2025年高考數(shù)學(xué)重難點突破訓(xùn)練：解三角形的最值和范圍問題【九大題型】（含答案及解析）

重難點12解三角形的最值和范圍問題【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】................................................2

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】........................................................3

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】........................................................4

【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】....................................5

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】......................................................6

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】......................................................7

【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）】......................................................8

【題型8“坐標(biāo)法”求最值（范圍）】..........................................................9

【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】.................................................10

?命題規(guī)律

1、解三角形的最值和范圍問題

解三角形中的最值或范圍問題，通常涉及與邊長、周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或

與角度有關(guān)的范圍問題，一直是高考的熱點與重點，有時也會與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合考查，主

要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問題，解決此類問題的

關(guān)鍵是建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1三角形中的最值和范圍問題】

1.三角形中的最值（范圍）問題的常見解題方法：

（1）利用正、余弦定理結(jié)合三角形中的不等關(guān)系求最值（范圍）；

（2）利用基本不等式求最值（范圍）；

（3）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）；

（4）轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）；

（5）坐標(biāo)法求最值（范圍）.

2.三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的邊長、周長或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運

用.解題時要結(jié)合正弦定理和余弦定理實現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究

其最值（范圍）.

（2）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）問題的解題策略

三角形中最值（范圍）問題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利

用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍.

（3）坐標(biāo)法求最值（范圍）求最值（范圍）問題的解題策略

“坐標(biāo)法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時，要充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊

角關(guān)系，建立合適的直角坐標(biāo)系，正確求出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，將所要求的目標(biāo)式表示出來并合理化簡，再結(jié)

合三角函數(shù)、基本不等式等知識求其最值.

?舉一反三

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】

【例1】(2024?河北石家莊?三模)在△ABC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,c=4,ab=9.

2

(1)若sinC=求sin&-sinB的值；

(2)求面積的最大值.

【變式1-1](2024?全國?模擬預(yù)測)記銳角三角形ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosA=

V3—acosB,2asinC=V3.

(1)求4

(2)求△48C面積的取值范圍.

【變式1-2](2024?遼寧?模擬預(yù)測)如圖，在平面內(nèi)，四邊形2BCD滿足B,。點在47的兩側(cè)，AB=1,

BC=2,△力CD為正三角形，設(shè)N&8C=a.

D

(1)當(dāng)a=時，求AC；

(2)當(dāng)a變化時，求四邊形4BCD面積的最大值.

【變式1-3](2024?上海?三模)已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且遮a=2csin力.

(1)求sinC的值；

(2)若c=3,求△ABC面積S的最大值.

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】

【例2】(2024?四川三模)在△2BC中,內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2csinBcosA=6

(sin^cosB+cosZsinB).

(1)求力；

(2)若△ABC的面積為16g,。為AC的中點，求BD的最小值.

【變式2-1](2024?江西?模擬預(yù)測)在△4BC中，角4B,C所對的邊分別記為a,b,c,且tan2=

cosB—sinC

cosC+sinB"

⑴若B=?求C的大小.

(2)若a=2,求6+c的取值范圍.

【變式2-2]（2024?廣東廣州?三模）在銳角△4BC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,S,c=bsin^+a

cosB.

⑴求N;

⑵若。是邊BC上一點（不包括端點），且=求累的取值范圍.

【變式2-3]（2024?江西鷹潭?二模）△4BC的內(nèi)角4SC的對邊分別為a,b,c,滿足上哼=嗯.

cosAcosB

⑴求證：4+28=1；

（2）求守的最小值.

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】

【例3】（2024?安徽淮北?二模）記△4BC的內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,瓦c,已知c—b=Zcsir^

（1）試判斷△ABC的形狀；

（2）若c=L求△ABC周長的最大值.

【變式3-1]（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）已知在△ABC中，。為3c邊的中點，且ZD=傷.

（1）若△4BC的面積為2,cos乙4DC=g,求B；

(2)^AB2+AC2=18,求△ABC的周長的最大值.

【變式3-21（2024?云南曲靖?二模）在△力8C中,角48,C的對邊分別為a,6,c,且acosC+Vscsin/l=b+c.

⑴求角8的取值范圍;

（2）已知△ABC內(nèi)切圓的半徑等于孚，求△ABC周長的取值范圍.

【變式3-3]（2024?湖南常德?一模）己知△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別是a力,c,且齦=2b.

⑴判斷△力BC的形狀；

（2）若△4BC的外接圓半徑為VL求△4BC周長的最大值.

【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】

【例4】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）記△力BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,6,c.若a=g力=2,則B+C

的取值范圍是（）

A.俘，用B.件,n）

C融）D.6卻

1C

【變式4-1]（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）在△ABC中，角力、B、C的對邊分別為a、b、c,若荷+==

b44az

梟，貝UtanA一三的最小值為（）

【變式4-2]（2024?陜西寶雞?二模）△4BC中，。為8c邊的中點，AD=1.

A

BDC

⑴若△ZBC的面積為2g，且乙4DC=竽，求sinC的值;

（2）若BC=4,求cosNb4c的取值范圍.

【變式4-3］（2024?北京石景山?一模）在銳角△ABC中，角4BC的對邊分別為見瓦c,且2芯也4一遮。=0.

⑴求角B的大小;

（2）求cosA+cosC的取值范圍.

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】

【例5】（2024?山西太原?三模）已知aABC中，4=120°,。是8c的中點，且4。=1,則△4BC面積

的最大值（）

A.V3B.2V3C.1D.2

【變式5-1］（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知△4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,6,c,且a=V^,BC邊上中

線4。長為1,則6c最大值為（）

77

A.-B.-C.V3D.2V3

4Z

111

【變式5-2］（2024?安徽合肥?二模）記△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,仇c,已知c=2而彳+高山+高石市

=1.則△ABC面積的最大值為（）

A.1+V2B.1+V3C.2V2D.2V3

【變式5-3］（2024?浙江臺州?二模）在△4BC中，角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,若acosC=2ccos

A,則寫的最大值為（）

Q

A.V3B.-c.—D.3

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值(范圍)】

【例6】(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)在△A8C中，內(nèi)角B,C所對的邊分別為a,b,c,且

-sin-2-C—-si-nC-s-inB=1.」

cos2B—cos2A

(1)求角”的大??；

(2)若△ABC為銳角三角形，點尸為△ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范圍.

【變式6-1](2024?遼寧?模擬預(yù)測)已知AABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,(c—V^6)sinC=(a—b)

(sinA+sinB).

⑴求a；

(2)若△ABC為銳角三角形，且b=6,求△ABC的周長/的取值范圍.

【變式6-2](2024?河北衡水?一模)在△ABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別是a力,c,三角形面積為S,若。為

AC邊上一點，滿足AB_LBD,BD=2,且a?=-竽S+abcosC.

⑴求角B；

(2)求奈+擊的取值范圍.

【變式6-3](2024?福建漳州?模擬預(yù)測)如圖，在四邊形4BCD中，Z.DAB=pB=*且△ABC的外接圓

半徑為4.

(1)若BC=4魚，AD=2V2,求△4CD的面積;

(2)若。=拳求BC-4D的最大值.

【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值(范圍)】

【例7】(2024?四川成都?模擬預(yù)測)設(shè)銳角△4BC的三個內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,6,c,且c=2,B=2C,

則a+b的取值范圍為()

A.(2,10)B.(2+2V2,10)C.(2+2近,4+2遍)D.(4+273,10)

【變式7-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知△ABC是銳角三角形，內(nèi)角/,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,

c.若a?—墳=兒，則高的取值范圍是()

A.惇，乎)B.(2-V3,l)C.(2-V3,V2-l)D.(V2+1,V3+2)

【變式7-2](2023?全國?模擬預(yù)測)已知△力BC為銳角三角形，其內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,6,c,

cosB=cos2A

(1)求!的取值范圍；

(2)若a=l,求△4BC周長的取值范圍.

&2+16

【變式7-3](2024?全國?模擬預(yù)測)己知△力BC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,SAABC=~^

?tanC.

⑴求a的值;

（2）若。為線段BC上一點且滿足BD=LD4平分ABAC,求△4BC的面積的取值范圍.

【題型8“坐標(biāo)法”求最值（范圍）】

【例8】（23-24高一下?四川宜賓?期末）如圖，在平面四邊形4BCD中，ABIBC,^BCD=60°,

N2DC=150。，BE=3EC,CD=野,BE=?若點歹為邊4D上的動點，則麗?麗的最小值為（）

【變式8-1]（2023?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測）己知平行四邊形4BCD中，AADC=60°,E,F分別為邊4B,BC

的中點，若赤?赤=13,則四邊形48CD面積的最大值為（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

【變式8-2]（2023?全國?模擬預(yù)測）在等腰△ABC中，角/,B,C所對應(yīng)的邊為a,b,c,B=C4,

a=2V3,P是△ABC外接圓上一點，則同?麗+麗?麗+麗?麗的取值范圍是（）

A.[-3,23]B.[-1,33]C.[-2,30]D.[-4,20]

【變式8-3]（2024?江西南昌?三模）如圖，在扇形。/8中，半徑。2=4,乙40B=90。，C在半徑08上，D

在半徑0/上，￡是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形2CDE的周長的取值范圍是（）

A.(8,12]B.(8V2,12]

C.(8,8V2]D.(4,8近]

【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例9】（2023?河南開封?三模）已知瓦、詼為單位向量，同-可=g，非零向量為滿足同-2可=1,貝力方-可

的最小值為（）

A.V7B.V7-1C.V3D.V3-1

【變式9-1]（23-24高三上?北京通州?期末）在菱形4BC。中，4B=2/82。=60。乃是8C的中點，尸是CD上

一點（不與C,D重合）,DE與AF交于G,則尼?麗的取值范圍是（）

A.（0,|）B.（0,?C.（0,2）D.（0,3）

【變式9-2]（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知平行四邊形/BCD中，AB=2,BC=4,B=與，若以C為

圓心的圓與對角線8。相切，尸是圓C上的一點，則麗?（市-瓦）的最小值是（）

A.8-2V3B.4+2V3C.12-4V3D.6+2V3

【變式9-3]（2023?福建廈門?二模）在△力OB中，已知|福|=VL|萬|=1,〃。8=45。，若加=友？+〃

OB,且2+2〃=2,/z6[0,1],則萬?在而上的投影向量為m3（N為與而同向的單位向量），則加的取值范

圍是（）

A.[一爭1]B.惇,1]C.（一￥，1]D.（￥，“

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測）在△ABC中，角力,B,C的對邊分別為Q,b,c,若Q=l,bcosA=1+

cosB,則邊b的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

2.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知△ABC角4、B、C的對邊分別為a、b、c滿足衛(wèi)=呵”手，則角B的

a—cSino

最大值為（）

7171Tl2n

A.%B.工C.ED.—

3.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測）已知在同一平面內(nèi)的三個點4B,C滿足|2B|=2,2-2>1,貝川尼+麗|

|C4|\CB\

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]

4.（2024?河南?三模）在aaBC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.若焉+號=與，貝肚am4+

COSDCOSC

tanC的最小值是（）

48/—

A.-B.-C.2V3D.4

5.（2024?河南?模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，角B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足夢=。2.若

b+c

a=2V3,則爐+02的取值范圍為（）

A.（12,24]B.（20,24]C.[12,24]D.[20,24]

6.（2024?江西?二模）在△4BC中，若sinA=2cosBcosC,則cos2B+cos2c的取值范圍為（）

7.（2024?全國?二模）在八42。中，內(nèi)角B,C所對的邊分別為a,b,c,2acos4=bcosC+ccosB,且

a=4sin4則A48C周長的最大值為（）

A.4V2B.6V2C.4V3D.6V3

8.（2024?陜西咸陽?三模）為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府

在市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”。PQ中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道。力B,已

知扇形的半徑0P=3,圓心角NPOQ=?4是扇形弧上的動點，B是半徑0Q上的動點，AB//OP,貝U△04B

面積的最大值為（）

Q

二、多選題

1

9.（2024?江蘇南京?二模）已知△ABC內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,。為△ABC的重心，cosA=g,

4。=2,貝I（）

A.AO=+14CB.AB-AC<3

C.△ABC的面積的最大值為D.a的最小值為

10.（2024?湖南?二模）在△A8C中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,且c=b（2cos4+1）,則下列結(jié)論正確

的有（）

A.A=2B

B.若a=遮b,則△4BC為直角三角形

C.若△4BC為銳角三角形，高-高的最小值為1

€dll￡?€dll/i

D.若△ABC為銳角三角形，貝哈的取值范圍為（3,竽）

11.（2024?河北邯鄲?三模）已知△2BC的三個內(nèi)角B,C的對邊分別是a,b,c,面積為哼

4

（a2+c2-則下列說法正確的是（）

A.cosdcosC的取值范圍是

B.若。為邊”的中點，且BD=L則△ABC的面積的最大值為手

C.若△ABC是銳角三角形，貝嚀的取值范圍是Q,2）

D.若角B的平分線BE與邊力C相交于點E,且BE=g,貝Ua+4c的最小值為10

三、填空題

12.（2024?北京?三模）在△2BC中，a,6,c分別是角4B,C的對邊，且a+c=2b,則角B的取值范圍為.

13.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,hc,若b=2,焉=總+嘉,

則2a+c的最大值為.

14.（2024?江蘇鹽城?一模）在△48C中，已知AB=2,8C=3,點P在△ABC內(nèi)，且滿足CP=2,

N4PC+乙4BC=TT,則四邊形4BCP面積的最大值為.

四、解答題

15.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）在△4BC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c.己知布?樂-瓦？?麗=啟才

（1）若2=1,判斷△4BC的形狀；

（2）^2-求tan（B-4）的最大值.

16.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）在△ABC中，已知角4B,C所對的邊分別為a,b,c,asin2|+/?sin2^=

3ab

2(a+b+c)

⑴求角C的大小;

(2)若△力BC為銳角三角形，求《的取值范圍.

17.(2024?重慶渝中?模擬預(yù)測)已知△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,且滿足叵—sinB=tanA?cos

a

B.

(1)求角A的大小；

⑵若△4BC為銳角三角形且a=2V6,求△ABC面積的取值范圍.

?四川南充?模擬預(yù)測)在△中，

18.(2024ABCsin/t+sino=:si黑no+sinc

⑴求4;

(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.

19.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)在銳角△4BC中.內(nèi)角4B,C所對的邊分別是a,b,c,已知a-2ccos

B=c.

(1)求證：B=2C；

(2)求sinB+2?cos2c的取值范圍.

重難點12解三角形的最值和范圍問題【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】................................................2

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】........................................................5

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】........................................................8

【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】...................................12

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】.....................................................15

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】.....................................................17

【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）】.....................................................21

【題型8“坐標(biāo)法”求最值（范圍）】.........................................................25

【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】.................................................29

?命題規(guī)律

1、解三角形的最值和范圍問題

解三角形中的最值或范圍問題，通常涉及與邊長、周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或

與角度有關(guān)的范圍問題，一直是高考的熱點與重點，有時也會與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合考查，主

要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問題，解決此類問題的

關(guān)鍵是建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1三角形中的最值和范圍問題】

1.三角形中的最值（范圍）問題的常見解題方法：

（1）利用正、余弦定理結(jié)合三角形中的不等關(guān)系求最值（范圍）；

（2）利用基本不等式求最值（范圍）；

（3）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）；

（4）轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）；

（5）坐標(biāo)法求最值（范圍）.

2.三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的邊長、周長或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運

用.解題時要結(jié)合正弦定理和余弦定理實現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究

其最值（范圍）.

（2）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）問題的解題策略

三角形中最值（范圍）問題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利

用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍.

（3）坐標(biāo)法求最值（范圍）求最值（范圍）問題的解題策略

“坐標(biāo)法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時，要充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊

角關(guān)系，建立合適的直角坐標(biāo)系，正確求出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，將所要求的目標(biāo)式表示出來并合理化簡，再結(jié)

合三角函數(shù)、基本不等式等知識求其最值.

?舉一反三

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】

【例1】(2024?河北石家莊?三模)在△ABC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,c=4,ab=9.

2

(1)若sinC=求sin&-sinB的值；

(2)求△NBC面積的最大值.

【解題思路】⑴根據(jù)正弦定理可得sinA=*sinB=，，從而可求sinA-sinB的值；

(2)利用基本不等式可得a2+b222a6=18,再根據(jù)余弦定理可得cosC的范圍，從而可得sinC的范圍，結(jié)

合三角形面積公式，即可得△48C面積的最大值.

【解答過程】(1)由正弦定理扁=號=急=6,可得siiL4=[,sinB=4

oiiic.Sin￡>oiii/ioo

ab91

???sinA?sinB=—?—=—=-

66364

(2)vab=9,a2+b2>2ab=18,

由余弦定理可得cosC=筆以>叫至=

1on

-<cosC<1,?1?0<1—(cosC)2<—,

???0<sinC<,,,S=|absinC=|sinC<2V5,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=3時，等號成立，此時△ABC面積取得最大值2遍.

【變式1-1](2024?全國?模擬預(yù)測)記銳角三角形4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosA=

V3—acosB,2asinC=V3.

(1)求4

(2)求△2BC面積的取值范圍.

【解題思路】(1)方法一：由余弦定理角化邊求解；方法二：由正弦定理邊化角求解.

(2)利用正弦定理得b=誓=儡i￡+c)=君+*結(jié)合△4BC為銳角三角形，求得三<。<去進而求

smcsine2tanC43z

得|<b<2,即可求解.

【解答過程】(1)方法一：由余弦定理，得bx爐;*。？=「X”2,解得

Zbc2ac

又2asinC=遍，所以由正弦定理，得sin/=竺產(chǎn)

又為銳角三角形，所以/=/

方法二：由題意知，bcosA=2asinC-acosB.

由正弦定理得sinBcos/=2sinAsinC-sinAcosB,

所以sinBcos/+cosBsin/=2sinXsinC,

所以sin(B+4)=2sin/sinC,即sinC=2sin4sinC；

又因為sinCKO,所以sin4=：,又因為Ze(0,。所以A=，.

(2)由正弦定理得b二csinB=岳in(Z+C)-V^sirL4cosc+gcos/sinC二四十」

sinCsinCsinC2tanC2'

f0<C<5

因為△ABC為銳角三角形，所以to<B=^-C<=

解得gvCv],所以tanC>遮，所以|<b<2.

因為c=V^,所以SMBC=/csin4=學(xué))，所以^VV當(dāng)

44t$Z

故△狗:面積的取值范圍為(竽，等

【變式1-2](2024?遼寧?模擬預(yù)測)如圖，在平面內(nèi)，四邊形48CD滿足B,。點在4C的兩側(cè)，4B=1,

BC=2,△ACD為正三角形，設(shè)N4BC=a.

(1)當(dāng)a=三時，求4C；

(2)當(dāng)a變化時，求四邊形A8CD面積的最大值.

【解題思路】(1)在△4BC中，由余弦定理可得4c的值；

(2)由余弦定理可得AC?的表達(dá)式，進而求出正三角形4CD的面積的表達(dá)式，進而求出四邊形2BCD的面積

的表達(dá)式，由輔助角公式及a的范圍，可得四邊形面積的范圍.

【解答過程】(1)因為2B=1,BC=2,B=^,

由余弦定理可得：AC=y/AB24-BC2-2AB-BCcosB=Jl+4-2xlx2x|=V3.

(2)由余弦定理可得=4B2+BC2-2AB-BCcosa=1+4-2x1x2cosa=5-4cosa,

因為△力CD為正二角形，所以S&4CD=--AC2=V^cosa,

S/^ABC=-BCsina=|x1x2sina=sina，

所以S四邊形4BC。—^AABC+^AACD=sina—V5cosa+=2sin(a—

因為a€(0用)，所以一久(-點,)，

所以sin(a.)?—多1],

所以S四邊形4BCDe件,2+竽]，

故當(dāng)a=?時，四邊形4BCD面積的最大值為2+乎.

64

【變式1-3](2024?上海?三模)已知△A8C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且舊a=2csin4.

(1)求sinC的值;

(2)若c=3,求△ABC面積S的最大值.

【解題思路】⑴由正弦定理即可得sinC=孚；

(2)由余弦定理結(jié)合重要不等式可得ab取值范圍，再由三角形的面積公式SoBC=，bsinC可求出面積的最

大值.

【解答過程】(1)由題意可知，機a=2csin4

由正弦定理得VJsinA=2sinCsin2,

因為4,CG(O,TT),所以sinAHO,

即sinC=當(dāng)

(2)由(1)可知sinC=容

所以C=5或。=與.

在△4BC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACxBCcosC,

當(dāng)C=5時，c=3,

22

9=爐+a^—2ab-^=b+a-ab>2ab-ab=ab9

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號，即

故△48c的面積S△力BC=-ctbsinC=fabW

當(dāng)。=爭寸，c=3,

9=h2+a2+2ab?|=Z)2+a2+ab>2ab+ab=3ab,

當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=g時取等號，即ab<3,

故△的面積S4/BC=-absinC=ab<

z吟44

綜上所述，△4BC的面積最大值為竽.

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】

【例2】(2024?四川?三模)在△ABC中,內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2csinBcos4=b

(siiL4cos8+cosAsinB).

⑴求4;

⑵若△ABC的面積為16遮，。為"的中點，求的最小值.

【解題思路】(1)根據(jù)正弦定理進行邊化角得COSA=9,則得到4的大小；

(2)利用三角形面積公式得加=64,再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.

【解答過程】(1)因為2csinBcosA=&(sia4cosB+cosAsinB),

由正弦定理可得2sinCsinBcosZ=sinBsin(A+B)=sinBsinC,

又CE(OJT),BE,故sinCwO,sinBHO,

所以cos/=I，又A6(0,7i),故4=.

(2)SAABC=^cbsinA=16V3,又/=，.bc=64,

在△84。中，由余弦定理BO2=B42+/D2-2?B4?AD-COS4=C2+Q)2-2C?1?COS^,

=c2+-^cb>2Ic2?——cb=[cb=32,

42J422

當(dāng)且僅當(dāng)c=?1=4四時取等號，

.?.8D的最小值為4金.

B

【變式2-1］（2024?江西?模擬預(yù)測）在△ABC中，角4B,C所對的邊分別記為a,b,c,且tanA=

cosB—sinC

cosC+sinB,

⑴若8=也求C的大小.

（2）若a=2,求b+c的取值范圍.

【解題思路】（1）由tan4=c°s/s：n；,得sinAcosC+sinZsinB=cos4cos8-cos4sinC,再利用兩角和差的

cosC+sin￡>

正余弦公式化簡，進而可求得4B的關(guān)系，即可得解；

（2）利用正弦定理求出瓦c,再根據(jù)4B的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

cosB—sinC耳二八jsin/_cosB—sinC

【解答過程】(1)因為tanA=cosC+sinB,cosZcosC+sinB'

BRsinTlcosC4-sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sin4cosc+cosXsinC=cosAcosB—sinAsinB,

所以sin(4+C)=cos(i4+B),即sinB=cos^A+B),

而4B€(0m),所以B+Z+B=5或8-(/+B)=熱

所以4+28=］或4=苫（舍去），

又因為8=也所以/=也

所以c=與;

(2)由⑴得4+23=宏

因為sin4-sinB-sinC'

2sinB_/也8_2sinB

所以°=鬻sinAsin(]—23)cos28‘

asinC_2sinC_2sin(^+S)_2cosB

sin?lsin/sin(-—cos2B9

2(sinB+cosB)2(sin5+cosB)_2V2

則

b+Ccos2Bcos2B—sin2BcosB-sinBcos(B+J

'0<B<TV

又由l0</2BVn,得0<8<a

0<-+^<ii

I2

所以所以0<COS(8+D〈冬

所以b+c€(2,+8).

【變式2-2](2024?廣東廣州?三模)在銳角aaBC中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=6sin?+a

cosF.

⑴求4

(2)若。是邊BC上一點(不包括端點),且=求哈的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡得到si《=cos4進而求得si《=

即可求解.

(2)設(shè)乙4BD=NBAD=X(0<X<9,在△4CD中，利用正弦定理，化簡得到黑=-1+萼一，根據(jù)題

V3/人〃V3+tanx

意，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

AA

【解答過程】(1)c=bsin-+acosB,???sinf=sinBsin-+sinAcosB,

又/+B+C=ii,可得sinC=sin(/+B)=sirL4cosB+cosAsinB,

???sinAcosB+cos^sinB=sinBsin-+sinXcosB,

4TC

???sinBcosA=sinBsin-,又0<B<5，sinBH0,

可得cos4=si6，所以l-2sin2?=sing,解得sing=1或sin^=—1,

V0<<^,所以sin3=g,即4=5

(2)設(shè)4aBD=N8AD=x(0<x<q,則ND4C==亨一x,

,:Z.ABD=Z-BAD,AD=BD,

在△北〃中，由正弦定理得需=累=嚼3=等七照=鏟”=—1+婷口，

BDADsin^——xjv3cosx+smxv3+tanxv3+tanx

因為△ABC為銳角三角形，所以0<%<與且0<￡x<3貝臉<尤<3

所以tairre停,旬，可得遮+tanxC(竽,2聞，所以一1+房三e(o,)所以卷40,。

A

【變式2-3](2024?江西鷹潭?二模)△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,滿足與警=黑.

COS/1COSD

⑴求證：4+28=5；

(2)求管的最小值.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，化簡得到sinQ4+8)=cos8=sin9—8),即可得證；

(2)由(1)知2B且C=5+B,利用正弦定理得到等=4COS28+扁-5,結(jié)合基本不等式，即可

求解.

【解答過程】(1)證明：由if=型|,可得4片1且sinAcosB+cosAsinB=cosB,

COS丁HCOS2y/

所以sin(/+8)=cosB=sing—8),

因為為三角形的內(nèi)角，可得4+8=與-8,即4+28=安得證.

(2)解：由(1)知4=萬一2B,=TC-A—B=—+F,

百斤pta2+b2_sin2(+sin2B_cos22B+sin2B_(2COS2B—1)2+1—COS2B

c2sin2ccos2Bcos2B

所以修=48528+熹一524立一5,當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=日時，等號成立，

所以營的最小值為4魚-5.

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】

【例3】(2024?安徽淮北?二模)記△ABC的內(nèi)角ASC的對邊分別為a,b,c,已知c—b=ZcsiM^

⑴試判斷△ABC的形狀；

(2)若c=l,求△ABC周長的最大值.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，求得cos4=*利用余弦定理列出方程，得到。2+爐=02,即可求解；

(2)由(1)和c=l,得到a=sin/,b=cos/,則△/BC周長為1+sin4+cos4結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),

即可求解.

【解答過程】⑴解：由c-b=2csin23可得sin2^=F，所以=與3

222c一22c

即；嬰=2，所以cos4=2,

又由余弦定理得“藍(lán)：一"2=2,可得Q2+b2=c2,所以c=*

2bccn

所以△ABC是直角三角形

(2)解：由(1)知，△力BC是直角三角形，且c=l,可得a=sinA,b=cosA,

所以△力BC周長為1+sinA+COSTI=1+V7sin(a+：)，

因為4e(o,1,可得苧)，

所以，當(dāng)4=今時，即△力BC為等腰直角三角形，周長有最大值為迎+1.

【變式3-1](2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知在△ABC中，。為8C邊的中點，且4。=遮.

(1)若△4BC的面積為2,coszXOC=求B；

(2)^AB2+AC2=18,求△2BC的周長的最大值.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，求得8。=1,由余弦定理，求得43=2魚，再由正

弦定理求得sinB=￥，進而求得B的值；

(2)設(shè)。0=8。=久，分別在△4BD和△4CD中，利用余弦定理，列出方程求得％=2,結(jié)合(48+4￡)242

(4爐+4。2),即可求解.

【解答過程】(1)解：因為△力BC的面積為2,且。為BC的中點，

可得S/\4BD=\BD\sinz.ADB—1,

又因為sinNaDB=sinNADC=半，可得8。=1,所以8c=2

在△力BD中，由余弦定理得AB?=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB

=(V5)2+12-2xV5x1x^=8,所以AB=2魚，

由正弦定理怎=編，可得"nB=日，

因為N4DC+LADB=TT且cos乙4DC=浮

可得COSZJWB=cos(it-Z/1￡)C)=—cosZ-ADC=<0,

即N2DB為鈍角，所以B為銳角，所以

(2)解：設(shè)CD=BD=x,分別在△4BD和△4CD中，

由余弦定理AB?=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB,

SPAS2=x2+5—2x-V5coszX￡)B,同理可得AC2—x2+5+2x-V5coszXDB,

所以4B2+4C2=2(%2+5)=18,可得久=2,

又因為Q4B+aC)2w2(aB2+ac2)=36,當(dāng)且僅當(dāng)4B=4C時，等號成立，

所以4B+4CW6,所以△ABC周長的最大值為10.

【變式3-2](2024?云南曲靖?二模)在△48C中，角4,B,C的對邊分別為a,6,c,且acosC+遮csinN=b+c.

(1)求角B的取值范圍；

(2)已知△力BC內(nèi)切圓的半徑等于g，求△ABC周長的取值范圍.

【解題思路】(1)由正弦定理可得sinZcosC+V^sinCsinA=sinB+sinC,利用三角恒等變換可得sin(Z-3=

可求角B的取值范圍；

(2)由三角形的面積可求得。=—b—c+bc,結(jié)合余弦定理可得(bc)2—2bc(6+c)+(6+c)2=(6+c)2

-3/Jc,計算可得b+c<2或b+c26,進而可求得

△ABC的周長L=Q+b+c=〃2+c2_2bccosZ+b+c,設(shè)△ABC與圓內(nèi)切于點。，瓦F,

b+c=AC+AB>AD^AF=3,進而分析可得△ZBC的周長的取值范圍.

【解答過程】(1),?,acosC+V^csinA=b+