計數原理與概率統(tǒng)計-2025屆高考數學二輪復習易錯重難提升【新高考版】（含解析）

（9）計數原理與概率統(tǒng)計

2025屆高考數學二輪復習易錯重難提升【新高考版】

易混重難知識

1.分層抽樣

一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一

定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.

樣本容量各層所抽取的個體數

抽樣比=

總體容量各層個體數

2.用樣本的數字特征估計總體的數字特征

數字特征樣本數據頻率分布直方圖

取最高的小長方形底邊中點的橫坐

眾數出現次數最多的數據

標

將數據按大小依次排列，處在把頻率分布直方圖劃分為左右兩個

中位數最中間位置的一個數據（或最面積相等的部分，分界線與X軸交

中間兩個數據的平均數）點的橫坐標

每個小長方形的面積乘小長方形底

平均數樣本數據的算術平均數

邊中點的橫坐標之和

方差和標準差反映了數據波動程度的大小.

222

方差：S=—r（X1-X）+（x2-X）H-----l-（x?-

22

標準差：5=J-r(X1-X)+(x2-X)+---+(xn-

3.百分位數

（1）把100個樣本數據按從小到大排序，得到第P個和第P+1個數據分別為6.可以發(fā)現,

區(qū)間內的任意一個數，都能把樣本數據分成符合要求的兩部分.一般地，我們取這兩個數

的平均數巴史=c,并稱此數為這組數據的第2百分位數，或P%分位數.

（2）一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有P%的數據

小于或等于這個值，且至少有（100-P）%的數據大于或等于這個值.

4.

名稱定義符號表示

若事件A發(fā)生，則事件3一定發(fā)生，這時稱事

包含關系B^A（或

件3包含事件A（或事件A包含于事件3）

如果事件B包含事件A,事件A也包含事件

相等關系B,即3衛(wèi)A且A衛(wèi)3,則稱事件A與事件3相A=B

等

事件A與事件B至少有一個發(fā)生,這樣的一個

并事件

事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件

（和事A\JB（或A+3）

B中，則稱這個事件為事件A與事件B的并事

件）

件（或和事件）

事件A與事件B同時發(fā)生,這樣的一個事件中

交事件

的樣本點既在事件A中，也在事件3中，則稱

（積事（或AB）

這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件

件）

（或積事件）

若AQB為不可能事件，那么稱事件A與事件

互斥事件AC\B=0

B互斥

4口8=0且

若AA8為不可能事件，AU8為必然事件，那

對立事件A\JB=U（。為全

么稱事件A與事件3互為對立事件

集）

5.古典概型的概率公式

（1）在基本事件總數為〃的古典概型中，每個基本事件發(fā)生的概率都是相等的，即每個基本

事件發(fā)生的概率都是

n

（2）對于古典概型，任何事件的概率為尸⑷=4包個數.

基本事件的總數

6.相互獨立事件

（1）對于事件A、B,若A的發(fā)生與3的發(fā)生互不影響，則稱A、3是相互獨立事件.

(2)若A與3相互獨立，則P(5|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)-P(A)=P(A)-P(B).

(3)若A與3相互獨立，則A與方，口與3,彳與否也都相互獨立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與3相互獨立.

7.二項式定理

knkk

公式(a+也"=C°a"++.?.+Cna-b+.?.+C：,b"(〃eN*)叫做二項式定理.公式中右邊的

多項式叫做(a+力”的二項展開式，其中各項的系數C：(左=0,1,…叫做二項式系數，式中的

叫做二項展開式的通項，用4M表示，即通項為展開式的第左+1項.

8.均值與方差的性質

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b^a2D(X).

9.條件概率及其性質

(1)一般地，設A,3為兩個事件，且P(A)>0,稱尸(31A)=必當為在事件A發(fā)生的條件

下，事件3發(fā)生的概率.

(2)條件概率的性質：

(i)W(B|A)1；

(ii)如果3和C是兩個互斥事件，則尸(3UC|A)=P(3|A)+P(C|A).

10.全概率公式

一般地，設4,…,4是一組兩兩互斥的事件，AU&U??,UA=Q，且

尸(4)>0"=1,2,,則對任意的事件有尸(3)=￡尸(4)尸(3|4),稱此公式為全概

Z=1

率公式.

11.正態(tài)分布的定義及表示：

如果對于任何實數a,b(a<b),隨機變量X滿足尸(a<X,,b)=t%b(x)dx,則稱X的分布為

正態(tài)分布，記作X~N(〃,cr2).

12.回歸直線方程

①最小二乘法：通過求。=＞（y-bx,「a）2的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數據

的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

②回歸方程：方程y=加+。是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據（七,

（乙,%）的回歸方程，其中方是待定參數.

nn

、.Z?一可（％一9）Zx/一位91n1?

a=y-bx,b=^—^----------=且^--------,其中元=一9孫歹=一9如（無，歹）稱為樣本點的

元丫Xx；-nx2ni=1

z=l'7i=l

中心.

13.獨立性檢驗

利用獨立性假設、隨機變量K?來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關系”的方法稱

為兩個分類變量的獨立性檢驗.

易錯試題提升

1.從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的

數字之積是4的倍數的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5353

2.某班12名同學某次測試的數學成績（單位：分）分別為62,57,72,85,95,69,74,91,

83,65,78,89,則這12名同學這次測試的數學成績的第60百分位數是（）

A.74B.78C.83D.91

3?。+3）（1+”展開式中爐的系數為（）

A.42B.48C.84D.96

4.現有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)

附近訂購了一家酒店的5間風格不同的房間，并約定每個房間都要住人，但最多住2人，男

女不同住一個房間，則女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是（）

A.-B.-C.-D.—

46710

5.為了給學生樹立正確的勞動觀，使學生懂得勞動的偉大意義，某班從包含甲、乙的6名學

生中選出3名參加學校組織的勞動實踐活動，在甲被選中的情況下，乙也被選中的概率為

()

1233

A.-B.-C.-D.-

2554

6.“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，盡管我國糧食生產連年豐收，但對糧食安全還是始終要有

危機意識.某市有關部門為了宣傳“節(jié)約型社會”，面向該市市民開展了一次網絡問卷調查，

目的是了解人們對這一倡議的關注度和支持度，得到參與問卷調查中的2000人的得分數據.

據統(tǒng)計此次問卷調查的得分X(滿分：100分)服從正態(tài)分布N(92,22),則P(90<X<96)=

(附：若隨機變量J服從正態(tài)分布，則尸(〃-cr<J<〃+cr)=0.6827,

P(〃—2cr<J<A+2cr)=0.9545)()

A.0.34135B.0.47725C.0.6827D.0.8186

7.攣生素數猜想是希爾伯特在1900年提出的23個數學問題之一，2013年華人數學家張益唐

證明了攣生素數猜想的一個弱化形式，可以直觀的描述為：存在無窮多個素數?，使得p+2

是素數.素數對(p,p+2)稱為攣生素數對.從8個數對(3,5),(5,7),(7,9),(9,11),(11,13),

(13,15),(15,17),(17,19)中任取3個，設取出的季生素數對的個數為X,則E(X)=()

313

A.-B.-C.-D.3

822

8.某車間從生產的一批產品中隨機抽取了1000個零件進行一項質量指標的檢測，整理檢測結

果得此項質量指標的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論錯誤的是()

A.a=0.005

B.估計這批產品該項質量指標的眾數為45

C.估計這批產品該項質量指標的中位數為60

D.從這批產品中隨機選取1個零件，其質量指標在［50,70)的概率約為0.5

9.（多選）已知二項式2%+-匕的展開式中二項式系數和為64,則下列結論中正確的是

IW

（）

A.二項展開式中各項的系數之和為36

3

B.二項展開式中二項式系數最大的項為160戶

C.二項展開式中無常數項

D.二項展開式中含/項的系數為240

10.（多選）進入冬季哈爾濱旅游火爆全網，下圖是2024年1月1日到1月7日哈爾濱冰雪

大世界和中央大街日旅游人數的折線圖，則（）

人數（單位：萬人）

2.82.8,2.9---冰雪大世界

―1日2日3日4日5日6日7日日前

A.中央大街日旅游人數的極差是1.2

B.冰雪大世界日旅游人數的中位數是2.3

C.冰雪大世界日旅游人數的平均數比中央大街大

D.冰雪大世界日旅游人數的方差比中央大街大

H.為了研究某班學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關系，從該班隨機抽

取10名學生，根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其線性回歸方

1010人

程為$=%+6,已知》>,=225,￡>=1600,6=4.若該班某學生的腳長為24厘米，估計

i=lZ=1

其身高為_________厘米.

12.2023年9月第19屆亞運會將在杭州舉辦，在杭州亞運會三館（杭州奧體中心的體育館、

游泳館和綜合訓練館）對外免費開放預約期間將含甲、乙在內的5位志愿者分配到這三館負

責接待工作，每個場館至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個場館，則甲分配到游泳

館的概率為..

13.中醫(yī)藥，是包括漢族和少數民族醫(yī)藥在內的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是反映中華民族對生

命，健康和疾病的認識，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術方法的醫(yī)藥學體系，是中華民

族的瑰寶.某科研機構研究發(fā)現，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量式單位：克）與藥物功效

y（單位：藥物單位）之間具有關系y=10x—x2檢測這種藥品一個批次的6個樣本，得到成分甲

的平均值為6克，標準差為2,則估計這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為.

14.孔子曰：溫故而知新，可以為師矣.數學學科的學習也是如此，為了調查“數學成績是否優(yōu)

秀”與“是否及時復習”之間的關系，某校志愿者從高二年級的所有學生中隨機抽取60名學

生進行問卷調查，得到如下樣本數據：

數學成績不優(yōu)秀（人

數學成績優(yōu)秀（人數）

數）

及時復習（人數）255

不及時復習（人數）1020

（1）試根據小概率值2=0.001的獨立性檢驗，能否認為“數學成績優(yōu)秀”與“及時復習”

有關系？

（2）在該樣本中，用分層抽樣的方法從數學成績優(yōu)秀的學生中抽取7人，再從這7人中隨機

抽取3人.設抽取3人中及時復習的人數為X,求X的分布列與數學期望.

附：%1=------°C)------------,其中“=0+6+。+』.

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

15.為積極響應“反詐”宣傳教育活動的要求，提高市民“反詐”意識，某市進行了一次網絡

“反詐”知識競賽，共有10000名市民參與了知識競賽，現從參加知識競賽的市民中隨機地

抽取100人，得分統(tǒng)計如下：

成績（分）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數61218341686

（1）現從該樣本中隨機抽取兩名市民的競賽成績，求這兩名市民中恰有一名市民得分不低于70

分的概率；

（2）若該市所有參賽市民的成績X近似服從正態(tài)分布N（64,152）,試估計參賽市民中成績超過

79分的市民數（結果四舍五入到整數）;

⑶為了進一步增強市民“反詐”意識，得分不低于80分的市民可繼續(xù)參與第二輪答題贈話

費活動，規(guī)則如下：

①參加答題的市民的初始分都設置為100分；

②參加答題的市民可在答題前自己決定答題數量20,附eN*)，每一題都需要用一定分數

來獲取答題資格(即用分數來買答題資格)，規(guī)定答第左題時所需的分數為

0.14(4=1,2,…,〃)；

③每答對一題得2分，答錯得0分；

④答完〃題后參加答題市民的最終分數即為獲得的話費數(單位：元).

已知市民甲答對每道題的概率均為0.6,且每題答對與否都相互獨立，則當他的答題數量〃為

多少時，他獲得的平均話費最多？

參考數據:若Z~N(〃Q2)，則尸(〃—cr<Z<A+cr)a0.6827,

PQi-cr<Z<//+2a)?0.9545,PQi-3cr<Z<//+3b)a0.9973

答案以及解析

1.答案：C

解析：從6張卡片中無放可隨機抽取2張,共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種情況,其中數字

之積為4的倍數的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),6種情況,故概率為

'=故選C

2.答案：C

解析：將這組數據按從小到大的順序排列為57,62,65,69,72,74,78,83,85,89,

91,95.

因為12x60%=7.2，

所以這12名同學這次測試的數學成績的第60百分位數是83.

故選：C.

3.答案：A

解析：?.?(l+g(l+X)7=(1+4+[(1+%)7，

無一九一

(1+x)7的第r+1項為,(r=0,1，…7),

二C"+3*=35x3+7x3=42x3，

'X

X3系數為42.

故選：A.

4.答案：C

解析：3名女生需要住2個房間或3個房間.

若3名女生住2個房間，則不同的方法種數為C；C：A；；

若3名女生住3個房間，則不同的方法種數為;CjA；.

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數為C；A；,

所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是—2——=2.故選c.

*兇+2c武7

5.答案：B

解析：法一：令事件A為甲被選中，事件3為乙被選中，則p(A)=*=2,

或2

1

P(A8)=M^=L故P(B|A)=義竺^=[=2.故選B.

或5P(A)]_5

2

法二：令事件A為甲被選中，事件3為乙被選中，劃=3辿=串=2.

”(A)C；C；5

6.答案：D

解析：因為隨機變量X服從N(92,2?),所以〃=92,。=2,所以尸(90<X<94)=0.6827,

06827

P(88<X<96)=0.9545,所以P(90<X<92)=；=0.34135,

09545

P(92<X<96)=--------=0.47725,所以P(90<X<96)=0.34135+0.47725=0.8186.故選D.

2

7.答案：C

解析：解法一：由題知8個數對中的攣生素數對為(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),共4個

攣生素數對，所以X的可能取值為0,1,2,3,

32

貝IP(X=0)=^CC^°=1—,p(x=l)=C^2fcl^=3-,P(X=2)=C^^C^-=3-,

C；14c7C7

C°C3113313

p(X=3)=^i=—,所以石(乂)=0義一+卜三+2義±+3><—=三，故選C.

：

Co141477142

解法二：由題知8個數對中的李生素數對為(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),共4個攣生素

數對，則X服從超幾何分布”(3,4,8),故E(X)=9=3.

82

8.答案：C

解析：A項：(a+0.035+0.030+0.020+0.010)x10=1,解得a=0.005,A正確；

B項：頻率最大的一組為第二組，中間值為45,所以估計這批產品該項質量指標的眾數為

45,B正確;

C項：由于質量指標大于60的頻率之和為(0.020+0.010)X10=o.3w0.5,所以60不是中位

數，C錯誤；

D項：由于質量指標在［50,70)的頻率之和為(0.030+0.020)x10=0.5,用頻率估計概率，故從

這批產品中隨機選取1個零件，其質量指標在［50,70)的概率約為0.5,D正確.故選C.

9.答案：ABD

解析：A項，展開式中二項式系數和為64n2"=64=>〃=6,對于2》+《］，令》=1可得

其展開式的系數和為36,故A項正確；

B項，展開式的通項為&］=G(2x)6-=26-rC；x6-r,廠=0,1,…,6,二項式系數最大的

33

項為看=23或爐=160#,故B項正確;

C項，令6-士〃=0,得r=4,即二項展開式中有常數項，故C項錯誤；

2

D項，令6-：r=3,得r=2,所以7；=2支*3=240/,故D項正確.故選ABD.

10.答案：BC

解析：對于A,根據所給折線圖可以看出中央大街日旅游人數的最大值為2.8萬人，最小值

為0.9萬人，所以極差為2.8—0.9=1.9萬人，故A錯誤；

對于B,從圖中可以看出，冰雪大世界日旅游人數的數據按照從小到大可排列為1.7,1.8,

1.9,2.3,2.4,2.6,2.9中位數為2.3,所以B正確；

對于C,冰雪大世界日旅游人數的平均數為L9+2E+2.4+2.9+L8+L7+2.3-223萬,

7

中央大街日旅游人數的平均數為2.8+2.8+2.4+2.7+L1+0.9+L3=2萬，所以冰雪大世界日

7

旅游人數的平均數比中央大街大，故C正確；

對于D,冰雪大世界日旅游人數的方差為

(1.9-2.23尸+(2.6-2.23『+(2.4-2.23『+(2.9-2.23『+(1.8-2.23『+(1.7-2.23『+(2.3-2.23打

7

?0.1706

中央大街日旅游人數的方差為

(2.8-2)2+(2.8-2)2+(2.4-2)2+(2.7-2)2+(l.l-2)2+(0.9-2)2+(1.3-2)2?0.6343,

所以冰雪大世界日旅游人數的方差比中央大街小，故D錯誤.

11.答案：166

解析：易得元=22.5,歹=160.

■.■b=4,:.y=4x+a,將(22.5,160)代入？=4x+4,得160=4x22.5+4,解得6=70,

/.9=4x+70.

當x=24時，9=4x24+70=166.

12.答案：1

3

解析：甲、乙分配到同一個場館有以下兩種情況：

(1)場館分組人數為1,1,3時，甲、乙必在3人組，則方法數為C；A；=18種；

(2)場館分組人數為2,2,1時，其中甲、乙在一組，則方法數為C；C；A；=18種，

即甲、乙分配到同一個場館的方法數為”=18+18=36.

若甲分配到游泳館，則乙必然也在游泳館，此時的方法數為m=C；A；+C；A；=12,

故所求的概率為P=e=U=L

n363

故答案為：1.

3

13.答案：20

解析：設這6個樣本中成分甲的含量分別為國，吃，招，匕，/，4,平均值為京

則x=X+Z+工3+%+%5+%6=6,所以X1+々+工3+工4+/+%=36,

6

)^T以(番—+(%—+,,，+(%—=(x；+Xj+???+Xg)—6x=24>

所以x；+x；+…+x；=240，

于'7EM+%+，-+，6=10(芯+X[+,,,+Xg)-(尤；++??,+X；)=120,

則$=%+%+…+%=20.

故答案為：20

14.答案：（1）“數學成績優(yōu)秀”與“及時復習”有關系

（2）見解析

解析：（1）零假設為“°：”數學成績優(yōu)秀”與“及時復習”沒有關系.根據數據計算,

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