2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)模型及其應(yīng)用（學(xué)生版+解析）

第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2024上?廣東深圳?高一校考期末）地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)

加之間的關(guān)系為：lgE=4.8+L5M.2008年5月12日，我國(guó)汶川發(fā)生了里氏8.0級(jí)地震，它

所釋放出來(lái)的能量是2023年12月18日甘肅積石山發(fā)生的里氏6.2級(jí)地震的多少倍?（參考：

10。9a8）（）

A.64B.256C.512D.1024

2.（2024上?寧夏石嘴山?高一統(tǒng)考期末）根據(jù)下表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，下列所給函數(shù)模型比較適合

的是（）

Xi234

y14202943

A.y=-+b（t>0）B.y=d-\ogx+s（d>0,r>1）

Xr

C.y=max+n（m>0,（7>1）D.y=kx+b（k>0）

3.（2024上?廣西柳州?高一鹿寨縣鹿寨中學(xué)校聯(lián)考期末）加快縣域范圍內(nèi)農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市

名化，是“十四五〃期間我國(guó)城鎮(zhèn)化和城市化戰(zhàn)略的實(shí)踐重點(diǎn).某高二數(shù)學(xué)興趣小組，通過(guò)查

找歷年數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本縣城區(qū)常住人口每年大約以5%的增長(zhǎng)率遞增，若要據(jù)此預(yù)測(cè)該縣城區(qū)

若干年后的常住人口，則在建立模型階段，該小組可以選擇的函數(shù)模型為（）

A.f^x）=ax+b

B./（x）=。?A"+c（a"0,人>。且人。1）

C./（x）=tz-x2+bx+c（aw。）

D./（犬）=a?log/+c（aw0,/?>。且Awl）

4.（2024上?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）碳14是碳元素的一種同位素，具有放射性.活體

生物其體內(nèi)的碳14含量大致不變,當(dāng)生物死亡后，其組織內(nèi)的碳14開(kāi)始衰變并逐漸消失.已

t

知碳14的半衰期為5730年，即生物死亡/年后，碳14所剩質(zhì)量c（0=C。（：［兩，其中C。為

活體組織中碳14的質(zhì)量.科學(xué)家一般利用碳14這一特性測(cè)定生物死亡年代，2023年科學(xué)

家發(fā)現(xiàn)某生物遺體中碳14含量約為原始質(zhì)量的0.4倍，依據(jù)計(jì)算結(jié)果可推斷該生物死亡的

時(shí)間約為公元前（參考數(shù)據(jù)：1g2?0.3010）

A.5554年B.5546年C.7576年D.7577年

5.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根

據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計(jì)算公式

為q=Ky/lOP和保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量N計(jì)算公式為N=?二匕計(jì)算確定，其中尸為水霧

q

噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S

為保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積，卬為保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度（單位：L/min.m2）.水霧噴頭的

布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對(duì)象，如不能滿足要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量.當(dāng)

水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積

S為14m2,保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度卬為20L/min.m2時(shí)，保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約

為（參考數(shù)據(jù)：-1.87）（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

6.（2024上?福建龍巖?高一校聯(lián)考期末）美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德?皮爾提出一

種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生長(zhǎng)曲線，稱(chēng)為"皮爾曲線"，常用的"皮爾曲線”的函數(shù)解析

p3

式可以簡(jiǎn)化為/（幻二^—有（P>0,a>l,左<0）的形式.已知/㈤二丁中?（尤eN）描述的是

一種植物的高度隨著時(shí)間x（單位：年）變化的規(guī)律.若剛栽種時(shí)該植物的高為1米，經(jīng)過(guò)

一年，該植物的高為L(zhǎng)5米，要讓該植物的高度超過(guò)2.8米，至少需要（）年.

A.3B.4C.5D.6

7.（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）中國(guó)茶文化博大精深，

茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水溫經(jīng)有關(guān)研究可知:在室溫25℃下，某種綠茶用85℃的水泡制，

經(jīng)過(guò)尤min后茶水的溫度為,且y=心Q9085'+25（x20/eR）,當(dāng)茶水溫度降至70℃時(shí)，

此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（）（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln2?0.6931,ln3?1.0986,

In0.9085?-0.0960）.

A.2minB.3minC.4minD.5min

8.（2024上?浙江金華?高一統(tǒng)考期末）某種廢氣需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的過(guò)濾程序，使污染物含量

不超過(guò)20%后才能排放.過(guò)濾過(guò)程中廢棄的污染物含量。（單位：mg/L）與時(shí)間r（單位：

h）之間的關(guān)系為。=。。片，其中。。是原有廢氣的污染物含量（單位：mg/L）,左是正常

數(shù).若在前4h消除了20%的污染物，那么要達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)至少經(jīng)過(guò)（答案取整數(shù)）（）

參考數(shù)據(jù)：ln0.2*—1.609,ln0.8a-0.223,o.84=0.4096,0.86?0.26

A.19hB.29hC.39hD.49h

二、多選題

9.（2024?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）幾名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過(guò)調(diào)研，他們選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品，生

產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤(rùn)p（x）（單位：萬(wàn)元）與每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）有關(guān).當(dāng)

四、解答題

13.（2024下?河北?高一河北鄭口中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）人們對(duì)聲音有不同的感覺(jué)，這與它的

強(qiáng)度有關(guān)系.聲音的強(qiáng)度/用瓦/平方米表示，但在實(shí)際測(cè)量時(shí)，常用聲音的強(qiáng)度水平乙表

示，它們滿足公式L=i°ig：（單位為分貝，A>0,其中/。=1X10上,這是人們平均能聽(tīng)

到的聲音的最小強(qiáng)度，是聽(tīng)覺(jué)的開(kāi)端）.

（1）手表指針轉(zhuǎn)動(dòng)的聲音強(qiáng)度是IxlOTw/mh耳語(yǔ)的強(qiáng)度是lxl（）T°W/m2,靜音電風(fēng)扇的強(qiáng)

度是IxlOfw/n?,試分別求出它們的強(qiáng)度水平；

⑵某品牌轎車(chē)在安全行車(chē)速度內(nèi)能保證車(chē)內(nèi)噪音的強(qiáng)度水平保持在60分貝以下，試求其聲

音強(qiáng)度/的范圍.

14.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）中國(guó)信通院近期公布的最新數(shù)據(jù)顯示，2023年9

月，國(guó)內(nèi)手機(jī)出貨量同比增長(zhǎng)近六成，多個(gè)市場(chǎng)咨詢(xún)報(bào)告也顯示，國(guó)內(nèi)手機(jī)市場(chǎng)在逐漸回

暖.新一波"換機(jī)潮”即將到來(lái)，主要原因是今年秋季多個(gè)市場(chǎng)品牌發(fā)布旗艦機(jī)型，受到不少

消費(fèi)者的青睞，市場(chǎng)大賣(mài).某手機(jī)生產(chǎn)廠家看到了商機(jī)，為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃

2024年利用更先進(jìn)的技術(shù)生產(chǎn)某款高端手機(jī)，通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固

定成本360萬(wàn)元，預(yù)售價(jià)每鄢1.5萬(wàn)元，且最多生產(chǎn)8萬(wàn)鄢，若每生產(chǎn)X干鄢手機(jī)，需另投

20.x2+300%,0<尤<40,

入成本H（x）萬(wàn)元，//（%）=9600_“（全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷(xiāo)售

1200%+----,40<x<80.

完）

⑴求2024年的利潤(rùn)W（%）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成

本）

⑵2024年此款手機(jī)產(chǎn)量為多少部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

B能力提升

1.（2024上?湖北荊門(mén)?高一統(tǒng)考期末）環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車(chē)正成為人們購(gòu)車(chē)的

熱門(mén)選擇.某型號(hào)電動(dòng)汽車(chē),在一段平坦的國(guó)道進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速60km/h.經(jīng)多次測(cè)試得到,

該汽車(chē)每小時(shí)耗電量加（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的下列數(shù)據(jù):

V0104060

M0132544007200

為了描述國(guó)道上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:

M(v\=-v3+bv2+cv,"3)=1000+Q,=3001ogv+b.

v740a

⑴當(dāng)0WvW60時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)

解析式;

⑵現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車(chē)從A地駛到8地，前一段是40km的國(guó)道，后一段是50km的高速路,

若已知高速路上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量N（單位：Wh）與速度的關(guān)系是：

A^（V）=V2-60V+6400（60<V<120）,則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？

2.（2024上?安徽淮南?高一深圳市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩個(gè)課外興趣小組分別對(duì)

本地某一蔬菜交易市場(chǎng)的一種蔬菜價(jià)格進(jìn)行追蹤.

（1）甲小組得出該種菰菜在1-8月份的價(jià)格P（元/kg）與月份/近似滿足關(guān)系尸=8-*-4|,

月交易是Q（單位：噸）與月份f近似滿足關(guān)系。=-3001+9000,求月交易額y（萬(wàn)元）與

月份/的函數(shù)關(guān)系式.并估計(jì)1-8月份中第幾個(gè)月的月交易額最大；

⑵乙小組通過(guò)追蹤得到該種疏菜上市初期和后期因供不應(yīng)求使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中

期又出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌.現(xiàn)有三種函數(shù)模擬價(jià)格/（X）（單位：元/kg）與月價(jià)尤

之間的函數(shù)關(guān)系：①（a>0,且a彳:1）；②〃司=1+法+。；③

/（x）=Acos—x+B.

①為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)?并說(shuō)明理由；

②若"4）=8,48）=4,求出所選函數(shù)/（X）的解析式（注：函數(shù)的定義域是［1,川，其中

x=l表示1月份，x=2表示2月份，…，以此類(lèi)推），并估計(jì)價(jià)格在5元/kg以下的月份有

幾個(gè).

3.（2024上?安徽安慶?高一統(tǒng)考期末）茶是中華民族的舉國(guó)之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞?dòng)隰斨芄?/p>

始于唐朝，興于宋代，中國(guó)茶文化起源久遠(yuǎn)，歷史悠久，文化底蘊(yùn)深厚，是我國(guó)文化中的一

朵奇葩！我國(guó)人民歷來(lái)就有“客來(lái)敬茶”的習(xí)慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌.立德

中學(xué)利用課余時(shí)間開(kāi)設(shè)了活動(dòng)探究課《中國(guó)茶文化》，小明同學(xué)用沸水泡了一杯茶，泡好后

置于室內(nèi)，開(kāi)始時(shí)測(cè)得這杯茶的溫度為100℃,經(jīng)過(guò)1分鐘測(cè)得其溫度變?yōu)?0℃,再經(jīng)過(guò)1

分鐘測(cè)得其溫度變?yōu)?5℃.小明想利用上述數(shù)據(jù)建立這杯茶的溫度y（單位：℃）隨經(jīng)過(guò)的

時(shí)間f（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，選用了兩種函數(shù)模型：

@y=a-b'+c（a,b,c為常數(shù)，。片0,6>0且匕wl）；

@y=pt2+qt+r（0，4/為常數(shù)，pwO）.

（1）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算幫小明同學(xué)選出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；

⑵現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度不要超過(guò)60℃,請(qǐng)利用（1）中選出的模型該杯茶泡好后到

適宜飲用至少需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：但2。0.30,但3。0.48）

4.（2024上?福建三明?高一統(tǒng)考期末）某地區(qū)不同身高x（cm）未成年男性體重平均值y（kg）

如下表：

身高x(cm)8090100110120130140150160170

體重y(kg)10121517202731455067

y

70

60

50

40根據(jù)表中數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖，為了能近似地反映該

30

20

叫...

0708090100110120130140150160170%

地區(qū)未成年男性平均體重y（kg）與身高尤（cm）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型提供選擇：

x32

（1）y=ab+c,（2）y=-x+ax+bx+c,（3）y=k\ogax+b

⑴你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型是哪個(gè)（說(shuō)明理由）？并利用（80,10）,（120,20）,（160,50）

這三組數(shù)據(jù)求出此函數(shù)模型的解析式；

⑵若某男性體重超過(guò)同一地區(qū)相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦,

那么該地區(qū)一名身高為164cm,體重為62kg的未成年男性的體重是否正常？

（參考數(shù)據(jù)：吆3。10炮1.1）

第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2024上?廣東深圳?高一?？计谀┑卣饡r(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)

”之間的關(guān)系為：lgE=4.8+L5M.2008年5月12日，我國(guó)汶川發(fā)生了里氏8.0級(jí)地震，它

所釋放出來(lái)的能量是2023年12月18日甘肅積石山發(fā)生的里氏6.2級(jí)地震的多少倍?（參考：

1O09~8）（）

A.64B.256C.512D.1024

【答案】C

【分析】先表示出能量和地震里氏震級(jí)的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

【詳解］由1gE=4.8+L5M可得E=104-8+L5M,

里氏8.0級(jí)地震釋放的能量為&,里氏6.2級(jí)地震釋放的能量為七=1?！?⑶62,

1「4.8+1.5x8

A(1O09)3=512.

故選：C.

2.（2024上?寧夏石嘴山?高一統(tǒng)考期末）根據(jù)下表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，下列所給函數(shù)模型比較適合

的是（）

X1234

y14202943

A.-+b(t>0)B.y=d-logx+>0,r>1)

Xr

C.y=m-a'+n(m>0,a>1)D.y=kx+b(k>0)

【答案】C

【分析】利用一次函數(shù)指對(duì)函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷即可

【詳解】由圖表可知：隨x增大y增大，且增長(zhǎng)越來(lái)越快，故排除A,B,D.

故選：C

3.（2024上?廣西柳州?高一鹿寨縣鹿寨中學(xué)校聯(lián)考期末）加快縣域范圍內(nèi)農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市

名化，是“十四五"期間我國(guó)城鎮(zhèn)化和城市化戰(zhàn)略的實(shí)踐重點(diǎn).某高二數(shù)學(xué)興趣小組，通過(guò)查

找歷年數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本縣城區(qū)常住人口每年大約以5%的增長(zhǎng)率遞增，若要據(jù)此預(yù)測(cè)該縣城區(qū)

若干年后的常住人口，則在建立模型階段，該小組可以選擇的函數(shù)模型為（）

A./（無(wú)）=ox+b

B.f（x）=a-bx+c（a

C./（x）=6z-x2+/?X+C（6Z^0）

D./（x）=a'\ogbx+c{a0,b>0^.ft*1）

【答案】B

【分析】由題意可得該縣區(qū)城區(qū)常住人口y與年份x的函數(shù)關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)，即可得解.

【詳解】由題意可知，該縣城區(qū)常住人口每年大約以5%的增長(zhǎng)率遞增，

則該縣區(qū)城區(qū)常住人口y與年份x的函數(shù)關(guān)系為指數(shù)型函數(shù).

故選：B.

4.（2024上?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）碳14是碳元素的一種同位素，具有放射性.活體

生物其體內(nèi)的碳14含量大致不變,當(dāng)生物死亡后，其組織內(nèi)的碳14開(kāi)始衰變并逐漸消失.已

t

知碳14的半衰期為5730年，即生物死亡f年后，碳14所剩質(zhì)量=而，其中C。為

活體組織中碳14的質(zhì)量.科學(xué)家一般利用碳14這一特性測(cè)定生物死亡年代，2023年科學(xué)

家發(fā)現(xiàn)某生物遺體中碳14含量約為原始質(zhì)量的。4倍，依據(jù)計(jì)算結(jié)果可推斷該生物死亡的

時(shí)間約為公元前（參考數(shù)據(jù)：1g2?0.3010）

A.5554年B.5546年C.7576年D.7577年

【答案】A

【分析】根據(jù)已知代入數(shù)據(jù)，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算式化簡(jiǎn)運(yùn)算.

t

【詳解】由題意知c。已產(chǎn)=0.4C。，所以焉lg；=lg3,

05730210

1一年21-2x0.3010…

所以/=5730x----?5730x-----------?7577,

1g20.3010

所以可推斷該生物死亡的時(shí)間約為公元前7577-2023=5554年，

故選：A.

5.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根

據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計(jì)算公式

QTT7

為q=Ky/10P和保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量N計(jì)算公式為N=一計(jì)算確定，其中p為水霧

q

噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S

為保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積，W為保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度（單位：L/min-m2）.水霧噴頭的

布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對(duì)象，如不能滿足要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量.當(dāng)

水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積

S為14m2,保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度w為20L/min.m2時(shí)，保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約

為（參考數(shù)據(jù)：735-1.87）（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【答案】C

【分析】把給定的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可作答.

【詳解】依題意，P=0.35MPa,K=24.96,S=14n?,W=20L/min-m2,

S-W14x20~280

由4=長(zhǎng)。102，N=------

qKy/lOP~24.96x7^5~24.96x1.87

所以保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約為6個(gè).

故選:C

6.（2024上?福建龍巖?高一校聯(lián)考期末）美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德?皮爾提出一

種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生長(zhǎng)曲線，稱(chēng)為"皮爾曲線"，常用的"皮爾曲線”的函數(shù)解析

P3

式可以簡(jiǎn)化為八萬(wàn)）==（尸＞。,"1水＜。）的形式.已知Ax）=k（xeN）描述的是

一種植物的高度隨著時(shí)間x（單位：年）變化的規(guī)律.若剛栽種時(shí)該植物的高為1米，經(jīng)過(guò)

一年，該植物的高為L(zhǎng)5米，要讓該植物的高度超過(guò)2.8米，至少需要（）年.

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

7(o)=i

【分析】由題設(shè)有《,即可求參數(shù)b、k的值，進(jìn)而判斷了（x）的單調(diào)性且

/(1)=1.5

/（4）＜2.8＜/（5）,即可判斷植物的高度超過(guò)2.8m至少需要多少年.

A=1

〃。)=1b=l

【詳解】依題意可得則1+;，解得

/(1)=1-5k=一\'

——rv=l.5

[l+2Ui

3

/（x）=----------,

八1+2”

因?yàn)椋?1+2一1在定義域[0,+8）上單調(diào)遞減，且1+2一向＞0,又y在（0,+動(dòng)上單調(diào)遞減,

所以/（X）在?+◎上單調(diào)遞增，而〃5）=鼻若＞2.8,〃4）=:[＜2.8,

即〃4）＜2.8＜八5）,

,該植物的高度超過(guò)2.8m,至少需要5年.

故選：C.

7.（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）中國(guó)茶文化博大精深,

茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水溫經(jīng)有關(guān)研究可知:在室溫25℃下，某種綠茶用85℃的水泡制,

經(jīng)過(guò)xmin后茶水的溫度為y°C,且y=公0.9085*+25（x20,左eR）,當(dāng)茶水溫度降至70°（1時(shí)，

此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（）（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：In2?0.6931,In3^1.0986,

In0.9085?-0.0960）.

A.2minB.3minC.4minD.5min

【答案】B

【分析】當(dāng)x=0時(shí)，求得左=60,當(dāng)y=70時(shí)，求出x值.

【詳解】當(dāng)％=0時(shí)，心0.90850+25=85,則左二60,

3

令y=60?0.9085x+25=70,/.0.9085]=—,

4

3

xln0.9085=ln—=ln3-21n2,解得九.

4

故選：B

8.（2024上?浙江金華?高一統(tǒng)考期末）某種廢氣需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的過(guò)濾程序，使污染物含量

不超過(guò)20%后才能排放.過(guò)濾過(guò)程中廢棄的污染物含量。（單位：mg/L）與時(shí)間〃（單位：

h）之間的關(guān)系為Q=其中。。是原有廢氣的污染物含量（單位：mg/L）,左是正常

數(shù).若在前4h消除了20%的污染物，那么要達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)至少經(jīng)過(guò)（答案取整數(shù)）（）

參考數(shù)據(jù)：In0.2?-1.609,ln0.8y-0.223,0.84=0.4096,0.86?0.26

A.19hB.29hC.39hD.49h

【答案】B

【分析】根據(jù)題意列出方程和不等式即可求解.

【詳解】由題有（1-20%）a=Q0e4,設(shè)t小時(shí)后污染物含量不超過(guò)20%,

則。產(chǎn)"420%。。，解得此28.8,即至少經(jīng)過(guò)29小時(shí)能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).

故選：B.

二、多選題

9.（2024?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）幾名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過(guò)調(diào)研，他們選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品，生

產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤(rùn)p（x）（單位：萬(wàn)元）與每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)無(wú)（單位：萬(wàn)元）有關(guān).當(dāng)

每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于16萬(wàn)元時(shí)，。（尤）=-：/+6》-20,研發(fā)利潤(rùn)率

y=2⑷xlOO%.他們現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)9萬(wàn)元，則下列判斷正確的是（）

X

A.投入9萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)可以獲得最大利潤(rùn)率

B.要再投入6萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大月利潤(rùn)

C.要想獲得最大利潤(rùn)率，還需要再投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)1萬(wàn)元

D.要想獲得最大月利潤(rùn)，還需要再投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)1萬(wàn)元

【答案】BC

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可判斷最大月利潤(rùn)，再根據(jù)基本不等式可判斷最大利潤(rùn)率.

11

【詳解】由。（無(wú)）=一二丁+6x-20=-《"-15『9+25,所以當(dāng)投入15萬(wàn)元時(shí)，月利潤(rùn)最大，

所以需再投入6萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)，B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

研發(fā)利潤(rùn)率>=^^*100%=_1尤+6_也=_（2+衛(wèi)]+6,

x5xy5xJ

又M型22口型=4,當(dāng)且僅當(dāng):=也，即x=10時(shí)，利潤(rùn)率最大，所以需再投入研發(fā)

5xV5x5x

經(jīng)費(fèi)1萬(wàn)元，可獲得最大利潤(rùn)率，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；

故選：BC.

10.（2024?河南鄭州?統(tǒng)考一模）溶液酸堿度是通過(guò)pH來(lái)計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為

pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.例如純凈水中氫離

子的濃度為HF?摩爾/升，則純凈水的pH是7.當(dāng)pH<7時(shí)，溶液呈酸性，當(dāng)pH>7時(shí)，溶

液呈堿性，當(dāng)pH=7（例如：純凈水）時(shí)，溶液呈中性.我國(guó)規(guī)定飲用水的pH值在6.5-8.5

之間，則下列選項(xiàng)正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：取坨2。0.3）

A.若蘇打水的pH是8,則蘇打水中的氫離子濃度為10苴摩爾/升

B.若胃酸中氫離子的濃度為2.5x10-2摩爾/升，則胃酸的pH是1.6

C.若海水的氫離子濃度是純凈水的10%倍，則海水的pH是8.6

D.若某種水中氫離子的濃度為4x10-摩爾/升，則該種水適合飲用

【答案】ABC

【分析】利用PH的計(jì)算公式pH=-lg[H+]可得A正確，將溶液中氫離子的濃度代入計(jì)算式

利用參考數(shù)據(jù)可分別求得選項(xiàng)BCD的pH值，可得結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A,若蘇打水的pH是8,即pH=-lg[H+]=8,所以[H+]=10-8,

即蘇打水中的氫離子濃度為IO-'摩爾/升，所以A正確；

對(duì)于B,若胃酸中氫離子的濃度為2.5x10-2摩爾/升，則

pH=-lg（2.5xl0-2）=-lg2.5-lgl0-2=2-（lgl0-lg4）=l+21g2?1.6,即B正確；

對(duì)于C,若海水的氫離子濃度是純凈水的10-6倍，則海水的氫離子濃度是10-L6.10-7=10.8.6,

因此pH=TglO-8.6=8.6,即海水的pH是8.6,所以C正確；

對(duì)于D,若某種水中氫離子的濃度為4x10-7摩爾/升，則

pH=-lg（4xlO_7）=-lg4-lglO7=7-21g2?6.4；

而6.4不在6.5-8.5范圍內(nèi)，即可得該種水不適合飲用，即D錯(cuò)誤;

故選：ABC

三、填空題

11.（2024上?江蘇無(wú)錫?高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）某殺菌劑每噴灑一次就能殺死某物

質(zhì)上的細(xì)菌的80%,要使該物質(zhì)上的細(xì)菌少于原來(lái)的0.1%,則至少要噴灑次

.（lg2~0.3010）

【答案】5

【分析】可設(shè)噴灑x次，根據(jù)題意可得出了>/7,代入Ig2即可求出x>5,從而得出答

l-lg2

案.

【詳解】設(shè)噴灑x次，則:（1-0.8）"<0.1%=10-\

xlg0.2<-3,

且lg2a0.301。，

.-.x>5,即至少?lài)姙?次.

故答案為：5.

12.（2024上?廣東佛山?高一統(tǒng)考期末）表觀活化能的概念最早是針對(duì)Arrhenius（阿倫尼烏

斯）公式上=檢得中的參量紇提出的，是通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求得，又叫實(shí)驗(yàn)活化能，Arrhenius

公式中的％為反應(yīng)速率常數(shù)，尺為摩爾氣體常量，T為熱力學(xué)溫度（單位為開(kāi)爾文，簡(jiǎn)稱(chēng)開(kāi)），

A（A>0）為阿倫尼烏斯常數(shù).已知某化學(xué)反應(yīng)的溫度每增加10開(kāi)，反應(yīng)速率常數(shù)k變?yōu)樵瓉?lái)

的2倍，則當(dāng)溫度從300開(kāi)上升到400開(kāi)時(shí)，與=.（參考數(shù)據(jù)：ln2a0.7）

【答案】8400

【分析】由左=檢嚕，結(jié)合某化學(xué)反應(yīng)的溫度每增加1。開(kāi)，反應(yīng)速率常數(shù)左變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，

得到溫度從300開(kāi)上升到400開(kāi)時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)上變?yōu)樵瓉?lái)的2"倍，列式計(jì)算，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，溫度每增加10開(kāi)，反應(yīng)速率常數(shù)左變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，

則當(dāng)溫度從300開(kāi)上升到400開(kāi)時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)上變?yōu)?00開(kāi)時(shí)的21°倍，

由％=Ae前，

當(dāng)T=300開(kāi)，攵］=4』破，

當(dāng)T=400開(kāi)，左2=入屋嬴，

Eg

V400/?

所以8=生==，。,

ka

1Ae300R

Ea%

-10

e300/?400/?_2

300400.

Eg

10

e1200/?_2

9=12000In2?12000x0.7=8400,

R

故答案為：8400.

四、解答題

13.（2024下?河北?高一河北鄭口中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）人們對(duì)聲音有不同的感覺(jué)，這與它的

強(qiáng)度有關(guān)系.聲音的強(qiáng)度/用瓦/平方米表示，但在實(shí)際測(cè)量時(shí)，常用聲音的強(qiáng)度水平乃表

示，它們滿足公式乙=101g：（單位為分貝，A>0,其中/。=1x10-2,這是人們平均能聽(tīng)

到的聲音的最小強(qiáng)度，是聽(tīng)覺(jué)的開(kāi)端）.

（1）手表指針轉(zhuǎn)動(dòng)的聲音強(qiáng)度是IxlO-uw/n?,耳語(yǔ)的強(qiáng)度是1x10-°W/n?,靜音電風(fēng)扇的強(qiáng)

度是IxlOfw/n?,試分別求出它們的強(qiáng)度水平；

（2）某品牌轎車(chē)在安全行車(chē)速度內(nèi)能保證車(chē)內(nèi)噪音的強(qiáng)度水平保持在60分貝以下，試求其聲

音強(qiáng)度/的范圍.

【答案】（1）10分貝，20分貝，40分貝

⑵[1x10-2,1x10-6）

【分析】（1）根據(jù)聲音的強(qiáng)度水平乙與聲音的強(qiáng)度/之間的關(guān)系式，代入求值，即得答案；

（2）根據(jù)聲音的強(qiáng)度水平人與聲音的強(qiáng)度/之間的關(guān)系式，列出不等式，即可求得答案.

【詳解】（1）由題意得手表指針轉(zhuǎn)動(dòng)的聲音強(qiáng)度是IxlOTW/n?,

1xin-11

則其強(qiáng)度水平為10/三》=10炮10=10（分貝），

11f）-10

耳語(yǔ)的強(qiáng)度是lxl（）T°W/m2,則其強(qiáng)度水平為101g爆x石=10炮10。=20（分貝），

1x1n-8

靜音電風(fēng)扇的強(qiáng)度是1x10-8w/n?,則其強(qiáng)度水平為101g詼氤=101gl0000=40（分貝）；

（2）由題意可知某品牌轎車(chē)在安全行車(chē)速度內(nèi)能保證車(chē)內(nèi)噪音的強(qiáng)度水平保持在60分貝以

下，

即0V/i<60,即04101g了<60,

I。

故貝I1x10-2v/<1*10-6,

I。

故該品牌轎車(chē)聲音強(qiáng)度/的范圍為口義1。*,1X10-6）.

14.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）中國(guó)信通院近期公布的最新數(shù)據(jù)顯示，2023年9

月，國(guó)內(nèi)手機(jī)出貨量同比增長(zhǎng)近六成，多個(gè)市場(chǎng)咨詢(xún)報(bào)告也顯示，國(guó)內(nèi)手機(jī)市場(chǎng)在逐漸回

暖.新一波"換機(jī)潮”即將到來(lái)，主要原因是今年秋季多個(gè)市場(chǎng)品牌發(fā)布旗艦機(jī)型，受到不少

消費(fèi)者的青睞，市場(chǎng)大賣(mài).某手機(jī)生產(chǎn)廠家看到了商機(jī)，為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃

2024年利用更先進(jìn)的技術(shù)生產(chǎn)某款高端手機(jī)，通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固

定成本360萬(wàn)元，預(yù)售價(jià)每郎1.5萬(wàn)元，且最多生產(chǎn)8萬(wàn)即，若每生產(chǎn)了干即手機(jī)，需另投

20.x2+300%,0<無(wú)<40,

入成本H（x）萬(wàn)元，//（%）=9600（全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷(xiāo)售

1200%H-----,40<x<80.

完）

⑴求2024年的利潤(rùn)W（%）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量尤（千部）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成

本）

（2）2024年此款手機(jī)產(chǎn)量為多少部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

-20彳2+1200尤—360,0<x<40.

【答案】（1）卬（無(wú)）=19600

300%-------360,40<x<80.

一x

（2）此款手機(jī)產(chǎn)量為8萬(wàn)部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是23520萬(wàn)元

【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)與銷(xiāo)售額、成本的關(guān)系列出解析式，代入分段函數(shù)，即得利潤(rùn)W（%）

的函數(shù)關(guān)系式；

(2)就(1)中得到的利潤(rùn)W(X)的分段函數(shù)式，分段求出每段函數(shù)的最大值，進(jìn)行比較后

即得.

【詳解】(1)當(dāng)0<x<40時(shí)，

W(x)=1500.x-(20x2+300x)-360=-20x2+1200%-360；

當(dāng)40Wx480時(shí).W(x)=1500x1200.r+"四|-360=300x-奧巴-360,

\X)X

-20%2+1200x—360,0<x<40.

所以W(x)=19600

'7300x-------360,40<x<80.

Lx

(2)當(dāng)0v尤v40時(shí).W(x)=-20x2+1200x-360=-20[(x-30)2-900]-360,

貝ljwa)max=w(3°)=17640(萬(wàn)元)；

當(dāng)40WxW80時(shí).W（X）=300A-96°（）一360單調(diào)遞增，

X

所以WOmax=W（80）=300x80-9600-360=23520（萬(wàn)元）,

80

因?yàn)?3520>17640,

所以2024年此款手機(jī)產(chǎn)量為8萬(wàn)部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是23520萬(wàn)元.

B能力提升

1.（2024上?湖北荊門(mén)?高一統(tǒng)考期末）環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車(chē)正成為人們購(gòu)車(chē)的

熱門(mén)選擇.某型號(hào)電動(dòng)汽車(chē),在一段平坦的國(guó)道進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速60km/h.經(jīng)多次測(cè)試得到,

該汽車(chē)每小時(shí)耗電量加（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的下列數(shù)據(jù)：

V0104060

M0132544007200

為了描述國(guó)道上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：

32

M（v）=-^v+bv+cv,M（v）=100（）H+a,M（v）=3001ogav+fe.

⑴當(dāng)0VvW60時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)

解析式；

⑵現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車(chē)從A地駛到5地，前一段是40km的國(guó)道，后一段是50km的高速路，

若已知高速路上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量N（單位：Wh）與速度的關(guān)系是：

A^（V）=V2-60V+6400（60<V<120）,則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？

32

【答案】⑴選擇M（v）$/+"+”，M（v）=^v-2v+150v

（2）當(dāng)這輛車(chē)在國(guó)道上的行駛速度為40km/h,在高速路上的行駛速度為80km/h時(shí)，該車(chē)從A

地到3地的總耗電量最少，最少為9400Wh.

【分析】（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)選出符合的函數(shù)模型，并利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析

式.

（2）先求得耗電量的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.

【詳解】（1）對(duì)于“（v）=3001og〃v+b,當(dāng)v=0時(shí)，它無(wú)意義，所以不合題意；

對(duì)于M（v）=100（）j）+a,它顯然是個(gè)減函數(shù)，這與M（40）（60）矛盾；

故選擇M（v）=￡y3+.2+cv.

—X103+&102+C-10=1325,

40\Rb=—2N

根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有：，解得，

_X403+Z?-402+C-40=44001c—1'U

140

當(dāng)0WnW60時(shí)，=—V3-2V2+150V.

''40

(2)國(guó)道路段長(zhǎng)為40km,所用時(shí)間為4空0h,所耗電量為：

v

4040/\7

/(v)=一.M(v)=一.(0.025V3-2V2+150V)=V2-80V+6000=(v-40)-+4400,

因?yàn)?WvW60,當(dāng)v=40時(shí)，/(v)min=4400Wh:

高速路段長(zhǎng)為50km,所用時(shí)間為型h,

=--^(v)=--(v2-60v+6400)=50x|v+^^-60

當(dāng)且僅當(dāng)v=二上即v=80時(shí)等號(hào)成立.

V

所以g（%in=g（8°）=5000Wh：

故當(dāng)這輛車(chē)在國(guó)道上的行駛速度為40km/h,在高速路上的行駛速度為80km/h時(shí)，

該車(chē)從A地到8地的總耗電量最少，最少為4400+5000=9400Wh.

2.（2024上?安徽淮南?高一深圳市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩個(gè)課外興趣小組分別對(duì)

本地某一蔬菜交易市場(chǎng)的一種蔬菜價(jià)格進(jìn)行追蹤.

⑴甲小組得出該種蔬菜在1-8月份的價(jià)格產(chǎn)（元/kg）與月份/近似滿足關(guān)系「=8-3-4|,

月交易是。（單位：噸）與月份，近似滿足關(guān)系。=-300/+9000,求月交易額y（萬(wàn)元）與

月份f的函數(shù)關(guān)系式.并估計(jì)1-8月份中第幾個(gè)月的月交易額最大；

（2）乙小組通過(guò)追蹤得到該種疏菜上市初期和后期因供不應(yīng)求使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中

期又出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌.現(xiàn)有三種函數(shù)模擬價(jià)格/（無(wú)）（單位：元/kg）與月價(jià)x

之間的函數(shù)關(guān)系：①（。＞0,且awl）；②f（x）=Y+bx+c；③

/（x）=Acos—x+B.

①為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)?并說(shuō)明理由；

②若〃4）=8,〃8）=4,求出所選函數(shù)/（X）的解析式（注：函數(shù)的定義域是[U1],其中

x=l表示1月份，x=2表示2月份，…，以此類(lèi)推），并估計(jì)價(jià)格在5元/kg以下的月份有

幾個(gè).

……140/2-1600r+12000,4<f<8

【答案】⑴尸_4。產(chǎn)+1即24。。,4<44月

（2）①應(yīng)選③，理由見(jiàn)解析；②/（無(wú)）=-2cos：尤+6,估計(jì)有4個(gè)月價(jià)格在5元/kg以下

（1）y=a-b'+c（a,6,c為常數(shù)，。*0,6>0且Z?wl）；

@y=pt2+qt+r為常數(shù)，pwO）.

⑴請(qǐng)通過(guò)計(jì)算幫小明同學(xué)選出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；

（2）現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度不要超過(guò)60℃,請(qǐng)利用（1）中選出的模型該杯茶泡好后到

適宜飲用至少需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：lg2”0.30,坨3。0.48）

3

【答案】（1）y=80x+20,框0

(2)2.5分鐘

【分析】（1）分別代入/=0/=11=2得到函數(shù)模型，結(jié)合生活實(shí)際進(jìn)行判斷即可;

（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)模型解不等式即可.

〃=80

+c=100,

【詳解】（1）若選用①，根據(jù)條件可得。?加+。=80,,解得<

4

〃方+。=65,

。=20

所以y=80x(1)

+20,r>0.

此時(shí)，丁隨著/的增大而減小，符合生活實(shí)際;

r=100

r=100,

5

若選用②，根據(jù)條件可得夕+4+〃=80,,解得<

P=3

4p+2q+r=65,