蘇科版九年級數(shù)學上冊壓軸題：圓周角（原卷版+解析）

專題06圓周角壓軸題五種模型全攻略

聚焦考點

考點一圓周角概念辨析考點二同弧或等弧所對的圓周角相等

考點三直徑所對的圓周角是直角,考點四90°的圓周角所對的弦是直徑

考點五圓內接四邊形對角互補

..............?????，

典型例題

*■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■（*

考點一圓周角概念辨析

例題：（2022?山西實驗中學九年級階段練習）下列圖形中的角是圓周角的是（）

【變式訓練】

1.（2022?廣東?九年級專題練習）下列說法正確的是（）

4等弧所對的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.過弦的中點的直線必過圓心

2.（2022?福建廈門?九年級期末）如圖，0ABe內接于圓，弦8。交AC于點尸，連接AD下列角中，AB所

對圓周角的是（）

A.EIAPBB.SABDC.SACBD.SBAC

3.（2021?全國?九年級專題練習）觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？

考點二同弧或等弧所對的圓周角相等

例題:（2022?廣西貴港?中考真題）如圖,回。是的外接圓，AC是團。的直徑，點尸在國。上，若=

則ZBPC的度數(shù)是（)

B.45°C.50°D.55°

【變式訓練】

1.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖,是。。的兩條半徑，點。在。。上，若NAQB=80。，則NC的

度數(shù)為（

B.40°C.50°D.60°

2.（2022?四川廣安?二模）如圖，四邊形A5CD的外接圓為回O,BC=CD,回。AC=36。，媯CD=44。，則

的度數(shù)為（)

A.55°B.64°C.65°D.70°

3.（2022?廣東?乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）如圖，A3是。。的直徑，點。在。。上，且AC的長是

5。長的2倍，N4cB的平分線8交。。于點。，則NCBD的度數(shù)為（)

B.95°C.100°D.105°

考點三直徑所對的圓周角是直角

例題：（2022?廣西梧州?二模）如圖，AB.CD分別是團。的直徑，連接5。、BD,如果弦且團CDE

62°,則下列結論錯誤的是（)

A.C斑BDB.團CR4=31°C.AC=AED.BD=DE

【變式訓練】

1.（2022?湖北十堰三模）如圖，AB是回。的直徑，C是回。上一點，。是A3另一側半圓的中點，若C￡）=3啦,

BC=4,貝峋。的半徑長為（）

A.y/5B.2石C.VTTD.2而

2.（2022?安徽蕪湖?二模）如圖，正方形ABC。內接于團O,邊長BC=#,尸為弧上一點且AP=1,則

PC=.

3.（2022?吉林長春?模擬預測）如圖，在。。中，弦8與直徑A3相交于點E,連接OC、AD,BD.若

AD=ED,NB=20°，則ZBOC的大小為度.

考點四90°的圓周角所對的弦是直徑

例題：（2021?全國?九年級課時練習）如圖，00的弦A3垂直于AC,AB=6cm,AC=4cm,則O。的半徑

等于（）

C.V15D.4

【變式訓練】

1.（2022?江西吉安?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=10,AD=12,P為矩形內一點，ZAPB=90°,

連接尸r>,則的最小值為（）

72761

A.8B.2721C.10

61

2.（2022.江蘇徐州.模擬預測）如圖,2通42c中,0ABe=90°,AB=6,BC=5,P是0ABe內部的一個動點,

且滿足aR43=aP8C,則線段CP長的最小值為.

考點五圓內接四邊形對角互補

例題：（2022糊南婁底,模擬預測）如圖，點2,C,。在回。上，若N3CD=130。，則ZBOD的度數(shù)是（）

C.70°D.100°

【變式訓練】

1.（2022?新疆?烏魯木齊八一中學九年級期中）在。。中，四邊形OABC為菱形，點。在4wC上，則/ADC

的度數(shù)是（）

4.30°B.45°C.60°D.75°

2.（2022?福建廈門?模擬預測）如圖，四邊形ABCD是回。的內接四邊形，點E為邊上任意一點（不與點

C,點。重合），連接BE,若0A=6O。，貝崛8即的度數(shù)可以是（）.

A.110°B.115°C.120°D.125°

課后訓練

一、選擇題

1.（2022?山東威海?九年級期末）如圖，點A,B,C都在回。上，若ZACB=36。，貝幗。（）

2.（2022,山西?中考真題）如圖，△ABC內接于。O,是。。的直徑，若N3=20。，則ACAD的度數(shù)是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

3.（2022?浙江麗水?三模）如圖，A,B,C,。四個點均在。。上，AO//DC,BO//AD,若ZAC?=70。,

則的度數(shù)為（）

C.20°D.25°

4.（2022?內蒙古包頭?中考真題）如圖，A8,CD是。。的兩條直徑，E是劣弧BC的中點，連接BC,DE.若

ZABC=22°,則NCDE的度數(shù)為（)

A.22°B.32°C.34°D.44°

5.（2022?遼寧?沈陽市第一二六中學模擬預測）如圖，2。是。。的直徑，弦AC交8。于點G.連接OC,

若NCQD=126。，AB=AD<則NAG3的度數(shù)為（）

B.103°C.108°D.113°

二、填空題

6.（2022?湖南邵陽?三模）如圖，AB為團。的直徑，C,。為回。上的兩點，若/ABD=54。，貝物C的度數(shù)為

7.（2022?浙江湖州,中考真題）如圖，已知A8是回。的弦，0AOB=12O°,OC0AB,垂足為C,OC的延長線

交回。于點D若明尸。是AD所對的圓周角，則她尸。的度數(shù)是.

D

8.（2022?安徽宿州?模擬預測）如圖，。。是RtZXABC的外接圓，=90°,ZBAC的平分線交。。于點

D,NABC的平分線交A。于點E,連接8。，若。。的直徑是后，則。E的長為.

9.（2022,陜西咸陽?九年級期中）如圖，在菱形A8C。中，BC=6,ZC=120°,點E是射線CD上一點，

連接2E,點尸在BE上，連接AP,若/BAP=NCBE,則人鉆尸面積的最大值為.

10.（2022?陜西西安工業(yè)大學附中三模）如圖，在四邊形A8C。中，AB=8,BC=6,SB=60。，國C=120。，點。、

E分別是48、的中點，OH0BC于點H,點P是邊BC上的一點，連接。P,將AOH尸沿著OP所在直線

翻折，點》的對應點為女，當廳E取最小值時邊8的長為.

三、解答題

11.（2022?廣東?中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于。O,AC為。。的直徑，ZADB=ZCDB.

⑴試判斷AABC的形狀，并給出證明；

（2）^-AB=A/2>AD=1>求CD的長度.

12.(2022?遼寧沈陽二模)如圖，四邊形ABCO內接于回O,。是弧AC的中點，延長8C到點E,使CE=M,

連接80,ED.

⑴求證：BD=ED；

⑵若NABC=60。，AD=5,回。的直徑長為.

13.(2021?江蘇?揚州市江都區(qū)雙溝中學一模)如圖，四邊形A8CD內接于回。，AB=AC,8。交AC于點E,

延長A。，8C交于點R且CF=AC.

⑴求證eia)=A。；

(2)若&￡)=』，AB=2也,求陽的長.

14.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學校九年級學業(yè)考試)如圖，/18、8為0。的弦，45與C。相交

于點E,AD=BC-

⑴如圖1,求證：BE=DE；

(2)如圖2,點尸在BC上，連接。尸、AD,若DF為直徑，AB±CD,求證：ZADF=45°;

⑶如圖3,在（2）的條件下，連接CP、BF,BF>CF,若。E=8,△3CF的面積為6,求的長.

15.（2022?黑龍江?哈爾濱市風華中學校模擬預測）如圖,△ABC內接于圓。，高A。、CE相交于點延長

（2）如圖2,連接CO,求證：NBCO=NHCA；

（3）如圖3,在（2）的條件下，延長CO交圓。于點N,連接GN、DE,若NG=2DE=2M,CD=1,求

DH的長.

專題06圓周角壓軸題五種模型全攻略

FT'

考點一圓周角概念辨析考點二同弧或等弧所對的圓周角

相等

考點三直徑所對的圓周角是直角，考點四90°的圓周角所對的弦是直

徑

考點五圓內接四邊形對角互補

...........

典型例題

^.1111...........,?/■

考點一圓周角概念辨析

例題：（2022?山西實驗中學九年級階段練習）下列圖形中的角是圓周角的是（）

A.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角的定義（角的頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角）判斷即可.

【詳解】

解：根據(jù)圓周角的定義可知，選項A中的角是圓周角.

故選：A.

【點睛】

本題考查圓周角的定義，解題的關鍵是理解圓周角的定義，屬于中考基礎題.

1.（2022?廣東?九年級專題練習）下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.過弦的中點的直線必過圓心

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關系，對稱軸的定義逐項排查即可.

【詳解】

解：A同弧或等弧所對的圓周角相等，所以A選項正確；

A平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以8選項錯誤；

C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以C選項錯誤；

D圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以。選項錯誤.

故選A

【點睛】

本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系,軸對稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知識點.靈

活運用相關知識成為解答本題的關鍵.

2.（2022?福建廈門?九年級期末）如圖，EABC內接于圓，弦2D交AC于點P,連接AZX下

列角中，AB所對圓周角的是（）

A.EIAPBB.EL4BDC.0ACBD.SBAC

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可直接進行求解.

【詳解】

解：由圖可知：.所對圓周角的是0AC8或HADB,

故選C.

【點睛】

本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握圓周角是解題的關鍵.

3.（2021,全國?九年級專題練習）觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周

角？

【答案】特征見解析，?圖中國3、回4、aBAD是圓周角

【解析】

【詳解】

解：他）機頂點在回。內，兩邊與圓相交，所以回1不是圓周角；

⑸回2頂點在圓外，兩邊與圓相交，所以回2不是圓周角；

（c）圖中133、04、EIBA。的頂點在圓周上，兩邊均與圓相交，所以團3、的、回胡。是圓周角.

⑷回5頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以回5不是圓周角；

（e）回6頂點在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知團6不是圓周角.

【點睛】

本題主要考查了圓周角的定義，熟練掌握頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角

是解題的關鍵.

考點二同弧或等弧所對的圓周角相等

例題：（2022?廣西貴港?中考真題）如圖，回。是AABC的外接圓，AC是回。的直徑，點P在

回。上，若Z4CB=4O。，則NBPC的度數(shù)是（）

B.45°C.50°D.55°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角定理得到NABC=90。，NBPC=ZA,然后利用互余計算出0A的度數(shù)，從而得到

NBPC的度數(shù).

【詳解】

解：是回。的直徑,

0ZABC=90°,

回NA=90°-ZACB=90°-40°=50°,

0ZBPC=ZA=5O°,

故選：C.

【點睛】

本題考查了圓周角定理,解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等,

都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所

對的弦是直徑.

1.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，0402是。。的兩條半徑，點C在O。上，若/4。3=80。,

則NC的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】

回OAOB是。O的兩條半徑，點C在。O上，ZA（9B=80°

SSC=-ZAOB=40"

2

故選：B

【點睛】

本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或者在等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等

于這條弧所對的圓心角的一半是解答本題關鍵.

2.（2022?四川廣安?二模）如圖，四邊形ABC。的外接圓為回。，BC=CD,0Z）AC=36°,SACD

=44°,則0AD8的度數(shù)為（）

A.55°B.64°C.65°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用圓心角、弧、弦的關系得到DC=8C，再利用圓周角定理得到&BACFD4c=36。，SABD

=0ACO=44。，然后根據(jù)三角形內角和計算0AD2的度數(shù).

【詳解】

解：！3BC=C。，

0DC=BC>

00ABD和HACD所對的弧都是AO，

00BAC=EDAC=36°,

:./BAD=ZBAC+ZDAC=72°,

aa4BD=EIACZ)=44°,

00ADB=18Oo-0BAD-0ABr)=180°-72o-44°=64°,

故選：B.

【點睛】

本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵.

3.（2022?廣東?乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）如圖，A3是。。的直徑，點C在。。上，

且AC的長是BC長的2倍，ZACB的平分線交。。于點。，則NCBD的度數(shù)為（）

r

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)是回。的直徑和AC的長是BC長的2倍，可以求得財8C的度數(shù),再根據(jù)平分MCB,

可以得到0A8D的度數(shù)，然后即可計算出團的度數(shù).

【詳解】

0A8是回。的直徑，

EEL4CB=90°,

0AC的長是長的2倍，AC的度數(shù)+BC的度數(shù)=180。，

團AC的度數(shù)為120。，BC的度數(shù)為60°

0BABC=6O°,1388=30°,

團8平分0ACB,

aSAC￡）=45°,

aaABD=0AC￡）=45°,

H3CB。=0ABC+0ABD=60°+45°=105°,

故選：D.

【點睛】

本題考查圓周角定理，解答本題的關鍵是求出EABC和的度數(shù).

考點三直徑所對的圓周角是直角

例題：（2022?廣西梧州?二模）如圖,A8、C￡）分別是回O的直徑，連接如果弦

且回C￡?E=62。，則下列結論錯誤的是（

A.CB^\BDB.團C3A=31°C.AC=AED.BD=DE

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可判斷4根據(jù)圓周角定理可判斷8選項，根據(jù)圓周角與

弧的關系可判斷C,根據(jù)/。。￡W/。。5判斷。選項.

【詳解】

解：M3、CO分別是回。的直徑，

:.ZCBD=9Q°,

故A選項正確，

如圖，連接跖，

*/DE//AB,且團COE=62°,

ZBOD=ZCDE=62°,

/.ZBCD=-ZBOD=31°,

2

QOC=OB,

..ZCBO=ZBCO=31°f

ZAOC=62°f

???ZCBE=ZCDE=62°9

.\ZABC=ZABE=31°f

??AC=AE^

故3,。選項正確，

?.,/BCD=31°,/CBD=90°,

.?.NBDC=59。,

?.?NCOS=62。，

.?.NCDEwNCDB,

??BDHDE,故。選項不正確,

故選D

【點睛】

本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022?湖北十堰?三模）如圖，AB是國。的直徑，C是回。上一點，。是AB另一側半圓的

中點，若CD=3亞,8c=4,貝幅。的半徑長為（）

A.B.2石C.V1TD.2vH

【答案】A

【解析】

【分析】

連接A。，過點B作8E3CQ于點E,證明AAOB和AAOB都是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定

理求解即可.

【詳解】

解：連接AD,過點2作2E0CD于點￡,

0AB是回。的直徑，。是4B的中點,

函4QB=90°,AD=DB,

回AAOB是等腰直角三角形，

0I3A=EIABD=45°,

EBC=a4=45°,

回AEBC是等腰直角三角形，

0BC=4,

BEC-EB-2yf2,

EICD=3亞，

^DE=y/2,

^BD=^DE2+BE2=Vio>

在等腰直角4BDA中，AB=y/AD2+BD2=2小，

甌。的半徑長為石，

故選：A.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等，解題的關鍵是靈活運

用所學知識解決問題.

2.（2022?安徽蕪湖?二模）如圖，正方形A8C。內接于回O,邊長BC=逐，尸為弧上一點

S.AP=1,則PC=.

【答案】3

【解析】

【分析】

連接AC,易得AC為直徑，在及AABC中利用勾股定理算出AC,再在氏AAC尸中利用勾股

定理算出PC.

【詳解】

解：連接AC,???四邊形ABC。是正方形，

AB=AC=y/5,ZABC=90°,

AC是直徑.

ZAPC=90°.

在咫AABC中，AC=NAB?+BC?=J（后+（后=回，

在MAAPC中，PC=7AC2-AP2=7（V10）2-l2=3.

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了圓的內接正多邊形，直徑所對的圓周角的性質，解決本題的關鍵是熟記并靈活運

用"直徑所對的圓周角是直角

3.（2022?吉林長春?模擬預測）如圖，在。。中，弦CZ）與直徑A3相交于點E,連接

OC.AD、BD.若AD=￡D,/3=20。，則N3OC的大小為度.

【答案】100

【解析】

【分析】

由直徑所對的圓周角是直角求出NA的度數(shù)，由等腰三角形的性質可求得，/⑦C,從而得

到/BDC的度數(shù)，再由同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍求出NBOC的度數(shù).

【詳解】

解：〈AB是直徑，

ZADB=90°,

ZA=90°-ZB=70°,

,?*AD=DE，

，ZADC=180°-2ZA=40°,

ZBDC=90°-ZADC=50°,

??.ZBOC=2ZBDC=100°.

故答案為：100.

【點睛】

本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角與圓心角的關系，等腰三角形的性

質，解決本題的關鍵是熟練掌握圓相關性質.

考點四90°的圓周角所對的弦是直徑

例題：（2021?全國?九年級課時練習）如圖，O。的弦AB垂直于AC,AB=6cm,AC=4cm,

則。。的半徑等于（）

C.亞D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

首先連接BC,由。。的弦垂直于AC,即可得BC是直徑，又由=AC=4cm,

根據(jù)勾股定理即可求得BC的長，則可求得。。的半徑.

【詳解】

解：連接8C,

ABLAC,

:.ZBAC=90°,

??.BC是。o的直徑，

,/AB=6cm,AC=4cm,

BC=y/AB2+AC2=2屆（cm）,

二。。的半徑為：廂cm.

故選：A.

【點睛】

此題考查了圓周角定理與勾股定理.此題難度不大，解題的關鍵是掌握90。的圓周角所對的

弦是直徑定理的應用.

【變式訓練】

1.（2022?江西吉安?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=10,AD=12,尸為矩形內一點，

ZAPB=90°,連接PD,則尸D的最小值為（）

A.8B.2A/21C.10D.—

61

【答案】A

【解析】

【分析】

首先由題意可知：點P在以為直徑的圓上，設圓心為點E,在圓E上任取一點凡連接

EF、DF、EP、PD,可知當點￡、P、。在一條直線上時，PD最小，再根據(jù)三角形三邊的關

系即可證得，最后根據(jù)勾股定理即可求即，據(jù)此即可求得.

【詳解】

解：-.-ZAPB=90°

.?.點P在以48為直徑的圓上，設圓心為點E

如圖：在圓E上任取一點孔連接EF、DF、EP、PD

，當點E、P、。在一條直線上時，尸。最小

理由如下：

■.EF+DF>ED=EP+PD,EP=EF

.?.DRNPD（當且僅當點尸與點尸重合時取等號）

此時PD最小

點E是A8的中點，EP是圓的半徑

AE=EP^-AB=5

2

在Rt/XAED中,ED=>]AE2+AD2=752+122=13

，PZ）=ED—EP=13—5=8

故PD的最小值為8

故選：A

【點睛】

本題考查了三角形三邊的關系，最短距離問題，勾股定理，確定點尸的位置是解決本題的

關鍵.

2.（2022,江蘇徐州?模擬預測）如圖，MS48c中，0ABe=90。，AB=6,BC=5,尸是0ABe內

部的一個動點，且滿足am慶apse,則線段CP長的最小值為.

A

【答案】V34-3##-3+V34

【解析】

【分析】

利用已知條件，可知回8必=90。，P點在以AB為直徑的圓上，如圖，。為圓心，連接。C,

OC與圓。的交點P,CP即為最小值，進行計算求值即可.

【詳解】

解：aa48c=90°,^PAB^PBC,

00PBA+0PBC=9O°,EIPBA+EI抬8=90°,

03224=90°,

團尸點在以A3為直徑的圓上，如圖，。為圓心，連接OC,0C與圓。的交點P,CP即為最

小值

^\AB=6,

回O3=OP=3,

團3C=5,

回℃=yJOB2+BC2=A/32+52=A/34，

回（7產(chǎn)=后一3,

故答案為：A/34-3

【點睛】

本題考查的圓中幾何問題的綜合運用，掌握圓的基礎性質，進行計算求值是解題的關鍵.

考點五圓內接四邊形對角互補

例題：（2022?湖南婁底?模擬預測）如圖，點2,C,。在回。上，若/3CD=130。，則

的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.100°

【答案】。

【解析】

【分析】

首先圓上取一點A,連接AB,AD,根據(jù)圓的內接四邊形的性質，即可得aBAD+aBCD=180°,

即可求得SBA。的度數(shù)，再根據(jù)圓周角的性質，即可求得答案.

【詳解】

解：圓上取一點A,連接AB,AD,

團點A、B,C,。在回。上，0BCD=130°,

03540+回BC￡)=180°,

03540=50°,

00BOD=20BAD=1OO°.

故選：D.

【點睛】

此題考查了圓周角的性質與圓的內接四邊形的性質.此題比較簡單，解題的關鍵是注意數(shù)形

結合思想的應用，注意輔助線的作法.

【變式訓練】

1.(2022?新疆?烏魯木齊八一中學九年級期中)在。。中，四邊形0ABe為菱形，點。在

上，則-45C的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】

設NADC=(z,則NAOC=2a,利用菱形性質可得NABC=NAOC=2cn再由圓內接四邊

形的性質可知：ZADC+ZABC=180°,即可求出NADC.

【詳解】

解：設Z4DC=(z,貝l]NAOC=2(z

回四邊形0ABe為菱形，

團XABC=NAOC=2a,

回四邊形A3。是圓的內接四邊形，

EZADC+ZABC=180°,即3a=180°,

0?=60°,即Z/WC=60°.

故選：C

【點睛】

本題考查菱形的性質，圓內接四邊形的性質，圓周角定理，解題的關鍵是找出

ZADC+ZABC=180°.

2.（2022,福建廈門?模擬預測）如圖，四邊形ABC。是回。的內接四邊形，點E為邊CD上任

意一點（不與點C,點。重合），連接BE,若S4=60。，則回8即的度數(shù)可以是（）.

A.110°B.115°C.120°D.125°

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)圓內接四邊形對角互補，可求出團C的度數(shù)，然后利用三角形的外角可得團C,即

可解答.

【詳解】

解：回四邊形ABCD是回。的內接四邊形，

ffilA+l3C=180°,

00A=6O°,

aac=i80°-a4=i20°,

00DEB是ADCE的一個外角，

E0D￡B>0C,

甌OEB的度數(shù)可能是：125。，

故選：D.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓內接四邊形對角互補是解題的關鍵.

課后訓練

一、選擇題

1.(2022?山東威海?九年級期末)如圖，點A,B,C都在回。上，若ZACB=36。，貝靦

()

【答案】B

【解析】

【分析】

利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到財。8,再用等腰三角形的性質即

可得出結論.

【詳解】

解：^ACB=~^AOB,0ACB=36°,

EHAOB=2x0AC2=72°.

^OA=OB,

回AOAB是等腰三角形，

0EIAOB+0OAB+0OBA=180°,

00OAB=y(180--a4(?B)=54°,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解

題的關鍵.

2.(2022?山西?中考真題)如圖，AABC內接于。0,4。是。。的直徑，若=20。，貝ij/C4D

的度數(shù)是（)

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】

首先連接由是的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得NACD=90。,

又由圓周角定理，可得ZD=ZB=20。，再用三角形內角和定理求得答案.

【詳解】

解：連接CD

0A。是OO的直徑，

SZACD=90°.

0ZD=ZB=2O°,

0ACAD=180°-90°-Z￡）=108°-90°-20°=70°.

故選：C.

【點睛】

本題考查了圓周角定理、三角形的內角和定理.熟練掌握圓周角定理是解此題的關鍵.

3.（2022?浙江麗水?三模）如圖，A,B,C,。四個點均在。。上，AO//DC,BO//AD,

若ZAC?=70。，則E?B的度數(shù)為（）

B

A

Dt0

C

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【解析】

【分析】

連接AB,由及4。8是等腰三角形，0AOB=7O°,求得I3OBA的度數(shù)，由30〃AD得至！］國。4。

的度數(shù)，由40〃。。得到財。(？的度數(shù)，四邊形48C。是。。的內接四邊形，由圓內接四邊

形對角互補即可得到答案.

【詳解】

解：連接48,

SOA=OB,

國及4。8是等腰三角形，

00OAB+0OBA+EL4OB=180°,0A08=70°,

(1800-a4OB)=55°,

S1BO//AD,

EEZMO=EAOB=70°,

ISAO//DC,

0E1A￡)C=180°-EIZMO=180°—70°=110°,

0A,B,C,O四個點均在。。上，

回四邊形ABC。是。。的內接四邊形，

0EL4DC+0ABC=EIADC+0ABO+0OBC=180°,

E0OBC=1800-0ADC-EL4B0=150.

故選：B.

【點睛】

此題考查了圓內接四邊形的性質、等腰三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，熟練掌

握圓內接四邊形的性質是解題的關鍵.

4.（2022■內蒙古包頭?中考真題）如圖，AB,CD是。。的兩條直徑，E是劣弧的中點，

連接BC,DE.若/ABC=22。，則NCDE的度數(shù)為（）

A.22°B.32°C.34°D.44°

【答案】C

【解析】

【分析】

連接由題意易得NOCB=NABC=22。，則有NCO3=136。，然后可得NCOE=68。,

進而根據(jù)圓周角定理可求解.

【詳解】

解：連接?！?如圖所示：

0OB=OC,/ABC=22°,

SZOCB=ZABC^22°,

0ZCOB=136°,

as是劣弧BC的中點，

0ZCOE=-ZCOB=68°,

2

0ZC￡>E=-ZCO￡=34°；

2

故選C

【點睛】

本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握圓周角定理及垂徑定理是解題的關鍵.

5.（2022,遼寧?沈陽市第一二六中學模擬預測）如圖，BD是。。的直徑，弦AC交8。于點

G.連接。C,若NCOD=126。，AB=AD^則ZAG3的度數(shù)為（）

B

A.98°B.103°C.108°D.113°

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出國COB的度數(shù)，由圓周角定理求出aBAC的度數(shù)，再根據(jù)弧、弦之間的關系求出

&42。=45。，即可得到答案.

【詳解】

解：00C（9D=126°,

EHCOB=54°,

0ZBAC=-ZCOB=27°,

2

SB。是圓。的直徑，

回配4。=90°,

回AB=AO，

^AB=AD,

00ABD=0ADB=45°,

0EL4GB=18O°-0BAG-0ABG=108°,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，等弧所對的弦相等，等腰直角三角

形的性質與判定，三角形內角和定理等等，熟知圓周角定理是解題的關鍵.

二、填空題

6.（2022?湖南邵陽?三模）如圖，為回。的直徑,C,。為回。上的兩點，若NABD=54。，

則回C的度數(shù)為___________.

二D，

【答案】36°##36度

【解析】

【分析】

連接A。，由直徑所對的圓周角是直角得媯。8=90。,即可求得SDA2的度數(shù)，由同圓中相等

的弧所對的圓周角相等即可得回C的度數(shù).

【詳解】

如圖，連接4。.

0AB是直徑,

mADB=90°.

團ZDAB=90°-ZABD=90°-54°=36°.

mC=^\DAB=36°.

故答案為：36。.

D

【點睛】

本題考查了直徑所對的圓周角是直角、同圓中相等的弧所對的圓周角相等，掌握這兩個知識

點是解題的關鍵.

7.（2022?浙江湖州?中考真題）如圖，已知AB是回。的弦，0AOB=12O。，OCBAB,垂足為C,

0c的延長線交回。于點D若刻尸。是AO所對的圓周角，則的度數(shù)是.

D

【答案】30。##30度

【解析】

【分析】

根據(jù)垂徑定理得出a4。8=02。。，進而求出她?！?gt;=60。，再根據(jù)圓周角定理可得她尸。=：

0A00=30°.

【詳解】

0OC13AB,。。為直徑，

^BD^AD，

^S\AOB=SBOD,

國她02=120°,

00AOD=6OO,

回媯尸。=；&4。。=30°,

故答案為：30。.

【點睛】

本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關鍵.

8.（2022?安徽宿州?模擬預測）如圖，。。是RtZXABC的外接圓，ZR4C=90°,ZBAC的平

分線交0。于點。，ZABC的平分線交于點E,連接8。，若0。的直徑是直，則DE

的長為.

D

【答案】1

【解析】

【分析】

連接C。，根據(jù)A。、8E分別平分團BAC和0ABC,結合圓周角定理和三角形外角性質，得出

ZDBE=ZBED,根據(jù)直徑所對的圓周角為90。，結合8O=CO,BC=y[l，利用勾股定理,

求出身T=],即可求出==I.

【詳解】

解：連接。，如圖所示：

EIAD平分I3BAC,

fflBA￡)=0CA￡),

@BD=CD，

SBD=CD,NCBD=NCAD=NBAD,

回BC為直徑，且8C=0,

aasz)c=90°,

EB￡>2+￡>C2=BC2=(A/2)2=2,

0B￡>2=1，

0BD=1,

IBBE平分她BC,

,SBABE^CBE,

0ZDBE=ZCBD+ZCBE,ZBED=ZABE+ZBAD,

SZDBE=ZBED,

^\DE=BD=1.

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查了角平分線的定義，圓周角定理，三角形外角的性質，等腰三角形的判定，勾

股定理，作出輔助線，根據(jù)題意證明皿汨=/曲，是解題的關鍵.

9.(2022?陜西咸陽?九年級期中)如圖，在菱形A3。中，BC=6,ZC=120°,點E是射

線CD上一點，連接BE,點尸在BE上，連接AP,若NBAP=NCBE,則AlBP面積的最

大值為.

【答案】3石

【解析】

【分析】

若要使ZVIBP的面積最大，底A3固定，故只要邊上的高最大時，即三角形面積最大；

可證ZAPB=120°,故可知點尸在“尸8的外接圓的劣弧AB上，當點尸在劣弧4B的中點處，

△APB的面積最大，求出邊上的高即可求解.

【詳解】

解：回四邊形ABC。是菱形，

a48=BC=6,ABHCD,

0ZABC+ZBC￡>=18OO,

0ZC=120°,

13ZABC=60°,gpZABP+ZPBC=60°,

⑦NBAP=NCBE,

0ZABP+ZBAP=6O°,

aZAPB=180°-(ZABP+/BAP)=180°-60°=120°,

團點尸在在0APB的外接圓上，

若要使AWP的面積最大，底AB固定，ZAPS=120°,故只要48邊上的高最大時，即三

角形面積最大；此時點P在劣弧A8的中點處，如圖，

設點。為的外接圓的圓心，。國48于點死

0AF=-AB=3,ZAPF=-ZAPB=60°,

22

BlZPAF=30°,

由勾股定理得，AF2+PF2=AP2

E32+PF2=4PF2

0PF=V3

國^AAPB=；ABgPF=；x6xy/3=3A/3

即尸面積的最大值為36.

故答案為：3百.

【點睛】

本題考查了菱形的性質，三角形的面積公式，解直角三角形，垂徑定理等知識，正確作出輔

助圓，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

10.（2022?陜西?西安工業(yè)大學附中三模）如圖，在四邊形ABC。中，AB=S,BC=6,0B=6O°,

回C=120。，點。、E分別是A3、CO的中點，。砸BC于點打，點尸是邊BC上的一點，連接

OP,將△OHP沿著。尸所在直線翻折，點X的對應點為"，當"E取最小值時邊CD的長

為.

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，CD^AB,當。的48時，OE長最短；當0、H、E三點共線時，"E取得最小值,

過點C作0W2于點R利用含30度角的直角三角形的性質即可求解.

【詳解】

解：038=60°,EC=120°,0CDEL4B,

國當。EL4B時，OE長最短；

根據(jù)折疊的性質，0H=0H，,

國點H'在以。為圓心，OH為半徑的一段弧上，

當O、H'、E三點共線時，"E取得最小值，如圖，

過點。作于點R

回四邊形OEC尸為矩形，

^\OF=CE,

團團3=60°,BC=6f

^\BF=—BC=3,

2

國點。是AB的中點，且AB=8,

回。8=4,

SCE=OF=1,

回點E是C￡>的中點，

團C￡)=2,

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了折疊的性質，含30度角的直角三角形的性質，圓的相關概念，矩形的判定和性

質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

三、解答題

11.(2022?廣東?中考真題)如圖，四邊形ABC。內接于0O,AC為。。的直徑，

ZADB=ACDB.

B

⑴試判斷AABC的形狀，并給出證明；

⑵若AB=6,,AD=1,求8的長度.

【答案】⑴0ABe是等腰直角三角形；證明見解析；

⑵6；

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)圓周角定理可得a42C=90。，由M￡>8=EICr啰根據(jù)等弧對等角可得0ACB=EIC4B,即

可證明；

(2)R煙ABC中由勾股定理可得AC,R/HADC中由勾股定理求得CZ)即可；

(1)

證明：0AC是圓的直徑，則a48c=0AZ)C=9O。,

^EADB=^\CDB,SADB=^iACB,0CDB=0CAB,

E0ACB=EC4B,

團0ABe是等腰直角三角形；

(2)

解：團0ABC是等腰直角三角形，

^\BC=AB=y/2,

^AC=y/AB2+BC2=2>

Rt^ADC中,^ADC=90°,AD=1,貝UCD=7AC2-AD2=73，

13c￡)=G

【點睛】

本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識；掌握等弧對等角

是解題關鍵.

12.(2022?遼寧沈陽?二模)如圖，四邊形A8CD內接于回。，。是弧AC的中點，延長BC到

點、E,使CE=AB,連接BD,ED.

⑴求證：BD=ED-,

⑵若NABC=6O。，AD=5,回。的直徑長為.

【答案】⑴見解析

⑵1。

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)同弧所對的弦相等可得A￡?=CZ),再由圓內接四邊形的性質得到0A=EIDCE,證明

^ABIXECED,根據(jù)全等三角形的性質，即可證明結論；

(2)連接OA,OD,根據(jù)圓周角定理，可得0AOD=6O。，根據(jù)等邊三角形的判定定理可得0AO。

是等邊三角形，故半徑為5,即可求得直徑.

(1)

證明：回。是弧AC的中點，

^AD=CD，

0AD=CZ),

回四邊形A8CD內接于回。，

BSA^DCE,

在EA8￡)和EICEZ)中，

AB=CE

<ZA=ZDCE,

AD=CD

00ABD00CED(SAS),

BBD=ED.

⑵

解：連接04,OD,如圖,

ao是弧AC的中點,

AD=CD>

SEABD=SCBD=-ZABC=1x60°=30°,

22

fflAOD=20A2￡）=2x3O°=6O°,

SOA=OD,

aaxoo是等邊三角形，

國半徑0A=AD^5,

團直徑長=10.

故答案為：10.

【點睛】

本題考查的是圓內接四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、同弧所對的弦相等、圓周角

定理、等邊三角形的判定與性質.

13.（2021?江蘇?揚州市江都區(qū)雙溝中學一模）如圖，四邊形4BCD內接于回。，AB=AC,BD

交AC于點E,延長A。，BC交于點F,且CF=AC.

BC

⑴求證回C￡）=A。；

（2）若4。=如，AB=2網(wǎng),求尸。的長.

【答案】⑴見解析；

⑵至

3

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質可得國。4尸=回產(chǎn)，再由圓周角定理即可證明；

（2）過點C作CG1A產(chǎn)于點G,根據(jù)等腰三角形的性質可得AG=FG,然后根據(jù)勾股定理列

出方程求解即可.

⑴

證明：SAB=AC,

00ABC=0ACB,

^1CF=AC,

團團CA戶二團兄

^\ACB=^CAF+^F=2^\CAD,

^\ABC=^\ABD^CBD=^ACD^CAD,

團2R1CA。=團ACD+團CA。，

團團CA。=R1ACD,

^\CD=AD；

⑵

如圖，過點C作CG14產(chǎn)于點G,

SAC=CF=AB=2y/2,

0AG=PG,

在RfAACG中，根據(jù)勾股定理可得:

AC2=AG2+CG2,

在RAOCG中，根據(jù)勾股定理可得:

DC2=DG2+CG2,

ElAC--DC'=AG2-DG2,

由(1)知：CD=AD=6,

0AG=AD+￡)G=也+DG,

08-3=(A/3+DG)2-DG2,

解得：DG=—,

3

BAG^^3+DG=^-=FG,

3

SFD=FG+DG=—,

3

SED的長為逑.

3

【點睛】

題目主要考查等腰三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理等知識點，熟練運用這些知

識點是解題關鍵.

14.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學校九年級學業(yè)考試)如圖，AB.8為。。的弦，

A3與8相交于點E,AD=BC-

(2)如圖2,點尸在BC上，連接￡>尸、AD,若。尸為直徑，ABLCD,求證：NAD尸=45。；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CF、BF,BF>CF,若DE=8,的面積為6,

求的長.

【答案】⑴證明過程見解析

(2)證明過程見解析

(3)10