數(shù)學(xué)課后訓(xùn)練：第一章§不等式的證明第3課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精幾何法、反證法練習(xí)1實(shí)數(shù)a,b，c不全為零的條件為（)．A．a(chǎn)，b，c全不為零B．a(chǎn),b，c中至多只有一個(gè)為零C．a(chǎn)，b，c只有一個(gè)為零D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為零2已知a，b，c都是小于1的正數(shù)，則（1－a）b，(1－b）c，(1－c)a中至少有一個(gè)不大于（）．A．B．C．D．3若｜a｜＜1,｜b|＜1，則（)．A．B．C．D．4設(shè)a，b，c∈R＋,P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b,則“PQR＞0”是“P，Q，R同時(shí)大于零”的__________條件．5設(shè)x，y為正數(shù)，且x＋y＝1，則與9的大小關(guān)系是__________．6用反證法證明：如果a，b，c，d為實(shí)數(shù),a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1,則a,b，c,d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)．7已知，a≠b,且ab＞0．求證:｜f(a)－f（b)|＜|a－b|．8已知函數(shù)f（x)是（－∞，＋∞）上的增函數(shù)，a,b∈R．(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b）≥f(－a）＋f(－b）；(2)判斷（1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．

參考答案1答案：Da，b，c不全為零，即為a，b，c不能同時(shí)為零，也就是a，b,c中至少有一個(gè)不為零．2答案:A假設(shè)，，．因?yàn)閍,b，c都是小于1的正數(shù)，所以，，，從而有．但是，這與上式中大于相矛盾,所以假設(shè)不成立，即(1－a）b,（1－b）c，(1－c)a中至少有一個(gè)不大于．3答案:B假設(shè)，則|a＋b|≥｜1＋ab｜，∴a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2，∴a2＋b2－a2b2－1≥0，∴a2－1－b2(a2－1）≥0，∴(a2－1)(1－b2)≥0，∴或即或與已知矛盾．∴．4答案:充要利用反證法．充分性：由PQR＞0，知P，Q，R同時(shí)大于零或P，Q，R有一正兩負(fù)．不妨設(shè)P＞0，Q＜0，R＜0，即a＋b－c＞0，b＋c－a＜0，c＋a－b＜0．上式相加，得c＜0，與已知矛盾，即P，Q，R同時(shí)大于零，必要性顯然成立．5答案:假設(shè)，則,故1－（x2＋y2)＜8x2y2．∵x＋y＝1，∴1＝（x＋y）2．代入上式，得（x＋y)2－(x2＋y2）＜8x2y2，∴2xy＜8x2y2，即xy(1－4xy）＜0．①又由x＋y＝1，得,∴，∴1－4xy≥0，從而xy（1－4xy）≥0成立．②由①②矛盾知,假設(shè)不成立．∴．6答案：證明:假設(shè)a,b，c，d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)不成立，即a，b，c，d都為非負(fù)數(shù)，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0．因?yàn)閍＋b＝1，c＋d＝1，所以(a＋b）（c＋d)＝1，即（ac＋bd)＋（bc＋ad）＝1．因?yàn)閍，b，c,d均為非負(fù)數(shù)，于是有bc＋ad≥0，故由上式可以知道ac＋bd≤1，這與已知條件中的ac＋bd＞1矛盾，所以假設(shè)不成立,故a，b,c,d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)．7答案：分析:利用的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造幾何中的兩點(diǎn)間的距離來證明．證明：可視為平面上點(diǎn)A（1，a）到點(diǎn)O（0，0)的距離，表示點(diǎn)B(1，b)到點(diǎn)O（0,0)的距離．而｜a－b|表示A（1,a）及B(1，b)兩點(diǎn)的距離，如圖．∵a≠b，∴A,O，B三點(diǎn)組成一個(gè)三角形，由三角形兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊可得|f（a)－f(b)｜＜|a－b|．8答案：證明：（1)a＋b≥0?a≥－b．由已知f（x）的單調(diào)性，得f（a)≥f（－b）．又a＋b≥0?b≥－a?f(b）≥f(－a)．兩式相加，即得f（a)＋f（b)≥f(－a）＋f（－b）．(2)逆命題:如果f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），那