遼寧省2024-2025學(xué)年高三8月模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025（上）8月月度質(zhì)量監(jiān)測(cè)暨第零次診斷測(cè)試

-=i=---.、、九

高二數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘

【命題單位：遼寧沈文新高考研究聯(lián)盟】

第I卷選擇題（共58分）

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合1°123,4},"={135},p=則p的子集共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意表示集合尸，然后寫出其所有子集即可得到答案.

【詳解】因?yàn)榧稀?（°123,4},"={1,3,5）,

所以尸=〃c"={l,3},

所以集合尸的子集為°」{L3},共四個(gè).

故選：D

2.已知復(fù)數(shù)~1-1,則匕卜（）

在

A.v2B.~C.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)"I來計(jì)算即可.

W3H_0g_2+同_2.下

卜?一|j|一丁也

【詳解】由

故選：A.

3.橢圓59的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

A(-714.0)；(714,0)(-2,0),(2,0)

c（0,-憫（0,^14）

c.,JDJ.（\0.-2/），（0.2）

【答案】D

【解析】

【分析】

求出C的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)位置可得結(jié)果.

易知該橢圓的焦點(diǎn)在?「軸上，因此，橢圓匚+石一一1的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（。，一？），（°'2）.

故選：D.

4.把14個(gè)相同的球全部放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒內(nèi)，要求盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)，則不同的放入

方法種數(shù)為（）

A.36B.45C.72D.165

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，首先在13個(gè)球種取出1個(gè)球放到編號(hào)為2的盒子里，再取出2個(gè)球放在編號(hào)為3的

盒子里，將原問題轉(zhuǎn)化為“將剩下的10個(gè)球，分為3組，每組至少一個(gè)，分別放到三個(gè)盒子里”，用擋板

法分析：將10個(gè)球排成一列，排好后，有9個(gè)空位，在9個(gè)空位中任取2個(gè)，插入擋板，由組合數(shù)公式

計(jì)算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，先在14個(gè)球種取出1個(gè)球放到編號(hào)為2的盒子里，再取出2個(gè)球放在編號(hào)為3

的盒子里，

此時(shí)只需將剩下也11個(gè)球，分為3組，每組至少一個(gè)，分別放到三個(gè)盒子里即可；

將11個(gè)球排成一列，排好后，有10個(gè)空位，

在10個(gè)空位中任取2個(gè)，插入擋板，有C.=45種方法，即有45種將11個(gè)球分為3組的方法，

將分好的3組對(duì)應(yīng)3個(gè)盒子，即可滿足盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)，

則盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)的放入方法有45種，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的運(yùn)用，解答的關(guān)鍵在于將原問題轉(zhuǎn)化為11個(gè)球的分組問題，用擋板法進(jìn)

行分析.

5.如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺(tái)的體積是（）

767島7后7島

A.B.24c.12D.12

【答案】B

【解析】

【分析】先計(jì)算出上、下底面的半徑和面積，再求出圓臺(tái)的高，按照?qǐng)A臺(tái)體積公式計(jì)算即可.

如圖，設(shè)上底面的半徑為7,下底面的半徑為R,高為〃，母線長為/,

則？皿="I,2n7?=nx2,解得2,R=1,

h=Ji1—(R—r)3=jl3—1—1

又/=2-l=l,'VI

S'=7TX

l-J4,下底面面積為S=nxl

設(shè)上底面面積為=兀，

廠=1(S+S+7^)方=:

所以圓臺(tái)的體積33<

故選：B.

6.若函數(shù)”為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>。時(shí)，/(、)=2xT,則()

A.-4B.-3c.-2D,-1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出/(°)=°,再由已知得〃T)=一/⑴=一(2xIT)=T,代入可得選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)?'r一為R上的奇函數(shù)，所以/i°)二°,

又當(dāng)x>0時(shí)，/(.x)=2.v-l)所以〃T)=-/⑴=-(2xl-l)=-l,

所以/(0)+〃-1)=0+(-1)=T,

故選：D.

7.已知數(shù)列｛aQ滿足12,怎+1一=°,則數(shù)列;4%+1)的前100項(xiàng)的和是()

255099100

A.51B,101c,202D.101

【答案】A

【解析】

11

］-a?a?+i=---r----—

【分析】首項(xiàng)由條件得數(shù)列14〕是等差數(shù)列，再求數(shù)列但”）的通項(xiàng)公式，得+最

后利用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】=°,"*+ia?，且q

"-"—=2+(?-1)=?+1

所以數(shù)列1?！笔鞘醉?xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，所以4

11_1_____]_

艮尸；7T「"“"+1)5+2)、+1

011111111

ltt233445101102

1125

210251.

故選：A

8.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數(shù).若某聲音對(duì)應(yīng)的函數(shù)可近似為

f（x}=sinx+—sin2x

2,則下列敘述正確的是（）

n

人丁?彳為'（'）的對(duì)稱軸

為的對(duì)稱中心

5開1久

J（x）在區(qū)間［°期上有3個(gè)零點(diǎn)D.J在區(qū)間13’3」上單調(diào)遞增

【答案】D

【解析】

「罔=一"°

【分析】利用/（i+a）=力：a-X）知/（X）關(guān)于直線x=a對(duì)稱的性質(zhì)驗(yàn)證A；求得I可

判斷B；化簡/a）=0nx（l+c。"），令〃x）=0,得x=k;#eZ）,進(jìn)而判斷c；利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性可判斷D.

-sin(^r-A,)+—sin2(^-.T)=sin.x--sin

【詳解】對(duì)于A,由己知得“22,即

n

了（萬T）W/（X）,故,⑴不關(guān)于'F對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；

.（3^.3不，1.c1c

j—=sin—+—sin沂=一1工0

對(duì)于B,V2722，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,利用二倍角公式知/。）=而式1+8”），令〃x）=0得sinx=0或cosx=—l,即

x=kmkeZ\所以該函數(shù)在區(qū)間［01°］內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，故c錯(cuò)誤；

5/rInI1

,xe—,——16—J

對(duì)于D,/(.v)=cos.V+cos2x=2cos:.v+cosx-1,令cosx=t,由L33」，知|_2」，即

5兀In

g?)CT,利用二次函數(shù)性質(zhì)知g")",即/O°,可知〃x)在區(qū)間'L3'3」上單

調(diào)遞增，故D正確；

故選：D.

二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

9.給出下列說法，其中正確的是()

A.數(shù)據(jù)0,1,2,4的極差與中位數(shù)之積為6

B.已知一組數(shù)據(jù)、1，5，…一%的方差是5,則數(shù)據(jù)4?T，4與-1,…,4/-1的方差是20

C.已知一組數(shù)據(jù)'卜占，…，毛的方差為0,則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一

D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)一與的平均數(shù)為、0,在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)”后得到一組新數(shù)

據(jù)》,可，占，…，冊(cè)，其平均數(shù)為X,則1=T0

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,求得極差、中位數(shù)即可判斷；對(duì)于B,根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C,根據(jù)方差的

定義可得玉=&=.="=亍，從而可判斷；對(duì)于D,根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可判斷.

1+23/34

【詳解】對(duì)于A,極差為4-0=4,中位數(shù)為22,所以極差與中位數(shù)之積為2,A對(duì)；

對(duì)于B,根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)，4天-1的方差是4~5=80,B錯(cuò)；

222-52

s=—(x.-r)+(.x2-T)+"(\")=0

對(duì)于C,由方差"L、」，

可得\=三=…='*=1,即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，C對(duì)；

mMH---FA'

---------=",：.X]+X,H----1-/=%

對(duì)于D,%",

x0+X2H---F0

〃+1力+1°,D對(duì).

故選：ACD

10.已知直線/經(jīng)過拋物線C.'nlp*夕＞°)的焦點(diǎn)，且與。交于A,B兩點(diǎn),以線段的為直徑的

與C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)H-LT),貝I]()

化.[

A.直線2的方程為4x+J=8=°B.點(diǎn)Z)的坐標(biāo)為(4)

17

c.0。的周長為2"D.直線41+1'+9=°與。0相切

【答案】AC

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題意得到拋物線方程，設(shè)出直線/的方程*="+2,聯(lián)立拋物線方程，得到兩

根之和，兩根之積，根據(jù)尸月產(chǎn)8=0列出方程，求出-4,得到直線方程；B選項(xiàng)，求出點(diǎn)。的縱

17

坐標(biāo)為一1,從而代入4x+J'-8=°求出橫坐標(biāo)，得到B正確；c選項(xiàng)，由焦點(diǎn)弦公式得到"'卜5,

求出OZ）的半徑和周長；D選項(xiàng)，利用圓心到直線距離公式和半徑相比，得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，依題意，拋物線°的準(zhǔn)線方程為》=-2,即'一三一一,所以P=4,

即拋物線。的方程為二8七則拋物線°的焦點(diǎn)為（24）.

設(shè)直線2的方程為*=4+2,4必加），8（切加,

'X=T+2,

聯(lián)立〔V=既消去X整理得/一8h—16=0.A=64/+64>0恒成立，

則口+】、=&，%、=T6,

,_（w）L

則』+與=M.n+R+4=&'+4,?W—^―=4,

又因?yàn)榫€段乂8為。。的直徑，OD與C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)R-L-1）,

所以北》尸=（一？一近，一1一】i卜（一？一為，Tf）

=（2+玉）（2+占）+（1+中（1+必）=0,

整理得4+-（隆+x?）+1］、、+1+.1［+］、+】'，、=°,

即4+2（8/+4）+4+l+8f-i6=0,

即（由+D.=°,解得一4,所以直線/的方程為4i+.】'-8=0,所以A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)镺P垂直于準(zhǔn)線，且R-2，-i）,所以點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為一1,

,=9

代入直線’的方程4".r-S=°,即4*-1一8=0,解得W,

可得點(diǎn)14）,所以B錯(cuò)誤；

1717

|^5|=x.+x.+4=——

c選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義可得2,所以。。的半徑為4,

c177t

所以O(shè)Q的周長為2，所以c選項(xiàng)正確；

MM一一M丁&』

D選項(xiàng)，圓心(41到直線4、+-1+9=°的距離為郃54,

所以直線4、+>+9=°與0。相交，不相切，所以D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線的相關(guān)結(jié)論，

(i)J'2=?px中，過焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于43兩點(diǎn)，則以月尸，3口為直徑的圓與】'軸相切，以

期為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

(2)?=中，過焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于A3兩點(diǎn)，則以為直徑的圓與x軸相切，以

45為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

,,Inx

/(xv)=---

n.已知函數(shù)x,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()

A.2^<11B,21n3,>31nn:>31n

T

C.若目=』”,則近+占=1D./(-V)=/(2),且二產(chǎn)修，則由近+山與〉？

【答案】ABD

【解析】

111x

/(X)=---

【分析】對(duì)于A,B,根據(jù)函數(shù)X的單調(diào)性，即可判斷；

對(duì)于C,構(gòu)造函數(shù)8(。=/七+。-/七-。/6(01),判斷其單調(diào)性，結(jié)合近足與二與11】網(wǎng)，即

)即可判斷；

/(x}I=/1,T3；

對(duì)于D,將=〃壬)展開整理得出』+足與=<v1+x3),ln.T1-ln.x2=皿近一與)，然后采用分

2(J)

111—>1->—X;-，---1、

4工+l〃(D=lnr-苴」

析法的思想，推出內(nèi)，構(gòu)造函數(shù)、'f+l,求其最小值即可判斷.

，/、Inx,l-ln.v

【詳解】對(duì)于A,由題意得x,則x,

當(dāng)0<x<e時(shí)，，⑶>0,/(x)遞增，當(dāng)X>e時(shí)，，(x)<0,遞減，

ln4_2ln2_ln2.而

由于e<y/Tf<4,所以而)，即442<y/u,

整理得而In2<2In而，spin2^<In11,所以2萬<11<11"，故正確；

對(duì)于B,由于3<兀，由于當(dāng)N〉e時(shí)，“X)遞減，故，⑶>，5),

ln3Inn八.分八?

—>——,2nlnj>2xjlnn

即3兀，即[ln3>321nn2,

In,In4

因?yàn)?4,

史<絲3疝】2〈3*2111兀、【、、

故2兀，即疝兀>31n2,

綜上，21n3>>3tair3>31n2",故B正確；

In$_Inx

2J(xJ=/(xj

對(duì)于C,因?yàn)榻?#=M*=ln.，',即111nx2=xjn』，即不三

設(shè)g⑺=/（e+f）T（eT）JC（O,e）,由于當(dāng)0<x<e時(shí)，〃x）遞增，當(dāng)"e時(shí)，〃x）遞減,

故g（r|jw（Oe單調(diào)減函數(shù),故g（O<g（0）=0,即〃e+，）<〃eT）

由于/（網(wǎng)）=/（5），不妨設(shè)則玉<上一與，即八+與<及，故c錯(cuò)誤;

對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)勺，與，且Ti*T2,若/（M）=/（M）,不妨設(shè)°<七<網(wǎng)，

In*_Inx2In占_Inx3_

即飛一一工一，設(shè)二丁一二丁一加，則歷網(wǎng)二加凡111與二"與，

InTi-lnAS

m=---------

則InX]+In+x2),ln$-Inx?=加(』一七),

2

凡/>e<=>In.Xj+lnx2>2<=>加（*+xj>2<=>~~>---

分析法知：要證目標(biāo)不等式只需不一七瓦+與

2(^—1)

<=>InX]-Inx3>一("一?ln->—―...

』+與XiA+i

心)=」(=寡

^=—>1.=5-*)>0

設(shè)與令￡+1則t(1+1)w+l)

0=1皿_絲2（1>1）

即Z+1為單調(diào)增函數(shù),故M)>〃(1)=。,

2（J）

111—Z>——工:---------

X.土+]?

即三成立，故ai*>e",所以ln（x/2）>lne"，即ln』+ln.L>2,故D正確，

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：A、B通過構(gòu)造中間函數(shù)并研究單調(diào)性比較大小關(guān)系；C、D構(gòu)造方程并應(yīng)用對(duì)應(yīng)

函數(shù)，結(jié)合分析法及導(dǎo)數(shù)證明不等關(guān)系.

第口卷非選擇題（共92分）

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

SInC*-p/\ci仃:fyj—

12.若a為銳角，5,則cosE十陽一.

_3

【答案】5##一。6

【解析】

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出余弦值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求值即可.

4.221

sina=—,sin'a+cosa=l,

【詳解】因?yàn)?a為銳角，

cos(x=—cos(n+a)=-cosa=--

所以5,則5.

故答案為：5.

13.若向量"!g=T，°）,則［在2上的投影向量為

【答案】（"°）

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量公式直接求解即可.

【詳解】因?yàn)?（"3）,%=（-2,0）,

所以"=一附4

班叩崎叩嘯手新"莘9）=（網(wǎng)

a在Z上的投影向量為

故答案為:（G。）

14.在三棱錐。一4BC中，己知45=3。=2,AC=2y/3,DB=4,平面BCDJ■平面23C,且

D31BC,則以下結(jié)論正確的是（填序號(hào)）.

①DB1AC②平面D43平面23。

4>/3

③三棱錐的體積為?、苋忮FH3C的外接球的表面積為32萬

【答案】①②③④

【解析】

【分析】利用余弦定理求得求得/四°,再利用面面垂直和線面垂直的判定定理即可判斷①②，進(jìn)一步

利用錐體的體積公式可判斷③，再根據(jù)勾股定理的應(yīng)用求出外接球的半徑，從而可判斷④.

【詳解】解：因?yàn)镸=BC=2,AC=273,

22+22-（25/3）1

cosAABC=-----------------=—

所以2x2x22

^ABC=—

所以3,

因?yàn)槠矫?CD_L平面23C,平面BCDCI平面^C=3C,DB1BC,

所以"_L平面ZBC,DB1AC,

又DBu平面DAB,所以平面DAB_L平面2EC,所以①②正確;

11

—X—x2x2xsm—x4=—

進(jìn)一步三棱錐。一R3C的體積為323,所以③正確;

設(shè)三角形4EC的外心為尸，過F作尸。_L平面H8C,

L2

2.兀

sin—1

則三角形43C為外接圓的半徑為

設(shè)。為三棱錐0-43C外接球的球心，

^FA=FB=2,OA=OD,所以同寸=曬而最麗,

所以右詢=/、（4一8）;解得。尸=?

所以外接球的半徑為04=、/F+"=3

所以三棱錐。-力的外接球的表面積為4加。4=32（所以④正確.

故答案為：①②③④.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

15.有4名同學(xué)下課后一起來到圖書館看書，到圖書館以后把書包放到了一起，后來停電了，大家隨機(jī)拿

起了一個(gè)書包離開圖書館，分別計(jì)算下列事件的概率.

（1）恰有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包;

（2）至少有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包;

(3)書包都拿錯(cuò)了.

1_

【答案】(1)4

7

(2)24

3

(3)區(qū)

【解析】

【分析】先列出全部事件的24個(gè)樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型可知：

P=L

(1)恰有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包包含6個(gè)樣本點(diǎn)，概率為4,

P=L

(2)至少有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包包含7個(gè)樣本點(diǎn)，概率為24,

P--

(3)書包都拿錯(cuò)了包含9個(gè)樣本點(diǎn)，概率為S

【小問1詳解】

設(shè)4名同學(xué)的書包分別為A,B,C,D,4名同學(xué)拿書包的所有可能可表示為

(A,B,C,D)，(A5.D.C，)(A,C,B,D]，(ACD8)，^(A.D.B,C)，(ADCS)

(B,A,C,D)(B,A,D,C)(B,C,A,D)(B,C,D,A)(BDAC)(B,D,C,A)

(C,A,B,D}(C,A,D,B)(C,B,A,D)(C,B,D,A)(C,DAB)(C,D,B,A)

(D,A,B,C)(D,A,C,B)(0,3,4。)(D,B,C,A)(DCAB)(D,C,B,A)

，9，，9

共有24種情況.

恰有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包包含6個(gè)樣本點(diǎn)，分別為

(A,B,D,C)(A,C,B,D)(A,D,C,B)(B,A,C,D}(C,B,A,D)(D,B,C,A)

尸=9」

故其概率為244.

【小問2詳解】

至少有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包包含7個(gè)樣本點(diǎn)，分別為

(A.B,C,D),(fA,B,D,C)f(A,C,B,D)(,A,D,C,B)■f(B,A,C,D)(C,B,A,D)

(D.B.C.A)

P=L

故其概率為24.

【小問3詳解】

書包都拿錯(cuò)了包含9個(gè)樣本點(diǎn)，分別為

(B,A,D,C)(B,C,D,A)(B,DAC)(C,A,D,B)(C,DAB)(C,D,B,A)

(D,A,B,C)(D,C,A,B)(D,C,B,A)

故其概率為248.

16.如圖，AB是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓。上的點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線VC垂直于圓。所在平面，D,E分別是

(1)QE〃平面45。；

(2)DE1平面組G

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)依題意可得DE//RC,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；

(2)依題意可得4C"LEC、ACire,由DE/L4C,即可得到DE_L80、從而得證.

【小問1詳解】

因?yàn)?.E為ZL1H7的中點(diǎn)，

可得DE//47,又因?yàn)镈EC平面4B。，HCu平面49。，

所以。E〃平面48C.

【小問2詳解】

因?yàn)闉椤?。的直徑，點(diǎn)。是。。上的點(diǎn)，

所以A?_L3C,又因?yàn)镕C垂直于OO所在的平面，且力。在0。所在的平面內(nèi)，

所以A7JJT,

又因?yàn)镈E//47,所以。E18。、DELVC,

又由ECcFC=C且2CJQU平面.C,所以平面如C.

17.已知函數(shù)〃X)=G'-3X+21nx(aeR).

(1)若一5,求函數(shù)的極值；

(2)若直線J'=a"3與曲線相切，求實(shí)數(shù)a的值.

_5

【答案】（1）極大值為2；極小值為？ln：!-4；

⑵a=1.

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)w正負(fù)可得單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；

（2）設(shè)切點(diǎn)為利用切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)可構(gòu)造方程組，消元得到lnt=t-l；令

g（i）=ln/-/+l）利用導(dǎo)數(shù)可求得g"）1Ml（=g（l）=°,則可確定的唯一解為f=l,代回方

程組可求得a的值.

【小問1詳解】

1/(x)=^-.r3-3x+21iix

a

當(dāng)2時(shí),

則〃“）定義域?yàn)椋ā恪保?/p>

?當(dāng)xe（0,l）U（2,"H?）時(shí)，/'（X）＞0.當(dāng)xw（L2）時(shí),/'（x）＜0.

；力、）在（0,1）,（2,+0。）上單調(diào)遞增，在（L?）上單調(diào)遞減；

,?。┑臉O大值為""一二'一一5；極小值為了⑵=2一6+2In2=2-4

【小問2詳解】

假設(shè)=x-3與/⑺相切于點(diǎn)八，）-至+2g,

,-flx）=2ax-3+—

x,

/*（/）=2a/-3+^=1

t,gp2a?-4/+2=0,

又t-3=ad-3t+21nt,

4/-2=&-41ni-6,gpInf=t-l；

、1]l-f

令g?）=WT+i,/^=rl=-

,

二當(dāng)交（0,1）時(shí),g'（t）＞0；當(dāng)re（l.*o）時(shí)，g?）＜o(jì)；

-g⑴在（°」）上單調(diào)遞增,在（L2）上單調(diào)遞減，

,g（'L=g6=°,即lnf=f-l有唯一解：r=l,

2a-4+2=0,解得：a-1.

is.已知雙曲線c與雙曲線正一卞二i有相同的漸近線，且過點(diǎn)＜（入萬，-1）.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)。（2,0）,E,歹是雙曲線c上不同于。的兩點(diǎn)，且DEDE=0,DG工EF于點(diǎn)、G,證明:

存在定點(diǎn)H,使口巴?為定值.

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出雙曲線C為方程，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解作答.

（2）當(dāng)直線E尸斜率存在時(shí)，設(shè)出其方程并與雙曲線C的方程聯(lián)立，由給定的數(shù)量積關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理

求得直線E尸過定點(diǎn)，再驗(yàn)證斜率不存在的情況，進(jìn)而推理判斷作答.

【小問1詳解】

依題意，設(shè)雙曲線c的方程為123,而點(diǎn)1）在雙曲線c上，

333

［（25/2）（-1）1X/1?31

于是1-33,雙曲線c的方程為1?33,即4",

---V=1

所以雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為4■.

【小問2詳解】

當(dāng)直線石尸斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：J=n+加，設(shè)一『x：!，.】、），

y=kx+m

由W_4j,J4消去y并整理得（4/-1）1+MT+4以+1）=0

有41-1H0,且△=（8加＞一16（"+1）（4k"一1）＞。，即41-1H0且4k2-病-1＜0,

-3km4w3+4、

有X+”-4^-1'=4k2-I,又丁門=（何+加）（生+用）=爐七七+km（士+七）+加）

DE=（』-2,1'!）,DF=5-2,.1、），由麗麗=0,得（巧一？）（F一=0,

整理得化2+1）氣/+（而-2）■（$+%）+/+4=0,

/4加’+4..-3bn..

（F13+1）---＜--+（km-2）—?—+w33+4=0_,,

于是,4V-147-1,化簡得1優(yōu)2+16加+20必=A0,

^__10

即（3加+10后（加+2.=0,解得m=_2k或3,均滿足條件，

當(dāng)m=-2k時(shí)，直線E廠的方程為J?裾1r?？），直線E尸過定點(diǎn)（2，0）,與已知矛盾，

10,,,10、.,,10.

m=-——kv=k(x------)Af(一,n0)

當(dāng)3時(shí)，直線防的方程為,3,直線仍過定點(diǎn)3；

當(dāng)直線所的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性不妨設(shè)直線下的方程為：】'=X-

J=I_10__10

由一4ys=4解得、=2或'-3,因此點(diǎn)E,尸的橫坐標(biāo)有“"一3,即直線庭過定點(diǎn)

跖?0)

A/(—.0)

綜上得直線即過定點(diǎn)3,

由于DG_L助，即點(diǎn)G在以為直徑的圓上，H為該圓圓心，為該圓半徑，

g2

所以存在定點(diǎn)"使口叼為定值3.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與圓錐曲線相交的直線過定點(diǎn)問題，設(shè)出直線的

斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.

19.記無窮數(shù)列SJ勾前〃項(xiàng)中最大值為入4,最小值為加”，令*~

(I)若4=｝一3",請(qǐng)寫出ae自也的值;

(II)求證：“數(shù)列SJ是等差數(shù)列”是“數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列”的充要條件；

(III)若以€加*,卜卜2°18同=1,求證:存在使得V力“，有"+1=4

__匕=_2b=--_

【答案】⑴4=一1,2-2,,一2,么=1；(2)見解析；⑶見解析.

【解析】

【分析】(I)分別計(jì)算出4,a3,4結(jié)合題意即可得4，名，4,4的值；(H)先證必要性，無論

"為何值始終有,廠，即可證得結(jié)果，再證充分性，當(dāng)數(shù)列14)是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為

此一.T|加-1=」

d*,根據(jù)等差數(shù)列的定義化簡可得22,進(jìn)而可證得是單調(diào)數(shù)列，始終可

得4=?"，進(jìn)而得最后結(jié)論；(III)利用反證法，由a=1或者4=T可得

-1=4=%=乙=-=4=%…，1=