湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題

2024年高二9月起點(diǎn)考試

高二數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間：2024年9月5日下午14：3016：30

試卷滿分：150分

注意事項(xiàng)：

L答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)城均無(wú)效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.孝感市某高中有學(xué)生1200人，其中高一年級(jí)有學(xué)生400人，高二年級(jí)有學(xué)生600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)

抽樣的方法抽取120人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則被抽到的高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)多（）

A.20B.30C.40D.50

2.已知復(fù)數(shù)z滿足：（l+2i）z=3—4i,則復(fù)數(shù)彳的虛部為（）

A.2iB.2C.2D.-2i

3.已知萬(wàn)=（2,0）,B=（2,2）,則a在B上的投影向量為（）

A.B.（1,1）C.（2,1）D.（2,2）

7[

4.己知圓錐的側(cè)面積為2兀，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為一的扇形，則該圓錐的底面圓半徑為

3

（）

D.還

A,3R273

D.-----------C.也

333

5.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)人="第一枚出現(xiàn)小于4的點(diǎn)”，B="第二枚出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”，則A與

3的關(guān)系為（）

A.互斥B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立D.相等

6.在三棱錐S-A3C中，三個(gè)側(cè)面與底面ABC所成的角均相等，頂點(diǎn)S在VA3C內(nèi)的射影為。，則。

是VA3C的（）

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.外心

7.如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱ABC。—A與G。，底面ABCD是正方形，。6=3,。=3,

且NGC3=NGCD=60°，則向量乖的模長(zhǎng)為（）

A.aB.34C.52D.375

8.已知單位向量方萬(wàn)滿足,一年2ar5=0,則忖+2麗eR）的最小值為（）

A,&B,C*D.縣

332

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于非零向量扇5,下列命題中正確的是（）

A.若同=M，則G.B.若萬(wàn)=—b，則］〃分.

C.若同〉|同，則@〉尻D.若力=瓦6=小則打=乙

io.如圖，正方體A3CD-44G2的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列選項(xiàng)中正確的是

B,平面平面4耳GR.

C.若尸是G2中點(diǎn)，則二面角—G的余弦值為手.

D.若則直線用P與&)1所成角的余弦值為色.

45

11.在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為。(0＜。＜1),收到0的

概率為1-1；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為分(0＜，＜1),收到1的概率為1-，.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)?/p>

次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信

號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多

的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-e)(l-")2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為，(1-")2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為尸(1-/)2+(1-分)3

D.當(dāng)0＜夕＜0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為。概率大于采用單次傳輸方案譯碼為。的概

率

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知aeR,若復(fù)數(shù)Z=,2—3a—4)—(a—4)i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)Z】=—a+ai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

位于第象限.

13.三棱錐D—ABC中，"，平面43。,43,3。,。4=43=6',3。=&，則該三棱錐的外接球體

積等于.

11----"---"---"---"

14.在VA3C中，A=-ABCBA=3CACB,則VA3C中最小角的余弦值為.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，在直三棱柱ABC—AgG中，43=40=5,84=50=6,。,￡分別是441和30的中點(diǎn).

C

(1)求證：DEJ_平面3CC13I；

(2)求三棱錐E—BCD的體積.

16已知同=2,|司=4,|萬(wàn)+司=2退.

(1)若(2"歷)“初+25),求實(shí)數(shù)上的值；

(2)求日與3方+6B的夾角的余弦值.

17.在VABC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=a(l+2cosB).

TT

(1)若5=一,求角。的大小；

3

b

(2)若VA3C為銳角三角形，求一的取值范圍.

a

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，上4,平面ABC2E為尸。的中點(diǎn)，AD//

BC/BAD=90°,PA=AB=3C=1,AD=2.

(1)求證：CE〃平面P45；

(2)求證：平面上4C,平面PDC；

(3)求直線EC與平面PAC所成角正弦值.

19.A校和8校是孝感市兩所著名的高中，為了相互學(xué)習(xí)和交流，現(xiàn)隨機(jī)抽取2000名A校學(xué)生和2000名8

校學(xué)生參加一場(chǎng)知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽，得到的競(jìng)賽成績(jī)?nèi)课挥趨^(qū)間［40,100)中，現(xiàn)分別對(duì)兩校學(xué)生的成績(jī)作統(tǒng)

計(jì)分析：對(duì)A校學(xué)生的成績(jī)經(jīng)分析后發(fā)現(xiàn)，可將其分成組距為10,組數(shù)為6,作頻率分布直方圖，且頻率

/頻率］0.1"2"T,1<n<3

分布直方圖中的yY=滿足函數(shù)關(guān)系y=<(〃為組數(shù)序號(hào),HeZ）；關(guān)

0.1左（8-“）,4<n<6

于8校學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如下圖所示(縱軸為頻言率《)，假定每組組內(nèi)數(shù)據(jù)都是均勻分布的.

組距

Q

S06

05

O.04

O.03

S02

S001

8校學(xué)生成績(jī)頻率分布直方圖

(1)求左的值；

(2)若B校準(zhǔn)備給前100名的學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)，應(yīng)該獎(jiǎng)勵(lì)多少分以上的學(xué)生？

(3)現(xiàn)在設(shè)置一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)?來(lái)判定某一學(xué)生是屬于A校還是2校，將成績(jī)小于/的學(xué)生判為B校，大于?的

學(xué)生判為A校，將A校學(xué)生誤判為2校學(xué)生的概率稱為誤判率4將2校學(xué)生誤判為A校學(xué)生的概率稱為

誤判率誤判率A與誤判率B之和稱作總誤判率，記為/(，).若，€設(shè)0,70),求總誤判率/”)的最小

值，以及此時(shí)/的值.

2024年高二9月起點(diǎn)考試

高二數(shù)學(xué)試卷

命題學(xué)校：安陸一中命題教師：陳漢榮李治國(guó)余華萍審題學(xué)校：安陸一中

考試時(shí)間：2024年9月5日下午14：3016：30

試卷滿分：150分

注意事項(xiàng)：

L答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)城均無(wú)效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.孝感市某高中有學(xué)生1200人，其中高一年級(jí)有學(xué)生400人，高二年級(jí)有學(xué)生600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)

抽樣的方法抽取120人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則被抽到的高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)多（）

A.20B.30C.40D.50

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意先求抽樣比，進(jìn)而求高一，高二被抽到的學(xué)生生人數(shù)即可求解.

于是，高一被抽到的學(xué)生人數(shù)為400x^=40,

10

高二被抽到的學(xué)生人數(shù)為600x—=60,

10

所以高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)多60-40=20.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足：（l+2i）z=3-4i,則復(fù)數(shù)N的虛部為（）

A.2iB.2C.2D.-2i

【答案】C

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的除法先求出復(fù)數(shù)Z,結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的概念，進(jìn)而可得出結(jié)果.

/、3-4i（3-4i）（l-2i）-5-10i

【詳解】因?yàn)椋╨+2i）z=3—4i,所以z=^—=——$——^=—~-=-l-2i,

v）l+2i（l+2i）（l-2i）5

所以5=—l+2i所以虛部為2.

故選:C

3.已知M=（2,0）石=（2,2）,則日在5上的投影向量為（）

A.（V2,l）B.（1,1）C.（2,1）D.（2,2）

【答案】B

【解析】

【分析】利用|?|cos^,^-1|即可得到4在5上的投影向量.

【詳解】）在5上的投影向量為.卜°0（4，??||=1?苗,"=了,3=：（2,2）=（1,1）.

故選：B.

7T

4.已知圓錐的側(cè)面積為2兀，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為一的扇形，則該圓錐的底面圓半徑為

3

（）

A.BB.-C.73D.-

333

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)出圓錐底面圓半徑，表示出圓錐母線長(zhǎng)，再利用圓錐側(cè)面積公式計(jì)算即得.

7T

【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為一，母線長(zhǎng)為/,貝iJ2w=—/,解得/=6r,

3

由圓錐的側(cè)面積為2兀，得口/=2兀，即6產(chǎn)=2,所以r=@

3

故選：A

5.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)人="第一枚出現(xiàn)小于4的點(diǎn)”，B="第二枚出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”，則A與

3的關(guān)系為（）

A.互斥B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立D.相等

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概念進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于該試驗(yàn)，第一枚骰子與第二枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)互不影響，故A與3相互獨(dú)立.

故選：C

6.在三棱錐S-A3C中，三個(gè)側(cè)面與底面ABC所成的角均相等，頂點(diǎn)S在VA3C內(nèi)的射影為。，則。

是VABC的（）

A.垂心B,重心C.內(nèi)心D.外心

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三垂線定理可得平面的夾角，結(jié)合題意得==即可根據(jù)銳角三解函數(shù)

得OD=OE=OF,由內(nèi)心的性質(zhì)即可求解.

【詳解】若三個(gè)側(cè)面與底面所成的角相等，則分別作三個(gè)側(cè)面三角形的斜高SD,SE,M,

由三垂線定理，得ODL5C,OE±AC,OFLAB,

則NS。。、/SEO、NSFO分別是三側(cè)面與底面所成角的平面角，

ZSDO=ZSEO=ZSFO,

OSOSOS

???tanNSDO=——,tanZ5EO=——,tanZSFO=——，

ODOEOF

,\OD=OE=OF,

「.O是VABC的內(nèi)心.

故選：C.

7.如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱ABC。—A4GD，底面45C。是正方形，CG=3,CD=3,

且NGC3=NGCD=60°，則向量年的模長(zhǎng)為（）

Bi4

A.V29B.34C.52D.3石

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性表示可達(dá)京=-不-也-赤，即可由模長(zhǎng)公式求解.

【詳解】A^C=^AAl-BA+BC=-CQ-Ci5-CB,

故而2=（_乙_①—闞2=忑2+方+函2+2/.電+2屈.聞+2不.國(guó)

2

故丞-=32+32+32+2X3X3COS600+0+2x3x3cos60°=45，

故麗卜病=3百，

故選：D

8.已知單位向量第5滿足卜—q+2舟石=0,貝I]忸+2即eR）的最小值為（）

A血RR02a逐

i\..jj.----.

332

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)題意求出小6的值，進(jìn)而即可求解忸+2刖eR）的最小值.

詳解】由卜一5卜265.5=0得,一.=一26無(wú)5,

兩邊取平方得卜―々2=卜2舟-5丁，即72—2萬(wàn)出+斤=12（萬(wàn)萬(wàn)『，

又萬(wàn)出為單位向量，所以6（無(wú)石『+無(wú)5—1=0,即（3NZ—1）（2萬(wàn)-5+1）=0,

一1rr1

解得=一或a?9=——,

32

因?yàn)?一可=一2百汗石20,所以無(wú)5<o,即與?/?=-；.

因?yàn)椤f(wàn)+26]=9萬(wàn)+2萬(wàn)『=（夜『+4夜Z+4?2=/—2/+4=Q—l）2+3?eR）,

所以卜3+2?=J（-l）2+32也,當(dāng)/=1時(shí)等號(hào)成立，

所以忸+2而GR）的最小值為6.

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于非零向量第5,下列命題中正確的是（）

A.若同=|石卜則&=B?B.若萬(wàn)=—B，則萬(wàn)〃方.

C.若同〉W，則D.若方=瓦6=1，則商=方.

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)向量模的定義即可求解C,根據(jù)向量共線定義可判斷B,根據(jù)向量相等的定義即可求解AD.

【詳解】對(duì)于A,同=忖不能得到第B的方向，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,若汗=-5，則方〃B，B正確，

對(duì)于C,向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,若d=5,5=e，則方=*，D正確，

故選：BD

10.如圖，正方體用G2的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在線段C2上運(yùn)動(dòng)，則下列選項(xiàng)中正確的是

B.平面平面A6]G2.

C.若P是C2的中點(diǎn)，則二面角「一3道一4的余弦值為35.

5

D.若則直線男尸與8。所成角的余弦值為巫.

45

【答案】ABC

【解析】

【分析】證明AD,1CR,可判斷A的真假；通過(guò)面面垂直的判定定理判斷B的真假；作出二面角并求出

其余弦值，判斷C的真假；作出異面直線所稱的角，并求其余弦，判斷D的真假.

【詳解】對(duì)A：如圖

連接A，，AP,因?yàn)锳BC?！?4G。是正方體，

所以GA，平面ADD^,ADiu平面ADDX\,所以CR1AD1.

又點(diǎn)尸在線段G2上，所以△ARP為直角三角形，

所以（當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)2重合時(shí)取"=”）.故A正確；

對(duì)B：因?yàn)锳BC。—是正方體，所以，平面

又BB]U平面BBF，所以：平面3片尸，平面A4GR,故B正確;

對(duì)C：當(dāng)尸為線段G。中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?用，尸與，BB[工CjB],

所以NPB|G即為二面角P—5四—C的平面角.

在△尸與G中，PC,=~,5G=1,PQ±,所以PBi=Y￡,

22

所以COS々Be=我=T.故c正確；

3

對(duì)D：如圖:

因?yàn)樵?月上取點(diǎn)使連接MB,MD、,則MQ/ABp,

所以NMRB即為異面直線BF與D.B所成的角.

中，MD,=-,BD、=6,BM=M.

414

25.17

—^3—7巧

由余弦定理可得：cosZMD1B=^——a=」一，故D錯(cuò)誤.

2X5XV315

4

故選：ABC

11.在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到I的概率為。(0＜。＜1),收到。的

概率為1—cn發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為"(0＜，＜1),收到1的概率為1-，.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)?/p>

次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信

號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多

的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A,采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-￡)(1-")2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為，(I-/)?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1概率為尸(1-/)2+(1-/)3

D.當(dāng)0＜&＜0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為。的

概率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求

出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1

接收1的3個(gè)事件的積,

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1—尸)(1—1)(1—分)=(1—a)(l—，)2,A正確；

對(duì)于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1——，)=￡(1—月產(chǎn)，B正確；

對(duì)于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事

件和，

它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為+(1-，)3=(1-，)2(1+2，)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(l—a)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為。的概率尸'=1—￡,而0＜夕＜0.5,

因此P—P=(l—。)2(1+2。)一(1—a)=a(l—a)(l—2a)＞0,即P＞。，D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相

互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知aeR,若復(fù)數(shù)Z=,2—3a—4)—(a—4)i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)Z】=—a+ai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

位于第象限.

【答案】四

【解析】

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念求出。的值，再確定Z]=-a+ai對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.

【詳解】因?yàn)閆=0—3a—4)—(a—4)i是純虛數(shù)，且aeR,

a?-3a-4=0

所以《n〃=-1.

〃一4。0

所以Z]=—a+ai=l—i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,—1)位于第四象限.

故答案為：四

13.三棱錐D—ABC中，"，平面43。,43,3。,。4=43=6",3。=桓'，則該三棱錐的外接球體

積等于.

【答案】出巨

3

【解析】

【分析】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，求長(zhǎng)方體外接球的體積即可.

【詳解】如圖：

將三棱錐。-ABC補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則三棱錐D-ABC的外接球和長(zhǎng)方體的外接球是一致的.

設(shè)長(zhǎng)方體外接球半徑為R,貝。：（2/?）2=ZM2+AB2+BC2=3+3+2=8,所以R=6

所以三棱錐的外接球體積為：V=-nR3=-11x242=盛三.

333

故答案為：警

14.在VABC中，A^-,4BCBA^3CACB,則VABC中最小角的余弦值為

2

【答案】空##26

77

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量積的幾何意義計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閂A3C是直角三角形，且5c為斜邊,

而5c3=網(wǎng).國(guó)際3=網(wǎng)［CA-CB=\CA\-\CB\cosC=|CA|,

3E國(guó)得4網(wǎng)2=3閘,即網(wǎng)=今研,

由4配?麗

即網(wǎng)〈同，所以C<5,

故答案為：2互

7

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，在直三棱柱ABC—451G中，45=AC=5,BB]=30=6,。,￡分別是A4和gC的中點(diǎn).

(1)求證：平面BCG片；

(2)求三棱錐E—BCD的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)12

【解析】

【分析】(1)取3c中點(diǎn)G,連接AG,EG.,先證AG,平面BCGB],再證ED〃AG，可得DE,平

面BCC[B[.

(2)通過(guò)等積變換可得VE_B8=%TBC，求％.ABC即可?

【小問(wèn)1詳解】

取5c中點(diǎn)G,連接AG,EG.

C

因?yàn)镋是用C的中點(diǎn)，所以EG〃且EG=；3g.

由直棱柱知，AA,//BBX,而。是AA|的中點(diǎn)，所以EG〃AO且EG=D4,

所以四邊形EG4D是平行四邊形.所以ED〃AG.

又AB=AC,G為3c中點(diǎn)，.?.AGL5C,

又三棱柱ABC—[BJG為直三棱柱，所以平面ABC,AGu平面ABC,

BXB±AG,又B[BCBC=B,3]3,3Cu平面3?！昙?，

所以：AG,平面3CG耳，故DEL平面BCC4.

【小問(wèn)2詳解】

VE-BCD=VD-BEC，

由（1）知，平面3CC]4，.ED〃AG.

所以VD-BEC=^A-BEC=腺-ABC=^D-ABC

且%=-x-BC-EG-AG=-x-x6x3x4=12.

D-ABC3232

16.已知同=2，W=4,卜+可=2百.

（1）^（2a-kb）L（ka+2b）,求實(shí)數(shù)，的值;

（2）求不與32+65的夾角的余弦值.

【答案】（1）左=3土而

（2）—史.

13

【解析】

【分析】（1）根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式可得筋B=-4,即可根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可代入求解,

（2）根據(jù)夾角公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知，|方+B『=萬(wàn)？+2萬(wàn)+人2=12,又同=2,忖=4,所以五4=一4，

由（2〃_防）_L（%+25）,得（2彳_坊）?（%+25）=0,即2屈2+4必3_k2萬(wàn).g_2女=0

又同=2,忖=4,萬(wàn)Z=-4,所以8左一16+4左2—32左=0,解得左=3±而.

【小問(wèn)2詳解】

a-[3a+6b^=3a2+6a-b=-12

|3?+6^|=J9萬(wàn)2+36萬(wàn)?5+3652=6\J13

a-(3a+6b)_12而

設(shè)乙與34+65的夾角為。，則cosO=—?-------zq-=-------1==--—

同忸+6可2x671313

所以苕與30+6B的夾角的余弦值為-巫.

13

17.在VABC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,"c,已知c=a(l+2cosB).

TT

(1)若5=—,求角C的大??；

3

b

(2)若VA5C為銳角三角形，求一的取值范圍.

a

TT

【答案】(1)c=-

2

⑵

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，把c=a(1+2cosB)化成sinC=sinA-(1+2cosB),結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，

TT

消去角C,可得角A,8的關(guān)系，結(jié)合可求角C.

heinP

(2)根據(jù)(1)中角A,5的關(guān)系，利用正弦定理，可得一二——，再根據(jù)VA5C為銳角三角形，可求角

asinA

b

A的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得3的取值范圍.

a

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閏=6Z(1+2COSB),由正弦定理得：sinC=sinA-(l+2cosB)

又4+5+。=兀，所以sinC=sin(A+5)

所以sin(A+5)-2sinAcosB=sinA,得cosAsinB-sinAcosB=sinA

所以sin(5—A)=sinA,則6—A=A或5—A+A=TI(舍)，

兀JTJT

:.B=2A,-.-B=-,:.A=-,:.C=~.

362

【小問(wèn)2詳解】

由題意及(1)得，在VABC中，B-2A,

bsinBsin2A-

由正弦定理得，一------=---------=2cosA4,

asinAsinA

???△ABC為銳角三角形,

C4兀

0<A<—

2

7TTTTT

.-J0<2A<-解得：-<A<-,

264

TT

0<7i-A-2A<-

2

<2cosA<y/3,/.一

a

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，上4,平面ABCRE為尸D的中點(diǎn)，AD//

3C,/R4D=90°,PA=AB=3C=1,AD=2.

(1)求證：CE〃平面B45；

(2)求證：平面上4C,平面PDC；

(3)求直線EC與平面R4C所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析(3)叵

5

【解析】

【分析】(1)構(gòu)造線線平行，證明線面平行.

(2)通過(guò)證明CDLC4,CD±PA,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直，可證面面垂直.

(3)先作出直線EC與平面PAC所成的角，然后用直角三角形中的邊角關(guān)系求角的正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

如圖：

取的中點(diǎn)"，連接

則ME//AD，且ME=LA。，

2

又5C//AD且BC='A。，

2

所以ME//3c且"E=BC,

所以四邊形AffiCB為平行四邊形，所以BM//CE,

又CE仁平面PAB,9<=平面ms,

所以CE//平面B45.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)樯?,平面ABCRCDu平面ABCD,所以B4LOC,

由題設(shè)易知ABCD為直角梯形，且/B=ABAD=90°,BC=-AD,

2

則|AC|2=|ABF+13C|2=2,|CD|2=|A6|2+||AD|2=2,

所以|AC『+|CD『=|即。CLAC,

因?yàn)锳C。PA=A,AC,PAu平面PAC,

所以DC,平面PAC,又OCu平面PDC,

所以平面BAC，平面尸DC.

【小問(wèn)3