高考理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義：離散型隨機(jī)變量及其分布

第五講離散型隨機(jī)變量及其分布

考情分析明確方向

V

年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學(xué)科素養(yǎng)

I卷二項(xiàng)分布、期望及應(yīng)用120命題分析

2018

III卷二項(xiàng)分布及方差的計(jì)算-T8概率、統(tǒng)計(jì)的解答題多在第18或19

正態(tài)分布、二項(xiàng)分布的性質(zhì)及概率、方題的位置，多以交匯性的形式考查，

I卷

差，T19交匯點(diǎn)主要有兩種(頻率分布直方

2017n卷二項(xiàng)分布的方差計(jì)算丁13圖與莖葉圖)擇一與隨機(jī)變量的分

頻數(shù)分布表、概率分布列的求解、數(shù)學(xué)布列、數(shù)學(xué)期望、方差相交匯來考

in#

期望的應(yīng)用118查；(頻率分布直方圖與莖葉圖)擇

柱狀圖、相互獨(dú)立事件與互斥事件的概一與線性回歸或獨(dú)立性檢驗(yàn)相交匯

I卷

率、分布列和數(shù)學(xué)期望療19來考查，難度中等.

學(xué)科素養(yǎng)

2016

互斥事件的概率、條件概率、隨機(jī)變量主要通過離散型隨機(jī)變量及其分布

II卷

的分布列和數(shù)學(xué)期望118考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及數(shù)

學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

考點(diǎn)一?講練結(jié)合?

條件概率、相互獨(dú)立事件概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第71頁

［悟通——方法結(jié)論］

1.條件概率的兩種求法

(1)利用定義，分別求P(/)和尸(/2),利用公式尸(3⑶二^^7,這是常用的方法.

(2)求出事件/包含的基本事件數(shù)〃(/),再求出事件/與事件3的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB),

利用P(3⑶=也幽可求得.

〃?4?

2.相互獨(dú)立事件概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

類型特點(diǎn)概率求法

P(AB)=P(A)P(B)

相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生事件互相獨(dú)立

(4,5相互獨(dú)立)

P(X=k)=Cnpk(l—p)n~k

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一次試驗(yàn)重復(fù)n次

⑦為發(fā)生的概率)

［全練——快速解答］

1.(2018?武漢調(diào)研)小趙、小錢、小孫、小李到4個景點(diǎn)旅游，每人只去一個景點(diǎn)，設(shè)事件N="4個

人去的景點(diǎn)不相同”，事件3="小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)”，則P(4|8)=()

A.eqB.eqB.j

解析：小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)共有4X3X3X3=108種可能性，4個人去的景點(diǎn)不同的可能性有Al=

242

4X3X2X1=24種，：.P(A\B)=~=~.

1089

答案：A

2.(2018?南昌模擬)為向國際化大都市目標(biāo)邁進(jìn)，某市今年新建三大類重點(diǎn)工程，它們分別是30項(xiàng)基

礎(chǔ)設(shè)施類工程、20項(xiàng)民生類工程和10項(xiàng)產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程.現(xiàn)有3名民工相互獨(dú)立地從這60個項(xiàng)目中任選

一個項(xiàng)目參與建設(shè)，則這3名民工選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率是()

C-4D6

解析：記第z.名民工選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類、民生類、產(chǎn)業(yè)建設(shè)類分別為事件4,B“Ci,f=1,2,3.

由題意，事件4,Bi,佻=1,2,3)相互獨(dú)立，則尸(4)=匆=’,尸(8)=%=匕P(G)=-=-,z=1,2,3,故

602603606

這3名民工選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率是尸=A§P(48C)=6><lxLxl=l.

2366

答案：D

3.某批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率均為:，那么播下4粒種子恰好有2粒發(fā)芽的概率是()

A256n192

A.----B.----

625625

C型D亞

625625

解析：所求概率尸型.

625

答案：C

「/類題通法/

公式法求兩類事件的概率

(1)求條件概率的關(guān)鍵是分清條件概率中的各個事件，利用公式時(shí)應(yīng)注意兩個方面的問題：一是注意

區(qū)分引/與/田，前者是在事件N發(fā)生的前提下事件8發(fā)生，而后者是在事件8發(fā)生的前提下事件/發(fā)生,

避免兩者混淆.

(2)求相互獨(dú)立事件與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是準(zhǔn)確利用公式，如利用相互獨(dú)立事件的

概率公式時(shí)，對應(yīng)事件必須是相互獨(dú)立的；二是注意兩者的區(qū)別，不能亂用公式.

考點(diǎn)二?講練結(jié)合?

二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第71頁

［悟通——方法結(jié)論］

1.判斷二項(xiàng)分布的常用方法：

(1)若所考慮的試驗(yàn)可以看作是一個結(jié)果只有兩種狀態(tài)N與』，則〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)

X就服從二項(xiàng)分布.

(2)凡是服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量一定只取有限個實(shí)數(shù)為其值，否則隨機(jī)變量不服從二項(xiàng)分布.

2.正態(tài)分布

(1)正態(tài)分布的定義及表示

如果對于任何實(shí)數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足尸(a<XW6)=錯誤!<pu”(x)dx,則稱隨機(jī)變量X服從正

態(tài)分布，記為X?N(/i,a2).

(2)正態(tài)總體三個基本概率值

①尸a-<7〈XW〃+c)=0.6826；

②尸(u—2cr<XWxz+2cr)=0.9544；

③尸3cr<X4+3cr)=0.9974.

［全練——快速解答］

1.(2018?高考全國卷III)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為0,各成員的支付方式相互獨(dú)

立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，￡)X=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=()

A.0.7B.0.6

C.0.4D.0.3

解析：由題意可知，10位成員中使用移動支付的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即矛?2(10,〃)，所以DX=

10p(l-/?)=2.4,所以p=0.4或0.6.

又因?yàn)镻(X=4)〈尸(X=6),

所以小呼4(1一0)6<5呼6(1一04,所以。>0.5,所以0=0.6.

故選B.

答案：B

2.(2017?高考全國卷II)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取

100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則。X=.

解析：依題意，X?8(100,0.02),

所以DX=100X0.02X(1—0.02)=1.96.

答案：1.96

3.某班有50名學(xué)生，期中考試的數(shù)學(xué)成績X?N(no,l()2),若尸(100WXW110)=0.2,則估計(jì)該班學(xué)

生數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為.

解析：由題意，知正態(tài)曲線的對稱軸為X=110,故PQ10WXW120)=尸(100WXW110)=0.2,所以尸(X

>120)=P(X2110)一尸(110WXW120)=0.5—0.2=0.3.所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為

0.3X50=15.

答案：15

4.已知某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品的使用壽命及單位：小時(shí))服從正態(tài)分布N(1000,o2),且尸(X<800)=0.2,

P(XN1300)=0.02.

(1)現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，求其使用壽命在口200,1300)的概率；

(2)現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，記抽到的三件產(chǎn)品的使用壽命在［800,1200)的件數(shù)為匕求丫的分布

列和數(shù)學(xué)期望

解析：(1)因?yàn)閄~N(1000,o2),P(X<800)=0.2,P(X^1300)=0.02,

所以P(1200WXV1300)+P(X2l300)=P(XNl200)=尸(XV800)=0.2.

所以尸(1200WXV1300)=0.2-0.02=0.18.

故抽取的產(chǎn)品的使用壽命在［1200,1300)的概率為0.18.

(2)因?yàn)槭?800WXV1200)=1—2尸(XV800)=1—2X02=0.6,

所以y?3(3,0.6).

尸(y=0)=C§x0.6°X(1-0.6)3=0.064,P(y=l)=dX0.6X(l-0.6)2=0.288,

P(y=2)=C?X0.62X(1-0.6)=0.432,P(y=3)=aX0.63X(l-0.6)°=0.216.

所以y的分布列為

Y0123

P0.0640.2880.4320.216

所以E(y)=3X0.6=1.8.

「/類題通法/-

在判斷是否是二項(xiàng)分布時(shí)易忽視下列3個條件

(1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；

(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；

(3)每次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.

考點(diǎn)三?講練結(jié)合?

離散型隨機(jī)變量的期望與方差

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第72頁

［悟通——方法結(jié)論］

1.離散型隨機(jī)變量的分布列和概率性質(zhì)

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：

Xl???.??

XX2XiXn

??????

pPiP2PiPn

則(1)口20,1=1,2,…，n；

(l)p\+p2~\-----------Fm=l；

(3)￡(X)=Xipi+x202H----\~XiPiH------\~XnPn;

(4)。⑶=(xi—￡⑶)如+(X2—E(㈤)力2+…+(x“—E(㈤)2”.

2.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差

⑴如果E(〃)和E?都存在，則￡化+〃)=￡?+￡(〃).

(2)若〃=喈+6,則￡(〃)=E(a，+6)=a￡(J+6,￡>(〃)=￡>(黨+6)=屆0('.

(3)期望與方差的轉(zhuǎn)化：￡>?=￡(一)—(￡?)2.

(4)E《一E?=￡(。-因?yàn)樗釣橐怀?shù))=￡(。—E?=0.

典例〉(2017?高考全國卷HI)(12分)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4

元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每

天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：。C)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于

區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)

計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

?

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

這種酸奶一天的需求量X

(1)求六月份?(單位：瓶)的分布列；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y(單位：元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量”(單位：瓶)為

Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

多少時(shí)，?

［學(xué)審題］_______________________________________________________________________________

條件信息想到方法注意什么

想到表中最高氣溫與天數(shù)的關(guān)

信息？中結(jié)合頻數(shù)分布表

系及氣溫與酸奶需求量關(guān)系

表示利潤y時(shí)注意根據(jù)氣溫區(qū)

信息、?酸奶一天需求量利用表格中關(guān)系求解

間進(jìn)行分類表示

用進(jìn)貨量〃表示EY建立函數(shù)關(guān)

信息？中求EF的最值

系可求解

［規(guī)范解答］(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500,

............................................................................(2分)

由表格數(shù)據(jù)知

P(X=200)=^p=0.2,尸(X=300)=*=0.4,P(X=500)=^^f=0.4........................(5分)

因此X的分布列為

X200300500

P0.20.40.4

............................................................................(6分)

(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200W為W500.

當(dāng)300W/W500時(shí)，

若最高氣溫不低于25,則丫=6〃-4〃=2"；

若最高氣溫位于區(qū)間［20,25),則6X300+2(n-300)-4/?=1200-2M;

若最高氣溫低于20,則y=6X200+2(?-200)-4M=800-2n.

因此EY=2〃X0.4+(1200—2〃)X0.4+(800~2n)X0.2=640-0.4".

........................................................(9分)

當(dāng)200W"<300時(shí)，

若最高氣溫不低于20,則丫=6"-4〃=2〃；

若最高氣溫低于20,則y=6X200+2(?-200)-4M=800-2?.

因止匕￡y=2〃X(0.4+0.4)+(800—2〃)X0.2=160+1.2〃.

..............................................................................(11分)

所以〃=300時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.

............................................................................(12分)

「/類題通法/-

求解離散型隨機(jī)變量的期望與方差的解題模型

即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊的類型還是

先定型

一般的類型

0奇￥#<￥w欣不?！溉絼?wù)希二■'萬荷芬

再定性布等的期望與方差可以直接代入相應(yīng)的公式

求解，而對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求

出其分布列，然后代入相應(yīng)的公式計(jì)算

［練通——即學(xué)即用］

某市為了解“防震減災(zāi)”教育活動的成效，對全市公務(wù)員進(jìn)行一次“防震減災(zāi)”知識測試，根據(jù)測

試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時(shí)對相應(yīng)等級進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0

分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分公務(wù)員的答卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下，對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示.

⑴求x,y,c的值；

(2)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的公務(wù)員中選取10人進(jìn)行座談，現(xiàn)再從

這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為求。的數(shù)學(xué)期望￡(。；

(3)某評估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)M(M=喘；其中。?表示曲勺方差)來評估該市“防震減災(zāi)”教育活動的成效.若

MN0.7,則認(rèn)定教育活動是有效的；否則認(rèn)定教育活動無效，應(yīng)調(diào)整“防震減災(zāi)”教育方案.在(2)的條件

下，判斷該市是否應(yīng)調(diào)整“防震減災(zāi)”教育方案？

解析：(1)由頻率分布直方圖可知，得分在［20,40)的頻率為0.005X20=0.1,

17

故抽取的答卷數(shù)為—=120.

0.1

由頻率分布直方圖可知，得分在［80,100］的頻率為0.01X20=0.2,所以y=120X0,2=24,

又12+x+y+48=120,所以x=36.

2A

所以c=———=0.015.

120X20

(2)因?yàn)?12+x)：(48+y)=48：72=2：3,

所以抽取的10人中“不合格”的有4人，“合格”的有6人.

。的所有可能取值為20,15,10,5,0,

（）普?。ǎ┍踲尸黨.尸（-）嚕=尢

尸口。）=就%p15=P1o=

所以軟勺分布列為

20151050

18341

P

1421735210

所以￡?=20義工+15x3+10x3+5xA+ox-^-n12.

1421735210

(3)由(2)可得，D(^)=(20-12)2X—+(15-12)2X—+(10-12)2X-+(5-12)2X—+(0-12)2X-=16,

1421735210

所以M=*^=U=0.75>0.7.

D?號16

故我們認(rèn)為該市的“防震減災(zāi)”教育活動是有效的，不需要調(diào)整“防震減災(zāi)”教育方案.

/課后訓(xùn)練1提升能力練技巧：：：練方法

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第155頁

一、選擇題

1.將三顆骰子各擲一次，記事件4="三個點(diǎn)數(shù)都不同"，B="至少出現(xiàn)一個6點(diǎn)”，則條件概率

尸（/⑼，尸（3⑷分別是（）

A601口160

912291

「工60911

18912162

解析：尸（/0）的含義是在事件3發(fā)生的條件下，事件/發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個6點(diǎn)''的條

件下，“三個點(diǎn)數(shù)都不相同”的概率，因?yàn)椤爸辽俪霈F(xiàn)一個6點(diǎn)”有6X6X6-5X5X5=91種情況，“至

少出現(xiàn)一個6點(diǎn)，且三個點(diǎn)數(shù)都不相同”共有C，X5><4=60種情況，所以P〃5）=*.尸（2⑷的含義是在事

件A發(fā)生的情況下，事件2發(fā)生的概率，即在“三個點(diǎn)數(shù)都不相同”的情況下，“至少出現(xiàn)一個6點(diǎn)”的

概率，所以⑷=；.

答案：A

2.（2018?包頭鐵路一中調(diào)研）甲、乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為;,：,；，那么三人

中恰有兩人合格的概率是（）

解析：三人中恰有兩人合格的概率P=；X：X（1一1）+：X（1—；）X；+（1—：）X；X；=],故選c.

答案：c

3.投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,

且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為（）

A.0.648B.0.432

C.0.36D.0.312

解析：3次投籃投中2次的概率為P（左=2）=CgX0.62X（l—0.6）,投中3次的概率為尸（后=3）=0.63,所

以通過測試的概率為P佐=2）+尸（左=3）=0X0.62X（1—0.6）+06=0.648.

答案：A

4.若隨機(jī)變量X?NQ,o^AO）,則有如下結(jié)論：

P（/Z-<T<^/Z+（7）=0.6826,尸3一2<T<XW"+2<7）=0.9544,尸@一3<T<XW〃+3（7）=0.9974.高三⑴班有

48名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布，平均分為120,方差為100,理論上說在130分以上人數(shù)

約為()

A.32B.24

C.16D.8

解析:因?yàn)閿?shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(120,102),則尸(歸—120|>10)=1一尸(|X-120|W10)=0.3174,由

正態(tài)曲線的對稱性知在130分以上的概率是尸(,一120|>10)的一半，所以人數(shù)約為gxo.3174X48-8,故

選D.

答案：D

5.(2018?廈門模擬)某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒

需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為()

A.100B.200

C.300D.400

解析：將“沒有發(fā)芽的種子數(shù)”記為則4=1,2,3,…，1000,由題意可知。?3(1000,0.1),所以E?

=1000X0.1=100,又因?yàn)閄=2。，所以E(X)=2￡?=200,故選B.

答案：B

6.已知拋物線>=加+及+電。0)的對稱軸在y軸的左側(cè).其中a,b,c￡{-3,-2,—1,0,1,2,3},

在這些拋物線中，若隨機(jī)變量X=|a—外則X的數(shù)學(xué)期望E⑶=()

qD3

解析：對稱軸在y軸的左側(cè)(a與b同號)的拋物線有2C!C!O=126條，X的可能取值有0,l,2.P(X=0)

=6X7=1國口尸展與尸—2)=展4卬0三，故選A.

126-3

答案：A

二、填空題

7.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線。為正態(tài)分布N(0，l)的密度曲

線)的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為.

附：若X~NQi,(r),

則尸3一O<XWN+(T)=0.6826,

2o<X4+2G=0.9544.

解析：由P(-1VXW1)=O.6826,得P(0VXWl)=0.3413,則陰影部分的面積為0.3413,故估計(jì)落

03413

入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)為10000X———=3413.

1X1

答案：3413

8.從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張，將其中一張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，則

兩張都是假鈔的概率是.

解析：設(shè)事件/為“抽到的兩張都是假鈔”，事件2為“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概

率為尸(/0)，

因?yàn)槭?48)=尸(/)=或=」-,尸(2)=空土空工="，

C%19?o38

1

RAB?

所以尸(/田)=12=2

P?B?17-17

38

答案：力

9.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在兩次試

驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.

aaa

解析：此試驗(yàn)滿足二項(xiàng)分布，其中p=2,所以在兩次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為E(X)=7圾=2義°==

442

姣率.3

1=12

三、解答題

10.2018年某企業(yè)舉辦產(chǎn)品創(chuàng)新研發(fā)創(chuàng)意大賽，經(jīng)評委會初評，有兩個優(yōu)秀方案入選，最后組委會決

定請車間100名經(jīng)驗(yàn)豐富的技工對這兩個方案進(jìn)行等級評價(jià)(等級從高到低依次為B,C,D,E),評價(jià)

結(jié)果對應(yīng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

等級

編號

ABCDE

1號方案841261510

2號方案733202020

(1)若從對1號方案評價(jià)為。，E的技工中任選3人，求這3人中至少有1人對1號方案評價(jià)為。的概

率；

(2)在C級以上(包含C級)，可獲得2萬元的獎勵，。級獎勵0.5萬元，E級無獎勵.若以此表格數(shù)據(jù)

估計(jì)概率，隨機(jī)請1名技工分別對兩個方案進(jìn)行獨(dú)立評價(jià)，求兩個方案獲得的獎勵總金額不單位：萬元)

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析：(1)由表格可知，對1號方案評價(jià)為。的技工有15人，評價(jià)為￡的技工有10人.

記事件“這3人中至少有1人對1號方案評價(jià)為?！睘槭录t“為“這3人對1號方案的評價(jià)

都為E”.

所以P(“)=U=0,故尸的=1一%”)=1一--=-

(?25115115115

即所求概率為迤.

115

[8+41+26=3

(2)由表格知，1號方案評價(jià)在C級以上的概率為

1004'

isa

評價(jià)為D的概率為3=上，評價(jià)為E的概率為10=1.

1002010?！?0,

2號方案評價(jià)在2級以上的概率為=9,

1005

評價(jià)為D的概率為久~=1,評價(jià)為E的概率為

10051005

隨機(jī)變量X(單位：萬元)的所有可能取值為4,2.5,2,1,0.5,0.

尸(X=4)=3X3=2P(X=2.5)=-X-+—X-=-^-,

45204520525

311321313

P(^=2)=-X-+—X-=—,p(x=1)=-X-=-f

45105100205100

P(^=0.5)=~X-+—X-=-1-,尸(X=O)=-L*1=L

2051052010550

所以X的分布列為

X42.5210.50

9621311

r

20251001002050

故￡(田=4乂2+2.5乂2+2><-+1義工+0.5*工+0><工=絲.

202510010020508

11.(2018?昆明模擬)某火鍋店為了了解氣溫對營業(yè)額的影響，隨機(jī)記錄了該店1月份其中5天的日營

業(yè)額式單位：萬元)與該地當(dāng)日最低氣溫x(單位：。白的數(shù)據(jù)，如下表：

X258911

y1.210.80.80.7

AAA

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程y=云+°；

(2)判斷了與X之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，若該地1月份某天的最低氣溫為6℃,用所求回歸方程預(yù)測

該店當(dāng)日的營業(yè)額；

(3)設(shè)該地1月份的日最低氣溫X?N〃，標(biāo))，其中〃近似為樣本平均數(shù)x,〃近似為樣本方差$2,求

產(chǎn)(3.8VXW13.4).

AAAAAA

附：①回歸方程y=6x+a中，6=錯誤!，a=y-bx.

②而仁3.2,岳仁1.8.若X?N@,〃)，則尸儀一oVXW〃+Q=0.6827,P(//-2(7<X^+2(7)=0.954

5.

解析：(l)x=；X(2+5+8+9+ll)=7,

y=1x(1.2+l+0.8+0.8+0.7)=0.9.

錯誤!,=4+25+64+81+121=295,

錯誤!m=2.4+5+6.4+7.2+7.7=28.7,

A28.7-5X7X0.9一2.8

6=錯誤!0.056,

295-5X7250

AA

a=y~bx=0.9-(-0.056)X7=1.292.

A

線性回歸方程為y=-0,056x+1.292.

A

(2)VZ)=-0.056<0,.力與x之間是負(fù)相關(guān).

當(dāng)x=6時(shí)，y=-0.056X6+1.292=0.956.

,該店當(dāng)日的營業(yè)額約為9560元.

(3)樣本方差s2—jX(25+4+1+4+16)=10,

...最低氣溫X?N(7,3.22),

，P(3.8VXW10.2)=0.6827,

P(0.6<XW13.4)=0.9545,

.?.尸(10.2VXW13.4)=；X(0.9545-0.6827)=0.1359.

.?.尸(3.8VXW13.4)=尸(3.8VXW10.2)+尸(10.2VXW13.4)=0.6827+0.1359=0.8186.

12.由騰訊游戲開發(fā)并運(yùn)行的一款運(yùn)營在Android,iOS平臺上的MOBA類手游，受到越來越多人的

喜歡.某機(jī)構(gòu)對不同年齡的人員對玩此手游的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及

對玩此手游贊成人數(shù)如下表.

年齡/歲[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

頻數(shù)41016956

贊成人

2915622

數(shù)

(1)若以“年齡”45歲為分界點(diǎn)，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握

認(rèn)為玩此手游的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；

年齡低于45年齡不低于

合計(jì)

歲的人數(shù)45歲的人數(shù)

贊成

不贊成

合計(jì)

(2)若從年齡在［25,35)和［55,65)的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，并給予其中

3人“紅包”獎勵，記3人中年齡在［55,65)的人數(shù)為仁求隨機(jī)變量^的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n?ad—bc?2

蜉=,其中〃=a+b+c+d.

?Q+6??c+d??a+c??b+d?

解析：（1）根據(jù)條件得如下2X2列聯(lián)表:

年齡低于45年齡不低于

合計(jì)

歲的人數(shù)45歲的人數(shù)

贅成261036

不贅成41014

合計(jì)302050

所以K2的觀測值Howexio-ioxd??.?！罚?可

20X30X36X14

所以有99.5%的把握認(rèn)為玩此手游的態(tài)度與人的年齡有關(guān).

（2）由分層抽樣的方法可知，從年齡在［55,65）的被調(diào)查人中抽取的人數(shù)為6義而上=2,

從年齡在［25,35）的被調(diào)查人中抽取的人數(shù)為6X^^=4