高考數(shù)學專項復習：數(shù)列（新定義）（解析版）

專題08數(shù)列專題（新定義）

一、單選題

1.（2023春?甘肅張掖?高二高臺縣第一中學校考階段練習）對于正項數(shù)列｛%｝中，定義：

⑸一”"生+…+隗為數(shù)歹式％｝的“勻稱值，，已知數(shù)列｛〃“｝的“勻稱值"為G"=〃+2,則該數(shù)列中的

n

“io=（）

8「12-9-21

A4.—B.—C.—D.—

35410

【答案】D

【分析】確定〃G”=〃（〃+2）=4+2%+3a3■!-----卜也〃,取〃=10和〃=9帶入式子，相減得到答案.

［詳解］0=0+2"2+3。3+—+叫=〃+2,即"G'=M〃+2）=%+2氏+3%+…+加”，

n

故q+2%+3/H----FIO^ZJQ=10x（10+2）；%+2%+3/H-----H9%=9x（9+2）；

21

兩式相減得10%=21,所以/噎.

故選：D

2.（2023春?浙江?高三開學考試）對任意正整數(shù)對①次），定義函數(shù)/（4Q如下：/（1"）=1,

A.f（/+l,j）=lB./（?J）=2C；1

C.勿產(chǎn)加"）］=j.（2，TD.方寸”4,_7）］=2"+〃一2

1=1j=li=l

【答案】c

【分析】根據(jù)新定義得與彳=q,令；/即可判斷A,根據(jù)

于（2,j）_j-\于（3,j）_j-2/（4,j）j-3方擊箱必|好口壬田一市Y…鈿弋汨

二/c7~，…累乘可判斷B,利用一項式7E理求得

C：+C；+…+C：=2"T,結合￡［產(chǎn)/（i,川=）￡1=jQ-l）判斷C,￡￡〃?/?，川=￡（2』），結

i=lz=lJ=1f=lJ=1

合等比數(shù)列的前〃項和公式判斷D.

【詳解】??g1）/3"（…）〃，,加靠上好

fu+tj)

令，=九則=0,+A錯誤;

jT/(3,j)j-2J(4")j-3j-i+1

'/(I,J)-2"(2,1)-37(3,；)"4'…'i

(廠1)(/-2)(，-3)…(，-i+1)J

累乘得:

/(I,j)2x3x4x5x…xij

1

?.?/(l,j)=l,.-./(z,j)=-C；.,a<j),令i=l,則B錯誤;

J

因為(1+1)"=C：+C：+C：+…+C：,所以C：+C：+…+C：=2"-1,

卜這c；=jQT,則C正確；

1=1i=l

ttu-%，/)]=t(2J'-1)=牛P-n=2"+1-?-2,則D錯誤.

j=li=lj=lI1

故選：C.

3.（2023春?安徽?高二合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）定義:對于數(shù)列｛?｝,如果存在一個常數(shù)T（TeN*）,

使得對任意的正整數(shù)“2傳恒有凡+7=%，則稱數(shù)列｛%｝是從第"。項起的周期為T的周期數(shù)列.已知周期數(shù)

列｛〃｝滿足:伉=1,%=3,bn=bn_x-bn_2(n>3),則為0=()

A.-1B.-3C.-2D.1

【答案】D

【分析】寫出周期數(shù)列｛〃｝的前幾項，發(fā)現(xiàn)周期為6,進而求得多）23的值.

【詳解】寫出周期數(shù)列也｝的前幾項:

1,3,2,—1j—3,—2,1,3,2,—1,—3,—2,1,…，

發(fā)現(xiàn)周期數(shù)列｛2｝是周期為6的周期數(shù)列,

??Hem=437x6+l=4=1-

故選：D.

4.（2023秋?福建南平?高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列｛%｝的前“項和為S",則稱數(shù)列也J是數(shù)列｛?！保摹熬?/p>

值數(shù)列”.已知數(shù)列也,｝是數(shù)列｛a,｝的“均值數(shù)列”且或=n設數(shù)列若

g（療一,〃+百一3）＜（對〃eN*恒成立，則實數(shù)優(yōu)的取值范圍為（）

A.[-1,2]B.(-1,2)

C.-1)u(2,+oo)D.(-co,-l]u[2,+oo)

【答案】B

【分析】由新定義求得S",然后由?！?5,-5“_|求得%,從而可求得［(裂項相消法)后得北的最小值，解

相應不等式可得結論.

【詳解】由題意2=〃，即S“=〃2,

n

a22

；?時,n=Sn-Sn-1=n-(n-l)=2n-l,

又q=E=1,￡N*時，％=2九一1,

11+

,21-1+12〃+12

y/3—1A/5—V3J2—+1—二2及一1+1—1

/=------1--------1---1---------------=---------9

〃2222

易知｛后7-1｝是遞增數(shù)列,.??｛叵皆1｝的最小值是與1(〃=1時取得)，

由題意;(加之-m+6-3)<—；1,解得—

故選：B.

5.(2023秋?山西長治?高三校聯(lián)考階段練習)對于一個〃項數(shù)列

A-.ax,a2,---,an,Sk=ai+a2+---+ali(l<k<n,k,記A的“Cesaro平均值”為工(岳+S2+???+$“)，若數(shù)列

q,…Moi。的“Cesam平均值”為2022,數(shù)列x,q,%，…，《oio的"Cesam平均值”為2046,貝口=()

A.24B.26C.1036D.1541

【答案】B

【分析】先求出1+邑+…+5皿。的值，再根據(jù)Cesar。平均值的求法列出等式，即可求出尤的值.

【詳解】因為數(shù)列q,%，…，小。^Cesaro平均值”為之土幻L幽=2022,

以5］+邑+???+Si。］?！?022x1010.

因為x,q,%，…MKH。的“Cesar。平均值”為2+5)+?+…+口+%>)=2046,

所以1。卜+2022>1010=2046,所以x+2020=2046,解得x=26,

故選:B.

6.（2023春糊北咸寧?高二校考開學考試）等比數(shù)列｛%｝中為=512,公比“=用n“=qq??…瑪表示

它的前w項之積，則n-n2,中最大的是（）

A.n”B.n10c.n9D.n8

【答案】c

【分析】根據(jù)題意分析a“，n”的符號，結合前〃項之積的性質運算求解.

【詳解】V?1>0,^=-1<0,則當"為奇數(shù)時，??>0,當〃為偶數(shù)時，a?<0,

.?.當〃=4左一3（AwN*）或〃=4左（左€?4*）時，n?>0,

當〃=4左一2（左eN*）或〃=4左一l,eN*）時，<0,

由題意可得：a“=5121-g],令同=5122）>1,解得“W10,

若n“取到最大，則左=3,〃=9,即｛n“｝中最大的是n%

故選：C.

7.（2022秋?北京?高二北京二中?？计谀┤绻麛?shù)列｛%｝滿足吐-烏包=左（左為常數(shù)），那么數(shù)列｛4｝叫做

an+lan

等比差數(shù)列，上叫做公比差.下列四個結論中所有正確結論的序號是（）

①若數(shù)列｛%｝滿足如=2〃，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；

an

②數(shù)列｛〃?2"｝是等比差數(shù)列；

③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；

④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列.

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)比等差數(shù)列的定義為^-芻包:環(huán)七為常數(shù)），逐一判斷①②③④是否是等比差數(shù)列即可可得到

aa

n+ln

答案.

【詳解】①數(shù)列｛“"｝滿足%貝|]吐--=25+1）-2"=2,

an%+1a?

滿足等比差數(shù)列的定義，故①正確;

②數(shù)列｛".2"｝,

%+2-—(〃+2>2"+2(〃+1>2.

+,

??+14~(?+1)-2"“2

77.(?+2)-2-(?+1)2-22

——,

不滿足等比差數(shù)列的定義，故②錯誤；

a|Oa

③設等比數(shù)列的公比為q,貝i]3-3=q-4=。，

a

??+1?

滿足等比差數(shù)列，故③正確；

④設等差數(shù)列的公差為

ipJ4+2_4+1_a“+2d_a”+cl__d

a

'%nan+dana“(a“+d)’

故當4=0時，滿足吐--=0,故存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列，即④正確；

aa

n+ln

故答案為：①③④

故選：B.

8.(2019秋?北京?高三101中學?？茧A段練習)定義在(-8,0)U(0,+oo)上的函數(shù)〃x),如果對于任意給定

的等比數(shù)列｛%｝,｛"%)｝仍是等比數(shù)列，則稱“X)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(-力,0)U(0,+?))上

的如下函數(shù)：①/(x)=f；②〃尤)=2、③f(x)=J?/(x)=ln|^|,其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的序號為

()

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【分析】根據(jù)新定義，結合等比數(shù)列性質氏。一一加以判斷，即可得到結論.通過積的乘方，即

可判斷①；通過指數(shù)的幕的運算，即可判斷②；通過積的運算即可判斷③；由對數(shù)的運算法則，即可判斷

【詳解】設｛%｝是等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質知。馮+2=。3，

對于①，/(%)〃%)=g3=(屋1)2=產(chǎn)(%)，即｛〃%)｝仍是等比數(shù)列，故正確；

對于②，〃/)〃%+2)=2"”2%=2%+"<22限=/(%),

即｛■/■(q)｝不是等比數(shù)列，故不正確；

2

對于③，/(??)/(?,1+2)=——^=^=/(??+1),即｛/(%)｝是等比數(shù)列，故正確；

anan+2an+l

1*|a?1)i=2

對于④，/(??)/(an+2)=In|a?|In|o?+2(in+1f(a?+1),

即｛了(4)｝不是等比數(shù)列，故不正確；

故選：C.

12

9.（2023秋?吉林?高二吉林一中?？计谀┤魯?shù)列｛4｝滿足------=。，則稱｛%｝為“必會數(shù)列”，已知正

an+lan

項數(shù)列｛%｝為“必會數(shù)列”，若%+%=3，則4+。3=（）.

A.-B.1C.6D.12

9

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得數(shù)列｛%｝是以q=g為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式，即可求得答

案.

【詳解】由題意數(shù)列｛%｝滿足-------=。，可得%+i=ga“，

an+\an2

故正項數(shù)列｛%｝是以4=g為公比的等比數(shù)列，

21

貝！=4（〃2+〃3）=^（%+々3）=3,.二生+/=12,

故選：D

10.（2022秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末）設｛%｝是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)左，使得對任意的“eN*,均有

an+k>an,則稱｛%｝是間隔遞增數(shù)列，%是｛%｝的間隔數(shù).若｛々｝是間隔遞增數(shù)列，則數(shù)列出｝的通項不可熊

是（）

9

A.b=2n--B.%=3〃+1

nn

C.b“=TD-d=一〃（一2）”

【答案】D

【分析】根據(jù)間隔遞增數(shù)列的定義求解即可.

99

【詳解】對于A：b-b?=2（k）-——-2n+-,

n+tn+II/vIrZ

9

化簡得：bn+k-bn=k2+——>0,

存在正整數(shù)3使得對任意的〃EN*,2+左-2>。恒成立,

所以｛2｝是間隔遞增數(shù)列;

對于B：bn+k-bn=3M+1-3"-1=（3-）3”,

因為左為正整數(shù)且“eN*，所以（3上-1）3,>0,

所以％廣白>0,所以也｝是間隔遞增數(shù)列；

對于C：bn+k-bn+—I,

因為左為正整數(shù)且〃eN*,所以

所以*「優(yōu)>0，所以色｝是間隔遞增數(shù)列；

對于D：-用=一（"+左）（一2）"+"+〃（一2）"

當Ze正奇數(shù)，”eN*時，〃-（〃+左）（-2?>0,

（-2）"的正負由〃的奇偶性決定，此時~bn>0不恒成立,

不符合間隔遞增數(shù)列的定義;

當左e正偶數(shù)，〃eN*時，〃一（〃+左）（一2）'<0,

（-2）"的正負由〃的奇偶性決定，此時勿+丘-2>0不恒成立，

不符合間隔遞增數(shù)列的定義；

故選：D.

11.（2023?全國?高三專題練習）對于數(shù)列若存在正整數(shù)左/22）,使得《〈“J,ak<ak+l,則稱應是

9

數(shù)列｛4｝的“谷值”，4是數(shù)列｛風｝的“谷值點”.在數(shù)列｛%｝中，若+廠8,則數(shù)列｛%｝的“谷值點”為

（）

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

【答案】C

376129

【分析】先求出q=2,。2=彳,。3=2,〃4=i，%=￡,。6=彳，%=｝，“8=7，再得到"N7，〃￡N,

245278

9

H+—8>0,結合數(shù)列的單調性以及谷值點的定義即可得求解.

n

9

【詳解】因為氏二〃+—8,

n

在［、］_3__7_6_1_29

所以。1―2,%=耳，〃3-02,%=1，“5=《，"6=5，%=亍

8

999

當HGN,-----8>0,所以?！?〃+—8=幾+—8,

nnn

Q

因為函數(shù)y=x+=-8在［7,y)上單調遞增，

9

所以時，數(shù)歹IJ4=〃+'—8為單調遞增數(shù)歹IJ,

n

所以。2<%,%<〃3，%<“6，%<〃8，

所以數(shù)列｛。“｝的“谷值點”為2,7.

故選：C.

12.(2023?全國?高二專題練習)若數(shù)列｛叫滿足*=24-1,則稱｛%｝為“對奇數(shù)列”.已知正項數(shù)列也,+1｝

為“對奇數(shù)列”，且4=2,則2=()

A.2x3"-B.2"TC.2"+1D.2"

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得〃+|+1=2(2+1)-1,進而可得｛2｝為等比數(shù)列，再求得通項公式即可.

【詳解】由題意得2+1+1=2(%+1)—1,所以%=22，又仇=2,所以也J是首項為2,公比為2的等比數(shù)

列，所以”=2義2"7=2".

故選：D.

13.(2022春?遼寧葫蘆島?高二校聯(lián)考階段練習)設A(4)表示落在區(qū)間阮區(qū)』內(nèi)的偶數(shù)個數(shù).在等比數(shù)列

｛%-"｝中，［=4,2=11,則/?(%)=()

A.21B.20C.41D.40

【答案】C

【分析】設｛q-科的公比為分根據(jù)為和出求出夕，從而得凡和。一再根據(jù)。(%)的定義可求出結果.

(、an_211—2

【詳解】設｛見一"｝的公比為4,則4=-r=〒7=3，

q-14—1

所以見一a=(q-1)?=(4-1)?3-=3",貝IJ%=〃+3",

所以%=4+3&=85.

所以落在區(qū)間［4,85］內(nèi)的偶數(shù)共有41個，故a(%)=4L

故選：C

14.(2023春?湖北?高三黃岡中學校聯(lián)考開學考試)對于數(shù)列｛%｝,定義4=%+2%+…+2"%"為數(shù)列｛%｝

的“加權和“，已知某數(shù)列｛4｝的“加權和''4=w2"M,記數(shù)列｛%+川｝的前W項和為北，若4對任意的

〃eN*恒成立，則實數(shù)p的取值范圍為()

r_i2_71r_i6_7ir_5_i2ir_i69-

A-B-r7,-3jc-「5,一二1D-r7,-4.

【答案】A

【分析】根據(jù)4與%的關系求出(,再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出北，將化為

伽-5)［p+2"+<0對任意的〃eN*恒成立,分類討論〃可求出結果.

In+6)

ln+i

【詳解1由4=%+2a2+—>2"an=n-2,

n2n

n'>2時,%+2a2-----^^n-i=(n—1)-2,

??.2〃T?〃“二小2n+1-(n-l)-2\??.%=2〃+2,

九=1時，q=4也成立，/.an=2n+2,

二?數(shù)列+pn｝的前n項和為：(=%+%+…+p(l+2+…+九)

九(4+2〃+2)n(l+ri)_2n(l+ri)

-2+P2--“+n+P2-'

22

?.?444對任意的〃€7^恒成立，An+3n+p-^^-<T5=5+3x5+px^-,

即M2-52+3n-3x5+-|H(n+l)-^x5x(5+l)<0,

即M2-52+3〃一3X5+￡(*-52)+^(n-5)<0,

22

即(a-5)(〃+5+3+節(jié)+:+如0,

即(九一5)("+8+。("+6))40,

2

即("-5)［p+2乎］V0對任意的〃eN*恒成立，

In+6)

當時，一?4竺2〃+著16=2+」47對任意的〃eN*恒成立，

n+6〃+6

因為2+3422+/4=昔12，.?.一。4112，所以p?-1g2,

n+64+6555

當〃=5時，5—5）1〃+2幾+161=0恒成立,p《R,

I〃+6）

2〃+164

當〃26時，—pN——丁=2+一二對任意的〃EN*恒成立，

H+6n+6

44777

因為2+-<2+---=—,-p>—,所以p<一工，

n+66+6333

-127

綜上可得：實數(shù)’的取值范圍為-彳,-].

故選：A.

15.（2023?全國?高三專題練習）若數(shù)列圾｝滿足：若粼=2（機,〃eN*）,則6,M=%一則稱數(shù)列也J為“等

同數(shù)列”.已知數(shù)列｛叫滿足為=5,且用-q）,若“等同數(shù)列”也｝的前〃項和為S”，且仿=4=々，

b2=a2fS5=。]0,則S2022=（）

A.4711B.4712C.4714D.4718

【答案】D

【分析】先對已知關系式變形，求出數(shù)列｛4｝的通項公式，再利用“等同數(shù)列”的定義與已知條件得｛2｝是周

期數(shù)列，即可得S2g.

[詳解】由怎=〃（%+「?！保┑?="，貝U"=%=%=..=§=1,

〃+1nnn—1n—25

故a”=",所以乙=%=1,b2=02=2,b4=cii=1,

所以“=4，所以么=4=2,因為$5=40=10,

所以1+2+a+1+2=10,解得仇=4,同理得％=%=4,

瓦=匕=1,々="=2,…，故數(shù)列圾｝是以3為周期的數(shù)歹I],

所以S21H2=$674*3=(1+2+4)x674=4718,

故選:D.

16.（2022?全國?高三專題練習）設數(shù)列｛4｝,若存在常數(shù)/,對任意小的正數(shù)s,總存在正整數(shù)%,當nN%

時,則數(shù)列｛4｝為收斂數(shù)列.下列關于收斂數(shù)列說法正確的是（）

A.若等比數(shù)列｛%｝是收斂數(shù)列，則公比qe（0,1）

B.等差數(shù)列不可能是收斂數(shù)列

C.設公差不為0的等差數(shù)列｛a?｝的前〃項和為S"（S"牛0）,則數(shù)列fl)一定是收斂數(shù)列

D.設數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，滿足4=1,S?+1=??+l,則數(shù)列｛叫是收斂數(shù)列

【答案】C

【分析】根據(jù)題中定義，結合特殊的等差數(shù)列和等比數(shù)列、數(shù)列的周期性、等差數(shù)列前〃項和公式逐一判斷

即可.

【詳解】當數(shù)列為常數(shù)列（不為零），因此該數(shù)列是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，顯然該數(shù)列是收斂數(shù)列，因此

選項AB不正確；

選項C：設等差數(shù)列｛%｝的公差為"3NO）,

11

當dwO時，當”一用時，告一>°,

所以S"叫+；〃(〃-l)d

所以數(shù)列一定是收斂數(shù)列，因此本選項正確;

選項D：因為q=l,Sn+I=an+\,所以可得電=1,

當〃22,〃eN*時，由S“+i=a.+lnS“=qi+l,兩式相減，得%+i=?！币弧?/p>

所以%=0,%=-1,%=-1，。6=0，%=1，所以該數(shù)列的周期為6,該數(shù)列不可能是收斂數(shù)列，因此本選項說

法不正確,

故選：C

【點睛】關鍵點睛：利用數(shù)列的周期性、常數(shù)列的性質是解題的關鍵.

17.（2022春?安徽亳州?高三蒙城縣第六中學校聯(lián)考開學考試）設數(shù)列｛'｝：%,出，…，a?,（m>2）,若

存在公比為q的等比數(shù)歹U｛紇+J:瓦,b2,么中，使得其中左=1,2,…，m,則稱數(shù)列｛片角｝

為數(shù)列｛4｝的“等比分割數(shù)列”.若數(shù)列｛Ao｝的通項公式為4=2n（n=1,2,...,10）,其“等比分割數(shù)列”｛旦J的

首項為1,則數(shù)列｛綜｝的公比q的取值范圍是（）

A.伊,2）B.（2",2）C,（2,2?）D.（2,2^）

【答案】C

【分析】由題意可得，4T<2”<g"5=l,2,3,L,10）,從而可得q>2且廣］<2"（w=l,2,3,L,10）,可得

2<“<2涓，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性求出2臺的最小值即可

【詳解】由題意可得，O'T<2"</M=1,2,3,L,10）,

所以4>2,且4"7<2"(〃=1,2,3,1,10),

當”=1時，1<2成立；當"=2,3,…，10時，應有q<2/成立，

因為y=2工在R上單調遞增，所以2告=21+-隨著n的增大而減小，

故4<2與，綜上，q的取值范圍是(2,2號).

故選：C.

18.(2022春?江蘇無錫?高二江蘇省江陰市第一中學校考開學考試)若數(shù)列｛即｝滿足

。2-；勾<生<?■?<??<...，則稱數(shù)列｛助｝為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增"數(shù)列｛。?｝的前n

項和S〃滿足S“+2c“=2f_l(〃eN*),則實數(shù)f的取值范圍是()

A.(-8,；)B.(-CO,1)

C.(―,+co)D.(1,+oo)

【答案】A

【分析】根據(jù)S“+2%=2,-ISeN*),利用遞推公式求得數(shù)列｛1｝的通項公式.再根據(jù)新定義的意義，代入解不

等式即可求得實數(shù)r的取值范圍.

【詳解】因為S,+2c”=2f-l(〃eN*)

所以當"22時，S?_l+2^=21-｝

c27

兩式相減可得C,+2c,-2%=0,即工=a,所以數(shù)列｛c“｝是以公比q=?的等比數(shù)列

Cn-\J3

當〃=1時,q=-r~

2r-l(2廣2

18⑶

__j_2r-lpY12r-lpY-1_2r-l

"+1"2C"~uj~2~3~⑸18tij

由“差半遞增”數(shù)列的定義可知

2t-l（2Y-22Z-1（2Y-1

18tij<18,⑴

2

化簡可得2/—1<（2^—l）x—

解不等式可得

即實數(shù)7的取值范圍為

故選：A.

19.（2022?浙江?高二學業(yè)考試）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2,3之間插入2與3的積6,

得到數(shù)列2,6,3；第2次，在2,6,3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2,12,6,18,3；類

似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)

列記為｛4｝,則％。25的值是（）

A.6B.12C.18D.108

【答案】A

【分析】設數(shù)列經(jīng)過第〃次拓展后的項數(shù)為或，因為數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，則

經(jīng)過第〃+1次拓展后增加的項數(shù)為或T,從而可得勿“=2+包-1=26,-1,從而可求出％=2"+1,從而可

知經(jīng)過11次拓展后在2與6之間增加的數(shù)為2"_1，由此可得出經(jīng)過11次拓展后6所在的位置，即可得出

答案.

【詳解】解:設數(shù)列經(jīng)過第〃次拓展后的項數(shù)為￡,因為數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，

則經(jīng)過第"+1次拓展后增加的項數(shù)為2-1，

所以2M=2+2-1=22-1，

b-1

即心「1=2（包一1）,即方==2,

所以數(shù)列色T｝是以4=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

是以2-1=2",所以"=2"+1,

則經(jīng)過11次拓展后在2與6之間增加的數(shù)為2/_/，

所以經(jīng)過11次拓展后6所在的位置為第-1+1+1=210+1=1025,

所以。1025=6.

故選：A.

二、多選題

20.（2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學校聯(lián)考階段練習）若數(shù)列｛%｝滿足：對任意正整數(shù)

〃，｛%+i-%｝為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列｛?！埃秊椤安钸f減數(shù)列”.給出下列數(shù)列｛%｝（〃eN*）,其中是“差遞減數(shù)列”

的有（）

2

A.an=TB.an=n

C.an=4nD.an=Inn

【答案】CD

【分析】利用差遞減數(shù)列的定義及函數(shù)的單調性即可求解.

【詳解】對A,若?！?2"，則%-4=2向-20=2",由函數(shù)y=2,在（0,+“）上單調遞增，所以｛%-%｝為

遞增數(shù)列，故A錯誤；

對B,若4=貝lJa“+]-a“=（〃+1）2-〃2=2〃+1,由函數(shù)y=2〃+1在（0,+8）上單調遞增，所以｛。用-?！埃秊?/p>

遞增數(shù)列，故B錯誤；

對C,an—yfn,則見+i-a“=+1-+,由函數(shù)y=~~4"十丁在（。,+°°）上單調遞減,

所以｛〃,,+「為｝為遞減數(shù)列，故C正確；

對D,若%=lmz,則a,+i-a“=ln5+l）-ln〃=lnW^=ln]l+「，由函數(shù)y=+在（0,+s）上單調遞

減，所以為遞減數(shù)列，故D正確.

故選：CD.

21.（2023春?江西新余?高二新余市第一中學?？茧A段練習）若數(shù)列｛（｝滿足：3A,BeR,ABwO,使得對

于V〃eN*,都有%+2=A。用+加“，則稱｛%｝具有“三項相關性”，下列說法正確的有（）.

A.若數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列，則｛%｝具有“三項相關性”

B.若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，則｛%｝具有“三項相關性”

C.若數(shù)列｛4｝是周期數(shù)列，則｛%｝具有“三項相關性”

D.若數(shù)列｛風｝具有正項“三項相關性”，且正數(shù)A,B滿足4+1=3,al+a2=B,數(shù)列也｝的通項公式為

b?=B",｛?！保c也｝的前〃項和分別為S“，Tn,則對V〃eN*,恒成立

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題目給出的“三項相關性”的定義，逐項驗證即可.

【詳解】若｛?！埃秊榈炔顢?shù)列，則有4+2-%=%-%，%+2=2%+1-。“，A正確；

若數(shù)列｛。n｝是等比數(shù)列，則%+2=如用，-=,（43。），即%+2=（qT）%+i+q%，易知4片1,顯然成

立，

4=1時，。”+2=。”+1=%，取A=8=5，有4+2=+5?！?，也成立，所以B正確；

對周期數(shù)列：0,0,1,0,0,1,???,所以九=1時，1=AXO+BXO,顯然不成立，所以C錯誤；

對D,%+2=（3-1）%+1+&“，即q+2+a“+i=B（4+[+a“），ax+a2=B

,,an+2+an+i=B-B=B,B>1,易知°"+2+4,+i=3（%+i+a“）>a“,

即以>4，〃wN*,故S.>&D正確；

故選：ABD

22.（2023春?廣東惠州?高三校考階段練習）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多?斐波那契

以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用"“表示斐波

那契數(shù)列的第〃項，則數(shù)列｛%｝滿足：at=a2=l,an+2=an+l+an,記=⑷+四+…+%，則下列結論正

確的是（

A.數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列B.2an=an_2+an+1(n>3)

D.X4="2023-1

【答案】BCD

【分析】由數(shù)列的遞推公式可判斷A,B；利用累加法計算可判斷選項C,D.

【詳解】對A,由%+2=%+。“知，｛%｝的前10項依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

其中，第一二項相等，不滿足遞增性，故A錯誤；

對B,根據(jù)遞推公式4=。"_1+?！癬2，得4+%=%-2+%-1+%=%-2+。"+1（7723）,故B正確；

對C,%=%,%，

〃：=%?(%—%)=%q—a??%,

《—q?(%—%)=%?。4—4?。2，

“2022—%022,（“2023—^20217—%022,“2023—“2022e&2021,

2022

=

??4+4“2022="2022,“2023,即Z%"2022,“2023,故C正確；

i=l

>X寸D,由。3—“2—%，。4—“3—。2，.?.，%023—“2022="2021，

累力口得〃3~a2+〃4—〃3+…+〃2023—〃2022="1+%+…+〃2021，

2021

即3q=。2023-1，故D正確；

1=1

故選：BCD.

23.（2023秋?河北邯鄲?高二統(tǒng)考期末）若｛%｝不是等比數(shù)列，但｛〃“｝中存在互不相同的三項可以構成等比

數(shù)列，則稱｛%｝是局部等比數(shù)列.下列數(shù)列中是局部等比數(shù)列的是（）

A.｛（-2）"+8｝B.〔*1C.上1D."+25｝

【答案】ABD

【分析】對于ABD,直接取特定項驗證即可；對于C,定義法可證為等比數(shù)列后即可判斷.

【詳解】對于A：若〃〃=（—2）"+8,貝lj%=6,%=12,%=24,由12?=6x24,得力,電，2成等比數(shù)列，

因為｛（-2）〃+8）不是等比數(shù)列，所以｛（-2）〃+8）是局部等比數(shù)列.故A正確；

則4=4，%i="5i=77X，由I'],得%，如，％成等比數(shù)列，

對于B：若

3n+71040160（40）10160

因為[「二]不是等比數(shù)列，所以[丁二|是局部等比數(shù)列.故B正確；

[3〃+7J[3〃+7J

71IQa1f7i1

對于c：若為=,表=授2，則,=5,則｛%｝是等比數(shù)列，所以仁一再|不是局部等比數(shù)列.故C

錯誤；

對于D：若4=1+25,則%=50,%=250,a35=1250,由第=罌，得%,%，旬成等比數(shù)歹人

因為,2+25｝不是等比數(shù)列，所以｛“2+25｝是局部等比數(shù)列.故D正確.

故選：ABD.

24.（2023春?安徽蚌埠?高二蚌埠二中?？茧A段練習）已知數(shù)列｛%｝是各項均為正數(shù)且公比不等于1的等比

數(shù)列(〃eN*),對于函數(shù)〃x),若數(shù)列｛1球(4)｝為等差數(shù)列，則稱函數(shù)〃x)為“保比差數(shù)列函數(shù)”，則定義

在(0,+8)上的如下函數(shù)中是“保比差數(shù)列函數(shù)”的有()

A.〃x)=:為“保比差數(shù)列函數(shù)"B.為“保比差數(shù)列函數(shù)”

C.〃x)=e￡為“保比差數(shù)列函數(shù)"D.=正為“保比差數(shù)列函數(shù)”

【答案】ABD

【分析】設數(shù)列｛4｝的公比為4(4/1),利用保比差數(shù)列函數(shù)的定義，結合等差數(shù)列的定義逐項驗證即可.

【詳解】設數(shù)列｛叫的公比為4(#1),

選項A：ln〃a“)=ln—,

a.

所以ln/(a“+J-ln〃a“)=ln二一一111,=1112=一1114是常數(shù)，

??+1%?w+i

所以數(shù)列｛in/(%)｝為等差數(shù)列，A滿足題意；

選項B：ln/(a“)=lnd，

2

所以In〃??+i)-ln/(o?)=ln4＞一In4；=In瑪-=lnq2=21ng是常數(shù)，

an

所以數(shù)列｛4(%)｝為等差數(shù)列，B滿足題意；

選項C：ln/(%)=lne"”=%,

所以ln/(4+J-ln/(%)=a用一%不是常數(shù)，

所以數(shù)列｛4(4)｝不為等差數(shù)列，C不滿足題意；

選項D：=

所以111/(4+1)-111/(4,)=111向二_111瘋=夕114是常數(shù)，

所以數(shù)列｛in/(%)｝為等差數(shù)列，D滿足題意；

故選：ABD

25.(2022秋?福建福州?高二校聯(lián)考期末)在數(shù)列｛%｝中，若d-a3=M"22,〃eN*,p為常數(shù))，則稱｛q｝為

“平方等差數(shù)列”.下列對“平方等差數(shù)列”的判斷，其中正確的為()

A.｛（-2）”｝是平方等差數(shù)列

B.若｛q,｝是平方等差數(shù)列，則｛4｝是等差數(shù)列

C.若｛%｝是平方等差數(shù)列，貝。｛姐,+“（匕為常數(shù)）也是平方等差數(shù)列

D.若｛%｝是平方等差數(shù)列，則｛軟幅｝&beN*,匕6為常數(shù)）也是平方等差數(shù)列

【答案】BD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結合平方等差數(shù)列的定義逐一判斷即可.

【詳解】對于A,當“為奇數(shù)時，則（〃-1）為偶數(shù)，所以（-2）"-（-2廣=-（2"+2"-）=-3?1,

當〃為偶數(shù)時，則（〃-1）為奇數(shù)，所以（-2）"-（-2）i=（2"+2"T）=3?"T,

即｛（-2）"｝不符合平方等差數(shù)列的定義，故錯誤；

對于B,若｛%｝是平方等差數(shù)列，則4-片-=。522,九€葉,。為常數(shù)），即｛才｝是首項為公差為〃的

等差數(shù)列，故正確；

對于C,若｛4｝是平方等差數(shù)列，則心2/eN*,p為常數(shù)），

2

則（包,+6）2-（如+6）2=k（a；-a；_y）+2kb（an-%）,

即（她+，）2-（帆―1+4=丹+2的-,

當｛。,｝為等差數(shù)列時，an-an_x=d,貝lj｛她+6｝為平方等差數(shù)列，

當｛4｝不為等差數(shù)列時，則｛3“+闿不為平方等差數(shù)列，故錯誤；

a

對于D,因為｛g｝是平方等差數(shù)列,所以或+i-堤,=或+2-Li=???=4“+i）-4（“+1）-1=P，

把以上的等式相加，得（成,+1-成,）+（吃2-心1）+…+（《（”+「d（.+l）T）=切，

底=廂,則4向）+廠以產(chǎn)切，即數(shù)列｛為+』是平方等差數(shù)列，故正確；

故選:BD

26.（2023秋?山西呂梁?高二統(tǒng)考期末）定義:在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，

這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長，，.將數(shù)列1,4進行“美好成長”，第一次得到數(shù)列1,4,4；第二

次得到數(shù)列1,4,4,16,4,L,設第〃次“美好成長”后得到的數(shù)列為1,占,%,L,々,4,并記

%=log4（lx玉x%xLx/x4）,貝lj（）

=

A.%5B.an+l=3an-1

D.數(shù)列｛na｝的前n項和為產(chǎn)（2〃T）j+2/。+〃）

C.左=2"+ln

【答案】ABD

【分析】對A：由題意直接運算判斷；對B：根據(jù)第〃+1次“美好成長”與第〃次“美好成長”的關系分析運算;

對C：根據(jù)題意分析可得：+1=2(2+1),利用構造法結合等比數(shù)列分析運算；對D：由%M=3%-1,

利用構造法結合等比數(shù)列可得%=3旺"+1，利用裂項相消結合分組求和運算求解.

"2

25

【詳解】對A：CZ]=log4(lx4x4)=log44=2,02=log4(lx4x4xl6x4)=log44=5,A正確;

對B：由題意可知:

2

、（ixrxx2x..-xx，x4）

a?+l=log4｛（1x外x%x…x4x4）［（1x尤］）（網(wǎng)x尤2）…@x4）］｝=log4X玉X%2X???x々x4）x---------------------------—

一八勺八八2八"■?八人kI/\

=log4-------------------------^=31og4(lx%ixx2x???x/x4)-l=3a〃-1，

故a.+i=3%,T,B正確；

對C：設第"次“美好成長”后共插入4項，即左=2，共有2+1個間隔，且4=1,

則第〃+1次“美好成長”后再插入2+1項，則bn+1=￡+電+1)=紇,+1,

可得2+1+1=2僅“+