黑龍江省龍東聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，A錯(cuò)誤；，元素與集合不能用符號(hào)，B錯(cuò)誤；根據(jù)子集的定義，有，C正確；集合不是集合中的元素，不能用符號(hào)，D錯(cuò)誤．故選：C.2.集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】A【解析】由題知，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)是．故選：A.3.已知，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取，，，則，故A錯(cuò)誤；取，，，則，故B錯(cuò)誤；取，，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，故D正確．故選：D.4.已知集合，，若．則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題可知或，，由，可得，所以．故選：B.5.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．故選：B.6.“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由題意，得解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，則“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個(gè)必要不充分條件是．故選：C.7.某健身沙龍開(kāi)設(shè)了游泳、跑步、騎車三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，會(huì)員中有44人參加游泳運(yùn)動(dòng)，42人參加跑步運(yùn)動(dòng)，38人參加騎車運(yùn)動(dòng)，其中同時(shí)參加游泳、跑步、騎車三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的有10人，沒(méi)有參加任何運(yùn)動(dòng)的有20人，若健身沙龍共有會(huì)員100名，則只參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的有（）A.24人 B.26人 C.36人 D.38人【答案】A【解析】設(shè)只參加游泳和跑步的有人，只參加騎車和游泳的有人，只參加跑步和騎車的有人，由題意畫出Venn圖，如圖所示，則只參加游泳的有：人，只參加跑步的有：人，只參加騎車的有：人，所以參加運(yùn)動(dòng)的有：人，由題意得，解得，所以只參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的有24人．故選：A.8.若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則正數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不等式可化為，①時(shí)，不等式的解集為，不合題意；②當(dāng)時(shí)，不等式的解為，且，若不等式的解集中恰好有3個(gè)整數(shù)，則，解得；③當(dāng)時(shí)，不等式的解為，且，若不等式的解集中恰好有3個(gè)整數(shù)，則，解得．綜上可知，正數(shù)的取值范圍為或．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中為真命題的是（）A.，B.，C.若，則“”是“”的充要條件D.若，則“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的充要條件【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，，故A正確；取，則，所以，，故B正確；當(dāng)時(shí)，顯然成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槭怯欣頂?shù)，所以“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的充要條件，故D正確．故選：ABD.10.給定非空集合，如果對(duì)于任意，（與可以相等，也可以不相等），都有，，，則稱集合是一個(gè)閉集合．則（）A.集合是閉集合B.已知集合是閉集合，若，則C.存在只含有101個(gè)元素的閉集合D.若集合是閉集合，且，則【答案】ABD【解析】由兩個(gè)偶數(shù)的和、差、積都是偶數(shù)，得集合是閉集合，故A正確；集合為閉集合，則必有，若，則有，，故B正確；設(shè)集合中有101個(gè)元素，則除了0外還有非零元素，由B選項(xiàng)可知，顯然集合必定有無(wú)數(shù)個(gè)元素，故C錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)可知，若，則必有，可得，故D正確．故選：ABD.11.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.B.C.的最大值為1D.當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的方程的解分別為，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，由題意知即則，顯然當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即，故B正確；對(duì)于C，，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，故C正確；對(duì)于D，方程可化為，整理得，解得，，則，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.命題“，”的否定是______．【答案】，【解析】命題“，”的否定是“，”．13.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】或【解析】由題知，集合為一次函數(shù)上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，集合為反比例函數(shù)上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，若，則方程有非零解，整理得，則，解得或．14.已知，，滿足，若存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】6【解析】因?yàn)?，，所以，即，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．由，得，整理得，即，所以．因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得恒成立，所以，即的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，得或，由，得，所以或．（2）由，得．①當(dāng)，即時(shí)，，滿足，符合題意．②當(dāng)，即時(shí)，若滿足，則有，解得．綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍為．16.已知，．（1）若有且只有一個(gè)為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，得；當(dāng)時(shí)，由，得．若有且只有一個(gè)為真命題，則真假，或假真，當(dāng)真假時(shí)，解得；當(dāng)假真時(shí)，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或．（2）由，得．因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，則且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．17.一墻一文化，一村一風(fēng)景．在美麗鄉(xiāng)村創(chuàng)建中，墻繪依托其公共性、視覺(jué)沖擊等特點(diǎn)擔(dān)負(fù)美化鄉(xiāng)村、宣傳鄉(xiāng)村的使命．如圖所示，某鄉(xiāng)村擬建一繪畫墻，在墻面上畫三幅大小相同的矩形圖畫，每一幅畫的面積為9600平方厘米，要求圖畫上四周空白的寬度為2厘米，每幅圖畫之間的空隙的寬度為2厘米．設(shè)繪畫墻的長(zhǎng)和寬分別為厘米，厘米．（1）求關(guān)于的關(guān)系式；（2）為了節(jié)約成本，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)繪畫墻的尺寸，使得繪畫墻墻面的面積最??？解：（1）由題意，知每一幅矩形圖畫的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，則，整理得．（2）由（1）知繪畫墻墻面的面積，則，由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故，此時(shí)，故當(dāng)繪畫墻墻面的長(zhǎng)為248厘米，寬為124厘米時(shí)，繪畫墻面的面積最?。?8.已知二次函數(shù).（1）若二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且的面積為3，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求關(guān)于的不等式的解集.解：（1）令，則有，得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，故的面積為，解得或.（2）不等式可化為，若不等式恒成立，則必有解得，故若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或，②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，④當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．19.已知集合.（1）判斷3，20，25是否是集合中的元素，并說(shuō)明理由；（2）若，，證明：；（3）證明：存在無(wú)窮多個(gè)完全平方數(shù)屬于集合（若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式.則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)）.解：（1）由，知5是集合中最小的元素，故3不是集合中的元素；由，，知2