2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面向量的綜合應(yīng)用（學(xué)生版）

培優(yōu)點(diǎn)06平面向量的綜合應(yīng)用（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+

綜合提升練+拓展沖刺練）

唱【核心題型】

題型一平面向量在幾何中的應(yīng)用

用向量方法解決平面幾何問題的步驟

平面幾何問題*0#一向量問題—'嚏一解決向量問題一還速一解決幾何問題.

77

【例題1］（2。24?湖南婁底?一模）已知圓內(nèi)接四邊形/BCD中，/。=2,//。8=二,8。是圓

的直徑，AC-Bl5=2,則N4DC=（）

5兀兀7兀2兀

A.—B.—C.—D.—

122123

【變式1】（2023?河南?模擬預(yù)測）在AABC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為。，b,c,

NBAC=3,D為BC上一點(diǎn),BD=2DC,AD=BD=—,則“BC的面積為（）

32

373R9739A/3

-----D.-----IF

【變式2】（2023?天津南開?一模）在平面四邊形23CD中，

|ZB|=|SC|=|CD|=52-DC=I,&4-SC=1,貝|同卜；BD.CD=.

【變式3】（2024?河北張家口?三模）在“8C中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為0,6,c,點(diǎn)

D為邊BC上一點(diǎn),且滿足（而+就）.就=0.

⑴證明：AD=b-

—?1—>2-

⑵若為內(nèi)角力的平分線，且+求sin".

題型二和向量有關(guān)的最值（范圍）問題

命題點(diǎn)1與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題

【例題2】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）在。8C中，。為線段/C的一個三等分點(diǎn),

=連接四，在線段加上任取一點(diǎn)E,連接/E,若荏=0萬+陶瓦貝%2+〃

的最小值為（）

13542

A.—B.-C.—D.一

42135

【變式1］（2023?山東泰安?模擬預(yù)測）己知⑷=,|=?=1,。/,c=xa+yb（x,y&W）,

則x-V的最小值為（）

A.-2B.C.-V3D.-1

3

【變式2】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正方體44GA的棱長為2,空間中點(diǎn)P滿

足國+閔=5則三棱錐P-ACD,的體積的最大值為.

【變式3】（23-24高三下?天津和平?開學(xué)考試）在。中，M是邊3C的中點(diǎn)，N是線段

______?_兀

BM的中點(diǎn).設(shè)AB=a,ZC=B，記AN=ma+nb，貝!J機(jī)一〃二________；若Z-A——,&4BC

6

的面積為百，則當(dāng)I瑟卜時，彳/新取得最小值.

命題點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題

【例題3】（2024?黑龍江?三模）己知。BC內(nèi)角4瓦。的對邊分別為

3

a,b,c,c=2,a^4,cosB,動點(diǎn)M位于線段8c上，則的最小值為（）

4

999

A.0B.——C.——D.——

101610

——IT

【變式1】（2024?全國?模擬預(yù)測）己知萬，B為非零向量，且|口=|b|=r（r>0）,（a,b）=-,

若展+區(qū)|的最小值為G，則r2+”的值為（）.

5917

A.-B.-C.4D.—

244

【變式2】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測）已知A,B為圓。:/+/=4上的兩個動點(diǎn)，

\AB\=2A/3,若點(diǎn)P為直線無+>-4&=0上一動點(diǎn)，則用.麗的最小值為.

【變式3】（2024?重慶?模擬預(yù)測）在A/BC中，內(nèi)角N,B,C所對的邊分別為a,b,c.已

知6=2

（1）求角/的大小;

（2）若麗=定，且b+c=2,求4P的最小值.

命題點(diǎn)3與模有關(guān)的最值（范圍）問題

TT

【例題4]（2022?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A、3在單位圓上，ZAOB=--,若

4

而=E+x歷（xeR）,則無的取值范圍是（）

A.[0,+<?）B.g'+0°]

C.李+81D.[1,+?）

【變式1】（2023?重慶?三模）已知Z是單位向量，向量否0HH滿足刃-￡與?成角60。，則W

的取值范圍是（）

A.B.

【變式2】（2022?浙江?三模）已知平面向量9且滿足,2-聞=2,+4e2,b^e1+e2,

若141.BV2，貝！H訓(xùn)的取值范圍為.

【變式3]（2022?上海?模擬預(yù)測）已知向量2在向量B方向上的投影為-2,且|印=3,則

團(tuán)+力的取值范圍為（結(jié)果用數(shù)值表示）

【課后強(qiáng)化】

【基礎(chǔ)保分練】

一、單選題

7TJT

1.（2024?江西鷹潭?二模）在RtZUBC中，角4瓦。所對應(yīng)的邊為a,6,c,/=7，C=-,

62

c=2,尸是。3C外接圓上一點(diǎn)，則無?（蘇+而）的最大值是（）

A.4B.2+V10C.3D.1+V10

2.（2024?陜西渭南?二模）已知菱形/BCD的邊長為l,cosNA4〃=g,。為菱形的中心，E是

線段上的動點(diǎn)，則瓦市的最小值為（）

1211

A.—B.-C.-D.一

3326

3.Q024?四川涼山三模）已知平面向量入3夾角為凡且滿足同=3近，忖=1,若當(dāng)f=T

時，歸+回取得最小值，則sin"（）

4.（2023?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知向量Z，3滿足同=2瓦a-b=-l，貝中+4的取值范

圍為（）

A.[2,+co）B.—,+co^C.[V^,+co）D.-^~,+c0^

二、多選題

5.（2023?山東煙臺?二模）如圖，在“BC中，48=2,2C=3,ABAC=60°,點(diǎn)。,E分別

在48,NC上且滿足方=2而，衣=3次，點(diǎn)/在線段DE上，下列結(jié)論正確的有

（）.

A.若方=幾罰+〃就，貝1]3幾+2〃=1

B.若/=2而，則瓦7LC尸

c.叵+詞的最小值為乎

D.而.樂取最小值時，S△膽

16

6.（2024,河南信陽?二模）如圖，在四棱錐0-跖G〃中，底面是邊長為2夜的正方形，M

為0G的中點(diǎn).QE=QF=QG=QH=4,過0作平面EFG”的垂線，垂足為O,連EG,

EM,沒EM,。。的交點(diǎn)為A,在中過A作直線交。"，QF于B,C兩點(diǎn)，

QB=xQH,QC=yQF,過EM作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的

體積分別為匕，匕，下列說法正確的是（）

Q

C.匕=2技yD.的最小值為:

三、填空題

7.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知向量入B滿足同=2,網(wǎng)=1,且方，B的夾角為弓，則

卜-岡（XeR）的最小值是.

8.（2024?上海閔行?二模）己知￡、B是空間中兩個互相垂直的單位向量，向量）滿足F|=3,

且==當(dāng)2取任意實(shí)數(shù)時，R-簫+研的最小值為.

9.（2022?天津南開?二模）已知平行四邊形23CD中，AB=A,AD=2,AC.AD=8＞貝!I

|就|=;若赤=麗，DF=ADB，則萬.屋的最大值為.

四、解答題

TT

10.（2023?湖北?二模）已知在A/BC中，角aB、C的對邊分別是a、b、c,C=y.

⑴若2C邊上的高等于"a,求cos/；

3

（2）若B?赤=2，求48邊上的中線C。長度的最小值.

11.（2023?四川成都,一模）已知AA8C的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

c（c-a）=（Z?-a）（/）+a）.

⑴求角B；

（2）若邊NC上的中線長為2,求“3C面積的最大值.

【綜合提升練】

一、單選題

1.（2023?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知向量Z,b＞且|@=W=5,口+,=6,則K+,（feR）

的最小值為（）

241612

A.—B.4C.—D.—

555

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）若單位向量心尾的夾角為120。，則當(dāng)屆-圖/eR）取得最小

值時，2的值為（）

11

A.-2B.—1C.—D."

22

3.（2023高三下?全國?競賽）已知平面向量。B滿足同=3痣，忖=1,并且當(dāng)2=-4時,

區(qū)+初取得最小值，則sinR,B）=（）

A.迪B.iC.姮D.i

3344

4.（2023?山東青島?三模）已知向量a,b,c滿足：卜卜|q=1,a'^a—b^=—,

0-c）-（3B-c）=O,則k-c|的最小值為（）

A.73-1B.V3C.2D.1

5.（2023高一?全國?單元測試）若鼠3是兩個互相垂直的單位向量，且向量工滿足

，一2a|+僅-3對=而，貝*+4的取值范圍是（）

A.^p-,VToB.[3,V10]

6.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知“8C是邊長為46的正三角形，點(diǎn)尸是“BC所在平

面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|N+麗+岳卜3,則|不|的最小值是（）

8

A.1B.2C.3D.-

3

7.（2023,江西景德鎮(zhèn)?三模）互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如

果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為"斜坐標(biāo)系”.如圖，在斜坐標(biāo)系中,

過點(diǎn)P作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在x軸和V軸上的截距。，b分別作為點(diǎn)P的x坐標(biāo)和N坐標(biāo),

記尸（生吐若斜坐標(biāo)系中，x軸正方向和了軸正方向的夾角為方，則該坐標(biāo)系中又（2,2）和

N（4,l）兩點(diǎn)間的距離為（）

8.（2022?浙江寧波?二模）已知平面向量3,b，日滿足同=1,忖=2,\a-c\^\b-c\=3,

c=Xa+/nb（A>0,4>0）.當(dāng)X+〃=4時，k|=（）

AV58RV62「瓜nV70

2222

二、多選題

9.（2023,全國?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)8（3,1）,C（4,m+1）（機(jī)eR）,則下列說法正確的

是（）

A.畫=?B.若在,元，貝！|加=-2

C.若不〃反,貝lj"z=一1

D.若到，前的夾角為銳角，則加<2且

1

mw——

2

10.（2023?湖北?模擬預(yù)測）下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）

A.已知/（2,3）,8（4,-3）,點(diǎn)尸在直線上，且/=：而，則尸的坐標(biāo)為

__---―?1——?2

B.若。是。8c的外接圓圓心，則4220=548

C.若.（2詢,且工/°,貝工=5

D.若點(diǎn)尸是AA8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且國.而=說.衣=衣.用,則尸是A/8C的垂

心.

11.（2024?全國?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，P（x,y）,0（-3,0）,且阿卜2|阿，MV

是圓0：（x+3）2+/=4的一條直徑，貝I]（）

A.點(diǎn)尸在圓。外B.|圖的最小值為2

C.OM-ON=5D.兩.兩的最大值為32

三、填空題

12.（2023,全國?模擬預(yù)測）已知在A48C中，AB/C=60。，點(diǎn)。為邊8c的中點(diǎn)，E,尸分別

為BD,。。的中點(diǎn)，若4D=1,則加.下+就.通的最大值為.

7T

13.（2023?廣西?模擬預(yù)測）在。8C中，ZABC=~,點(diǎn)。在線段NC上，且4D=3OC,

BD=4,則A48c面積的最大值為__.

14.（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測）如果復(fù)數(shù)z=x+ji（xeR,yeR）,々=-2,z2=-1,z3=i

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z,z,,z2,Z3,復(fù)數(shù)z滿足|Z-Z||=2|Z—2],且

率=幾布+〃立（2eR，zzeR）,貝132+2〃的最大值為.

四、解答題

15.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）在A/BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知

a=PCOSC------csinn

3

⑴求角3

（2）過5作,交線段4。于且4D=2DC,求角C.

16.（2022?湖南?一模）在。8C中，內(nèi)角N,B,C所對的邊分別為a,b,c,己知

a=y[?.,b=Vs,c=1?

(1)求sin4sin8,sinC中的最大值;

⑵求/C邊上的中線長.

17.（2022?廣東深圳?一模）如圖，在A42c中，已知N3=2,AC=6垃，NBAC=45°,

BC,/C邊上的兩條中線NM,8N相交于點(diǎn)P.

B

（1）求/胡”的正弦值；

⑵求/MPN的余弦值.

18.2023?河南?模擬預(yù)測）“3C的內(nèi)角42,C的對邊分別為a,6,c,已知56siiL4=3atan8,r>

是NC邊上一點(diǎn)，AD=2DC,BD=2.

（1）求cosB；

⑵求防.數(shù)的最大值.

19.（2023?四川自貢?一模）在中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

gcosZ+sin/=0.若。在線段5c上，且麗=2覺，%。|=2.

（1）求/;

⑵求A/BC面積的最大值.

【拓展沖刺練】

一、單選題

1.（2022?安徽黃山?一模）在中,48=0,乙4。8=45。,。是“"的外心,則

衣.南+。心.益的最大值為（）

37

A.1B.—C.3D.—

22

2.（2022?江蘇鹽城,模擬預(yù)測）在中，過重心￡任作一直線分別交48,NC于M,N

兩點(diǎn)，設(shè)京=xM，AN^yAC>（x>0,y>0）,則4x+>的最小值是（）

410

A.-B.—C.3D.2

33

3.（22-23高三下?河北石家莊?階段練習(xí)）設(shè)48是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于了軸對稱的兩點(diǎn),

且|研=2.若存在加,〃eR,使得機(jī)焉+刀與/g+用垂直，且

|（/WAB+a4）-（?AB+OS）|=2,則|刀|的最小值為（）

A.1B.V3C.2D.26

4.（2023?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)G為三角形N8C的重心，且|田+9|=|田-演］,

當(dāng)/C取最大值時，cosC=（）

432

A.B.C.D.

55