北京市某中學2023-2024學年高二年級下冊4月月考數(shù)學試卷

數(shù)學

（考試時間120分鐘滿分150分）

一、單選題（共40分）

1.從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復的三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有（）個.

A.24B.30C.36D.60

【答案】B

【解析】

【分析】考慮選出的3個數(shù)中有沒有0的情況，有0時再考慮。的排法，根據(jù)分類加法原理，即可求得答案.

【詳解】若從0,1，2,3,4中選出3個數(shù)中沒有0,

則組成各位數(shù)字不重復三位偶數(shù)有A；A；=12個；

若從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)中有0,且0排在個位，

則組成各位數(shù)字不重復的三位偶數(shù)有A；=12個；

若從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)中有0,且0不在個位，

則組成各位數(shù)字不重復的三位偶數(shù)有A；A；=6個；

故從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復的三位偶數(shù)，

這樣的數(shù)有12+12+6=30個，

故選：B

2.在數(shù)列｛4｝中，若q=1,—，貝凡2=（）

4

A.-2B.——C.1D

3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，探求出數(shù)列的周期，再利用周期性計算即得.

a

【詳解】在數(shù)列｛%｝中，由4=1,n+l=——，得。2=4,=-2,%=1，

2—an

因此數(shù)列｛4｝是周期性數(shù)列，周期為3,

所以％2=%=-2.

故選：A

5

3.若（1—2x）5=Gg++電廠+,,,+<75%，貝U%+%=（）

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

【解析】

【分析】利用二項式定理分別求出出，。4即可計算得解.

5224

【詳解】（1-2x）=aQ+axx+a2xH------n%/中，a2=C5x2=40,G4=x280,

所以%+%=120.

故選：C

4.已知數(shù)歹U｛。〃｝的前〃項和為S“=3"—1,則%=（）

A.81B.162C.243D.486

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用?！?工-51522）列式計算即得.

【詳解】數(shù)歹U｛a“｝的前w項和為S“=3〃—1,所以4=&-S&=35-34=162.

故選：B

5.若:x-最;的展開式中各項系數(shù)之和為-128,則展開式中的系數(shù)為（）

A.-2835B.945C.2835D.-945

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)賦值法求系數(shù)和得〃=7,即可根據(jù)展開式的通項公式求解.

【詳解】令x=l,得（一2）”=—128,得〃=7,

(_2V7_5r

3r3

的展開式的通項（+1=C"7f.(-3廣X=(-3)C；x,

I)

令7—?=2,得r=3,則n=（—3）七猶=-945尤2,故展開式中爐的系數(shù)為—945,

故選：D.

6.等比數(shù)列｛4｝滿足q+。3+“5=7，。5+%+。9=28,貝I］。9++。13=()

A.56B.-56C.-112D.112

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義解決問題.

【詳解】由題意知。5+%+。9+%/+%/=(%+%+。5)/=7/=28,解得/=4,故

+a

佝+an+%=(%i+。9)/=28x4=112.

故選：D.

7.甲、乙、丙、丁四名同學參加學校組織的植樹活動，學校共組織了3個植樹小組，每人只能參加一個植樹

小組，則甲、乙不在同一個植樹小組的安排方法有()

A.81種B.54種C.36種D.12種

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理分析求解即可.

【詳解】甲有3種參加方法，乙有2種參加方法，丙、丁均有3種參加方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，

甲、乙不在同一個植樹小組的安排方法有3x2x3x3=54種，

故選：B.

8.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號?；?可能被錯誤的

接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號為1時，接收為1和0

的概率分別為。和1-p.假設發(fā)送信號0和1是等可能的.已知接收到1的概率為0.475,則。的值為

()

A.0.8B.0.85C.0.9D.0.95

【答案】B

【解析】

【分析】利用全概率公式計算可得.

【詳解】設4="發(fā)送的信號為0"，B="接收到的信號為0”，

則入="發(fā)送的信號為1"，”接收到的信號為1”，

所以P(A)=0.5,P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B\A)=l-p,P(B\A)=p,

所以接收信號為1的概率為：P便)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=O.5xO.l+O.5xjp=0.475,

解得。=0.85

故選：B.

9.排球比賽實行“每球得分制”，即每次發(fā)球后，誰取勝誰就得1分，得分的隊有發(fā)球權，最后先得25分

的隊獲得本局比賽勝利，若出現(xiàn)比分24:24,要繼續(xù)比賽至某隊領先2分才能取勝，該局比賽結束.甲、

22

乙兩隊進行一局排球比賽，已知甲隊發(fā)球時甲隊獲勝的概率為耳，乙隊發(fā)球時甲隊獲勝的概率為且各

次發(fā)球的勝負結果相互獨立.若此時甲、乙兩隊雙方比分為22:22平，且甲隊擁有發(fā)球權，則甲隊得25分

且取得該局比賽勝利的概率為()

8726480

A.—B.-----C.----D.-----

27135135135

【答案】C

【解析】

【分析】甲隊得25分且取得該局比賽勝利包含甲以25：22取得比賽勝利和甲以25：23取得勝利兩個事件，

再利用事件的相互獨立性及互斥事件加法公式求概率.

【詳解】記事件A=“甲隊得25分且取得該局比賽勝利”，

事件8=”甲以25:22取得該局勝利”，C="甲以25:23取得該局勝利”，

因為各次發(fā)球的勝負結果相互獨立，且2,C互斥，

/、2228

所以P==

'/33327

。2、2222入2、2222入2、28

X—=—,

3J53331533313)545

所以P(A)=P?C)=P⑻+P?得+

64

所以甲隊得25分且取得該局比賽勝利的概率為——.

135

故選：C

10.已知5“是數(shù)列｛4｝的前n項和,且%=%=1，4=2a“T+

3a?_2(n>3),則下列結論正確的是

()

A.數(shù)列｛4—4+J為等比數(shù)列B.數(shù)列｛a“+i+2%｝為等比數(shù)列

20+(-廣

C.540=|(3-1)D.%=上

2

【答案】D

【解析】

【分析】A選項，計算出q-4=0,故｛%—am｝不是等比數(shù)列，A錯誤；

723

B選項，計算出｛4+i+24｝的前三項，得到§力亍，B錯誤；

C選項，由題干條件得到an+a“_i=3(a,-+an_2),故｛an+x+4｝為等比數(shù)列,得到

238

4+1+4=2x3"T,故%+4=2，a4+o3=2x3,......,a40+a39=2x3,相加即可求出

C錯誤;

D選項，在氏+]+4=2X3”T的基礎上，分奇偶項，分別得到通項公式，最后求出。=3"J(T)

112

【詳解】由題意得：/=2%+3%=5,%=2/+3g=1。+3=13,

由于q-4=。，故數(shù)列｛%—%+J不是等比數(shù)列，A錯誤；

則a?+2〃]=1+2=3,%+2a2=5+2=7,g+2a3=13+10=23,

723

由于亍，故數(shù)列｛aa+i+2a“｝不為等比數(shù)列，B錯誤；

〃23時，=2a“_]+3aA2，即4+an_x=3(an_,+a?.2),

又。]+。2—1+1—2,

故｛%+i+%｝為等比數(shù)列，首項為2,公比為3,

故4+1+凡=2X3"T,

238

故4+4=2,+o3=2x3,.......,am+a39=2x3,

1_Q40Q40_i

2438

以上20個式子相加得：S40=2X(1+3+3+---+3)=2X^-^-=^^,C錯誤;

因為。“+i+4=2X30T,所以?！?2+a“+i=2x3",兩式相減得：

4+2—%=2x3”—2X3"T=4x3"、

2-32k5

當九=2左時,a2k~a2k_2=4x3*,o2,t_2-a2jt_4=4x3^,.......,a4-a2=4x3,

o^2k—l1o

以上式子相加得：a2k-a2=4x(3+33+…+3?"3)=4X二一=-~,

故出%=2二+出=土2二,而%=1也符和該式，故包二2二,

令2左=“得：a=2匚=3j+(一廠

"22

a2k42k6

當〃二2左一1時，a2k-i~2k-3=4x3~,a2k_3-a2k_5=4x3~,......,q—％=4x3°,

[_q24-2124-2_[

以上式子相加得：—%=4X+32"-6+..?+30)=4X；9二尸，

q22-21q2左-2,1q2左-2,1

故出&_1=2一+%=2,而4=1也符號該式，故出1='2'

3，1+1

令2左一1=〃得：an="(-),

綜上：a1t=3"T+?)”i,口正確.

故選：D

【點睛】當遇到4+2-4=/(〃)時，數(shù)列往往要分奇數(shù)項和偶數(shù)項，分別求出通項公式，最后再檢驗能

不能合并為一個，這類題目的處理思路可分別令〃=2左—1和〃=2左，用累加法進行求解.

二、填空題(共25分)

()(2九-1,〃為奇數(shù)

H.在數(shù)列｛4｝中，若2‘T"為偶數(shù)'則%+%的值為-

【答案】17

【解析】

【分析】將"=4,77=5時分別代入偶數(shù)與奇數(shù)對應%通項，即可求解.

【詳解】依題意，%+%=23+(2x5—1)=17.

故答案為：17

12.在等差數(shù)列｛?！埃?，ax=2,d=3,則｛?！埃那?0項和Si。=,

【答案】155

【解析】

【分析】由等差數(shù)列求和公式即可得解.

[0x9

詳解】由題意=101+-----xd=10x2+45x3=155.

2

故答案為：155.

13.己知甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.5和0.8,且兩人投籃相互沒有影響.若投進一球得2分，未進得

0分，則每人投籃一次，得分相等的概率為.

【答案】0.5#*

【解析】

【分析】根據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求解.

【詳解】若兩人都沒有投進，概率6=(1—0.5)?！?.8)=0.1,

若兩人都投進，概率6=0.5x0.8=0.4,

則得分相等的概率P=P}+P2=0.5.

故答案為：0.5

14.如圖，在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角形中，第10行中最大的數(shù)與第二大的數(shù)的數(shù)值之比為

（用最簡分數(shù)表示）.

第

0行

1

第

1行

11

第

2行

121

第

3行

1331

第

4行

14641

第5行15101051

【答案】|

【解析】

【分析】第10行從左至右依次為C：o，C；o，C；0,…,C；&,由二項式系數(shù)性質(zhì)可得答案.

【詳解】觀察知第10行從左至右依次為C：o,C；o,C；o,C；：,

由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得=252最大，其次為C：o=，)=210,

z^5cc久

所以第10行中最大的數(shù)與第二大的數(shù)的數(shù)值之比為注=而=1.

X_Z-|Q乙J.UJ

故答案為：—■

15.己知數(shù)列｛4｝:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,…，其中第一項是2°，接下來的兩項是2°,2］，再接下來的三項是

2°,21,22,...,以此類推，則下列說法正確的是.

①第10個1出現(xiàn)在第46項；

②該數(shù)列的前55項的和是1012；

③存在連續(xù)六項之和是3的倍數(shù)；

④滿足前九項之和為2的整數(shù)塞，且〃>100的最小整數(shù)〃的值為440

【答案】①③④

【解析】

【分析】把題設中的數(shù)列分成如下的組：(1),(1,2),(1,2,4),(1,2,4,8),...,求出每組的和為4,命題①通

過計算每組項數(shù)的和求解；命題②恰好是前10組之和；命題③通過找到。3+%+%+a6+a,+as符合題意

得出判斷；命題④設前九項由前左行和第左+1行前加("〃2K左+L^eN*)項組成，算出前”和為北后結

合前幾項和為2的整數(shù)幕可得”的最小值.

【詳解】將數(shù)列｛4｝排成行的形式

1,

1,2,

1,2,4,

1,2,4,8,

第左UeN)行為：,則第左行和為4==2上一1，

前左行共有個數(shù),前上行的和為其=2義(1=2*+i—2—左，

對于命題①，第10個1出現(xiàn)在第1+2+3+4+5+6+7+8+9+1=46項，故①正確；

對于命題②，因為55=10x(；0+l),所以數(shù)列的前55項的和是SJO=2"-2—10=2036,故②錯誤；

對于命題③，因為+。4+。5+。6+。7+/=2+1+2+4+1+2=12,是3的倍數(shù)，所以存在連續(xù)六項

之和是3的倍數(shù)，故③正確;

對于命題④，設前〃項由前左行和第左+1行前加(14機〈左+LmeN*)項組成，則n=卜"；"+加.

前九項和為(=1+2"=2h一2—左+2'"-1,若前”項和為2的整數(shù)累，則有2+左=2"'—1，即

3+k=2'n.

因為根eN*,左eN*,所以當3+左=2"'=4時，左=1,m=2,"=3<100；

當3+左=2'"=8時，左=5,巾=3,〃=18<100；

當3+k=2'"=16時，=13,m=4,n=95<100；

當3+左=2'"=32時，k=29,m=5,n=440>100；

所以滿足前“項之和為2的整數(shù)幕，且〃>100的最小整數(shù)”的值為440,故④正確.

故答案為：①③④

【點睛】關鍵點點睛：本題考查分組數(shù)列的和以及與不定方程的整數(shù)解，對于分組數(shù)列的前〃項和的問

題，一般采用計算“大組”和，再計算“小組”和，而不定方程的整數(shù)解問題，則需把和式放縮為2的正整數(shù)

幕的形式，從而確定和的表達式.

三、解答題(共85分)

16.已知在等差數(shù)列｛4｝中，%=3,“9=-5.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛%｝的前幾項和S“，則當九為何值時用取得最大，并求出此最大值.

【答案】(1)4=13-2〃；

(2)〃=6時5”取得最大值為36.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知及等差數(shù)列通項公式求基本量，進而寫出通項公式；

(2)寫出等差數(shù)列前"項和，應用其二次函數(shù)性質(zhì)求最大值和對應機

【小問1詳解】

設等差數(shù)列｛??｝的公差為d,則4d=%-%=-5-3=-8,

故d=-2,

所以=%+(〃-5)2=3-2(〃-5)=13-2〃.

【小問2詳解】

,rcn(a,+a?)n(ll+13-2n)

由%=n,且S'~~叱=」-----------12n-n22,

"22

所以S〃=—(〃—6y+36,

故〃=6時S”取得最大，最大值為36.

17.已知公差不為。的等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為5“，且邑=20,%嗎，。4成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設〃=2%("eN*),求數(shù)列出｝的前〃項和人

【答案】⑴4=2九;

【解析】

【分析】(1)設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意列出關于內(nèi)和d的方程組求解即可;

⑵證明｛〃｝是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前〃項和公式即可求解.

【小問1詳解】

設等差數(shù)列｛4｝的公差為#0),

?.?54=20,4,。2，。4成等比數(shù)列，

4a+6d=20,[a,=2,

<<〃、2(，解得c

(a,+a)=Oy+3a)[d=2,

an=q—=2+(?—1)x2=2n；

小問2詳解】

2n

由⑴得，bn=r-=2=4\

.偽=4次b=4"=+i=4

”,4"

?.?｛包｝是首項為4,公比為4的等比數(shù)列，

4x0-4"）4x（4"-1）4,!+1-4

：Tn=1-4=-3-='

18.國務院正式公布的《第一批全國重點文物保護單位名單》中把全國重點文物保護單位（下述簡稱為

“第一批文保單位”）分為六大類.其中“A：革命遺址及革命紀念建筑物”、“2：石窟寺”、“C古建

筑及歷史紀念建筑物”、“。：石刻及其他”、“瓦古遺址”、“凡古墓群”，某旅行機構統(tǒng)計到北京

部分區(qū)的17個“第一批文保單位”所在區(qū)分布如下表：

行政區(qū)門類個數(shù)

A：革命遺址及革命紀念建筑物3

東城區(qū)

C：古建筑及歷史紀念建筑物5

西城區(qū)C：古建筑及歷史紀念建筑物2

豐臺區(qū)A：革命遺址及革命紀念建筑物1

海淀區(qū)C：古建筑及歷史紀念建筑物2

C：古建筑及歷史紀念建筑物1

房山區(qū)

￡：古遺址1

C：古建筑及歷史紀念建筑物1

昌平區(qū)

F：古墓葬1

（1）某個研學小組隨機選擇該旅行社統(tǒng)計的北京市17個“第一批文保單位”中的一個進行參觀，求選中

的參觀單位恰好為“C古建筑及歷史紀念建筑物”的概率；

（2）小王同學隨機選擇該機構統(tǒng)計到的北京市“第一批文保單位”中的“4革命遺址及革命紀念建筑

物”中的一個進行參觀；小張同學隨機選擇統(tǒng)計到的北京市“第一批文保單位”中的“C：古建筑及歷史

紀念建筑物”中的一個進行參觀，兩人選擇參觀單位互不影響，求兩人選擇的參觀單位恰好在同一個區(qū)的

概率：

（3）現(xiàn)在擬從該機構統(tǒng)計到的北京市“第一批文保單位”中的“C：古建筑及歷史紀念建筑物”中隨機抽

取2個單位進行常規(guī)檢查.記抽到海淀區(qū)的概率為P1,抽不到海淀區(qū)的概率為P2，試判斷Pl和p2的大小

（直接寫出結論）.

【答案】（1）—

17

⑵”

44

⑶A<P2

【解析】

【分析】（1）由題意知總樣本數(shù)為17,c：古建筑及歷史紀念建筑物共有n,利用古典概型概率公式從而

求解.

（2）由題意可知小王參觀A革命遺址及革命紀念建筑物與小張參觀C:古建筑及歷史紀念建筑物在同一個

區(qū)的只有東城區(qū)，然后分別求出他們參觀東城區(qū)的概率，從而求解.

（3）利用分類討論求出抽到海淀區(qū)的概率B和抽不到海淀區(qū)的概率。2,從而求解.

【小問1詳解】

設選中參觀單位恰好為“C:古建筑及歷史紀念建筑物”為事件C,

由題意知總共有17個，“c：古建筑及歷史紀念建筑物”有n,

所以

【小問2詳解】

設兩人選擇的參觀單位恰好在同一個區(qū)為事件8,由題意可知小王參觀A革命遺址及革命紀念建筑物與小

張參觀C：古建筑及歷史紀念建筑物在同一個區(qū)的只有東城區(qū),

35

所以小王參觀東城區(qū)景區(qū)的概率為一，小張參觀東城區(qū)景區(qū)的概率為一,

411

所以。（3）=巳義±=上.

—41144

【小問3詳解】

當抽到的2個都是海淀區(qū)的概率為2x工=工，

111055

2g1Q

當抽到的2個中有1個是海淀區(qū)的概率為一x—x2=—

111055

cr.,,11819,1936

所以口二豆+才有’必=1—

5555

所以Pi<Pi-

19.已知數(shù)列｛4｝的前”項和為S“，且滿足2S"=3a"-3（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）設）=log3。",數(shù)列他，,｝、的前W項和為I,,求證/1+1區(qū)+TL+l—e<2.

【答案】（1）??=3"（neN*）

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由S“與。”的關系結合等比數(shù)列的定義、通項計算即可;

（2）利用等差數(shù)列求和公式結合裂項相消法證明不等式即可.

【小問1詳解】

由已知[[22S“%==3a3n%-3-3（心2）

n2%=3a“-3a,_i=an=3a,i，

又2S1=3a「3=2/nq=3,即｛4｝是以3為首項和公比的等比數(shù)歹U,

即an=qx3"T=3"eN*）；

【小問2詳解】

+121_J

由（1）可知仇=iog34="，所以q=---=>—=2

乙/S+\nn+1

2

n+1

20.2020年5月1日起，北京市實行生活垃圾分類，分類標準為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾

四類.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，降低造紙的污染排放，節(jié)省

造紙能源消耗.某環(huán)保小組調(diào)查了北京市某垃圾處理場2020年6月至12月生活垃圾回收情況，其中可回收

物中廢紙和塑料品的回收量（單位：噸）的折線圖如下圖：

回收量

(單位：噸)

一一塑料品的回收量

--f—廢紙的回收量

(1)從2020年6月至12月中隨機選取1個月，求該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過

4.0噸的概率；

(2)從2020年7月至12月中隨機選取4個月，記X為這幾個月中回收廢紙再造好紙超過3.0噸的月份個

數(shù).求X的分布列及數(shù)學期望；

(3)假設2021年1月該垃圾處理場可回收物中塑料品的回收量為。噸.當。為何值時，自2020年6月至

2021年1月該垃圾處理場可回收物中塑料品的回收量的方差最小.(只需寫出結論，不需證明)

【答案】(1)-

7

(2)分布列見解析，E(X)=2

(3)4.4

【解析】

【分析】(1)記“該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸”為事件A,推出只有8月

份的可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸，然后求解概率.

(2)X的所有可能取值為1，2,3,利用超幾何概率公式求出概率得到分布列，然后求解期望即可.

(3)根據(jù)方差的計算公式，結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最小值.

【小問1詳解】

記“該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸”為事件A

由題意，只有8月份的可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸

所以尸(A)=」

7

【小問2詳解】

因為回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙

所以7月至12月回收的廢紙可再造好紙超過3.0噸的月份有：7月、8月、10月，共3個月.

X的所有可能取值為1，2,3.

C：C：31_

P(X=1)=上m=——

c：155

p(X=2)=^C2Lc2=—93

C：155

C：C；31_

P(X=3)=^^=—

C：155

所以X的分布列為:

X012

31

p

555

131

E(X)=1X-+2X-+3X-=2

【小問3詳解】

a=4.4,當添加的新數(shù)。等于原幾個數(shù)的平均值時，方差最小.

理由如下：由于2020年6月至2020年12月該垃圾處理場可回收物中塑料品的回收量分別為

2.8+3.5+4.9+4.2+4.9+4.9+5.6一

2.8,3.5,4.9,4.2,4.9,4.9,5.6，故其平均數(shù)為