函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性的應(yīng)用（4大壓軸考法）原卷版-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題15函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性的應(yīng)用

目錄

解題知識(shí)必備.......................................

壓軸題型講練........................................................2

題型一、函數(shù)的單調(diào)性.........................................................2

題型二、函數(shù)的奇偶性.........................................................3

題型三、函數(shù)的對(duì)稱性.........................................................4

題型四、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性的綜合應(yīng)用..........................5

壓軸能力測(cè)評(píng)(12題)...............................................6

X解題知識(shí)必備”

一、函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)：若對(duì)于定義域/內(nèi)的某個(gè)區(qū)間。(。1/)上的任意兩個(gè)自變量占、3，當(dāng)占＜々時(shí)，都有

那么就說(shuō)函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是增函數(shù)；

(2)減函數(shù)：若對(duì)于定義域/內(nèi)的某個(gè)區(qū)間。(。1/)上的任意兩個(gè)自變量須、x2,當(dāng)西＜々時(shí)，都有

/(%)＞/(9)，那么就說(shuō)函數(shù)/(%)在區(qū)間。上是減函數(shù).

二、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(-%)=/(X)，

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

那么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(-X)=-/(x),

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)

三、函數(shù)的對(duì)稱性

⑴若函數(shù)y=/(升。)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(X)關(guān)于x=。對(duì)稱.

⑵若函數(shù)y=/(葉a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(元)關(guān)于點(diǎn)(“，0)對(duì)稱.

⑶若f(x)=f(2a-x),則函數(shù)/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.

⑷若f(x)+f(2a-x)=2b,則函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.

【常用結(jié)論】

1.奇偶性技巧

（1）若奇函數(shù)y=/（x）在x=0處有意義，則有『（0）=0；

（2）對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*（十）奇=偶；奇x（十）偶=奇；偶x（十）偶=偶.

2.對(duì)稱性技巧

（1）若函數(shù)y=/（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則/（a+x）=f（a-尤）.

（2）若函數(shù)了=/（尤）關(guān)于點(diǎn)（a,8）對(duì)稱，貝！I/（a+x）+y（a-x）=2Z?.

（3）函數(shù)y=f（a+x）與y=f（a—x）關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=f（a+x）與y=—/（a—x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

”壓軸題型講練”

【題型一函數(shù)的單調(diào)性】

一、單選題

1.（23-24高一下?湖南?期中）定義在R上的函數(shù)”尤）滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú),V都有/（x+y）=〃x）+/（y）-1,

若x＞0時(shí)，/（x）＞l,則〃x）（）

A.先單調(diào)通減后單調(diào)遞增B.在R上單調(diào)遞增

C.在R上單調(diào)通減D.單調(diào)性不確定

2.（23-24高一上?天津?期中）若函數(shù)〃x）是定義域?yàn)镽,且對(duì)％,%wR,且％＜々，有/（占）_〃w）＜々—和

不等式x）+2x＞2的解集為（）

A.B.（0,+ao）C.（l,+oo）D.（2,+oo）

3.（23-24高一上?江蘇常州?期中）已知函數(shù)”元）=1+—5—,若對(duì)于任意1＜為＜%＜2,都有

x-1+a

"占）一/（%）＜0,則a的取值范圍是（）

玉一42

A.（-oo,-l]u[0,+co）B.[0,+co）

C.（-1,0）D.（-8,—1）

4.（23-24高一下?河北石家莊?開學(xué)考試）定義在（0,+句上的函數(shù)滿足：對(duì)％e（0,+oo）,且工產(chǎn)々，

都有（尤「4）匡〃占）-為/仇）]＞。成立，且"4）=2,則不等式上的解集為（）

」x2

A.（4,-H?）B.（0,4）C.（0,2）D.（2,+刃）

5.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃無(wú)）的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有/（x+y）=/?（x）+/■（y）-l,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>l,且/(2)=5,則關(guān)于X的不等式/'(x)+/(4-3x)<6的解集為()

A.(l,+oo)B.(2,+oo)C.(-oo,l)D.(ro,2)

6.(23-24高一下.黑龍江大慶?開學(xué)考試)定義在(0,+s)上的函數(shù)y=/(x)滿足：%,%e(0,+co),且

x尸9，*"")一(2)<0成立,且"4)=12,則不等式”x)>3尤的解集為()

玉—x2

A.(12,+a))B.(0,12)C.(0,4)D.(4,+8)

7.(23-24高一上?上海長(zhǎng)寧?期末)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽.

q:y=/(x)是R上的嚴(yán)格增函數(shù)；

R：任意士,尤26R，都有〃%+%)=〃％)+〃%)，且當(dāng)彳>0時(shí),恒有〃x)>0;

P2：當(dāng)/OQv/X%)時(shí)，都有不<尤2；

下列關(guān)于4的充分條件的判斷中，正確的是()

A.月心都是B.P1是，不是

C.P］不是，％是D.Pi必都不是

8.(23-24高一下?上海?期中)已知二次函數(shù)"x)=a?-4ar+c,a>0,ceR,若《<2<何且下(苔)>/?),

則下列說(shuō)法正確的是()

A.對(duì)任實(shí)數(shù)均有了

I1+A)I1+A)

B.對(duì)任意滿足0<岡<1實(shí)數(shù)4,均有/芝華］

C.對(duì)任意滿足囚>1的實(shí)數(shù)4,均有了(蕓蕓

D.存在實(shí)數(shù)4*-1,0,1,使得了［七華［華］

I1+4)I1+2)

【題型二函數(shù)的奇偶性】

一、單選題

1.(2024?山西一模)己知函數(shù)“X)是定義在但xwO｝上不恒為零的函數(shù)，若〃xy)="+4^,則()

A./⑴=1B./(-1)=1

C.”無(wú))為偶函數(shù)D.f(x)為奇函數(shù)

2.(23-24高一下?內(nèi)蒙古赤峰.期末)己知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且

2〃句/3=〃彳+4+〃彳-力〃1)=；.有下列四個(gè)結(jié)論：

①"0)=2

②為偶函數(shù)

③〃x)=/(x+6)

④“X)在區(qū)間［0,4］上單調(diào)遞減

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為()

A.①③B.②③C.②④D.①④

二、多選題

3.(23-24高一上?湖北襄陽(yáng)?期末)已知定義在D上的函數(shù)/'(X)滿足“久一1)為奇函數(shù)且/(-2)=-1,以下

說(shuō)法一定正確的是()

A./(x-l)=-/(-x-l)

B.Vx-leD,都有一x+leD,M/(x-l)=-/(-%+l)

C./(o)=-i

D./(0)=l

4.(23-24高一上.遼寧葫蘆島?期中)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,〃孫)=y5〃x)+//?(,)則()

A.40)=0B./(-1)=-1

C./⑴為奇函數(shù)D.42)=6471-

三、填空題

5.(23-24高一上?湖北.期中)我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是

函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。⑼成中心對(duì)稱圖形的

充要條件是函數(shù)y=〃x+a)-。為奇函數(shù).則求出函數(shù)〃x)=V+3x2的圖象的對(duì)稱中心為；類比上述

推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y=的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=為偶函數(shù)”的一個(gè)推

廣結(jié)論是.

6.(23-24高一上?內(nèi)蒙古赤峰?期末)已知定義在R上的函數(shù)〃尤)在(—,2］上單調(diào)遞增，若函數(shù)“x+2)為

偶函數(shù)，且"3)=0,則不等式對(duì)'(力＞0的解集為—.

【題型三函數(shù)的對(duì)稱性】

一、單選題

1.(23-24高一上.北京大興.期中)定義在R上的函數(shù)在(為,2)上是增函數(shù)，且〃x+2)=〃2-x)對(duì)

任意xeR恒成立，則()

A./(-1)</(3)B./(-1)>/(3)

C.f(-l)=/(3)D.〃0)=〃3)

2.(23-24高二下.浙江麗水.期末)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,的圖象關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱，/(2x+2)

是偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.佃=。C./(2)=0D.八3)=0

3.(23-24高二下?黑龍江牡丹江?期末)設(shè)函數(shù)/(同=%3+以2+陵+2,且〃1+耳+〃1-尤)=2,則必=()

A.-1B.2C.-3D.4

4.(23-24高三下?安徽黃山?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(無(wú))的定義域?yàn)镽,且/(x+2)為奇函數(shù)，〃2x+l)為偶函

數(shù)，貝I()

A./(-D=0B./(-1)=0C./(D=0D./(0)=0

二、填空題

5.(23-24高二下.山東青島.期末)定義在R上的兩個(gè)函數(shù)“X)和g(%),已知/(x)+g(l-尤)=3,

g(x)+3)=3.若y=g⑺圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則/(0)=.

6.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足以下三個(gè)條件：

①對(duì)于任意的XGR,都有Ax+1)=-/(X)；

②函數(shù)>=/(尤)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱；

③對(duì)于任意的和％e[0,1],且"6/㈤>0.則/'(-I),/⑵的大小順序是—.(用“<”連接)

%2一%)

【題型四函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性的綜合應(yīng)用】

一、單選題

1.(24-25高三上?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)在[1,口)上單調(diào)遞減且對(duì)任意尤eR滿足

/(x)=/(2-x),則不等式f(2x-3)>f(x)的解集是()

A.B.百3)C.D.

2.(2024?陜西西安?三模)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x)+f(2-x)=2,則

y(i)+/(2)+...+/(20)=()

A.0B.105C.210D.225

3.(24-25高三上?北京?開學(xué)考試)已知函數(shù)，(無(wú))滿足了(—2-x)=/(-2+x),對(duì)任意％2],且

X產(chǎn)馬,都有"不)［"%)>0成立,且/⑼=0,則〃x)>0的解集是()

*^2

A.(―oo,—2)口(2,+8)B.(—2,2)

C.S，fU(O,y)D.(TO)

二、多選題

4.(22-23高二下?浙江溫州?期末)已知連續(xù)函數(shù)〃x)滿足：①則有〃x+y)=〃x)+〃y)-l,

②當(dāng)x>0時(shí)，/(^)>1,③"1)=2,則以下說(shuō)法中正確的是()

A.“X)的圖象關(guān)于((H)對(duì)稱

B.r(x)<o

C.〃尤)在13,3］上的最小值是一2

D.不等式/(2X2)_〃X)<〃2X)+1的解集為，一：<x<2,

5.(25-26高一上?全國(guó)?單元測(cè)試)對(duì)于定義在R上的函數(shù)〃x),若/(x+1)是奇函數(shù)，f(x+2)是偶函數(shù),

且在［1,2］上單調(diào)遞減，則()

A.〃3)=0B./(0)=/(4)

C.D.“X)在［3,4］上單調(diào)遞減

三、填空題

6.(24-25高三上?福建龍巖?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=竺二處在其定義域內(nèi)為偶函數(shù)，且/⑴=；,則

x+12

4七K全卜?,+/出+川)+"2)+-+〃2。24)=-------------?

??壓軸能力測(cè)評(píng)??

一、單選題

1.(23-24高一上?安徽淮北?期中)已知函數(shù)/(x)=&+6是定義在3。+2］上的偶函數(shù),又g(x)=/(x—2),

則g(-2),g(3),g(2)的大小關(guān)系為()

A.g(-2)>g⑶>g(2)B.8⑶冷⑵裂口)

C.8⑵裂口下8⑶D.8⑵川⑶川⑴)

2.(23-24高一下.云南普洱?期末)已知定義在R上的函數(shù)滿足〃2r)m(x),且當(dāng)今>占21時(shí)，恒

有〃f)<0,則不等式/(X—l)>/(2x+l)的解集為()

A.(—2,0)B.C.(-0°,-2)UD.(―co,—2)<J(0,-KO)

3.(23-24高一上.江蘇南通?階段練習(xí))若定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且/(-2)=0,

則滿足對(duì)'(x-1)20的x的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,^>)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]u[l,+w)D.[-l,0]U[l,3]

/\7xff(x\x>0

4.(24-25高三上?河北秦皇島?開學(xué)考試)已知為R上的減函數(shù)，設(shè)函數(shù)]<0,則滿足

不等式g(4-〃的機(jī)的取值范圍是()

A.(1,+co)B.(2,+oo)C.(fRU。，-)D.(-co,2)U(2,-H?)

5.(24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試)函數(shù)"xhgV-V+flx,對(duì)任意和吃e[l,2],且占二%，都有

⑸>1,則。的范圍是(

玉~X2

A.(l,+oo)B.[l,+oo)

C.(2,+oo)D.[2,+oo)

6.(24-25高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)〃X)滿足/(%)+/(-力=尤2,V^,x2e[0,+oo)

均有f(%)-f(%)>三強(qiáng)(X尸馬),則不等式〃尤)一〃17)>尤一:的解集為()

7.(23-24高一上.甘肅蘭州.期末)設(shè)函數(shù)y=〃x+l)是定義在(y,0)U(0,a)上的偶函數(shù)，y=〃x)在區(qū)

間(-8,1)上是減函數(shù)，且圖象過(guò)原點(diǎn)，則不等式(X-1)_/?(%)<0的解集為()

A.(-8,1)B.(r,l)U(l,2)C.(y,0)U(l,2)D.(0,2)

二、多選題

8.(23-24高一上?四川成都?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(尤)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有,/(尤+_y)=/(x)+/(y)-4

且當(dāng)x>0時(shí)，〃x)>4.設(shè)g(x)=/(x)-4.則下列命題正確的是()

A./(-2023)+/(2023)=8B.函數(shù)有對(duì)稱中心(0,4)

C.函數(shù)g(x)為奇函數(shù)D.函數(shù)g(x)為減函數(shù)

9.(23-24高一上.湖南郴州?期末)已知函數(shù)〃x)(xeR)滿足當(dāng)%>0時(shí)，/(%)>1,且對(duì)任意實(shí)數(shù)小々滿

足“西+%)=/&)/(%),當(dāng)尤1片龍2時(shí)，/&)*/(%),則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增

B.〃0)=0或1

C.函數(shù)/'(X)為非奇非偶函數(shù)

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)xt,x2滿足![/(%)+/(9)]271百/)

10.(23-24高一上?河南開封?期中)已知/'(X)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿足

f(xy)^xf(y)+)f(x),則下列說(shuō)法正確的是()

A./(I)=0

B.“X)是奇函數(shù)

C.若"2)=2,貝k&]=：

D.若當(dāng)x>l時(shí)，/(%)<0,則g(x)=￡j在(0,+8)單調(diào)遞減

三、填空題

11.(24-25高一上?上海?課后作業(yè))已知y=/