"(-l)；

(2)判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(3)判斷，(無(wú))在(-90)上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴;；-1

⑵奇函數(shù)；理由見(jiàn)詳解

(3)單調(diào)遞減，理由見(jiàn)詳解

【分析】(1)利用賦值法即可求得；(2)利用賦值構(gòu)造或代換得到/(x)與f(-x)關(guān)系，進(jìn)而判斷函數(shù)奇偶

性；(3)賦值構(gòu)造出了(占)-/(%)表達(dá)式，再運(yùn)用定義證明函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】⑴令x=2,y=l,可得/⑴-〃2)=*儼=〃2),

^\/

解得八2)=:；

令x=l,y=-l,可得⑴=**，），解得/（T）=T.

(2)/(尤)為奇函數(shù)，理由如下:

而f（l-x）

〃x）T〃x）T'

小)

/H-i〃尤)

得〃T)==-/W

1/(x)/(x)-l-/(x)

/W-1

故"X)在(-8,0)U(0,+8)上是奇函數(shù)

(3)當(dāng)x>0時(shí)，/?>0,所以當(dāng)x<0,貝!|-x>0,得了(一可>0,

又“力在(-s,0)U(0,+8)上是奇函數(shù)，所以當(dāng)x<0,則/(x)<0,

設(shè)占<當(dāng)<。，則〃再)7(%)=第畀

所以〃占)"(々)>。,/仇一不)>0,故/a)>/(%),

了(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)求解證明時(shí)，一般是通過(guò)賦值法，即在已知等式中讓自變量取特殊值求得一

些特殊的函數(shù)值，解題時(shí)注意所要求函數(shù)值的變量值與已知的量之間的關(guān)系，通過(guò)賦值還能得出函數(shù)的奇

偶性、周期性、單調(diào)性.

X壓軸能力測(cè)評(píng)??

一、單選題

1.(24-25高一上?湖北黃岡?階段練習(xí))已知函數(shù)/(/一同定義域?yàn)?0,2),則定義域是()

]_4

C.D.1i

3'3y3

【答案】C

【分析】根據(jù)/(V-X)的定義域?yàn)閤e(0,2),可得/一x的范圍，也是」一1的范圍，解出X的范圍即是/(--I)

XX

的定義域.

【詳解】因?yàn)?(/-X)的定義域?yàn)閤e(0,2),

.-.^<X2-X<2,對(duì)于函數(shù)/d-l)有一JWJ■一1<2,解得定義域?yàn)閤etA.

4x4x133」

故選：C

2.(23-24高一上?吉林延邊?階段練習(xí))已知定義在(。,+“)上的函數(shù)/(“滿足/⑴-4/(￡|=-，，則/(2)

的值為()

2442

【答案】D

【分析】由已知可知/(J]-4/(X)=T5X,與已知的式子聯(lián)立方程組可求出了(無(wú))，從而可求出/(2)的值.

【詳解】因?yàn)槎x在(。,+8)上的函數(shù)〃尤)滿足〃尤)-4/&[=-7，

所以/[JT"X)=T5X,所以(￡|=4/(X)-15X,

所以/(尤)-4[4/(x)-15x]=-",解得/(x)=4x+^,

XX

117

所以"2)=8+5=3，

故選：D

3.(23-24高一上?安徽宣城?期末)已知函數(shù)〃x)滿足/(孫)=/(￡)+『3-1,且為、€(0,e)，貝。

皿+/4+〃1)+/⑵+〃3)=()

A.0B.1C.5D.-

2

【答案】C

【分析】通過(guò)賦值得*1)=1,〃X)+/[￡|=2,由此即可得解.

【詳解】由題意在/(孫)=/(x)+/(y)-1中令尤=y=i,則〃1)=2〃1)-1,解得"1)=1,

令y=J貝!J〃1)=1=〃X)+4￡|T,則/(X)+(J=2,

所以/。+/(?+〃1)+〃2)+〃3)=〃1)+〃2)+(力+/(3)+(3=1+2+2=5.

故選：C.

4.(2023?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且"x)=x3(￡|(xe(-s,0)U(0,+⑹)，

f(x)+/(y)+2孫=〃x+y),則“3)的值是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】由賦值法先得F(o)=o,再由/■⑴與/(-1)關(guān)系列式求解.

【詳解】/(x)+/(y)+2ay=/(x+y)中令x=y=0,貝！|/(0)=。，

〃x)+〃y)+2孫=〃x+y)中令X=l,y=-l,貝!+1)-2=〃0)=0,

又〃司=//住]中令尸一1,貝！)〃T)=0,所以"1)=2,

/(x)+/(y)+2冷=/(x+y)中，令x=y=l,貝!J/(2)=2/(l)+2=6,

再令尤=1,y=2,則八3)=〃1)+〃2)+4=2+6+4=12.

故選：D

5.(23-24高一下.河南洛陽(yáng)?期末)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,f?f?_f(a)=ab_b,則()

A./(O)=OB./(1)=2C.〃*一1為偶函數(shù)D.”力―1為奇函數(shù)

【答案】D

【分析】對(duì)于A,令6=0,可求出“0)進(jìn)行判斷，對(duì)于B,令a=b=l,可求出了⑴進(jìn)行判斷，對(duì)于CD,

令a=0,6=x,可求出/(無(wú))，從而可求出f(x)-1,進(jìn)而可判斷其奇偶性.

【詳解】對(duì)于A,令6=0,貝(=得=

所以/(。)=0或/(0)=1,

當(dāng)/(a)=0時(shí)，伍)-〃。)=必一萬(wàn)不恒成立，所以"0)=1,所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,令a=b=3則/⑴/⑴寸⑴=0,得/⑴"(1)-1]=0,

所以/⑴=0,或/⑴=1,

由選項(xiàng)A可知/(1)20,所以"1)=1,所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于CD,令a=0