人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：1 1 1 第1課時(shí) 空間向量及其線性運(yùn)算

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1§1.1空間向量及其運(yùn)算1．1.1空間向量及其線性運(yùn)算第1課時(shí)空間向量及其線性運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量的有關(guān)概念.2.類比平面向量，會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.3.理解向量運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律．知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．2．長(zhǎng)度或模：向量的大小．3．表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量思考空間中的兩個(gè)向量是不是共面向量？〖答案〗是，空間中的任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量．知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.思考1怎樣作圖表示三個(gè)向量的和，作出的和向量是否與相加的順序有關(guān)？〖答案〗可以利用三角形法則和平行四邊形法則作出三個(gè)向量的和．加法運(yùn)算是對(duì)有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．思考2由數(shù)乘λa＝0，可否得出λ＝0?〖答案〗不能．λa＝0?λ＝0或a＝0.1．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量．(×)2．在空間中，任意一個(gè)向量都可以進(jìn)行平移．(√)3．空間兩非零向量相加時(shí)，一定可以用平行四邊形法則運(yùn)算．(×)4．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上．(√)一、向量概念的應(yīng)用例1(1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是()A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＞|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同〖答案〗D〖解析〗A中，方向相反，長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量是相反向量；B中，單位向量模都相等而方向不確定；C中，向量作為矢量不能比較大小，故選D.(2)(多選)下列說法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的加法滿足結(jié)合律D．任一向量與它的相反向量不相等〖答案〗BC〖解析〗|a|＝|b|，說明a與b模相等，但方向不確定；對(duì)于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確；空間向量的加法滿足結(jié)合律，C正確；零向量的相反向量仍是零向量．故選BC.反思感悟空間向量的概念問題在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．跟蹤訓(xùn)練1下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的命題的序號(hào)是________．①長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；②平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；③若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|；④兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同．〖答案〗①〖解析〗根據(jù)向量的定義，知長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量，①正確；平行且模相等的兩個(gè)向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正確；當(dāng)a＝－b時(shí)，也有|a|＝|b|，③不正確；只要模相等、方向相同，兩個(gè)向量就是相等向量，與向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)無關(guān)，④不正確．綜上可知只有①正確．二、空間向量的加減運(yùn)算例2如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))如圖所示．延伸探究試把本例中的體對(duì)角線所對(duì)應(yīng)向量eq\o(AC′,\s\up6(→))用向量eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示．解在平行四邊形ACC′A′中，由平行四邊形法則可得eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，在平行四邊形ABCD中，由平行四邊形法則可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).故eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)).反思感悟空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練2(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))〖答案〗AB〖解析〗A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故選AB.三、空間向量的線性運(yùn)算例3在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式．(1)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))．解(1)因?yàn)镚是△BCD的重心，所以|eq\o(GE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up6(→))|，所以eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，所以由向量的加法法則，可知eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).從而eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).(2)如圖所示，分別取AB，AC的中點(diǎn)P，Q，連接PH，QH，則四邊形APHQ為平行四邊形，且有eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))，而eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FH,\s\up6(→)).反思感悟利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的注意點(diǎn)(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙利用線段的中點(diǎn)進(jìn)行解題．跟蹤訓(xùn)練3在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)．若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c〖答案〗A〖解析〗eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.1．“兩個(gè)非零空間向量的模相等”是“兩個(gè)空間向量相等”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件〖答案〗B2．向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＋b為實(shí)數(shù)0C．a(chǎn)與b方向相同 D．|a|＝3〖答案〗D〖解析〗向量a，b互為相反向量，則a，b模相等，方向相反，故選D.3．設(shè)A，B，C是空間任意三點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(