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2022級(jí)高三第一次學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題
2024年10月
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.
2
A=\xy=y]2x-x\§=bb=2,+l|4R
1.已知集合(1,I4>,則A>=()
A.(1,2]B.(0,1]C.[1,2]D,[0,2]
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合,由交集運(yùn)算即可求解.
【詳解】解:A=y=^2x-x21=^x|2x-x2>oj=1x|0<x<2j
5=卜卜=2*+1}=卜|V>1}
所以A5=(1,2]
故選:A.
2.設(shè)xeR,則“4<x<5”是“,一2|〉1"的()
A,充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式,然后根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】因?yàn)?|〉1,所以x—2<—1或1—2>1,所以x<l或x>3,
所以"4<x<5”是“卜―2|>1”的充分不必要條件.
故選:B.
3.已知命題p:VxeR,?%2+2%+3>0為真命題,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()
Q|0<Q〈Ja\a>^
A.B.〃|0<QC.D.a\a>-
3
【答案】D
【解析】
【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式依2+2%+3>0的解集為R,根據(jù)一元二次不等式解集的形式求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)槊}以2+2x+3>0為真命題,所以不等式公Z+2》+3>0的解集為R.
3
所以:若。=0,則不等式依2+2%+3>0可化為2x+3>0nx〉一一,不等式解集不是R;
2
a>01
若aw0,則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知:<,°2八=。>—.
A=22-12a<03
綜上可知:a>-
3
故選:D
4.設(shè)函數(shù)/(力=乂4則不等式/(21083同+/(3—蜒3%)<0的解集是()
A.127)C.(0,27)D.(2…)
【答案】B
【解析】
【分析】先分段作出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象得函數(shù)為R上的增函數(shù),再判斷函數(shù)的奇偶性,再利用單調(diào)性與
奇偶性性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為210g3彳<log3x-3,化簡(jiǎn)求解可得.
九2%〉0
詳解】xER,則y(x)=1;一,
[一廠,龍<0
作出函數(shù)/(X)的圖象,可知/(X)是R上的增函數(shù).
又/(一力=一*|一刀|=一目刀|=一〃]),:./(%)是奇函數(shù).
不等式/(21og3x)+/(3-log3x)<0可化為/(21og3x)<-/(3-log3x),
所以〃21og3X)</(log3X—3),JU!]21og3x<log3x-3,即log3X<-3,解得0<x<一,
不等式f(21og3x)+f(3-log3x)<0的解集是I0,三
故選:B.
5.已知/(x)=ln(l—公+2a—2)(a>0),若/(x)在[1,2)上單調(diào),則。的范圍是()
A.(1,2]B.(0,2]
C.(0,2]O[4,4<O)D.(1,2][4,+8)
【答案】D
【解析】
【分析】由y=--奴+2a-2在[1,2)上單調(diào)且恒為正可得.
【詳解】由題意y=V—奴+2a-2在口,2)上單調(diào)且恒為正,
1—〃+2a—2>0
所以或q22,且<,解得lv〃V2或
224—2a+2cl—2N。
故選:D.
6.定義在R上的函數(shù)/(%)為奇函數(shù),且/(九+1)為偶函數(shù),當(dāng)xe[0,l]時(shí),/(x)=2x-l,則
/(2023)+/(2024)=()
A.-1B.OC.1D.2
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合已知得了(%)的周期為4,然后代入自變量求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(力為奇函數(shù),且/(X+1)為偶函數(shù),
所以/(%)=-/(-%)=-/(%+2)=/(%+4),所以f(x)的周期為4,
所以/(2023)+/(2024)=/(—1)+/(0)=/(0)—/(1)=2°—1—(2-1)=—1.
故選:A.
|lgx|,0<x<10
7.已知函數(shù)/(%)=<1,若a,b,c,d互不相等,且===則
—x+6,x>10
2
〃+Z?+c+d的取值范圍為(
A.[26,+8)B.(14,+co)
【答案】c
【解析】
【分析】由分段函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象,若于(a)=于助=f(c)=f(d)=ma<b<c<d,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化
為曲線/(%)與直線丁=加的交點(diǎn)問(wèn)題,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)的區(qū)間,結(jié)合絕對(duì)值函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
可得£<a<l<〃vl0<c<12vd<14,c+d=10,ab=l,結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求范圍即可.
【詳解】令|lgx|=l,則%=」■或x=10,令一;x+6=l,則x=10或x=14,
102
由解析式知:/(X)在(0』上遞減且值域?yàn)?0,+8),在(1,10]上遞增且值域?yàn)?0,1],在(10,12)上遞減且
值域?yàn)?0,1),在(12,轉(zhuǎn))上遞增且值域?yàn)?0,+8).
令〃。)=/(,)=/(C)=/(d)=機(jī),不妨設(shè)a<b<c<d,則。,b,c,d為曲線/(x)與直線V=加的
交點(diǎn)橫坐標(biāo),
由圖知:c+d=24,aZ?=1且,va<l<Z?v10<c<12<d<14,
貝Ua+Z?+c+d=24+aH—,
a
由對(duì)勾函數(shù)可知y=a在[二』]上遞減,故y=—|2,——-
aVIO)aI10
341
故a+b+c+d=24+a+—£26,
a10
故選:c
8.設(shè)定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿足對(duì)任意xwR,都有/(x)=〃2—x),且當(dāng)X?0,1]時(shí),
201820192020
f(x)=—.若a=f,b=f,則()
e357
A.b<c<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<a<c
【答案】A
【解析】
Y
【分析】先判斷函數(shù)為周期函數(shù),對(duì)稱軸為X=l,利用導(dǎo)數(shù)判斷/(%)=/在區(qū)間(。,1]上單調(diào)遞增,將
a,4c化在同一單調(diào)區(qū)間比較即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“可是偶函數(shù),所以/(4=/(—%)=〃2+4,即“X)是以2為周期的周期函
數(shù),
因?yàn)閷?duì)任意xeR,都有/(x)=〃2—力,所以函數(shù)〃龍)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,
當(dāng)時(shí),/(%)==20,即函數(shù)/(x)在(?!簧蠁握{(diào)遞增,
e
142
,且0〈一〈一〈一〈1,
573
所以,所以bvcva.
故選:A.
二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.
9.設(shè)正實(shí)數(shù)。,〃滿足a+〃=l,則()
,-1
A.—I—有最小值4B.GF有最小值Q
ab
D.6+片有最小值]_
c.6+JF有最大值貶
2
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式可進(jìn)行判斷.
11a+b1
——?--=----±>=4當(dāng)且僅當(dāng)】=b=!時(shí)等號(hào)成立,故A正確;
【詳解】選項(xiàng)A:ababab;(a+")2
2
選項(xiàng)B:,法W"2=!,當(dāng)且僅當(dāng)。=人=工時(shí)等號(hào)成立,故B錯(cuò)誤;
222
選項(xiàng)C:&+G=J(G+阿=Ja+L+2V^wj2(a+0)=&,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=;時(shí)等號(hào)成
立,故C正確;
選項(xiàng)D:4+6Ja+3」,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=,時(shí)等號(hào)成立,故D正確;
222
故選:ACD
10.下列說(shuō)法正確的是()
A.函數(shù)/(x)=優(yōu)t—2(。>0且aw1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,-2)
B.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,1),則函數(shù)的定義域?yàn)?1,2)
函數(shù)/(x)-Jx?+16+/,
的最小值為6
Vx2+16
D.函數(shù)g(x)=的單調(diào)增區(qū)間為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)題意,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析A,由函數(shù)的定義域分析B,由復(fù)合函數(shù)的值域分析C,由復(fù)合
函數(shù)的單調(diào)性分析D,綜合可得答案.
【詳解】解:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):
A.函數(shù)”刈=4-2,當(dāng)x—1=0,即x=l時(shí),/(x)=l—2=—1,則函數(shù)/(x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,-1),
A錯(cuò)誤,不符合題意;
B.已知函數(shù)/(幻的定義域?yàn)?0,1),
對(duì)于函數(shù)/(%—1),則有0<x—1<1,解可得1<%<2,即函數(shù)/(x—1)的定義域?yàn)?L2),B正確,符合
題意;
C.設(shè)/=6+16,則丁=。+一,
又由t=6+16之4,結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得V=/+:在區(qū)間[4,+8)上遞增,
則/(x)24+=9=上25,C錯(cuò)誤,不符合題意;
44
D.函數(shù)g(x)=(3'r2r+2,有x+220,解可得—24x41,即函數(shù)的定義域?yàn)椋?2,1];
設(shè)f=yl—x1—x+2,則y=(5)',
在區(qū)間[-2,-;]上,/為增函數(shù),在區(qū)間[-上,/為減函數(shù),
由于y=(gy為定義域?yàn)镽的減函數(shù),故有
故函數(shù)g(x)=(g)k:G的單調(diào)增區(qū)間為[_:」,正確,符合題意;
故選:BD.
11.已知函數(shù)/(x)=X2—21HX,則下列選項(xiàng)中正確的是()
A.函數(shù)/(%)的極小值點(diǎn)為x=l
/QA
B
c若函數(shù)g(x)=/(|x|)-f有4個(gè)零點(diǎn),則fe(l,+8)
D.若/(%)=/'(%2)(玉W%2),則西+工2<2
【答案】AC
【解析】
【分析】求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷了(可的單調(diào)性和最值,可得“X)的圖象,進(jìn)而可以判斷A;對(duì)于B:根
據(jù)/(%)的單調(diào)性分析判斷;對(duì)于C:根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)分析可知:原題意等價(jià)于當(dāng)x>0時(shí),y=/(x)與
y=f有2個(gè)交點(diǎn),結(jié)合/(%)的圖象分析求解;對(duì)于D:構(gòu)建g(x)=/(2—力―/(x),xe(O,l),結(jié)合
導(dǎo)數(shù)可得/(2-X)</(X),XG(O,1),結(jié)合極值點(diǎn)偏移分析證明.
【詳解】由題意可知:/(%)的定義域?yàn)?0,+”),且小)=2一=2(一),
令/'(X)>0,解得X>1;令/'(力<0,解得0<%<1;
可知/(九)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在0,+")內(nèi)單調(diào)遞增,
則⑴=1,且當(dāng)X趨近于?;?8時(shí),“X)趨近于+8,
可得函數(shù)/(%)的圖象,如圖所示:
O1尤
對(duì)于選項(xiàng)A:可知函數(shù)/(尤)的極小值點(diǎn)為x=l,故A正確;
3
對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)?<五<不,且/(%)在內(nèi)單調(diào)遞增,
對(duì)于選項(xiàng)C:令g(X)=/(|R)T=O,可得/(附=[,
可知函數(shù)8(%)=/(國(guó))—有4個(gè)零點(diǎn),即丁=/(國(guó))與V=,有4個(gè)交點(diǎn),
且y=/(M)的定義域?yàn)?—0,0)(0,+8),且/(卜乂)=/(國(guó)),
可知y=/(N)為偶函數(shù),且當(dāng)%>o時(shí),j=/(|%|)=/(x)
原題意等價(jià)于當(dāng)x>0時(shí),丁=/(力與t=/有2個(gè)交點(diǎn),
由題意可知:t>2,故C正確;
對(duì)于選項(xiàng)D:^g(x)=/(2-x)-/(x)=21nx-21n(2-x)+4-4x,xe(0,l),
,/、224(1)2
則g(x)=-+----4=當(dāng)一r>0,
x2-xx[2-x)
可知y=g(£)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,則g(x)<g⑴=0,
即/(2-%)</(x),xe(O,l),
若/(%)=/(*2)(玉。工2),不妨設(shè)。<玉<1<%,
則7(2-=/(%),
且2-西>1,々>1,且/(力在(1,+⑹內(nèi)單調(diào)遞增,
則2-西<%2,所以斗+%>2,故D錯(cuò)誤;
故選:AC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形;
(2)構(gòu)造新的函數(shù)可尤);
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究丸(力的單調(diào)性或最值;
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值,得到所證不等式.
特別地:當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí),一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)
題.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
100%+1000,%<-1
,則
12.已知函數(shù)/(九)=\l-/(x-2),x>-l/(1001)=
【答案】700
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件,探討1時(shí)函數(shù)/(x)的性質(zhì),再借助性質(zhì)求出分段函數(shù)的函數(shù)值.
【詳解】當(dāng)1時(shí),/(%)=—/(%—2)+1,
貝i]/(x+2)=-/(x)+l=-[-{-2)+l]+l=/(x-2),
即/(x+4)=/(x),所以/(1001)=/(250x4+l)=/(1)=/(—3)=100x(-3)+1000=700.
故答案為:700
13.與曲線丁=工和曲線丁=-Inx-2均相切的直線的方程為.
ex
【答案】>=一前
【解析】
【分析】設(shè)出切點(diǎn)和5(%,—山西—2),求導(dǎo)得到/。=西,并寫出切線方程
y—5=—;(x—%),將5(%,—In%—2)代入,化簡(jiǎn)得從而求出切線方程.
eee
【詳解】設(shè)y=?在點(diǎn)A,,Tj和y=一向一2在點(diǎn)5(”ln%—2)的切線重合,
,1,1
y=--7-y=―一,
ex
11
故——=---,即e/=&,玉)=In/,
eX]
在點(diǎn)A1%,/]處的切線方程為y—'=—g,(x—Xo),
將_8(菁,一Inx-2)代入得一In%—2——=—斤(不一改)),
即一In玉—2-----=----(再一In玉),
%]玉
所以_(石+l)ln%=飛+1,
又玉>0,故玉二一,則A:。=In—=—1,
ee
故切線方程為y—e=—e(x+l),即y=一
故答案為:y=-ex
14.已知函數(shù)/(%)=—的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱圖形,/(-r2)+/(2z+3)>2,則實(shí)數(shù)
C?L
,的取值范圍是.
【答案】(Y,T)D(3,+8)
【解析】
【分析】由函數(shù)/(九)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱,所以/(x)+/(—x)=2,求出函數(shù)“X)的解析
式,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(%)-1,所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,所以g(x)是定義域R上的奇函數(shù),
且在R上單調(diào)遞減,然后利用奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=-2x3+1看的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱,
所以/("+/(—1)=2,即—2三+-^+213+~^=2,所以c=2,
e+1e+1
2
所以/(x)=-2/+/^,在定義域R上單調(diào)遞減,
9
令g(x)=/(%)-1=-2d+――-1,因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱,
所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,所以g(x)是定義域R上的奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞減,
因?yàn)榱?—產(chǎn))+/(2/+3)>2,所以/(—/)—1>_[/⑵+3)—1],
即g(—,2)>—g⑵+3),所以g(-2r—3),
所以一/<-2,-3,解得/<一1或£>3,
故實(shí)數(shù)?的取值范圍是(—e,—1)u(3,+。).
故答案為:(一8,-1)。(3,+8).
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.已知函數(shù)f(x)=展〉是定義在R上的奇函數(shù)(a>0力>0).
(1)求的解析式;
(2)求當(dāng)xe[0,l]時(shí),函數(shù)g(x)=/(x>(3x+l)+9*—l的值域.
【答案】a)/(x)=3Q-3);
1+3*
⑵[-1,2]
4
【解析】
【分析】(1)利用奇函數(shù)定義及性質(zhì),列式計(jì)算求出a,6作答.
(2)由(1)的結(jié)論,求出函數(shù)g(x)的解析式,結(jié)合二次函數(shù)求出值域..
【小問(wèn)1詳解】
。一+1
由函數(shù)/(x)=3*+i是R上的奇函數(shù),則有/(0)=^—a-3=0,解得a=3,即/(%)=三3-匚V,
y+b0+13'+b
3-3-x+13v+1-33-3x+1
VxeR于(-x)==一/(x),
3-x+bb-3x+l3x+b
即VxeR,b-3x+\=3X+b解得6=1,經(jīng)驗(yàn)證得a=3,b=l時(shí),/(%)是奇函數(shù),
所以/(》)=斗章?
【小問(wèn)2詳解】
31
由(1)知,g(x)=/(%)?(3V+1)+9'-1=3-3r+1+9"-1=(3X)2-3X3V+2=(3'-1)2-
31
當(dāng)XG[0,1]時(shí),1W3*W3,因此當(dāng)3、=5時(shí),g(x)min當(dāng)x=l時(shí),g(x)1mx=2,
所以所求值域?yàn)閇-2].
16.《中華人民共和國(guó)鄉(xiāng)村振興促進(jìn)法》中指出:全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,開展促進(jìn)鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興、人才
振興、文化振興、生態(tài)振興、組織振興,推進(jìn)城鄉(xiāng)融合發(fā)展,為深入踐行習(xí)近平總書記提出“綠水青山就
是金山銀山”的理念,圍繞產(chǎn)業(yè)發(fā)展生態(tài)化,生態(tài)建設(shè)產(chǎn)業(yè)化”思路,某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全力打造成“生態(tài)特色小
鎮(zhèn)”,調(diào)研發(fā)現(xiàn):某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量?(單位:kg)與肥料費(fèi)用x(單位:元)滿足如下關(guān)系:
-(X2+40),0<X<3
'(")=5144其他總成本為3x(單位:元),已知這種農(nóng)作物的市場(chǎng)售價(jià)為每5元/kg,
18--,3<x<10
、5x
且供不應(yīng)求,記該單株農(nóng)作物獲得的利潤(rùn)為/(%)(單位:元)
(1)求/(%)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí),該農(nóng)作物單株獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
x~-4-X+40,0<%<3
【答案】⑴/■(%)=144
'790---------4%,3<x<10
(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6元時(shí),該農(nóng)作物單株獲得的利潤(rùn)最大,為42元
【解析】
【分析】(1)代入售價(jià)和成本即可得到利潤(rùn)結(jié)果.
(2)由函數(shù)圖像的性質(zhì)即可得到最大值點(diǎn)和最大值.
【小問(wèn)1詳解】
解:由題意可得,f(x)=5t(x)-x-3x
(X2+40)-4X,0<X<3
〃x)=144
90--------4x,3<x<10
%2-4x+40,0<x<3
所以函數(shù)/(%)的關(guān)系式為/(X)=144
90--------4%,3V10
、%
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)0?x<3時(shí),/(力二犬—4x+4。的圖象為開口向上的拋物線,
-4
對(duì)稱軸為x=-------=2,
2x1
2
所以當(dāng)%=0時(shí),/Wmax=/(0)=0-4x0+40=40;
當(dāng)3<xV10時(shí),/(x)=90-4<90-4x2.
當(dāng)且僅當(dāng)3=x,即%=6時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)/(力3=42.
綜上:當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為6元時(shí),該農(nóng)作物單株獲得的利潤(rùn)最大,為42元.
17.已知函數(shù)f(x)=(m+l)x2-mx+m—l(meR).
(1)若不等式/(x)<0的解集為0,求加的取值范圍;
(2)對(duì)任意的,不等式/(%)2必-x+l恒成立,求用的取值范圍.
【答案】(1)
【解析】
【分析】(1)分類討論,當(dāng)不等式為二次不等式時(shí),由題意列出不等式組求解即可;
(2)分離參數(shù),換元后利用基本不等式求最值,即可得出機(jī)的取值范圍.
小問(wèn)1詳解】
當(dāng)機(jī)=—1時(shí),由/(x)<0,得到X—2<0,所以x<2,不合題意,
當(dāng)mW—1時(shí),由/(x)<0的解集為0,
m+i>o
得到L2、,,、/,、c,解得m2年,
A=m-4(m+l)(m-1)<03
所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為
【小問(wèn)2詳解】
由題對(duì)任意xe[-1,1],不等式?!?1)爐-mx+m-l>x2-x+l恒成立.
即m(x?—x+1)22—x,因?yàn)?/]時(shí),(廠—尤+1)>0恒成立.
2—x
可得加2=--------,設(shè),=2—%,則所以%=2—九
%-x+1
2-x_t_1
可得x2-x+l-(2—)2_(2—)+1——3.
In-----J
因?yàn)?+當(dāng)且僅當(dāng)^=百時(shí)取等號(hào).
t
所以j—J_=2'3+3,當(dāng)且僅當(dāng)%=2—退時(shí)取等號(hào)
x2-x+l2V3-33
故得m的取值范圍
18.已知函數(shù)/(x)=x-xlnx-a.
(1)若曲線y=/(%)在點(diǎn)處的切線方程為丁="+2,求實(shí)數(shù)。和人的值;
(2)若函數(shù)/(x)無(wú)零點(diǎn),求。的取值范圍.
【答案】(1)a=-l,b=0
(2)(1,+co)
【解析】
【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由/'(1)求出6,再由/。)求出。;
(2)令/(無(wú))=0可得a=x—xlnx,令g(x)=x—xlnx,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大
值,依題意丁=。與y=g(尤)無(wú)交點(diǎn),即可求出參數(shù)。的取值范圍.
【小問(wèn)
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