2024年江西中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑)

1.-g的倒數(shù)是()

A.-3B.-C.-D.3

33

【答案】A

【分析】本題考查倒數(shù)的定義，

乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：的倒數(shù)是-3,

故選：A.

2.下列計(jì)算正確的是()

A.m1-m3=m6B.-(m-n)^-m+n

C.m(m+n)=m2+nD.(m+n)2=m2+n2

【答案】B

【分析】利用同底數(shù)幕的乘法，去括號(hào)法則，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式對(duì)各選項(xiàng)依次判斷即可.

2356

【詳解】解：A、m-m=m^m,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、-(m-n)^-m+n,故此選項(xiàng)符合題意；

C、m(m+n)=m2+mn^m2+n,故此選項(xiàng)不符合題意；

D、(m+n)2=m2+2mn+n2+n2,故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，涉及到同底數(shù)哥的乘法，去括號(hào)法則，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，

完全平方公式等知識(shí).熟練掌握各運(yùn)算法則和伍+6)2=/+2仍+從的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

3.第14屆中國(guó)(深圳)國(guó)際茶產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)在深圳會(huì)展中心展出一只如圖所示的茶杯(茶口的直徑與托盤

的直徑相同)，則這只茶杯的俯視圖大致是()

【答案】B

【分析】根據(jù)從上面看得到的圖象是俯視圖，可得答案.

【詳解】解：?茶口的直徑與托盤的直徑相同，

，俯視圖如選項(xiàng)B所示，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上面看的到的視圖是俯視圖.

4.對(duì)于函數(shù)>=-4X+3,下列結(jié)論正確的是()

A.y隨x的增大而增大

B.它的圖象經(jīng)過(guò)第三象限

C.它的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)

D.將該函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=-4x+l的圖象

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.

【詳解】解：A.?.?左=T<0,

??.V隨X的增大而減小，故A錯(cuò)誤，不符合題意；

B.二?左=—4<0,Z)=3>0,

.??函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限，故B錯(cuò)誤，不符合題意；

C.當(dāng)y=0時(shí)，-4x+3=0,解得x=\,它的圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為故c錯(cuò)誤，不符合題意;

D.將該函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)>=-4x+l的圖象，故D正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，。為等邊AASC的AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP,將ADB尸沿DP翻折，得到

△DEP,連接NE,若NA4E=40。，則ND尸3的度數(shù)為（）

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【分析】根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)和翻折性質(zhì)得到4D=DE,得到4/￡=乙1瓦）=40。，根據(jù)二角形外角性質(zhì)得到

NBDE=80°,根據(jù)翻折性質(zhì)得到ZBDP=40°,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到NABC=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理得到/DP8=80。.

【詳解】：D是N5中點(diǎn)，

AD=BD,

由翻折知，BD=DE,

：.AD=DE,

：.NBAE=ZAED=40°,

二ZBDE=ZBAE+ZAED=80°,

ZBDP=-ZBDE=40°,

2

;等邊“BC中，ZABC=60°,

△5DP中，ZDPB=80°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形，折疊，等腰三角形，三角形內(nèi)角和等.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握

等邊三角形性質(zhì)，折疊圖形全等的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì).

6.如圖，拋物線了=爾+隊(duì)+。與x軸交于點(diǎn)-1,0）,3（3,0）,交V軸的正半軸于點(diǎn)C,對(duì)稱軸交拋物線

于點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)￡,則下列結(jié)論：①6+2c>0,②a+bWam?+bm（機(jī)為任意實(shí)數(shù)）；③若點(diǎn)尸為對(duì)稱

軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸2-尸。有取大值，最大值為后高；④若加是方程於2+區(qū)+0=0的一個(gè)根，則一定有

Z>2-4ac=（24皿+b）2成立.其中正確的序號(hào)有（）.

C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線開(kāi)口向下可得。<0,根據(jù)對(duì)稱性求出對(duì)稱軸為直線x=l,則6=-2°>0,再由拋物線交

y軸的正半軸，得到c>0,由此即可判斷①；根據(jù)x=l時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為a+6+c,則

a+b+c>an^+bm+c，即可判斷②；由對(duì)稱性可知尸4=尸3,則戶/-PC|VNC=JOA?+OC?=?+/,即

可判斷③；先求出"6+c=0,進(jìn)而推出c=-3a,則62一4碇=16/，由m是方程辦?+6x+c=0的一個(gè)根,

得到以=T或機(jī)=3,然后分別計(jì)算出（2am+b）2的值即可判斷④.

【詳解】解：；拋物線開(kāi)口向下,

a<0，

拋物線v=#++c與x軸交于點(diǎn)/（一1,0）,43,0）,

對(duì)稱軸為直線x==士^=1，

2a2

/.b=-2a>0,

???拋物線交y軸的正半軸，

:.c>0,

b+2c>0,故①正確；

???對(duì)稱軸為直線x=l,開(kāi)口向下，

=1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為Q+6+C,

a+b+c>am2+bm+c（m為任意實(shí)數(shù)）即a+b2a加之+6加，故②正確;

???對(duì)稱軸交y軸的正半軸于點(diǎn)C,

/.C（0,c）,

由對(duì)稱性可知尸力二尸5,

A\PB-PC\=\PA-PC\<AC=ylo^+OC2=yjl+c2,故③不正確;

拋物線V="2+fox+c與x軸交于點(diǎn)力（-1，0）,

a—b+c=0,

?/b=-2a,

c=-3a,

「?y=ax2+bx+c=ax2-lax-3a,

???〃一4。。=4。2+12。2=16。2,

m是方程a?+樂(lè)+°=o的一個(gè)根，

.?.冽=-1或冽=3,

當(dāng)加=一1時(shí)，（2。加+6/=（一2〃-2〃）2=16〃，

當(dāng)加=3時(shí)，（2〃加+6）2=（6Q-2a了=16〃2,

.?.若m是方程分+6x+c=o的一個(gè)根，則一定有〃-4ac=（2a冽+成立，故④正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，解決本題關(guān)鍵是運(yùn)用二次

函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與x軸交點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.

第n卷

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

7.因式分解8/-2/=

【答案】2（2x+y）（2x-y）

【分析】提公因式后運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可求解.

【詳解】解：8x2-2y2

=2（4尤?-必）

=2（2x+y）（2x-y）.

故答案為：2（2x+y）（2x-y）.

【點(diǎn)睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解.

8.節(jié)儉辦賽是北京申奧的一大理念和目標(biāo).根據(jù)此次冬奧會(huì)財(cái)政預(yù)算，賽事編制預(yù)算約為15.6億美元，15.6

億可用科學(xué)記數(shù)法表示為

【答案】1.56X109

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中14時(shí)＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)

變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，"是正整數(shù);

當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，"是負(fù)整數(shù).

【詳解】解:15.6億=1560000000=1.56x109.

故答案為：1.56x109.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，正確記憶科學(xué)記數(shù)法的表示形式和的值的取值要求是解題關(guān)

鍵.

9.已知菱形48co的對(duì)角線NC3。的長(zhǎng)度是關(guān)于x的方程7-14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則此菱形的面積

是

【答案】24

【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，以及菱形的性質(zhì).根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到3。=48,再根據(jù)菱形

的面積等于對(duì)角線乘積的一半，即可得出結(jié)果.掌握根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意，得：AC-BD=48,

/C,AD是菱形48co的對(duì)角線，

/.菱形ABCD的面積等于g/C?BD=24；

故答案為：24.

10.《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的/BC）."偃

矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度如圖，點(diǎn)A,B,。在同一水平線上，NA8C和//。尸

均為直角，/P與BC相交于點(diǎn)D.測(cè)得N3=40cm,5D=20cm,AQ=12m,則樹(shù)高產(chǎn)。=m.

【分析】根據(jù)題意可得尸，然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：???/，5。和乙4。夕均為直角

：.BD//PQ,

:?"BDS^AQP,

?_B_D___A__B

"~PQ~^Q

*.*AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

.GAQXBD12X20U

AB40

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

11.如圖所示，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=

【答案】360

【分析】如圖：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得/1+/5=/7、Z4+Z5=Z8,進(jìn)而得至IJ/2+N3+N7+N8,最

后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可解答.將所求角的和轉(zhuǎn)化為四邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得N1+N5=N7、Z4+Z5=Z8,貝ij

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=Z2+Z3+Z7+Z8=3600.

故答案為360.

12.如圖，正方形48co的邊長(zhǎng)為12,E為48邊上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終保持跖工/C于尸,

EGLBD于.若尸G的長(zhǎng)為整數(shù)，則尸G的長(zhǎng)可以為

AD

F

BC

【答案】6或7或8

【分析】如圖，連接EO,由正方形性質(zhì)，得04=0B,AC,BD,可證四邊形EGO尸是矩形，得OE=FG,

進(jìn)而可證點(diǎn)E位于的中點(diǎn)時(shí)，由等腰三角形三線合一及垂線段最短知此時(shí)OE取最小值；勾股定理求得

此時(shí)==6;圖中，04=08=6收，672=A/72,8=V64<V72<=9；于是8<CM<9,

2

得尸G=OE的整數(shù)值為6,7,8.

【詳解】解：如圖，連接E。，

正方形A8CD中，OA-OB,AC.LBD,EF1AC,EG1BD,

：.ZEFO=NEGO=ZFOG=90°

二四邊形EG。尸是矩形.

OE=FG.

當(dāng)點(diǎn)E位于/B的中點(diǎn)時(shí)，

,?OA=OB

C.OEVAB,此時(shí)，取最小值；

RtZ\/08中，0A=0B=JAB=6也.

2

n△E/。中，0E=AE=*0A=6,即。￡的最小值為6.

2

如圖，OA=OB=6y[2,6亞=",8=洞<歷<M=9；

8<CM<9

：.6<OE<9

.?.FG=OE的整數(shù)值為6,7,8.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，垂線段最短；運(yùn)用矩

形的性質(zhì)作線段的等量轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共5個(gè)小題，每小題6分，共30分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

13.(1)計(jì)算:

3x-2>l

（2）解不等式組:

5—x>2

【答案】（1）3；（2）l<x<3.

【分析】（1）先根據(jù)零次暴、絕對(duì)值和負(fù)整數(shù)次嘉化簡(jiǎn)，然后計(jì)算即可;

（2）先分別求出各不等式的解集，然后再求不等式組的解集.

-2

【詳解】解：（1）（1-V3）°-|-2|+|I

=1-2+4

3x-2>l?

5-x>2②

由①得：x>l

由②得：x<3

所以該不等式組的解集為：lSx<3.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和不等式組的解法，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和解不等式的方法是解答本題的

關(guān)鍵.

14.如圖，AB=AC,CDLAB,BELAC,垂足分別為。，E.

A

（1）求證：AABE知ACD；

（2）若4E=6,CD=8,求AD的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵BO=4

【分析】（1）利用“AAS”可證明A/BE咨A/CD；

（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到4D=/E=6,再利用勾股定理計(jì)算出/C,從而得到43的長(zhǎng)，然后計(jì)

nAB-AD即可.

【詳解】（1）證明：?.?CD_L/8,BEYAC,

ZAEB=ZADC=90°,

在和A/CD中，

ZAEB=ZADC

<NBAE=ACAD,

AB=AC

:.AABE^ACD（AAS）；

（2）解：?:AABE知ACD,

AD=AE=6,

在RtA/CD中,AC=ylAD2+CD2=A/62+82=10，

???AB=AC^\Q,

:.BD=AB-AD=lQ-6=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角

相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

15.OO為AABC的外接圓，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖1,圖2中畫出一條弦，使這

條弦將AABC分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法）.

p

圖1

（1）如圖1,AC=BC；

（2）如圖2,直線1與00相切于點(diǎn)P,且1〃BC.

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作直徑CD,由于AC=BC,弧AC=^JRBC,根據(jù)垂徑定理的推理得CD垂直平分AB,

所以CD將4ABC分成面積相等的兩部分；

（2）連結(jié)PO并延長(zhǎng)交BC于E,過(guò)點(diǎn)A、E作弦AD,由于直線1與。0相切于點(diǎn)P,根據(jù)切線的性質(zhì)得

0P±l,而1〃BC,則PELBC,根據(jù)垂徑定理得BE=CE,所以弦AE將aABC分成面積相等的兩部分.

【詳解】（1）如圖1,直徑CD為所求；

（2）如圖2,弦AD為所求.

16.甲骨文是迄今為止中國(guó)發(fā)現(xiàn)的年代最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈，

小明在了解了甲骨文后，制作了如圖所示的四張卡片（這四張卡片分別用字母A,B,C,。表示，正面

文字依次是文、明、自、由，這四張卡片除正面內(nèi)容不同外，其余均相同），現(xiàn)將四張卡片背面朝上，洗勻

放好.

(1)小明從中隨機(jī)抽取一張卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率為.

(2)小明從中隨機(jī)抽取一張卡片不放回，小亮再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖法計(jì)算兩人

抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的概率.

【答案】⑴:

(2)1

【分析】此題考查了概率公式及列表法或畫樹(shù)狀圖的方法求概率，；

(1)直接利用概率公式計(jì)算即可；

(2)通過(guò)畫樹(shù)狀圖，可得共有12種等可能結(jié)果，其中，兩名同學(xué)抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的結(jié)果有

2種，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】(1)通過(guò)卡片上的字，可以看到是軸對(duì)稱圖形的為“文”，

???卡片上的字是軸對(duì)稱圖形的概率為!，

故答案為：—,

4

(2)畫樹(shù)狀圖如解圖，

開(kāi)始

ABCD

BCDACDABDABC

由樹(shù)狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的結(jié)果有2種，

則兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的概率為=2=1

126

17.如圖，直線P=3x+b與x軸交于點(diǎn)與反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象相交于點(diǎn)8(1,加).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)C是反比例函數(shù)y=；(x>0)的圖象上的一點(diǎn)，連接NC,若/。0=45。，求直線3C的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為了=9;

X

(2)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+9.

【分析】(1)分別把/(TO)，/1,優(yōu))代入y=3x+6,求出6和加的值，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=；(x>0)的圖

象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,由此求出后值即可；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CDLx軸于點(diǎn)。，由/C4O=45。，得CD=4D,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為則。+1=9，解方

VaJa

程求出。值即得點(diǎn)。的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】(1)把4(—L0)代入歹=3%+6得-3+6=0,

:.b=3,

把5(1,加)解得代入歹=3x+6得3+3=加，

:.m=6,

二?點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,6).

??,反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)5,

「"=1x6=6,

二反比例函數(shù)的表達(dá)式為了=9；

X

(2)

OA=1.

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD^x軸于點(diǎn)。,

/.CD=AD,

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為則。+1=9,解。=2或-3（負(fù)值舍去），

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,3）.

設(shè)直線3c的函數(shù)表達(dá)式為了=/+q,

/、/、{p+q=6fp=-3

把81,6,C2,3代入了=1+4得，解得,，

[2p+q=3國(guó)=9

直線3C的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+9.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，涉及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，

反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握用待定系數(shù)法求函

數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

四、解答題（本大題共3個(gè)小題，每小題8分，共24分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

18.某區(qū)中小學(xué)舉行硬筆書法比賽，由學(xué)校初賽選拔人員參加全區(qū)比賽，為選拔人員參賽，A校經(jīng)過(guò)宣傳,

組織硬筆書法愛(ài)好者訓(xùn)練后舉行校內(nèi)硬筆書法比賽，賽后評(píng)審中根據(jù)作品的質(zhì)量確定五種獲獎(jiǎng)等級(jí)的人數(shù),

并對(duì)獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)解答下列問(wèn)題.

圖1圖2

（1）求參賽的總?cè)藬?shù)，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全;

（2）求在獲獎(jiǎng)中人數(shù)的中位數(shù)和方差；

(3)為勉勵(lì)學(xué)生努力提升人文素養(yǎng)，培養(yǎng)書法人才，對(duì)各校初賽獲一等獎(jiǎng)?wù)哳C發(fā)“小小書法家”證書，全區(qū)各

校統(tǒng)一制作證書，若各校初賽統(tǒng)一按總比例確定初賽人數(shù)和獲獎(jiǎng)人數(shù)，若A校有1200名學(xué)生，該區(qū)共有

54000名中小學(xué)生，估計(jì)該區(qū)獲得“小小書法家”證書的總?cè)藬?shù).

【答案】(1)參賽的總?cè)藬?shù)40人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析

(2)獲獎(jiǎng)人數(shù)的中位數(shù)為8,獲獎(jiǎng)人數(shù)的方差為8

(3)可估計(jì)該區(qū)54000名中小學(xué)生中，獲得“小小書法家”證書的總?cè)藬?shù)為180人

【分析】(1)根據(jù)“參與獎(jiǎng)”的獲獎(jiǎng)人數(shù)為10人，且占比為25%解答即可；

(2)根據(jù)中位數(shù)的定義及方差的定義解答即可；

(3)根據(jù)抽樣中一等獎(jiǎng)的占比估算該區(qū)的總?cè)藬?shù)即可解答.

【詳解】(1)解：???“參與獎(jiǎng)”的獲獎(jiǎng)人數(shù)為10人，且占比為25%,

.??參賽的總?cè)藬?shù)為10+25%=40(人).

.?.一等獎(jiǎng)的人數(shù)為40—8—6—12—10=4(人)

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)鼓勵(lì)獎(jiǎng)參與獎(jiǎng)獎(jiǎng)項(xiàng)

圖1

(2)解：,?獲獎(jiǎng)人數(shù)為4,6,8,12,10,

.??獲獎(jiǎng)人數(shù)的中位數(shù)為8,

?.?獲獎(jiǎng)人數(shù)的平均數(shù)為子40=8,

獲獎(jiǎng)人數(shù)的方差為S?=g[(4-8)2+(8-8)2+(6-8)2+(12-8『+(10-8)2]=8；

(3)解：：A校有1200名學(xué)生中，有4人獲一等獎(jiǎng)，

,可估計(jì)該區(qū)54000名中小學(xué)生中，獲得“小小書法家”證書的總?cè)藬?shù)為

4

——x54000=180人.

1200

【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)的定義；方差的定義，樣本估算整體，讀懂條形統(tǒng)

計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵.

19.如圖1,是一輛小汽車與墻平行停放的實(shí)物圖片，圖2是它的俯視圖，汽車靠墻一側(cè)與墻平行

且距離為0.8米，已知小汽車車門寬2。為1.2米

(參考數(shù)據(jù)：sin40°~0.6428,cos400-0.7660,sin41°?0.6561,cos41°?0.7541,sin42°?0.6667,

cos420-0.7431)

圖1圖2備用圖

(1)當(dāng)車門打開(kāi)角度為40。時(shí)，車門是否會(huì)碰到墻？請(qǐng)說(shuō)明理由

(2)若車停在原地不動(dòng)，靠墻一側(cè)的車門能打開(kāi)的最大角度約為多少？

【答案】(1)車門不會(huì)碰到墻，理由見(jiàn)解析

(2)42°

【分析】(1)如圖：過(guò)點(diǎn)A作/CL03,垂足為點(diǎn)G.解三角形求出AC的長(zhǎng)度，然后比較即可;

(2)如圖：過(guò)點(diǎn)A作4D_L08,垂足為D,40=0.8,求出sin/XOZ)即可.

【詳解】(1)解：車門不會(huì)碰到墻，理由如下：

如圖：過(guò)點(diǎn)A作/C,03,垂足為點(diǎn)C.

M

力I

N

在RtA/CO中，ZAOC^40°,40=1.2,

/C=sin/0a0.6428x1.2=0.7714,

0.7714<0.8,

二車門不會(huì)碰到墻.

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作垂足為D,

M

電

N

在RtZk/DO中，

VAD=0.S,4。=1.2,

sinZAOD=-=—=0.6667.

OA1.23

sin42°~0.6667,

又??,正弦值隨著角度的增大而增大，

二靠墻一側(cè)車門能打開(kāi)的最大角度為42。.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)建直角三角形并靈活解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

20.杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，9月份“江南憶”的銷售量為256件，

11月份的銷售量為400件.已知每件“江南憶”的進(jìn)價(jià)為35元，售價(jià)為58元.

(1)求該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率；

(2)經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，12月份該款吉祥物的銷售量將與9月份持平，現(xiàn)商場(chǎng)為了減少庫(kù)存，采用降價(jià)促銷方式.調(diào)

查發(fā)現(xiàn)，該款吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件，當(dāng)該款吉祥物每件的售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售

利潤(rùn)能達(dá)到8400元？

【答案】(1)該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為25%

(2)該款吉祥物售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用：

(1)設(shè)該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x,可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其

符合題意的值，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該吉祥物售價(jià)為y元，則每件的銷售利潤(rùn)為(y-35)元，利用月銷售利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)x月銷售

量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)設(shè)該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x,

根據(jù)題意得：256（1+"=400,

解得：占=0.25=25%,乙=一2.25（不符合題意，舍去）.

答：該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為25%；

（2）設(shè)該吉祥物售價(jià)為y元，則每件的銷售利潤(rùn)為。-35）元，月銷售量為400+20（58-y）=（1560-20了）件,

根據(jù)題意得：（了-35）（1560-20了）=8400,

整理得：「一ii3y+3150=0,

解得:必=50,%=63

因?yàn)樯虉?chǎng)為了減少庫(kù)存，故%=63不符合題意，舍去.

答：該款吉祥物售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元.

五、解答題（本大題共2個(gè)小題，每小題9分，共18分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

21.在中，N4CB=9。。，/O平分NC/3交8C于點(diǎn)。，以O(shè)C為半徑作OO.

（1）求證：直線是。。的切線.

（2）若N8=5,tanNCUC=；,求的半徑.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）1

【分析】（1）過(guò)。作于得至IJ/8HO=/BCO=90°,根據(jù)角平分線的定義得到NC8。=/9。,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OH=OC,于是得到AB與OO相切；

（2）設(shè)OC=OH=r,則BC=3〃=3%根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：過(guò)。作于

A

ZBHO=ZBCA=90°,

???40平分NC4B,

/.NCAO=NBAO,

AO=AO,

:.ACAO^HAO(AAS),

/.OC=OH,

/.45與。。相切；

OC1

(2)解：tanZ-OAC==—，

AC2

:.設(shè)OC=OH=〃

則==2J

vZBHO=ZC=90°f/B=/B,

:ABHOS^BCA,

BHBOHO

:.BH=-BC=r,BO=-AB=-,

222

:.BC=BO+CO=-+r,

2

在Rd/BC中，AC2+BC2=AB2,

即：(2r)2+[r+g)=52,

解得r3或""5(舍去)，

22

。。的半徑為三3.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖①,已知拋物線夕=62+區(qū)+3(。70)與x軸交于4-1,0),8(3,0)兩點(diǎn)，與一軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)。是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。。產(chǎn)28。,4.當(dāng)△3。的面積等于“OC面積的2倍

時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得/。8尸+/4<:。=/43。？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】⑴y=-/+2x+3；

(2)。,4)或(2,3)；

211

⑶片(一§，-)，舄(2,3).

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

113

⑵由辦。的面積=%EC+%EB=/XBO=5X3X"+2%+3+%-3)=2X5,即可求解；

(3)分點(diǎn)尸在8c左側(cè)和點(diǎn)P在8c由此兩種情況，利用正方形得判定及性質(zhì)以及二次函數(shù)得圖像及性質(zhì),

進(jìn)而求解.

【詳解】(1)解:把/(-1,0),8(3,0)代入y=加+bx+3(aW0)中，得：

。一6+3=0a=-1

9a+36+3=0,解得:

b=2

二拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作了軸平行線交x軸于E,交BC于點(diǎn)尸，作CGLDE于點(diǎn)G,

把x=0代入y=-，+2x+3中，得：y=3,

.??C點(diǎn)坐標(biāo)是(O,3),

設(shè)直線BC：y=丘+q,

把8(3,0),。(0,3)代入/=履+?,得

J。=3左+q

(3=q

\k=-\

解得2,

[4=3

直線BC的解析式為y=-x+3

設(shè)。(小,-〃/+2根+3),則尸(加,-加+3),

DF=(—m2+2m+3)—(—m+3)=-m2+3m

由%CD=2S“小得：gDFxOB=2xgo4xOC,

-(-m2+3m)x3=2x—xlx3

22

整理得：nr-3m+2=0

解得：叫=1,啊=2

,?0<m<3,

...冽的值為1或2,

當(dāng)〃2=1時(shí)，-〃/+2加+3=-12+2+3=4,

當(dāng)切=2時(shí)，-加2+2〃?+3=-4+4+3=3,

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4)或(2,3)；

(3)解：存在.

由C(0,3),8(3,0)得OB=OC,

Z.ZOBC=45°,

①當(dāng)點(diǎn)尸在3C左側(cè)時(shí).

在y軸上取點(diǎn)M(o,1),延長(zhǎng)8M交拋物線于點(diǎn)P.

在A/OC和ABOM中

OA=OM

<ZAOC=/BOM,

OC=OB

：.AAOC^BOM,

???NACO=NABM,

：.ZCBP+ZACO=NCBM+ZOBM=NABC,

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b,

將5（3,0）,M（0,l）代入，得

j3k+b=0

[=1

\k=~-

解得<3,

b=\

???設(shè)直線BM的解析式為y=-^x+l,

②當(dāng)點(diǎn)尸在5C右側(cè)時(shí)，

作△8。。關(guān)于3C的對(duì)稱△CBN,C7V交二次函數(shù)歹=f2+2x+3于點(diǎn)則/CBN=/C5O=45。，

NN=NBOC=90。,NBCO=NBCN=45。,

：.NOCN=ZN=NOBN=90°,

???OC=OB,

???四邊形OQVB是正方形，

:,BN=3,

令>=r2+2%+3中，V=3,貝Ij一代+2%+o,

解得x=0或x=2，

：.P2（2,3）,P2N=3-2=1=OM,

?：OB=NB,/BOM=ABNP2=90。,

/.ABOM義ABNP?,

ZOBM=ZNBP2,

：./CBP?+ZACO=ZCBP2+/BOM=/CBP?+ANBP2=45°=ZABC

???在點(diǎn)呂拋物線上，即點(diǎn)P2滿足條件NCBP+ZACO=NABC.

故存在滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是耳（-：2，?11），￡（2,3）.

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查待定系數(shù)法求解析式，三角形的面積，全等三角形的判定和

性質(zhì)等，正方形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱給的性質(zhì)，掌握這些知識(shí)是解題關(guān)鍵.

六、解答題（本大題共12分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

23.某托管服務(wù)數(shù)學(xué)興趣小組針對(duì)如下問(wèn)題進(jìn)行探究，在等邊“3C中，/8=2,點(diǎn)。在射線BC上運(yùn)動(dòng),

連接以/。為一邊在/。右側(cè)作等邊VNZJE.

（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)3重合），連接CE.則線段3。與CE的數(shù)量關(guān)

系是;直線也與CE的位置關(guān)系是；

（2）【拓展延伸】如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AD,CE相交于點(diǎn)請(qǐng)?zhí)骄?/p>

的面積與△MDC的面