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文檔簡介
《2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第二冊同步單元測試AB卷(新高考)》
專題5.8《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》綜合測試卷(B)
第I卷選擇題部分(共60分)
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的.
1.(2022?江蘇?連云港市贛馬高級中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/(x)=sinx+cos%,1?私2兀).若/'(/”。一
則%=()
A.-B.-C.-D.學(xué)
4244
2.(2020?陜西?西安市鐵一中學(xué)高二期末(理))曲線y=sinx+e'在x=O處的切線方程是()
A.x-3y+3=0B.x-2y+2-0C.2無一y+l=0D.3無一y+l=O
3.(2021?河南?安陽一中高二期末(文))已知函數(shù)/(x)=gx2+bln尤的圖象在點(1J⑴)處的切線方程是
2x-y-l=O,則而等于()
A.2B.1C.0D.-2
4.(2022?山東聊城一中高二期中)已知/(x)=Y+in%+如—1在區(qū)間(1,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),則實數(shù)機的
取值范圍是()
A.m>-4B.m>-4C.m>-3D.m>-3
3
5.(2022?福建省福州第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知ane.+W,b=^+-L^,c=e^+^,則()
ece
A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b
15
6.(2022?湖南師大附中高二階段練習(xí))已知實數(shù)x”%分別滿足書*=e^,x2(lnr2-2)=e,則不々=()
A.e3B.e4C.e5D.e6
2
7.(2022?湖南?湘府中學(xué)高二階段練習(xí))已知「(無)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù),:(無)+八元)>0,八2)=下,則不等式
e
9
/(In%)〈二的解集是()
x
A.(2,+oo)B.(e)+8)C.(0,e2)D.(0,2)
8.(2022.山東聊城一中高二期中)定義在[。,上的函數(shù)/(x),尸⑴是/(x)的導(dǎo)函數(shù),且((尤)<-tanx?/(無)
成立,。=2?力=可昌,c=則a,6,c的大小關(guān)系為()
A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c
二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多
項符合題目要求.全部選對得5分,部分選對得3分,有選錯的得0分.
9.(2022?江蘇省響水中學(xué)高二階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x3-x+i,貝|()
A./(X)有兩個極值點B.直線y=2x是曲線>=/(元)的切線
c.有一個零點D.過點(1,0)與曲線y=相切的直線有且只有1條
10.(2022?浙江.高二階段練習(xí))已知函數(shù)/(x"%3-3依+2的極值點分別為冷吃(王<七),則下列選項正
確的是()
A.a>0
B.〃%)+〃*2)=2
C.若〃々)<°,則。>1
D.過(0,2)僅能做曲線產(chǎn)/'(X)的一條切線
11.(2022?江蘇?連云港市贛馬高級中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/■(x)=-dlnx,則()
A.恒成立B.〃力是(0,+8)上的減函數(shù)
C.〃耳在工=€彳得到極大值(D./(x)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點
12.(2022?浙江?高二階段練習(xí))已知函數(shù)/■(%)是定義在R上的奇函數(shù),且其圖象連續(xù).當(dāng)尤>0時,
Inr-1勺■'(%)<(x+1)1-4,則關(guān)于x的不等式〃無)<0的解集可能為()
A.(-co,-l)U(0,l)B.(-oo,-e)U(0,e)
C.(F-4)U(O,4)D.(f,-3e)U(O,3e)
第II卷非選擇題部分(共90分)
三'填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(2022?新疆和靜高級中學(xué)高二階段練習(xí))函數(shù)〃x)=(x2-x+l)e*(xeR)的單調(diào)減區(qū)間為.
14.(2022?四川省資陽市外國語實驗學(xué)校高二期中(理))如圖,直線/是曲線y=/(x)在點(4"(4))處的切
線,則"4)+/'(4)的值等于.
15.(2022?四川省資陽市外國語實驗學(xué)校高二期中(文))設(shè)F'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù),且
r(x)</(x)(xeR),/(l)=e,則不等式/(Inx)>尤的解集為.
16.(2022?山東德州.高二期末)已知函數(shù)/(幻=加-x+lnx有兩個不同的極值點玉,巧,則實數(shù)。的取值
范圍是;若不等式/(為)+/(*2)>占+々+/有解,則實數(shù)f的取值范圍是.
四'解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(2022?陜西渭南?高二期末(文))已知函數(shù)〃引=丁-3酸-1在產(chǎn)-1處取得極值.
(1)求實數(shù)“的值;
(2)求函數(shù)/(元)在[-2,1]上的最大值和最小值.
18.(2022?四川省資陽市外國語實驗學(xué)校高二期中(理))已知三次函數(shù)/")=加+涼+c尤的極大值是20,
其導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(2,0),(4,0),如圖所示,求
(1)“,b,c的值;
⑵若函數(shù)、=/(尤)-加有三個零點,求機的取值范圍.
19.(2022?山東青島.高二期末)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料,瓶子的制造成本是0.8萬戶分,其
中r(單位:cm)是瓶子的半徑.己知每出售1mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制作商能制作的瓶子
的最大半徑為6cm.
(1)瓶子的半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?
(2)瓶子的半徑多大時,每瓶飲料的利潤最???
(3)假設(shè)每瓶飲料的利潤不為負值,求瓶子的半徑的取值范圍.
20.(2022?黑龍江?哈爾濱市第一二二中學(xué)校高二期末)已知函數(shù)/(x)=ex-ax-l.
(1)當(dāng)。=1時,求函數(shù)/(x)的圖象在點n了⑴)處的切線方程;
⑵討論函數(shù)/(元)的單調(diào)性;
(3)若/(X)20恒成立,求實數(shù)。的取值集合.
21.(2022.河北省文安縣第一中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/(x)=(x-2)e'-k(x-lnx).
⑴當(dāng)左=0時,求"X)的極值;
⑵證明:當(dāng)無>e,x>l時,f(x)>-k2.
22.(2022?山東聊城一中高二期中)已知函數(shù)〃x)=e,+依-3在x=0處的切線為尸-2.
⑴求實數(shù)a的值及函數(shù);'(X)的極值;
(2)用⑺表示不超過實數(shù)t的最大整數(shù),[0.8]=0,[-1.4]=-2,若x>0時,《-x)e'<f+2恒成立,求⑺
的最大值.
《2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第二冊同步單元測試AB卷(新高考)》
專題5.8《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》綜合測試卷(B)
第I卷選擇題部分(共60分)
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項
中,只有一項是符合題目要求的.
1.(2022?江蘇?連云港市贛馬高級中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/(尤)=sinx+cosx,尤?兀,2兀).若
,
/(xo)=O,,貝l]Xo=()
A-B.烏C?里D,
4244
【答案】D
【分析】求導(dǎo)后代入尤=不可求得tanx°=l,由5e(無,2兀)可得結(jié)果.
【詳解】/,(x)=cosx-sinx,二/(%)=cos改)—sin1=0,即tanx(,=l,
57T
又不)€(兀,2兀),:.x0=—.
故選:D.
2.(2020?陜西?西安市鐵一中學(xué)高二期末(理))曲線丁=011》+6,在*=()處的切線方程是()
A.尤-3y+3=OB.尤-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+l=O
【答案】C
【分析】求出函數(shù)、=5苗了+1的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由斜截式方程,即可得到所求切
線的方程.
【詳解】y=sinx+e*的導(dǎo)數(shù)為y'=cosx+e”,在點(0,1)處的切線斜率為左=cosO+e°=2,
即有在點(0,1)處的切線方程為>=2x+l,即2x-y+l=0.
故選:C
3.(2021.河南?安陽一中高二期末(文))已知函數(shù)/(無)=羨尤2+6111》的圖象在點處
的切線方程是2尤-k1=0,則他等于()
A.2B.1C.0D.-2
【答案】C
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由切線的方程求得切線的斜率和切點,解方程
可得a,b,即可得到所求結(jié)論.
【詳解】解:函數(shù)=+61n無的導(dǎo)數(shù)為:(無)=6+乙
2x
可得在點(1"⑴)處的切線斜率為f'm=a+b,
因為在點(1,/(1))處的切線方程是2X-y-1=0,
所以⑴=。+6=2,/(l)=2xl-l=l=|,
解得a=2,b—0,
所以必=0
故選:C.
4.(2022?山東聊城一中高二期中)已知/。)=/+1門+g-1在區(qū)間(1,2)上為單調(diào)遞增函
數(shù),則實數(shù)機的取值范圍是()
A.m>-4-B.m>-4C.m>-3D.m>-3
【答案】D
【分析】求出導(dǎo)函數(shù),推出mN-Qx+j]在區(qū)間(1,2)上恒成立,構(gòu)造函數(shù),求解函數(shù)的最
值,從而求出實數(shù)機的取值范圍.
【詳解】/(無)=/+In尤+mx-1在區(qū)間(1,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)
則((無)=2x+工+0在區(qū)間(1,2)上恒成立
X
即機2-在區(qū)間(1,2)上恒成立
設(shè)以%)=-12%+!),龍e(l,2)
〃(x)=-2+1=丁=(1一點?1+缶)〈0
函數(shù)"(%)在(L2)上是減函數(shù),則h(x)<h(y)=-3
所以加2-3.
故選:D.
11
5.(2022?福建省福州第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知。=/'+喜,6=匕32+展,
ee
C=產(chǎn)、擊,則()
A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=e,+eT,根據(jù)其單調(diào)性和奇偶性,結(jié)合三角函數(shù)值的大小關(guān)系,
即可判斷和選擇.
【詳解】令〃x)=e'+eT,其定義域為R,且/(-x)=/(x),故為偶函數(shù);
又/'(x)=ex-ef,令/(x)>0可得x>0,故在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增;
則。=即+擊=〃5也1),6=eQ+5=〃tan2)=〃-tan2)
c=ec°s3+,="cos3)=/(-cos3)=/卜in0-1,
x0<sin1<sin_<sin=1<-tan2,i^a<c<b.
故選:B.
5
6.(2022?湖南師大附中高二階段練習(xí))已知實數(shù)人三分別滿足=e3,x2(lnx2-2)=e,
貝I]x,x2=()
A.e3B.e4C.e5D.e6
【答案】C
【分析】將馬(咽-2)=e5變形為(Inx2-2)e叱-2=e3,觀察可發(fā)現(xiàn)這與再d=e?形式相同,
且易知3>0,In尤2-2>0.構(gòu)造=求導(dǎo)可得〃x)=xe工在(0,+s)上單調(diào)遞增.從而
可推出芯=ln%-2,代入即可得到結(jié)果.
lnx5
52
【詳解】由當(dāng)(嶼一2)=65可得,e^.(lnx2-2)=e,則=.面“卜冬,
ee
lnJi23
gpe_.(ln^2-2)=e>0,又占9,=e3>0,
所以011々一2k3-2=石9,且占>0,lnx2-2>0.
令〃x)=xe,,則/(彳)=(》+1戶,當(dāng)x>0時,用勾>0恒成立,
所以,/(x)=xe*在(0,+巧上單調(diào)遞增.
X/(lnx,-2)=/(%(),玉>0,Inx2-2>0,所以西二山/一?.
5
所以,AJ%2=x2(lnx2-2)=e.
故選:C.
7.(2022?湖南?湘府中學(xué)高二階段練習(xí))已知尸(無)是函數(shù)八x)的導(dǎo)數(shù),
22
/3)+/3)>0,八2)=下,則不等式八1皿<一的解集是()
ex
A.(2,+oo)B.(e2,+oo)C.(0,e2)D.(0,2)
【答案】C
【分析】設(shè)g(x)=e"(x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到g(x)在R上單調(diào)遞增,問題等
價于g(0<g(2),即可解決.
【詳解】令r=lm,則》=心
2
因為
所以/⑺</,即/⑺-e'<2,
設(shè)g(x)=e"(x),
所以g'(x)=e*(/(x)+/'(x)),
因為/(%)+/'(尤)>0,
所以?(力>0,所以g(無)在R上單調(diào)遞增,
因為了(2)=1,
所以g(2)=e2〃2)=2,
所以<2等價于g⑺<g(2),
則T<2,即Inx<2,解得0<x<e2.
所以不等式〃血)〈彳的解集是(。萬).
故選:C
8.(2022?山東聊城一中高二期中)定義在卜,1^上的函數(shù)〃幻"'5)是/(x)的導(dǎo)函數(shù),且
廣(尤)<一121!尤/(尤)成立,a=2f(^],b=y[2f^c=^f^,則a,6,c的大小關(guān)系
為()
A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c
【答案】B
【分析】由條件可得cosx",(x)+sinx"(x)<0,考慮構(gòu)造函數(shù)g(x)=/區(qū),結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算公
COS%
式和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系由條件證明函數(shù)g(?在,,:!上的單調(diào)遞減,再根據(jù)函數(shù)
的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.
【詳解】因為時,cosx>0,
cinx
所以//(x)<-tanx-/(x)可化為了'(%)+----/(%)<0,即cos%.尸(%)+sin%.f(x)<0,設(shè)
cos%
g(x)=
cosx
'r(x))f(x)cosx+/(x)sinx
則g'(x)=
cos兀Jcos2X
所以當(dāng)時,g,(x)<0,
所以函數(shù)g(元)在上的單調(diào)遞減,因為所以gd>g(;>g
所以c>b>a,
故選:B.
二'多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個
選項中,有多項符合題目要求.全部選對得5分,部分選對得3分,有選錯的得
0分.
9.(2022?江蘇省響水中學(xué)高二階段練習(xí))已知函數(shù)/(了)=%3一元+1,則()
A./(X)有兩個極值點B.直線,=2x是曲線>=/(元)的切線
C./(X)有一個零點D.過點(1,0)與曲線y=f(x)相切的直線有且
只有1條
【答案】AC
【分析】對函數(shù)Ax)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性和極值情況,即可判斷選項AC;假設(shè)y=2x是曲
線V=/(x)的切線,設(shè)切點為(。力),求出的值,驗證點(a,b)是否在曲線y=/(x)上
即可;過點。,0)與曲線y=/(x)相切的直線,而點。,0)不一定為切點,可設(shè)切點(利明
并求出加有兩個值,從而可判斷D選項.
【詳解】“一,令/V)>0,解得一與或x>f令…,解得
一迫<x<走.
33'
在卜8廠#]上單調(diào)遞增,在f-y->T上單調(diào)遞減,且
???/(X)有兩個極值點,有且僅有一個零點,故選項A,C正確,
假設(shè)y=2x是曲線y=/(x)的切線,設(shè)切點為(a,b),
3a2-1=2a=l、\a=-l
則,解得6=2或\b=-2
2a=b
顯然(1,2)和(-1,-2)均不在曲線y=/(x),
上,故選項B錯誤.
對于選項D,設(shè)切點為(《I,”),可得切線的斜率為3加2一1,
切線方程為-咐=(3療-l)(x-2,
代入點(1,0),可得-(加-咐=(3療-1)(1-肛
化為2〃—3勿2+1=0,BP(m-l)2(2m+1)=0,
解得m=l或加=一;,
可得切線的斜率為2或-!,
4
則切線方程為y=2x-2或、=-&+:.故過點(1,0)與曲線y=〃x)相切的直線有2條.
故選項D錯誤;
故選:AC.
10.(2022?浙江.高二階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=V-3辦+2的極值點分別為國,々(王<工2),
則下列選項正確的是()
A.a>0
B./(-^)+/(^)=2
C.若〃尤2)<°,貝!J短>1
D.過(0,2)僅能做曲線y寸⑴的一條切線
【答案】ACD
【分析】首先根據(jù)已知條件得到玉=-6,七=后,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項即可.
【詳解】/(x)=x3-3at+2,=3x2-3a,
因為函數(shù)/(%)=三-3ox+2的極值點分別為%,%(王<9),
所以3爐-3。=0有兩個不相等的實數(shù)根%,%(王</),
所以。>0,故A正確.
對選項B,因為a>0,所以尸(x)=3x2-3a=3(x+〃")(無-〃'),
令—(%)=3卜+6)1一&)=。,則%=-7^,x2-y/a,
所以xe(-co,,//(x)>0,為增函數(shù),
尤尸(力<0,/(無)為減函數(shù),
xe(G,y),/(%)>0,f(x)為增函數(shù),
所以菁=->A?,%=/?為函數(shù)的極值點.
所以/(玉)+/(%2)=一3〃(一6)+2+(后)一3〃G+2=4W2,故B錯誤.
對選項C,“工2)=(?^-3a?+2<0,
化簡得:ay/a>1,解得故C正確.
對選項D,設(shè)切點為(%0,/3_3%+2),
「(力=3九2—31,切線過(0,2),
丫3_Y
33
所以_^=3%2_3a,gpx0-3ar0=3x0-3ax0,解得%=0,
所以過(0,2)僅能做曲線y=f(x)的一條切線,故D正確.
故選:ACD
11.(2022.江蘇?連云港市贛馬高級中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/(x)=-Vlnx,則()
A./(x)W0恒成立B.”尤)是(0,+s)上的減函數(shù)
C.〃可在天=/得到極大值*D.在區(qū)間[上,‘內(nèi)只有一個零點
【答案】CD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/'(x)的單調(diào)性與極值,由此可判斷BC,取0<x<l可判斷A選
項的正誤,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及/■⑴=0可判斷D.
【詳解】??-/(x)=-x2lnx,該函數(shù)的定義域為(0,+功,
所以/'(%)=—2xlnx—x=-jv(21nx+l),
由/")>0,可得0<彳<3,由/'("<0,可得x>N,
所以當(dāng)0<彳<「;時,函數(shù)/'(X)單調(diào)遞增,當(dāng)x>£時,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減,
/(x)極大值故B選項錯誤,C選項正確;
當(dāng)0cx<1時,Inx<0,此時/(%)=-尤2111尤>0,A選項錯誤;
由題可知函數(shù)〃尤)在區(qū)間F,e內(nèi)單調(diào)遞減,M/(l)=0,故〃x)在區(qū)間7,e內(nèi)只有
一個零點,D選項正確.
故選:CD.
12.(2022?浙江.高二階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù),且其圖象連續(xù).當(dāng)
x>0時,lnx-l</,(%)<(x+l)er-4,則關(guān)于x的不等式〃x)<0的解集可能為()
A.(f-l)U(0,l)B.(―℃>,—e)|J(0,e)
C.(f,-4)U(0,4)D.(-?,-3e)U(O,3e)
【答案】BC
【分析】通過條件In.1勺''(x)<(x+l)e,—4,將導(dǎo)數(shù)還原為%=xlnx-2x和%=xe=4尤,
其導(dǎo)數(shù)分別為y;=lnx-l,必'=(x+l)e-4,分別分析兩個函數(shù)的單調(diào)性和零點情況,從
而判斷出函數(shù)當(dāng)尤,+oo)時,/(x)>xlnx-2rN0和當(dāng)xe(0,ln4]時,/(x)<xer-4x<0,
從而推斷出尤>0時,〃可<0的解集可能為(0,。,其中fe(ln4,e2),通過奇函數(shù)以及選項
是否符合fe(1114/)得到答案.
【詳解】因為當(dāng)x>0時,lnx-l</,(x)<(x+l)er-4,且/⑼4,
而可以令M=xlnx—2x,則y:=lnx-l
可以令%=xe1—4%,貝ijy=(九+l)e,—4
所以xlnx-2xd—4x(x>0),
因為乂=—所以令y;=lnx-l>0,貝”,e,令乂=lnx—l<。,貝|xve
所以%=xln%-2x在(0,e)上遞減,在(e,+oo)上遞增,且當(dāng)%=e?時,%=0
所以當(dāng)%后5,+oo)時,/(x)>xlnx-2x>0
因為%=xe"-4%(x>0),%=(x+l)ex-4,
故令m(x)=(x+l)ex—4,則mr(x)=ex(x+2)
又因為%>0,所以/(%)=?%%+2)>0,故加(%)在(0,+8)上遞增
設(shè)加(工0)=0,所以為二xe,-4%在(0,%)上遞減,在島,+8)上遞增
且當(dāng)%=。時,%=。(舍)或x=ln4
所以當(dāng)了£(0,ln4]時,/(x)<xex-4x<0,
所以當(dāng)x>0時,〃力<0的解集可能為(0J),其中te(ln4,e2),
又因為〃x)是奇函數(shù),所以〃x)<0的解集可能為(F,T)U(OJ).
而f€(1114,4),所以1e(In4,e2),故A錯誤;ee(ln4,e2),故B正確;
4e(ln4,e2),故C正確;3eg(ln4,e2),故D錯誤.
故選:BC
第II卷非選擇題部分(共90分)
三'填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(2022?新疆和靜高級中學(xué)高二階段練習(xí))函數(shù)/(x)=(d一x+l)eYxeR)的單調(diào)減區(qū)間
為.
【答案】[-1,0]
【分析】求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)小于等于0,即可求解.
【詳解】由題意得:(x)=(x2+x)e',令尸(x)<on(d+x)eyonx2+x<0,解得
—10WO,所以單調(diào)遞減區(qū)間為[-L0],
故答案為:[TQ]
14.(2022?四川省資陽市外國語實驗學(xué)校高二期中(理))如圖,直線/是曲線y=〃x)在點
(4"(4))處的切線,則”4)+/(4)的值等于.
>
5
3
O14X
【答案】=##5.5
2
【分析】由函數(shù)的圖像可得/(4)=5,以及直線/過點(0,3)和(4,5),由直線的斜率公式可得
直線/的斜率左,進而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得((4)的值,將求得的〃4)與((4)的值相加即
可.
【詳解】由函數(shù)的圖像可得44)=5,直線/過點(0,3)和(4,5),則直線/的斜率左=言=g,
又由直線/是曲線>=〃力在點(4"(4))處的切線,則((4)=1,
所以〃4)+尸(4)=5+g=5.
故答案為:—
15.(2022?四川省資陽市外國語實驗學(xué)校高二期中(文))設(shè)/'⑴是函數(shù)了⑺的導(dǎo)函數(shù),且
r(x)<〃"(xeR),/(l)=e,則不等式/(In尤)>x的解集為.
【答案】(0,e)
【分析】根據(jù)r(無)</(尤)構(gòu)造函數(shù)g(x)=駕,求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負確定函數(shù)單調(diào)性,利
e
用函數(shù)單調(diào)性解不等式.
【詳解】令g(x)=駕,則g'(x)=1,
e(e)e
?."'(%)</(x),g'(x)<0,
,g(尤)=卒在R上單調(diào)遞減,
e
由7(lnx)>x可得他回=片曾>1=3,
xee
即g(lnx)>g(l),.-.lnx<l,解得0<x<e.
故不等式的解集為(0,e).
故答案為:(0,e)
16.(2022?山東德州?高二期末)已知函數(shù)/(x)=ox2-x+ln.x有兩個不同的極值點占,x?,
則實數(shù)。的取值范圍是;若不等式〃石)+〃々)>%+%+/有解,則實數(shù)f的取值范
圍是?
【答案】(-00,一7+21n2)
【分析】由/'(x)=0有兩個不等正根可得。的范圍,同時由韋達定理把x,+W,為々用。表示,
不等式“玉)+/(%)>芯+9+/有解,即/(占)+/(尤2)-(再+工2)>,有解,計算
〃%)+/(々)-(再+々)表示為。的函數(shù),引入新函數(shù)g(x),由導(dǎo)數(shù)求出其取值范圍后可得「的
范圍.
【詳解】f'(x)=2ax-l+-=2ax2~X+1,由題意2辦2_%+1=。有兩個不等正根,
XX
A=1—8〃>0
解得0<a<:.
所以Xi+Xn=-->0.
122ao
=—>0
,122a
不等式](4)+〃々)>/+%+/有解,即ra)+/(*2)一(%+%)>/有解,
/(玉)+/(%2)_(M+x2)=ax;一再+In玉+axf-x2+\nx2-(玉+x2)
—
—+%)2—2axi々2(再+x2)+ln(%/2)=----1----FIn—=In---------1—In2,
一一4〃a2aa4a
3
令g(%)=lnx一片-l-ln2,尤>8,
i34-3
/(%)=——]=-^r,易知尤>8時,g'(x)<0,g(x)是減函數(shù),
x44x
g(8)=ln8—6—1—ln2=—7+21n2,g(x)<-7+21n2,
0<a<-,即1>8,所以In』-。?工一l-ln2<-7+21n2,
8aa4a
所以r<-7+21n2時,不等式/(%)+/"(〃)-a+尤2)>t有解.
故答案為:(0,-),(-oo,-7+21n2).
四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算
步驟.
17.(2022?陜西渭南?高二期末(文))已知函數(shù)在x=-l處取得極值.
⑴求實數(shù)。的值;
⑵求函數(shù)/(x)在42,1]上的最大值和最小值.
【答案】⑴。=1
⑵〃人、=1,“也產(chǎn)?
【分析】(1)求導(dǎo),根據(jù)極值的定義可以求出實數(shù)。的值;
(2)求導(dǎo),求出xe[-2,l]時的極值,比較極值和/(-2),/⑴之間的大小關(guān)系,最后求出
函數(shù)的最大值和最小值.
【詳解】(1)f'(x)=3x2-3a,
:函數(shù)/(x)在%=-1處取得極值,
尸(-1)=3-3a=0,
即4=1(經(jīng)檢驗符合題意),
1=1.
(2)由(1)知九)=d—3x—1,
貝制x)=3x<3,
令/'(力=3--3>0,解得x<-l或x>l;
令/'(尤)=3/一3<0,解得-L<x<l;
???函數(shù)/(x)在[-2,-1)上單調(diào)遞增,在[T,1]上單調(diào)遞減,
則極大值/(-1)=1,而“-2)=-3,/(1)=-3,
故函數(shù)/(X)在[-2』上的最大值和最小值分別為,
"'Lx="T)=1,/??=/(l)=/(-2)=-3.
18.(2022?四川省資陽市外國語實驗學(xué)校高二期中(理))已知三次函數(shù)〃耳=辦3+笈2+6
的極大值是20,其導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(2,0),(4,0),如圖所示,求
(1)。,b,c的值;
⑵若函數(shù)y=/(x)-帆有三個零點,求加的取值范圍.
【答案】(1)。=1,b=-9,c=24;
(2)16<m<20.
【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性,進而判斷原函數(shù)的極值點,再利用代入
法求解即可;
(2)根據(jù)函數(shù)零點的定義,通過數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.
【詳解】(1)由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知:
當(dāng)x<2時,f\x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng)2cx<4時,r(x)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減;
當(dāng)尤>4時,>0,函數(shù)單調(diào)遞增,
所以x=2是函數(shù)f(x)的極大值點,x=4是函數(shù)〃尤)的極小值點,
于是有八2)=『'(4)=0,〃2)=2。,
由/(%)=加+京+cx=>/,(x)=3ar2+2bx+c,
12〃+4Z?+c=0a=l
所以有<48〃+88+c=0=></?=-9;
8〃+48+2c=20c=24
(2)由(1)函數(shù)的極小值為"4)=16,極大值為"2)=20,
而知函數(shù)的圖象如下圖所示
[—
bv(x)=x3_9x2+24x
1*
因為函數(shù)y=有三個零點,
所以函數(shù)y=/(x)的圖象與直線丁=加有三個不同的交點,
所以16<20.
19.(2022?山東青島?高二期末)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料,瓶子的制造成本
是0.8萬/分,其中廠(單位:cm)是瓶子的半徑.已知每出售1mL的飲料,制造商可獲利
0.2分,且制作商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.
(1)瓶子的半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?
⑵瓶子的半徑多大時,每瓶飲料的利潤最???
(3)假設(shè)每瓶飲料的利潤不為負值,求瓶子的半徑的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)r=6c機時,每瓶飲料的利潤最大
(2)當(dāng)r=2c;w時,每瓶飲料的利潤最小
(3)3cm<r<6cm
【分析】(1)由題意得到每瓶飲料的利潤為〃廠)=0.8萬][-產(chǎn)],利用導(dǎo)數(shù)法求解;
(2)由(1)根據(jù)唯一的極小值點為最小值點求解;
(3)由/⑺一產(chǎn)40求解.
(1)
解:由題知:每瓶飲料的利潤為:
4%尸3C3)
y=/(r)=0.2x--------0.8?戶=0.8^---r2,0<r<6,
所以/,(r)二0,8萬(r2—2廠)=0.8萬廠(廠一2),
令(⑺=0,解得丁=2,
當(dāng)r?0,2)時,/,(r)>0,f(r)在(0,2)上單調(diào)遞減,
當(dāng)r?2,6]時,r(r)<0,f⑺在(2,6]上單調(diào)遞增,
又/(6)=28.8/〃2)=-萬,
所以,當(dāng)r=6s時,每瓶飲料的利潤最大;
(2)
由(1)知:當(dāng)廠=2m時,每瓶飲料的利潤最?。?/p>
(3)
由/(r)=0.87r^-y-r2^>0(0<r<6),
解得3<r<6,
故所求瓶子的半徑取值范圍是3cwzW
20.(2022.黑龍江?哈爾濱市第一二二中學(xué)校高二期末)已知函數(shù)/。)=。'-辦-1.
(1)當(dāng)。=1時,求函數(shù)“X)的圖象在點(11(1))處的切線方程;
⑵討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性;
⑶若/(x)20恒成立,求實數(shù)。的取值集合.
[答案]⑴(eT)x_y_l=0;
(2)答案見解析;
(3)W.
【分析】(1)代入a=l,求出/'(x)=e*-l,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率,即可得
到切線方程;
(2)f\x)=&x-a,對aWO以及a>0進行討論,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得到〃x)的單調(diào)
區(qū)間;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,可知。>0,根據(jù)題意,應(yīng)有了。焉2,B|J/(lna)>0,4
g{a}=a-a^a-l,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可求得實數(shù)。的取值集合.
【詳解】(1)當(dāng)a=l時,/(力=1*1,則尸(x)=e-l,
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得函數(shù)Ax)的圖象在點(1"⑴)處的切線斜率左=1⑴=e-1,
又/⑴=e-l-l=e-2.
所以,切線方程為y—(e—2)=(e-D(x-l),整理可得(e-l)x-y-1=0.
⑵f(x)定義域為R,f\x)=e-a.
當(dāng)aWO時,/")>0在R上恒成立,所以“尤)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時,解了<x)=0,即e*-a=0,解得x=lna,
解了耿)>0,得尤>lna,則/'⑺在(Ina,a)上單調(diào)遞增,
解了得x<lna,則/'(x)在(f,Ina)上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)aVO時,/(X)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)。>0時,f(x)在(lna,+?)上單調(diào)遞增,
在(TO,Ina)上單調(diào)遞減.
(3)由(2)知,當(dāng)時,/(X)在R上單調(diào)遞增,X/(0)=e°-0-l=0,所以當(dāng)x<0
時,/(x)</(0)=0,不滿足要求,所以a>0.
則由(2)知,/(X)在x=lna時,取得最小值.
要使/(x)20恒成立,則只需滿足〃lna)\0即可,即/(lna)=a—alna—120.
令g(a)=a-alna-l(a>0),即g(a)20.
g/(o)=l-lna-l=-lna.4'g,(?)=0,貝
當(dāng)a>l時,g'(a)<0,當(dāng)0<“<l時,g'(a)>0,
所以,g(a)在a=l處取得極大值,也是最大值g(l)=0,所以g(a)VO.
又g(a)20,所以g(a)=O,所以有a=L
即當(dāng)“=1時,/(lna)=a-alna-l=0,有/(lna)=a—alna—120成立.
所以,實數(shù)”的取值集合為口}.
21.(2022.河北省文安縣第一中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/(x)=(x-2)e,-左(x-lnx).
⑴當(dāng)左=0時,求f(x)的極值;
⑵證明:當(dāng)上>e,x>l時,/(x)>-k2.
【答案】(1)極小值為-e,無極大值
(2)證明見解析
【分析】(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)((無),再求函數(shù)尸(》)=0的解,結(jié)合極值點的定義,求極
值點和極值;
⑵利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)Ax)的單調(diào)性,求其最小值/(七),再利用導(dǎo)數(shù)證明〃%)+^>0即可.
【詳解】(1)函數(shù)解尤)=(x-2)e*-左(x-lnx)的定義域為(0,+8),
因為%=0,所以/(x)=(x-2)e,,其中xe(0,+co),
由題可知/(無)=0T)e",令/'(%)云0,得x=l.
當(dāng)x>l時,f'(x)>0,函數(shù)/(a)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,
當(dāng)0cx<1時,f'(x)<0,函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
故/(元)=(》-2)/在x=l處取得極小值,極小值為了⑴=-e,無極大值.
(2)因為/(尤)=(尤-2)e'-左(x-lnx),其中左>
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