2024-2025學年湖北省武漢某中學九年級上學期9月月考數學試題及答案

九年級（上）數學限時作業(yè)9.15

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.將一元二次方程3必一》-2=°化成一般形式后，常數項是-2,則二次項系數和一次項系數分別是（）

A.3,-2B.3,1C.3,-1D.3,0

2.拋物線丁=必與y=f2相同的性質是（）

A.開口向下B.對稱軸是y軸C.有最低點D.對稱軸是x軸

3.用配方法解方程f-4x+l=0,變形后的結果正確的是（）

A.（x-2『=3B.（x-2『=-3C.（x-2）2=5D.（x-2『=-5

4.拋物線y=2x2-3向左平移1個單位長度后得到新拋物線，新拋物線的解析式為（）

A.y=2x2-4B.y=2（x+l『-3

C.y=2（x-l）2-3D.y=2x2-2

5.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數

是157,設每個支干長出的小分支數目為x,根據題意，下面所列方程正確的是（）

A.l+x+%2=i57B.x+x2=157

C.（1+X）2=157D.l+（l+x）2=157

6.知一元二次方程/+3尤+1=0的兩根為4、X],則為々+玉+々的值是（）

A.-4B.-2C.2D.4

7.若關于X的一元二次方程左2必—（2左+1）%+1=0有兩個實數根，則上的取值范圍是（）

,1,1D.左之一」且左H0

A.k>——B.k>——C.k>—且左H0

4444

8.在同一平面直角坐標系中，一次函數丁=丘+匕和二次函數y=6（x+上7的大致圖象是（)

第1頁/共5頁

必

c/h

9.已知拋物線y=G2+法+（?（?！?）的對稱軸為直線x=l,與x軸的一個交點為（-1,0）.若關于x的一

元二次方程。x?+"x+c=p（p＜0）有整數根，則p的值有（）

A.1個B.2個C.3個D.5個

10.拋物線y=V_3x+2與直線y=x-1交于48兩點，拋物線上只有三個點到直線y=x-l的距離為m,

則m的值是（）

A.—B.1C.D.收

24

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.拋物線丁=—（%—1）2+5的頂點坐標是.

12.若y=（m—2）x帆+1是關于尤的二次函數，則加=.

13.九（2）班元旦晚會上，某活動小組每兩位同學間互贈一張賀卡、共贈賀卡132張，如果設活動小組有x

名學生，則列出的方程化為一般式為.

14.已知二次函數y+法+。自變量x與函數值j之間滿足下列數量關系，則代數式a-b+c的值等

于.

X-3-2-10

y-9-3-1-3

15.二次函數丁=。必+法+4。。0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（-1,0）,對稱軸為直線x=l.下列結

論：?2a+b=0；?9a+3b＜-c；③若點A（—3,%）、點點。（4,%）在該函數圖象上，則

%＜為＜%；④若方程。（％+1）（%-3）=-3的兩根為毛和%，且%＜%2，貝1」再＜-1,馬＞3.其中一定正

確的結論有（填寫序號）.

第2頁/共5頁

16.已知拋物線y=爐—（機+2）%+5m-3在-1Vx<1的范圍內能使y21恒成立，貝。根的取值范圍為

三、解答題（共8題，共72分）

17.用指定方法解方程：

（I）%2_4x=8；（配方法）

（2）2x2+3x-l=0.（公式法）

18.已知二次函數丁=。必一5%+。的圖象與無軸交于4（1,0）、3（4,0）.

（1）求二次函數的解析式；

（2）當y=10時，求自變量x的值.

19.隨著人們環(huán)保意識的不斷增強，我市家庭電動自行車的擁有量逐年增加.據統(tǒng)計，某小區(qū)2009年底擁

有家庭電動自行車125輛，2011年底家庭電動自行車的擁有量達到180輛.若該小區(qū)2009年底到2012年

底家庭電動自行車擁有量的年平均增長率相同，則該小區(qū)到2012年底電動自行車將達到多少輛？

20.已知二次函數y=（依-l）（x-3）的圖象與無軸兩個交點的橫坐標均為整數，且左為負整數.

（2）若尸（七%）,。（-2,%）是拋物線上的兩點，且%>為請畫出函數圖象，并結合函數圖象直接寫出實

數。的取值范圍是.

第3頁/共5頁

21.閱讀下列材料：若關于x的一元二次方程。必+加;+。=0（4。0）的兩個實數根分別為d、/，則

bc、

芭+%2=---'X]%=一?解決下面問題:

aa

已知關于x的一元二次方程4/+4〃％+〃2=4x有兩個不等實數根4、%，

（1）求〃的取值范圍;

22

（2）當“W0時，設加=—+一，試用含〃的代數式表示出相；

再x2

（3）在（2）的條件下，若機=4,求出〃的值.

22.小明的爸爸投資1200元圍一個矩形菜園（如圖），其中一邊靠墻（墻長24m）,另外三邊選用不同材料

建造.平行于墻的邊的費用為20元/m,垂直于墻的邊的費用為15元/m,設平行于墻的邊長為xm.

IB

（1）設垂直于墻的一邊長為ym,求y與尤之間的函數關系式；

（2）設菜園的面積為Sn?,求S與x的函數關系式，并求出當5=546時x的值；

（3）請問菜園的最大面積能達到600m2嗎？如能，求出x的值；如不能，說明理由.

23.如圖，△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°，。是3c的中點,E點在線段5。上運動，作等邊QDEE.

（1）如圖1,ODEE在5c的上方，且廠點恰好落在線段A5上，求——的值；

AF

（2）如圖2,ODEE在5c的下方，X在CB延長線上，CE=EH,連接AF、FH,求證：

AF工FH；

（3）如圖3,將QDEE繞D點旋轉，連接BE,已知A3=2百,DE=2，直接寫出AR+5E的

最小值為.

1

24.如圖1,拋物線丁=一5左92+g+6機與x軸交于A、2兩點（A在2左邊），與丁軸正半軸交于C點,

第4頁/共5頁

OA=-OC.

3

(2)如圖2,N點在拋物線上，ZACN=2ZBAC,求N點的橫坐標；

(3)如圖3,P是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于R點，過點的直線/分別交拋物線

于。、E兩點，直線P。、PE分別交工軸于G、H兩點,求證：FG-FH為定值,并求該定值.

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九年級(上)數學限時作業(yè)9.15

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.將一元二次方程3爐-x-2=°化成一般形式后，常數項是-2,則二次項系數和一次項系數分別是()

A.3,-2B.3,1C.3,-1D.3,0

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程一般形式的相關概念是解題的關

鍵.一元二次方程3V-x-2=0就是一般形式，再找出二次項系數和一次項系數即可.

【詳解】解：；3x2—%—2=0是一般形式，常數項是—2,

二次項系數和一次項系數分別是3和-1,

故選：C.

2.拋物線丁=必與^二一V相同的性質是()

A.開口向下B.對稱軸是y軸C.有最低點D.對稱軸是x軸

【答案】B

【解析】

【分析】根據二次函數y=ax2(aw0)的性質分析即可.

【詳解】解：>0,

拋物線y=%2的開口向上，對稱軸為y軸，有最低點；

V-1<0,

.??拋物線y=-d的開口向下，對稱軸為y軸，有最高點.

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數丁=。M(0#0)的性質，是基礎知識，需熟練掌握.拋物線y=(aw0)

是最簡單二次函數形式.頂點是原點，對稱軸是y軸，。>0時，開口向上；a<0時，開口向下.

3.用配方法解方程f-4x+l=0,變形后的結果正確的是()

A.(x-2)、3B.(X-2)2=-3C.(x-2)2=5D.(x-2)2=-5

【答案］A

【解析】

第1頁/共25頁

【分析】此題考查了一元二次方程的配方法.把常數項移到等式右邊后，利用完全平方公式配方得到結

果，即可作出判斷.

【詳解】解：f-4x+l=0,

x2-4x=-l，

配方得Y-4X+4=-1+4,即（x—2）2=3,

只有選項A符合題意；

故選：A.

4.拋物線y=2——3向左平移1個單位長度后得到新拋物線，新拋物線的解析式為（）

A.y=2x2-4B.y=2（x+l）2-3

C.y=2（x-l）2-3D.y=2x2-2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次函數圖象的平移.根據二次函數的平移規(guī)則“左加右減”即可得到答案.

【詳解】解：將拋物線y=2爐—3向左平移1個單位長度，

所得新拋物線的函數解析式為y=2（x+l）2-3,

故選：B.

5.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數

是157,設每個支干長出的小分支數目為無，根據題意，下面所列方程正確的是（）

A.1+X+X2=157B.x+x2=157

C.（1+x）2=157D.l+（l+x）2=157

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用.根據題意主干，支干和小分支的總數是157,列出方程即可.

【詳解】解：每個支干長出尤個小分支，根據題意得：

1+x+X?=157,

故選：A.

6.知一元二次方程/+3彳+1=0的兩根為為、％，則王馬+七+馬的值是（）

第2頁/共25頁

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握關于1的一元二次方程

蘇+加；+。=0（叱0）的根與系數關系：x1+x2=--,%匹=￡是解題的關鍵.根據一元二次方程根與

aa

系數的關系得到％l+%2=-3，%,％2=1，代入進行計算即可得到答案.

【詳解】解：?.?一元二次方程￡+3%+1=0的兩根為不，/，

再+%=-3,xi-x2=l,

二.%入2+再+元2=1—3——2,

故選：B.

7.若關于X的一元二次方程左2k—（2左+1）%+1=0有兩個實數根，則上的取值范圍是（）

A.k>--B.k>--C.左>一工且左HOD.左》一,且左HO

4444

【答案】D

【解析】

【分析】根據一元二次方程中二次項系數不為零及根的判別式建立不等式組求解即可.

左2wo

【詳解】解：由題意得：〈「,、［2,，

［―（2左+1）］-4k2>0

解得：k>—且左HO.

4

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵，注意不要忽略

“一元二次方程二次項系數不為零”這一隱含條件.

8.在同一平面直角坐標系中，一次函數丁=履+。和二次函數y=6（x+左『的大致圖象是（）

第3頁/共25頁

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一次函數與二次函數的圖象，解題的關鍵是對參數上和6進行分類討論.分當左＞0,

6＞0時，當上＞0,人＜0時，當上＜0,〃＞o時，當左＜0,人＜o時，四種情況討論即可.

【詳解】解：對于一次函數丁=履+。和二次函數丁=。(％+左『的圖象，

①當左＞0,6＞0時，一次函數丁=履+。的圖象過第一、二、三象限，二次函數y=o(x+左『的圖象開

口向上，對稱軸在y軸左側，沒有選項符合；

②當上＞0,6＜0時，一次函數丁=丘+。的圖象過第一、三、四象限，二次函數y=o(x+k)2的圖象開

口向下，對稱軸在y軸左側，沒有選項符合；

③當k＜0,6＞0時，一次函數丁=丘+。的圖象過第一、二、四象限，二次函數,=〃%+左)2的圖象

開口向上，對稱軸在y軸右側，選項B符合；

④當上＜0,人＜0時，一次函數丁=丘+。的圖象過第二、三、四象限，二次函數y=o(x+k)2的圖象

開口向下，對稱軸在y軸右側，沒有選項符合；

故選：B.

9.已知拋物線y=。必+6x+c(a〉0)的對稱軸為直線x=l,與x軸的一個交點為(-1,0).若關于x的一

元二次方程ax?+0x+C=p(p＜0)有整數根，則〃的值有()

A.1個B.2個C.3個D.5個

【答案】B

【解析】

第4頁/共25頁

【分析】本題考查了二次函數圖象拋物線與X軸及常函數y=P（P<0）直線的交點橫坐標與一元二次方程

根的關系.根據題意可知一元二次方程的根應為整數以2+笈+。="（°<0）,通過拋物線

、=以2+加；+或?！?）的對稱軸為直線》=1,與x軸的一個交點為（-1,0）.可以畫出大致圖象判斷出直

線y=p（—4aWy<0）,觀察圖象當-4〃Vy<0時，拋物線始終與x軸相交于（-1,0）與（3,0）.故自變量

x的取值范圍為-l<x<3.所以x可以取得整數0,1,2共3個.由于x=2與x=0關于對稱軸直線x=l

對稱，所以x=2與x=0對應一條平行于x軸的直線，，x=l時對應一條平行于x軸且過拋物線頂點的直

線，從而確定>時，P的值應有2個.

【詳解】解：：拋物線丁=0?+加；+（?（?！?）的對稱軸為直線％=1,

b

.?.——=1,解得。=—2”.

2a

又丁拋物線y=ax2+bx+c（a〉0）與無軸的一個交點為（-1,0）,

把（-1,0）代入y=ax2+Zzx+c得，0=〃+2〃+c,

解得：c=—3a.

y=ax2-lax-3a（a>0）.

對稱軸h=l,最大值k=-4a.

如圖所示，

頂點坐標為(L—4a),

令ax2-lax-3<7=0>

即V—2x—3=0，

解得％=-1或%=3.

???當a>0時，拋物線始終與x軸交于（-L0）與（3,0）,

第5頁/共25頁

ax2+bx+c=p.

即常函數直線y=o,由“<o,

/.-4a<y<Q,

由圖象得當-4aWy<。時，一1<%<3,其中x為整數時，x=Q,1,2.

一元二次方程ax'+bx+c-p(p>0)的整數解有3個.

又???x=0與x=2關于直線x=l軸對稱，

當x=1時，直線>=。恰好過拋物線頂點，

所以P值可以有2個.

故選：B.

10.拋物線y=x2-3x+2與直線y=尤-1交于42兩點，拋物線上只有三個點到直線y=x-1的距離為m,

則m的值是()

A.—B.1C.D.72

24

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查二次函數的性質、一次函數的應用，二元二次方程組，二元一次方程的根的判別式等知

識.如圖當直線/與/'和直線A5平行，直線/與拋物線只有一個交點，且直線/與直線/'和直線A3的距離

相等，此時，直線/與直線/'和拋物線的交點滿足條件.求出點E的坐標，證明DAHE是等腰直角三角形即

可解決問題.

【詳解】解：如圖當直線/與/'和直線A3平行，直線/與拋物線只有一個交點，且直線/與直線/'和直線A5

的距離相等，此時，直線/與直線/'和拋物線的交點滿足條件.

E

VA^Y"

設直線/與拋物線的交點為E,作石H_LAB于H.

y=X2-3x+2=：[x=3

由〈解得〈)或1交2，

[y=x-i[y=(

第6頁/共25頁

.?.A(1,0),8(3,2),

2

tanNBAE=----=1,

3-2

/.ZBAE=45°,

設直線/的解析式為y=%+。，

y=x+b

由「2oc，消去y得到爐-4x+2-0=0,

y=x-3x+2

由題意A=0,16-4(2-0)=0,

解得b=-2.

‘%=2

方程組的解為《八，

y=0

二?￡(2,0),

VZHAE=45°,且A￡=l,

m—HE=.

2

故選：A.

二、填空題(每小題3分，共18分)

11.拋物線丁=—(%—1)2+5的頂點坐標是.

【答案】(1,5)

【解析】

【分析】本題考查了二次函數的性質.根據拋物線y=a(x-丸尸+女的頂點坐標為(九左)求解即可.

【詳解】解：拋物線y=—(x—I?+5的頂點坐標是(1,5),

故答案為：(1,5).

12.若y=(機—2)xH+l是關于x的二次函數，則加=.

【答案】—2

【解析】

【分析】此題考查了二次函數的定義，形如y=/x+Ax+c(awO)的函數是二次函數.根據定義解答即

可，熟記定義是解此題的關鍵.

【詳解】解：.??函數y=(m—2)萬帆+1是二次函數，

第7頁/共25頁

m—2于0

"\H=2，

解得：m=-2,

故答案為：-2.

13.九（2）班元旦晚會上，某活動小組每兩位同學間互贈一張賀卡、共贈賀卡132張，如果設活動小組有x

名學生，則列出的方程化為一般式為.

【答案】X2-X-132=0

【解析】

【分析】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程.設全班有工人.根據互贈卡片一張，則X人共贈卡片

—1）張，列方程即可.

【詳解】解：根據題意得，

x（x-l）=132,即爐-x-132=o,

故答案為：X2-%-132=0.

14.已知二次函數y=。必+6x+c自變量x與函數值j之間滿足下列數量關系，則代數式a-b+c的值等

于.

X-3-2-10

y-9-3-1-3

【答案】-1

【解析】

【分析】本題考查二次函數的性質.由表格可得x=-1時y=-1,據此求解即可.

【詳解】解：=—1時y=—L

ci—b+c=—1.

故答案為：-1.

15.二次函數丁=依2+樂+C（。。0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（-1,0）,對稱軸為直線x=l.下列結

論：?2a+b=0；?9a+3b<-c；③若點A（—3,%）、點B]—|,%]，點。（4,%）在該函數圖象上，則

%<%<為；④若方程。（％+1）（%-3）=-3的兩根為王和%，且玉<%2，貝|西<-1,彳2>3.其中一定正

第8頁/共25頁

【解析】

【分析】本題考查二次函數的圖象與性質.根據拋物線的對稱軸可判斷①正確；根據拋物線的對稱性，求得

圖象也過點(3,0),據此可判斷②錯誤；先求得(4,%)關于直線x=l的對稱點為(-2,%),%<1時，y隨

著x的增大而增大，據此可判斷③錯誤；方程。(x+l)(x-3)=-3有兩根，可看作直線>=-3與拋物線

y=a(x+l)(x-3)有兩個交點，根據二次函數的圖象與性質即可求出答案.

【詳解】解：①由題意可知：對稱軸x=l,

.一=1,

2a

:.2a+b=0,故①正確；

②圖象過點(-1,0),對稱軸為直線I=1,

??.圖象也過點(3,0),即當％=3時，y=0,

y=9a+3b+c=0,即9。+3/?=—。，故②錯誤；

③(4,%)關于直線x=1的對稱點為(-2,%)，

由圖可知：％<1時，y隨著x的增大而增大，

2

由于-,

%<%<%，故③錯誤；

④設y=a(x+l)(x-3),y=-3,

由于圖象可知：直線>=一3與拋物線y=a(x+l)(x-3)有兩個交點，

方程a(x+1)(%-3)=-3的兩根為X］和x2,

第9頁/共25頁

:.x1<-1<3<X2,故④正確；

綜上，正確的只有①④，

故答案為：①④.

16.已知拋物線y=Y—(機+2)x+5m-3在-1<xV1的范圍內能使y21恒成立，貝。根的取值范圍為

【答案】m>^-

4

【解析】

【分析】本題考查了二次函數的圖象的性質，熟練掌握二次函數的增減性是解題的關鍵.分三種情況：當

m+2?,,m+2?,,m+2?,

------21時，當-----V—1時，當—IV-------41時，討論即可.

222

【詳解】解：y=d—(m+2)x+5機—3的對稱軸為直線工=嗖，開口向上，

m+2

①當-----21時，即加20時，

2

要使在—IVx<l的范圍內能使y21恒成立，

只需x=l時的函數值大于等于1,即F—(加+2)+5m-321,

解得：加2?,

4

結合加20,得：771>—;

4

加+2

②當-----V—1時，即加W—4時，

2

要使在—IVx<l的范圍內能使y21恒成立，

只需x=—1時的函數值大于等于1,BP(-l)2+(m+2)+5m-3>l,

解得："讓，

結合機4-4,得無解；

m+2

③當一14------VI時，即-4<加<0時，

2

要使在—1<x<1的范圍內能使y21恒成立，

只需了=等時的函數值大于等于1,即-(m+2)-^^+5m-3>b

化簡得：m2-16m+20<0?

第10頁/共25頁

解得：8-2VlT<m<8+2VlT-

結合一lvx<l,得無解；

綜上，得加2—,

4

故答案為：m>1-.

三、解答題（共8題，共72分）

17.用指定方法解方程：

（1）X2-4X=8;（配方法）

⑵2Y+3x-1=0.（公式法）

【答案】（1）石=2+26，々=2—26；

0、—3+y/17—3—yfll

（2）X.=-----------，X,=------------

1424

【解析】

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種方式是解題的關鍵.

（1）運用配方法即可解答.

（2）運用一元二次方程求根公式解答即可.

【小問1詳解】

解：x2-4x=8>

配方得4+4=8+4,即（x-2『=12,

開方得x—2=±2百，

解得x=2土2A/3，

即％=2+2V,x2=2—2V3；

【小問2詳解】

解:2d+31=0,

a=2,b=3,c=-1,

A=/一4。。=32-4x2x(-1)=17>0,

第11頁/共25頁

.-3±V17-3±V17

??x—--------二---------，

2x24

.-3+V17-3-V17

144

18.已知二次函數丁=。必—5x+c的圖象與x軸交于A(1,O)、3(4,0).

(1)求二次函數的解析式；

(2)當y=10時，求自變量無的值.

【答案】(1)y=d—5x+4；

(2)當y=10時，自變量x的值為-1或6

【解析】

【分析】此題考查了二次函數與x軸的交點、待定系數法求二次函數解析式以及一元二次方程的應用，熟練

掌握待定系數法是解本題的關鍵.

(1)將A與8坐標代入二次函數解析式求出。與c的值，即可確定出二次函數解析式；

(2)把y=10代入解析式解一元二次方程即可.

【小問1詳解】

解：將4(1,0),5(4,0)代入解析式得：

a—5+c=0

16a—20+c=0

解得：a=1,b=4.

則拋物線解析式為y=必—5x+4；

【小問2詳解】

解：當丁=10時，即/一5》+4=10，

解得：%=-1>尤2=6,

???當y=10時，自變量x的值為-1或6.

19.隨著人們環(huán)保意識的不斷增強，我市家庭電動自行車的擁有量逐年增加.據統(tǒng)計，某小區(qū)2009年底擁

有家庭電動自行車125輛，2011年底家庭電動自行車的擁有量達到180輛.若該小區(qū)2009年底到2012年

底家庭電動自行車擁有量的年平均增長率相同，則該小區(qū)到2012年底電動自行車將達到多少輛？

第12頁/共25頁

【答案】該小區(qū)到2012年底電動自行車將達到216輛

【解析】

【分析】設年平均增長率為x,根據增長率相同可以得到2020年的擁有量為125(1+%)輛，2021年的為

125(l+x『輛.

【詳解】解：設2009年底到2011年底家庭電動自行車擁有量的年平均增長率為x,

根據題意得125(1+x『=180,

解得%=0.2=20%,%=—2.2(不符合題意，舍去)，

.\180x(1+20%)=216(輛)，

答：該小區(qū)到2012年底電動自行車將達到216輛.

【點睛】本題考查二次方程的實際應用，能夠熟練通過增長率公式得到式子是解題關鍵.

20.已知二次函數y=(日-1)(%-3)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且左為負整數.

(1)求函數解析式；

(2)若尸(a,2,%)是拋物線上的兩點，且%＞%請畫出函數圖象，并結合函數圖象直接寫出實

數a的取值范圍是.

【答案】(1)y=-(x+l)(x-3)；

(2)一2＜。＜4

【解析】

【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，二次函數的對稱性，以及利用二次函數圖象解決二次函數

與不等式的關系.

(1)令y=0,解關于x一元二次方程，求出二次函數圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為3和,，然

k

后根據整數的整除性可確定負整數左值；

⑶把。(-2,%)代入拋物線的解析式即可求出％，求得點。關于對稱軸的對稱點為(4,-5),再利用

第13頁/共25頁

%＞為即可求出a的取值范圍.

【小問1詳解】

解:令y=0,貝?。?履一1)(%-3)=0,

解得：%1=—,羽=3,

k

根據題意得工為整數，且左為負整數，

k

整數上=—1,

函數解析式為y=(—x—l)(x—3)=—(x+l)(x—3)；

【小問2詳解】

解：：y=-(x+l)(x-3),

對稱軸為直線x=1+3=1,

2

把點。(―2,%)代入y=—(x+l)(x—3)得當=-5,

則點。(-2,-5),

則點。關于對稱軸的對稱點為(4,-5),

故答案為：—2＜。＜4.

21.閱讀下列材料：若關于x的一元二次方程。必+加；+。=0(4。0)的兩個實數根分別為為、%,則

bc

再+%2=--'X\X2~~,解決下面問題：

一aa

已知關于X的一元二次方程4x2+4nx+/=4x有兩個不等實數根為、%，

(1)求”的取值范圍;

第14頁/共25頁

22

（2）當〃wO時，設根=一十一，試用含〃的代數式表示出根;

￡x2

（3）在（2）的條件下，若加=4,求出幾的值.

【答案】（1）n<-

2

（3）n=—\/3—1

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根的判別

式和根與系數的關系.

（1）把方程變形成一般形式，再根據有兩個不等實數根列出不等式，即可求出”的范圍；

（2）由一元二次方程寫出%+%=f+1，再代入加=一+—=~"即可得答案；

xx

4xl尤2i2

（3）列出方程，解方程并檢驗即可得答案.

【小問1詳解】

解：將4爐+4〃x+〃2=4x變形得：4x2+（4n-4）x+n2=0,

4x2+4nx+n2=4%有兩個不等實數根，

/.A>0,即（4〃-4『-4x4/>0,

解得：

2

??.〃的取值范圍是

2

【小問2詳解】

解：為、%是4x?+（4"—4）x+/=0的兩個實數根,

1"

石+%=-〃+1，-X2=,

_22_2（玉+々）_2（-〃+1）_-8”+8

..772=I=-2=2

7171

玉X2%%2；

Z

【小問3詳解】

解：由題意，得：加=迷爐=4,

n

第15頁/共25頁

化簡得：?+2〃—2=0,

解得二百-1或〃二-百-1，

經檢驗，〃=-1或幾=——1是方程的解，

1J八

:“(一且〃w0,

2

n=$/3-1-

22.小明的爸爸投資1200元圍一個矩形菜園(如圖)，其中一邊靠墻(墻長24m),另外三邊選用不同材料

建造.平行于墻的邊的費用為20元/m,垂直于墻的邊的費用為15元/m,設平行于墻的邊長為xm.

蕖園

(1)設垂直于墻的一邊長為ym,求y與尤之間的函數關系式；

(2)設菜園的面積為Sn?,求S與x的函數關系式，并求出當5=546時x的值；

(3)請問菜園的最大面積能達到600m2嗎？如能，求出x的值；如不能，說明理由.

2

【答案】(1)y=—x+40；

3

2,

(2)S=一一%2+40%,當5=546時，%=21；

3

(3)菜園的最大面積不能達到GOOn?.

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是將實際問題轉化為一元二次方程和二次函數的問題.

(1)根據“垂直于墻的長度=總費譽F費用-2”可得函數解析式；

垂直于墻的單價

(2)根據矩形的面積公式列出總面積關于x的函數解析式；

(3)根據矩形的面積公式列出總面積關于x的函數解析式，配方成頂點式后利用二次函數的性質求解可得.

【小問1詳解】

解：根據題意知，:0》=_4+40,

15x23

故y與X之間的函數關系式為y=—gx+40；

【小問2詳解】

2?

解：根據題意得，S=X(--X+40)=--X2+40X,

第16頁/共25頁

2,

當5=576時，一一x2+40%=546,

3

解這個方程，得網=21,x2=39,

-,?x<24,

.,.當5=546時，%=21；

【小問3詳解】

解：菜園的最大面積不能達到600m2，

2?

理由：VS=--X2+40x=-30）2+600,

2

a=—<0,

3

???當x<24時，S隨x的增大而增大.

.,.當x=24時，S最大，此時S=576<600.

菜園的最大面積不能達到600m2.

23.如圖，中，AB=AC,ZBAC=120°，。是5c的中點,E點在線段5。上運動，作等邊QDEE.

（1）如圖1,ODEE在5c的上方，且尸點恰好落在線段A3上，求——的值；

AF

（2）如圖2,ODEE在3c的下方，〃在CB延長線上，CE=EH,連接4歹、FH,求證：

AF1FH；

（3）如圖3,將QDEE繞D點旋轉，連接BE,已知A3=2百,DE=2，直接寫出AR+5E的

最小值為.

【答案】（1）3（2）見解析

⑶V21

【解析】

【分析】（1）連接AD,根據等腰三角形的“三線合一”得到NBA。=60。，ZADB=90°,進而得到

ZADF=30°,ZAFD=90°,從而有AR=▲AD,同理在中，由ZB=30°得到

2

第17頁/共25頁

3

AB=2AD,從而5R=A5—AR=—AD,即可求解；

2

(2)連接AD,連接AH,取AH的中點0,連接?！?E,通過三角形的中位線定理結合等邊三角形

的性質證明口4。尸4口?！晟?人5),繼而得到口?！?為等邊三角形，再根據等邊三角形的性質結合外角

定理得到Z0HF=ZOFH=-x60°=30°,即可求證；

2

(3)以5。為邊在3。下方作等邊口5。6,連接AD,AG,RG,可證明△3DE之△GDE,貝。

BEGF,故A/+BE=Ab+Gb2AG,當且僅當點AG,R三點共線時取得最小值且為AG,而

ZABG=90°,故由勾股定理可求AG,即可求出最小值.

【小問1詳解】

解：連接AD,

；A3=AC,點。是5c的中點，

ZBAD=-ZBAC=-xl20°=60°,AD1BC,

22

ZADB=90°,

?/UDEF是等邊三角形，

NEDF=60°,

ZADF=ZADB-NEDF=90°-60°=30°

ZAFD=180°-ZADF-ZBAD=180°-30°-60°=90°,

...在RliAOE中，AF=-AD,

2

NB=180°-ZBAD-ZADB=180°-60°-90°=30°,

...在RtZXABD中，AB=2AD,

13

BF=AB-AF=2AD——AD=-AD,

22

n口-AD

生=—3.

AFrAD

2

【小問2詳解】

解：連接AD,

第18頁/共25頁

?.?43=4。,/胡。=120。，點。為5c中點，

NABC=NC=30°,AD1BC,

：.AD^-AC,

2

連接AH,取AH的中點。，連接。F,OE,

CE=EH,

：.OE//AC,OE=-AC,

2

ZOEC=180?！狽C=150。,OE=AD,

?/△F’DE是等邊三角形，

FE=FD,ZFED=NFDE=ZEFD=60°,

???ZADF=900+60°=150°,NOEF=360°-/DEC-ZFED=150°,

ZADF=ZOEF,

：.UADF^JOEF(SAS),

：.AF=O￡ZL=N2,

ZOFA=ZEFD=60°,

.??口OE4為等邊三角形，

OA=OF,

：.OA=OH=OF,

：.ZOHF=ZOFH=-x60°=30°,

2

ZAFH=NAFO+ZOFH=600+30°=90°,

AFLFH.

【小問3詳解】

解：在RtZkABD中，ZABC=30°,AB=273

BD=AB-cosAABC=3,

第19頁/共25頁

以3。為邊在3。下方作等邊□BOG,連接AD,AG,EG,

DB=DG=BG=3,NBDG=60°=NDBG,

?/QDEF為等邊三角形，

：.DE=DF,ZEDF^6Q0,

：.ZBDG=NEDF,

/3=/4,

ABDE心GDF,

Z.BE=GF,

：.AF+BE=AF+GF>AG,

當且僅當點A,G,F三點共線時取得最小值且為AG,

'：ZABG=ZABC+NDBG,

ZABG=90°,

?*-AG=yjAB~+BG2=V21，

，AF+BE的最小值為V21.

【點睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理解三

角形等知識點，正確添加輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

24.如圖1,拋物線'=-5x2+g+6m與x軸交于A、8兩點（A在B左邊），與丁軸正半軸交于C點，

OA=-OC.

3

第20頁/共25頁

(2)如圖2,N點在拋物線上,ZACN=2ZBAC,求N點的橫坐標;

(3)如圖3,尸是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交工軸于R點，過點。的直線/分別交拋物線

于。、E兩點，直線P。、PE分別交x軸于G、H兩點，求證：為定值，并求該定值.

11

【答案】(1)y——x9H—x+3

22

/、32

(2)——

23

⑶蔡

【解析】

2

【分析】（1）利用拋物線解析式得出C（0,6加），結合。4=3。。得出A（-4加,0）,代入拋物線解析式即可

求出相，即可得；

（2）過點C作NACN角