高考數(shù)學一輪復習：集合常用邏輯用語【導學案】

第一章I集合常用邏輯用語

第一節(jié)集合

課程標準

1.了解集合的含義，元素與集合的屬于關系，能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語

言刻畫集合，了解全集與空集的含義.

2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

3.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集，理解在給定集合中一

個子集的補集的含義，能求給定子集的補集.

4.能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.

基礎扎牢基礎不牢?地動山搖

［由教材回扣基礎］

1.集合的有關概念

⑴集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

⑵集合與元素的關系：若“屬于集合A,記作“GA；若b不屬于集合A,記作期與

⑶集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)五個特定的集合：

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關系

示

文字語言記法

關系

子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素AU3或B2A

集合間集合A是集合3的子集，并且5中至少有一個元A5或3_

真子集

的基本素不屬于AA

關系集合A中的每一個元素都是集合B中的元素,集合4U5且5=4

相等

B中的每一個元素也都是集合A中的元素自4=5

空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3.集合的三種基本運算

符號表示圖形表示符號語言

并集AUB02)AU3={x|xea,或xGB}

交集4-3=3x64,且xGB}

若全U,則集合A

補集%[〃4={x|xe。，且xCA}

的補集為[:UA

4.集合基NM運算的性質(zhì)

(1)AHA=A,A00=0.

(2)AUA=A,AU0=4.

(3)AnCtM=0,AU[[M=r,Cl7(ClM)=A.

(4)AG504ClB=A^AU5=30CUA2CUB^AC(CUB)=0.

澄清微點?熟記結(jié)論

1.有限集的子集個數(shù)

設集合A是有"("GN*)個元素的有限集.

(1)4的子集個數(shù)是2n;

(2)4的真子集個數(shù)是2zz—1;

(3)4的非空子集個數(shù)是2n-l;

(4)4的非空真子集個數(shù)是2n-2.

2.[U(4C3)=(1UA)U(CUB).

3.CtZ(AUB)=(C[7A)n(C[7B).

[練小題鞏固基礎]

一、準確理解概念(判斷正誤)

(1)任何一個集合都至少有兩個子集.()

(2){xly=x2+l}={j[y=x2+l}={(x,y)\y=x2+l}.()

(3)若{X2,1}={0,1},貝！|x=0或x=l.()

(4)對于任意兩個集合A,B,(An5)U(AUJB)恒成立.()

答案：⑴X(2)X⑶X(4)7

二、練牢教材小題

1.(新人教B版必修①P9T4改編)已知集合4={0,1,x2-5x},若一4GA,則實數(shù)x的值為

答案：1或4

2.(新人教A版必修①P14習題1.3T4改編)設全集為R,A={x|3^x<7},B=(x|2<x<10},

貝!l[R(AU3)=,(CRA)nB=.

答案：{x|xW2或x210}{x[2<x<3或7Wx<10}

3.(新北師大版必修①P7練習T3改編)集合3(*—1)(工一2)(工-3)2=0}的子集個數(shù)為

,非空真子集的個數(shù)為.

答案：86

三、練清易錯易混

1.(忽視元素的互異性)已知集合4={1,3,洞,B={1,m},若5UA,貝(b〃=()

A.1B.0或1或3

C.0或3D.1或3

解析：選C由3CA,得，〃=3或帆=＜而，Mm=y[m,得桃=0或m=l,由集合元

素的互異性知,.m=0或m=3.

2.(忽視空集的情形)已知集合拉={x|x—a=0},N={x\ax-l=0},若MCN=N,則實數(shù)a

的值為()

A.-1B.1

C.-1或1D.0或1或一1

解析：選D由MCN=N,得NJM,當N=0時，a=0;當NW。時，：=a,解得a=

±1,故a的值為±1,0.

3.(忽視集合運算中端點取舍)已知集合4={*歸》3},B={x\x^m},且AU3=A,則實數(shù)相

的取值范圍是.

解析：由AU3=A,得如圖所示，所以機23.,..一

0~1~2~3"14~5~6^

答案：[3,+8)

考法研透—方向不對?努力白費

命題視角一集合的基本概念(自主練通)

1.已知集合4={(x,y)|x2+y2W3,x^Z,jGZ},則A中元素的個數(shù)為()

A.9B.8

C.5D.4

解析：選A將滿足％2+y2W3的整數(shù)x,y全部列舉出來，即(一1,—1),(—1,0),(―

1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9個.故選A.

2.如果集合A={x|ax2+4x+l=0}中只有一個元素，則。的值為()

A.0B.4

C.0或4D.不能確定

解析：選C當a=0時，集合4={一；},只有一個元素，滿足題意；當時，由集

合A中只有一個元素，可得4=42—4a=0,解得a=4.綜上，a的值為0或4.

3.設4=卜，3,a2~3a,?+^+7),5={|°—2|,3},已知4WA且4蜘則a的取值集合為

解析：因為4￡A,即4E12,3,al—3a,a+1+7j-,所以〃2—3a=4或a+(+7=4?

2

若a2-3a=4,貝Ua=-1或a=4;若〃+-+7=4,即〃2+3a+2=0,則a=-1或a=-2.

2_

由。2—3a與a+%+7互異，得a#—1.故a=-2或a=4.又4陣3,所以|a-2|W4,解得aW

一2且a#6.綜上所述，a的取值集合為{4}.

答案：{4}

4.設集合A={-4,2“-1,al},B={9,a-5,l-a),且A,3中有唯一的公共元素9,則實

數(shù)a的值為.

解析：由題意知9WA.若2.—1=9,即a=5,此時4={-4,9,25},3={9,0,—4},則

集合A,8中有兩個公共元素一4,9,與已知矛盾，舍去.若a2=9,則a=±3,當a=3時，

A={-4,5,9},B=［9,-2,~2},5中有兩個元素均為一2,與集合中元素的互異性矛盾，

舍去；當”=-3時，A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合題意.綜上所述，。=-3.

答案：一3

［一“點”就過］

與集合元素有關問題的解題策略

(1)研究集合問題時，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，

還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義.

(2)利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合是

否滿足元素的互異性.

命題視角二集合間的基本關系

［典例］⑴已知集合4={小2—2x-3W0,xGN*},則集合A的真子集的個數(shù)為()

A.7B.8C.15D.16

(2)已知集合4={幻一2忘*45},B^{x\m+l^x^2m-l},若5GA,則實數(shù)m的取值

范圍為.

［解析］(l)A={x|—1WXW3,x《N*}={l,2,3},其真子集的個數(shù)為23—1=7.

⑵因為5UA,所以，①若B=0,貝42m~l<m+1,此時m<2.②若B柳,則

{2/M—l>?z+l,

m+V>~2,解得.由①、②可得，符合題意的實數(shù)機的取值范圍為(一—3］.

2m—1<5.

［答案］(1)A(2)(—8,3］

［方法技巧］

解決有關集合間的基本關系問題的策略

(1)一般利用數(shù)軸法、Venn圖法以及結(jié)構(gòu)法判斷兩集合間的關系，如果集合中含有參數(shù)，

需要對式子進行變形，有時需要進一步對參數(shù)分類討論.

(2)確定非空集合A的子集的個數(shù)，需要先確定集合A中的元素的個數(shù).不能忽略任何

非空集合是它自身的子集.

(3)根據(jù)集合間的關系求參數(shù)值(或取值范圍)的關鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素滿足的式子或區(qū)

間端點間的關系，常用數(shù)軸法、Venn圖法.

［針對訓練］

1.已知集合M={My=yi-x2,xFR},N={x\x=m2,m^M},則集合M,N的關系是()

A.MNB.NM

c.D.

解析：選B依題意知，M={x\y=y［l—x2,xGR}={x|-IWXWI},N={x\x=ml,m

GM}={x|OWxWl},所以NM.故選B.

2.已知集合4={%年2—3x+2=0,xGR},B={x|0<x<5,xGN},則滿足條件AUCU3的集

合C的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選D求解一元二次方程，得4={1,2},易知3={1,2,3,4}.因為ACCC3,所

以集合C必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原題即求集合{3,4}的子集個數(shù)，即有22

=4個，故選D.

命題視角三集合的運算

考法(一)集合間的交、并、補運算

［例1］(1)(2021?全國乙卷)已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},貝比。(M

U2V)=()

A.{5}B.{1,2}

C.{3,4}D.{1,2,3,4}

(2)(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)已知M,N均為R的子集，且(RMGN,貝！|MU(［RN)

=()

A.0B.M

C.ND.R

［解析］(1)由題意，得MUN={1,2,3,4}.又U={1,2,3,4,5},所以(U(MUN)={5}.故選

A.

(2)如圖所示，易知答案為B.

［答案］(1)A(2)B

［方法技巧］解決集合運算問題的3個技巧

看元素集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的

構(gòu)成關鍵

對集合有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明

化簡了、易于解決

應用數(shù)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；連續(xù)型數(shù)集的運算，

形常借助數(shù)軸求解

考法(二)利用集合的運算求參數(shù)

［例2］(1)(2020?全國I卷)設集合A={x|x2—4W0},5={x|2x+aW0},且AC3={x|一

20W1},則a=()

A.-4B.-2C.2D.4

(2)集合A={0,2,a},B={1,al},若AU5={0,l,2,4,16},則a的值為.

［解析］(1)易知A={x|-2WxW2},5={xxW-f},因為AnB={x|-2WxWl},所

以一g=l,解得a=-2.故選B.

(2)根據(jù)并集的概念，可知{a,a2}={4,16},只能是a=4.

［答案］(1)B(2)4

［方法技巧］

利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

(1)與不等式有關的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到.

⑵若集合能一一列舉,則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系，再列方程(組)

求解.

提醒：在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證(滿足互異性).

［針對訓練］

1.(2021?全國乙卷)已知集合5=35=2n+1,nSZ},T={t\t=4n+1,nSZ},貝！)SCT=()

A.0B.SC.TD.Z

解析：選C集合S是由奇數(shù)組成的集合，集合7是由被4除余1的整數(shù)組成的集合，

所以TCs,則snr=T.故選c.

2.(2021?新高考II卷)設集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},則AC(CU3)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}

D.{1,3}

解析：選BCt/B={l,5,6},An(Ct7B)={l,6},故選B.

3.已知集合4="卜<3},B={x|x>a},若405n0,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[3,+00)B.(3,+°°)

C.(一8,3)D.(-8,3]

解析：選C因為所以結(jié)合數(shù)軸可知實數(shù)a的取值范圍是（一8,3）,故選

■思維激活-靈活不足?難得高分

數(shù)學建模.練抽象思維—集合中的創(chuàng)新應用問題

1.（攀悟數(shù)學文化）中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：今有物，不知其數(shù).三

三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知

A={x|x=3/z+2,〃eN*},5={x|x=5〃+3,nGN*},C={x|比=7〃+2,zzGN*},若xd

（AABnC）,則整數(shù)x的最小值為（）

A.128B.127C.37D.23

解析：選D?求整數(shù)的最小值，.?.先將23代入檢驗，滿足A,B,C三個集合，故選

2.（創(chuàng)新學科情境）設。是一個非空集合，尸是。的子集構(gòu)成的集合，如果尸同時滿足：①

0GF,②若A,BGF,則An（（u3）eB且AU3GK那么稱歹是。的一個環(huán).下列說

法錯誤的是（）

A.若U={1,2,3,4,5,6},貝！]歹={0,{1,3,5},{2,4,6},U}是U的一個環(huán)

B.若。=心，b,c},則存在。的一個環(huán)凡尸含有8個元素

C.若。=2,則存在。的一個環(huán)F,尸含有4個元素且{2},{3,5}GF

D.若。=比則存在U的一個環(huán)尸，F(xiàn)含有7個元素且[0,3],[2,4]G尸

解析：選D由題意可得F={0,{1,3,5},{2,4,6},U}滿足環(huán)的兩個要求，故尸是。的

一個環(huán)，故A正確；若[7={a，b,c},則U的子集有8個，則U的所有子集構(gòu)成的集合尸

滿足環(huán)的定義，且有8個元素，故B正確；如尸={0,{2},{3,5},{2,3,5}}滿足環(huán)的要求，

且含有4個元素，{2},{3,5}GF,故C正確；4^4=[0,3],B=[2,4],'：A,B^F,AAnC

UB=[0,2）G尸，BAC[74=（3,4]GF,AUB=[0,4]GF,設C=[0,2）,則AC[；UC=[2,3]e尸，

設Z>=[0,4],￡=[2,3],則Z>nCUE=[0,2）U（3,4]Gb,再加上0,F中至少有8個元素，故D

錯誤.故選D.

3.（走向生產(chǎn)生活）某班45名學生參加“3T2”植樹節(jié)活動，每位學生都參加除草、植樹兩

項勞動.依據(jù)勞動表現(xiàn)，評定為“優(yōu)秀”“合格”兩個等級，結(jié)果如下表：

優(yōu)秀合格合計

除草301545

植樹202545

若在兩個項目中都“合格”的學生最多有10人，則在兩個項目中都“優(yōu)秀”的人數(shù)最

多為（）

A.5B.10C.15

D.20I-/-X

解析：選C用集合A表示除草優(yōu)秀的學生，集合5表示植樹優(yōu)秀AAj

的學生，全班學生用全集。表示，貝武表示除草合格的學生，

［U3表示植樹合格的學生，作出Venn圖，如圖.設兩個項目都優(yōu)

秀的人數(shù)為x,兩個項目都合格的人數(shù)為y,由圖可得20—x+x+30—x+y=45,化簡

得x=y+5,因為ymax=10,所以xmax=10+5=15.故選C.

4.（創(chuàng)新學科情境）若集合{a,b,c,d}={l,2,3,4},且下列四個關系：①”=1；②方W1；③c

=2；④dW4有且只有一個是正確的.請寫出滿足上述條件的一個有序數(shù)組（a,b,c,

d）=,符合條件的全部有序數(shù)組（a,b,c,4的個數(shù)是.

解析：顯然①不可能正確，否則①②都正確；

a=2,a=3,a=3,

b=3,b=2.b=l.

若②正確，貝門或《若③正確，貝N

c=l,C=L,c=2,

、d=4、d=4.、d=4.

a=2,'a=3,"a=4,

b=l,b=l,b=l,

若④正確，貝甘或《或《

c=4,c=4,c=3,

、d=3、d=2、d=2.

所以符合條件的數(shù)組共6個.

答案：（3,2,1,4）（填一個正確的即可）6

［課時跟蹤檢測］

1.（2021?北京高考）已知集合4={*|一1＜》＜1},3={x|0WxW2},則AU5=（）

A.{x|0Wx〈l}B.{x|—l<x^2}

C.{x|l<x^2}D.{x|0<x<l}

解析：選B由集合的基本定義可得AU5={x|-1VXW2},故選B.

2.(2021?全國甲卷)設集合M={x|0VxV4},N={x},則MCN=()

A.jx0<x^|rBJX1^X<4\

C.{x|4^x<5}D.{x|0<x^5}

解析：選B因為拉={x|0VxV4},N={xj,所以"nN={x1^x<41故

選B.

3.集合A={3,2a},B={a,b}.若AC3={4},則AU8=()

A.[2,3,4)B.{1,3,4}

C.[0,1,2,3)D.{1,2,3,4)

解析：選AVAnB={4},：.2a=4,則a=2,b=4.：.AUB=[2,3,4}.

4.設a,集合P={x|(x—1產(chǎn)(》一a)=0},e={x|(x+l)(x-*)2=0},若尸=Q,則a

b={)

A.0B.1C.-2

D.2

{19a},f{-l,b},b^-1,

解析：選C由題意得尸=Q=,八i因為尸=。，所

.{1},a=l,1{-1},b=~l,

以當且僅當a=—1,>=1時P=0成立，故“一/)=-2.

5.(2022?成都石室中學月考)已知集合"={*|(*-1>(*一2)忘0},N={x|x>0},貝！|()

A.N&MB.M￡N

C.MAN=0D.MUN=R

解析：選BM={x|(x-l)(x-2)<0}={x|lWxW2},N={x|x>0},所以MUN.

6.(2022?長沙長郡中學月考)已知集合4={6，y)|x+y=8,x,yGN*},B={(x,j)ly>x+l},

則AC5中元素的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

解析:選B依題意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中滿足

+1的有(1,7),(2,6),(3,5),所以AC3={(1,7),(2,6),(3,5)},有3個元素.故選B.

7.已知全集。={x|—l<x<9},A={x|l<x<a},A是。的子集，若A#。，則a的取值范圍是

()

A.{a|o<9}B.{a|aW9}

C.{a|a>9}D.{a|l<a^9}

解析：選D由題意知，集合AN。，所以a>l,又因為A是。的子集，故需“W9,所

以a的取值范圍是{a[l<aW9}.

8.已知集合4={-1,0,1},B={x\x2-3x+m=0},若AC3={0},則5的子集有()

A.2個B.4個C.8個D.16個

解析：選BVAnB={0},AOSB,.\/n=0,.?.5={x|x2-3x=0}={0,3}.：.B的子集

有22=4個.

9.已知集合4={*舊一*一2<0},B^{x\a-2<x<a}.若An3={x|-l<x<0},則AU3=()

A.(-1,2)B.(0,2)

C.(-2,1)D.(-2,2)

解析：選D因為A={x[—l<x<2},B={x\a—2<x<a],且An3={x[—所以a

=0.故3={x|-2<x<0},所以AU5={x|-2<x<2}.故選D.

10.(2022?長春質(zhì)量監(jiān)測)設全集U=R,集合A={x|4-*2》0},B={X|X^-

1},則如圖所示陰影部分表示的集合為()

A.(-1,2]B.[-1,2]

C.[-2,-1)D.(-00,-1]

解析：選AA={x|-2WxW2},CU3={x|x>-l},易知陰影部分為集合Ar)([UB)=(一

1,2].

11.(2022?廣東湛江一模)已知(CRA)03=0,則下列選項中一定成立的是()

A.AQB=AB.AQB=B

C.AUB=BD.AUB=R

解析：選B作出Venn圖如圖所示，則BCA,所以

12.已知集合A=x|x=k+/,kGN,B=|x|x=y—I，mGNn.1

C=x”=5+不，

則集合A,B,C的關系是()

A.ACBB.CAB

C.AB=CD.ABC

解析：選A???集合C={x|x=5+1,〃￡N),,當〃=2a(a￡N)時，X=^+T=?+7,

/uo

此時C=A,.\AC.當〃=＞一1①￡N*)時，工=與」+；=§—：S￡N*).而集合5

={x[x=^—WIGN},當機=0時，—但一；.集合CB.綜上,ACB,

故選A.

13.已知集合P={y爐-y—2>0},g={x|x2+ax+Z>^0},若PUg=R,PC0=(2,3],則a

+b—.

解析：P=U*—y—2>0}=Uly>2或><一1},VPUg=R,png=(2,3],AQ={x|-

-1+3=-a,

1WXW3},工一1,3是方程必+依+方=o的兩根，由根與系數(shù)的關系得J_

(—1)X3=6,

Q=-2,

答案：一5

14.若集合{x|P+2履+1=0}中有且僅有一個元素，則滿足條件的實數(shù)k的取值集合是

解析：由題意知，方程/+2乙+1=0有兩個相等實根，.?./=442—4=0,解得左=±1,

二滿足條件的實數(shù)發(fā)的取值集合是{1,-1}.

答案：{1,-1}

15.(2022?云南師大附中月考)已知集合知={-1,0,1},N={—cos萬工，"。M,,則集

合MCIN的真子集的個數(shù)為.

I-2L\?

解析：1—cos<2'=1,1—cos0=0,1—cos3=1,則N={0,l},MDN={0,l},MC\N

的真子集的個數(shù)為22-1=3.

答案：3

16.設集合A={x|x+m20},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(［"4)CB=0,則實數(shù)機的

取值范圍為.

解析：由已知得4={*|*2一機},；.C°A={x|x<-7〃}.?.,3={x|-2<x<4},(［tZA)

—m^—2,即的取值范圍為［2,+°°).

答案：［2,+8)

第二節(jié)命題及其關系、充分條件與必要條件

1.理解命題的概念.了解“若0,則/形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分

析四種命題的相互關系.

2.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.

基礎不牢?地動山搖

［由教材回扣基礎］

i.命題的概念

用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫

做真命題,判斷為假的語句叫做假命題.

2.四種命題及相互關系

3.四種命題的真假關系

(1)若兩個命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性;

⑵兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系.

⑶在四種形式的命題中，真命題的個數(shù)只能是酷4

4.充分條件與必要條件的相關概念

記p,q對應的集合分別為A,B,則

P是q的充分條件p0qA^B

p是q的必要條件QpA^B

p是q的充要條件p今q且q〉pA=B

p是4的充分不必要條件paq且q今/pAB

p是q的必要不充分條件p0/q且q0PAB

P是g的既不充分

p*q且q=/pA8且AB

也不必要條件

澄清微點?熟記結(jié)論

(1)A是B的充分不必要條件分㈱B是㈱A的充分不必要條件.

(2)在判斷充分、必要條件時，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范圍)今01(大范

圍)，x>l(大范圍)0/x>2(小范圍).

［練小題鞏固基礎］

一、；隹確理解概念(判斷正誤)

(1),(x2+2x-3<0^^是命題.()

(2)當q是〃的必要條件時，p是g的充分條件.()

(3)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”.()

(4)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真.()

答案：⑴X(2)V(3)V(4)V

二、練牢教材小題

1.(人教B版選修2—IP24T2(3)改編)命題“若a=w，貝!Itana=l”的逆否命題是()

A.若貝！JtanaWlB.若3=不貝!JtanaWl

C.若tanaWL貝!ID.若tanaWl,貝!I3=彳

答案：C

2.(新人教B版必修①P40T9改編)設0)￡R且而W0,貝！I“面>1”是“〃>/”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：D

3.（人教A版選修2-1P30T4改編）命題“若x2<4,則一2<x<2”的否命題為,

為（填“真”或“假”）命題.

答案：若無2N4,則或xW-2真

4.（人教A版選修2—1P7例4改編）命題“若a2+52=0,a,feGR,則a=%=0”的逆否命

題是.

答案：若aWO或6WO,a,BWR,貝!Ja2+Z?2#0

三、練清易錯易混

1.（忽視大前提）已知命題"對任意若ab>0,則a>0"，則它的否命題是

答案：對任意用分GR,若而W0,則aW02.（對充分、必要條件的；ft念理解不清）已知p

是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是夕的

條件.

答案：充分不必要

考法研透--方向不對，努力白費

命題視角一命題及其關系（自主練通）

1.命題“若。>一3,則“>一6”以及它的逆命題，否命題，逆否命題中，真命題的個數(shù)為（）

B.2

C.3D.4

解析：選B因為原命題為真命題，所以其逆否命題為真命題.原命題的否命題“若aW

—3,則aW—6"為假命題，原命題的逆命題“若a>—6,則a>一3"為假命題.故選

B.

2.某食品的廣告詞為“幸福的人們都擁有”，初聽起來，這似乎只是普通的贊美說詞，然

而它的實際效果卻大著呢，原來這句話的等價命題是（）

A.不擁有的人們不一定幸福

B.不擁有的人們可能幸福

C.擁有的人們不一定幸福

D.不擁有的人們不幸福

解析：選D根據(jù)原命題與逆否命題是等價命題可知，“幸福的人們都擁有”的逆否命

題是“不擁有的人們不幸福”，故選D.

3.已知命題：若一個整數(shù)的末位數(shù)字是0,則這個整數(shù)能被5整除.寫出它的逆命題：

答案：若一個整數(shù)能被5整除，則這個整數(shù)的末位數(shù)字是0

4.能說明“若於)乎(0)對任意的xd(0,2］都成立，則_/U)在［0,2］上是增函數(shù)”為假命題的一

個函數(shù)是.

rJTTT

解析：設a)=sinx,則於)在0,2上是增函數(shù)，在5，2上是減函數(shù).由正弦函數(shù)圖

象的對稱性知，當xW(0,2］時，/(x)?0)=sin0=0,故｛x)=sinx滿足條件｛x)?0)對任意

的xW(0,2］都成立，但/>)在［0,2］上不一直都是增函數(shù).

答案：/(x)=sinx(答案不唯一)

L"點”就過］

有關四種命題及其相互關系的問題的解題策略

(1)求一個命題的其他三個命題時，需注意：

①對于不是“若P,則g”形式的命題，需先改寫為“若p,則g”的形式；

②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提.

(2)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題為假命題，只需舉出反例.

(3)當不易直接判斷一個命題的真假時，根據(jù)互為逆否命題的兩個命題同真同假，可轉(zhuǎn)化

為判斷其等價命題的真假.

命題視角二充分條件與必要條件的判斷

［典例］⑴設“GR,則7>1”是72>.”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)(2021?浙江高考)已知非零向量a,b,c,則%?c="c”是"a=b"的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

［解析］⑴由al>a得a>l或a<0,反之，由a>l得a2>a,貝『%>1"是“2>a”的充分不必

要條件，故選A.

(2)若a-c="c,則(a-Z>>c=0,推不出a=3,充分性不成立；若a=Z>,則0c="c必成

立，必要性成立，故"a-c=b-c"是“a=b”的必要不充分條件.

［答案］(1)A(2)B

［方法技巧］充分、必要條件的判斷方法

定義法直接判斷''若P,則g”“若g,則p”的真假.在判斷時，確定條件是什

么、結(jié)論是什么

利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范

集合法

圍，即可解決充分必要性的問題

［針對訓練］

歷

1.asina=)”是"sina=cos"”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：選D由sina=乎,可得<Z=4+2ATT(?GZ)或4=乎+2癡(462),當a=^?~+2kn(k

57t

￡Z)時，sinaT^cosa,所以充分性不成立；反之，當sin“=cosa時，令”=彳，此時，

sina——),所以必要性不成立,所以“sina=)"是"sin<z=cos的既不充分也

不必要條件.故選D.

2.已知偶函數(shù){x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則對實數(shù)”，b,aa>\b\n是“f(a)>fe)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A因為偶函數(shù)八x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以若網(wǎng)，則仙)>加川)=加)，

即充分性成立.若八4)〉八方)，則等價為川麗>人網(wǎng))，即⑷>網(wǎng)，即叫或“V—網(wǎng)，

即必要性不成立，則%>網(wǎng)”是"f(a)>f(b)”的充分不必要條件.

命題視角三根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍

［典例］若“x>2”是“x>a”的必要不充分條件，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.{a\a<2}B.{a|〃W2}

C.{a\a>2}D.{a\a^2］

［解析］“由x>2”是的必要不充分條件，知{x|x>a}是{x|x>2}____??

02G%

的真子集，將這兩個集合表示在數(shù)軸上(如圖)，由數(shù)軸知。>2,故選C

［答案］C

［方法技巧］

(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，然后

根據(jù)集合之間關系列出關于參數(shù)的不等式(組)求解.

(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的

關系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)

漏解或增解的現(xiàn)象.

［針對訓練］

3

1.已知“x>H是“弟<1”的充分不必要條件，則左的取值范圍為（）

A.(-8,-1]B.[1,+00)

C.[2,+°°)D.(2,+~)

解析：選C由：得"即(x+l)(x—2)>0,解得x<—1或x>2.由題意可得

IJLIJL

{x|x>*}"收—1或x>2},所以k22,因此，實數(shù)左的取值范圍是［2,+8）.

2.若關于“的不等式|“一1|<〃成立的充分條件是0vxv4,則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.(-OO,1]B.(-00,1)

C.(3,+8)D.[3,+8)

解析：選D由僅一l|v〃，得1-"xva+l,若|x—l|v〃成立的充分條件是0vxv4,

1—“W0,

則解得〃23.

1+。24,

■思維激活—靈活不足?難得高分

一題多變?練發(fā)散思維——充分、必要條件的應用問題

已知P={x|x2-8x-20^0},非空集合S={x|l—/wWxWl+M.若x&P是的

必要條件，則小的取值范圍為.

,

［解題觀摩］由x2-8x-20W0,得一2<x<10,..P={x|-2^x^lO}）由尸是xG

1一/TlWl+ffl,

S的必要條件，知SQP.則“1一m2一2,

」+/nW10,

.?.當0W/nW3時，xGP是xWS的必要條件，即所求機的取值范圍是［0,3］.

［發(fā)掘訓練］

1.（變結(jié)論）本例條件不變，若超P是超S的必要不充分條件,則實數(shù)機的取值范圍為.

解析：由例題知尸={x|-2Wx<10},,遇產(chǎn)是遇S的必要不充分條件，...xG尸是xES

1—mW—2,fl-/n<—2,

的充分不必要條件..,.［-2,10］［l-/n,l+m］,.I,或，、：,