遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高三期中I考試

數(shù)學(xué)試卷

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知集合Af={x|y=lg（x—3）},N={y|y〉2},則7l/nN=（）

A.0B.（2,3）C.（3,+oo）D.（2,+oo）

2.“夕=一|■”是"函數(shù)y=sin（2x+0）在xe-|-,0上單調(diào)遞減的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.在V48c中，點。在邊4B上，同=2麗，記赤=碗，麗=3，則有=（）

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.函數(shù)/（%）=卜05司+2（：05忖的值域為（）

A.[0,3]B.[-1,3]C.[T2]D.[0,2]

5.函數(shù)/（x）=log3（x2—4）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A(0,+e)B.(-℃,0)C.(2,+oo)D.(-叫-2

已知cos(a+p)=；,tanatanjS=2,貝i]cos(a—

6.尸）=（）

3113

A.——B.——C.D.

412124

7.設(shè)/（x）是定義域為R上的偶函數(shù)，且在（0,+。）單調(diào)遞增，則（）

第1頁/共4頁

8.已知向量G=(x,l),b=(sinx,sinx+cosx),函數(shù)/(x)=展3.若對于任意的王,/60,1-j,且

西/乙,均有|/(石)—/(%)|>/產(chǎn)-e1成立，則實數(shù)f的取值范圍為()

A.[0,+co)B,[l,+oo)C.D.(-oo,0]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列式子的運算結(jié)果為的是()

,1+tan15

A.-------B.tan20°+tan40°+Gtan20°tan40°

1-tan157

C.sin50°(百+3tan10°)D2tan15°

'1-tan215°

10.已知向量Z=(4,2),S=(-6,2),則(

A.卜+q=20B.與向量Z共線的單位向量是

、557

1_

C.(a+b\kaD.向量q在向量刃上的投影向量是-56

11.已知函數(shù)/(x)=2cos[0x+；J(O<0<3),且對VxeR,者B有/'(x)=—x),把/(x)圖象

i兀

上所有的點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜f，再把所得函數(shù)的圖象向右平移7個單位，得到函數(shù)g(x)

的圖象，則下列說法正確的是()

A.0=1B.g仔-[=-g(x)

C.8[+已]為偶函數(shù)D.g(x)在[o,1J上有1個零點

第H卷(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題每小題5分，共15分

12.已知向量3=(-4,3),b=(m,-9),若?！Γ瑒t實數(shù)加=.

29

13.已知函數(shù)/(x)=2x3+3x，若m>0,〃>0,且/(m)+f(2n-3)=f(0),則一+—最小值是.

mn

第2頁/共4頁

14.已知函數(shù)/(x)=2°24sin2xl°gLsinx+2°24c°s2xl°g4c°sx,則/(x)的最大值是

22

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2sin(兀-x)—sin［工+x)

15.已知——T-——T——-———.

u(3兀)csX13

5cosI—+x1+3cos(2兀-X)

(1)求tanx的值；

(2)若sinx,cosx是方程/—加x+〃=o的兩個根，求冽2+3〃的值.

16.已知函數(shù)/(x)=尤3—3/+bx+c在％=0時取得極大值1.

(1)求曲線，>=/(%)在點(3,/(3))處的切線方程；

(2)求過點(0,2)與曲線歹=/(x)相切的直線方程.

17.已知函數(shù)〃尤)=］尋為奇函數(shù).

(1)求實數(shù)。的值；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=log21-log2：+機，若對任意的工2e(°，l］，總存在玉e［2,8］,使得

g(Xi)=/(%)成立，求實數(shù)機的取值范圍.

x>0

18.已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=<"I

—+l,x<0

12

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若函數(shù)3；=。/-工區(qū)在區(qū)間。,2)上單調(diào)遞增，求。的最小值；

X

(3)如果存在實數(shù)加、“，其中加<“，使得g(772)=g⑺，求〃一機的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)=Asin(3久+(p)(^A>0,&)>0,\(p\<的圖象如圖所示.

第3頁/共4頁

（1）求函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間;

c兀

(2)求函數(shù)〃(x)=/在0,7上的最大值和最小值.

2

（3）若函數(shù)g（x）=y“eN*）內(nèi)恰有781個零點，求實數(shù)陽、及的值.

第4頁/共4頁

濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高三期中I考試

數(shù)學(xué)試卷

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知集合M4卜=炮（"—3）},2{小〉2},則（）

A.0B.（2,3）C.（3,+oo）D.（2,+oo）

【答案】C

【解析】

【分析】求出函數(shù)的定義域化簡集合再利用交集的定義求解即得.

【詳解】依題意，M={x|x-3>0}={x|x>3},而N={引y>2},

所以MnN=（3,+oo）.

故選：C

2.“夕=一|■”是“函數(shù)y=sin（2x+0）在xe-1-,0上單調(diào)遞減的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】當(dāng)0=■時，y=sin（2x+。）=sin2x--\=-cos2x,

兀

由xe--,0,則一兀42xV0,y=-cos2x單調(diào)遞減成立，即充分性成立；

當(dāng)"二￡+2E?EZ時，函數(shù)y=sin（2x+"）=—cos2x在-^-,0上單調(diào)遞減,

7T3兀

推不出°=一萬成立，如夕=萬，故必要性不成立；

第1頁供18頁

綜上，“9=一1”是“函數(shù)y=sin（2x+0）在xe-1,0上單調(diào)遞減”的充分不必要條件.

故選：A

3.在V45c中，點。在邊45上，~AD=2DB＞記口=蔡，CD=n＞則與=（）

A.3m-2nB.-2m+3flC.3加+2〃D.2m+3n

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量加法的三角形法則得2=赤+加，根據(jù)強=3而可得到G5與￡）的關(guān)系.

【詳解】由題意得，點。為線段48上靠近點8的三等分點，如圖所示：

CA=CB+BA

=CB+3BD

=CB+3(CD-CB)

=-2CB+3CD

=—2m+3n-

故選：B.

4.函數(shù)/(%)=卜05耳+23國的值域為()

A.[0,3]B.[-1,3]C.[-1,2]D.[0,2]

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，分段求出值域即可得解.

【詳解】依題意，/(X)=|cosx1+2cosx,當(dāng)OWcosxWl時，/(x)=3cosxe[0,3],

當(dāng)一lWcos<0時，/(x)=cosxe[-l,0),

所以函數(shù)/(x)=|cosx|+2cos|x|的值域為[-1,3].

第2頁/共18頁

故選：B

5.函數(shù)/(x)=log3(d—4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A,(O,+<?)B,(-?,0)C,(2,+co)D.(一刃,一2)

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算可得.

【詳解】函數(shù)/(x)=log3卜2—4),令一一4>0,即(x—2)(x+2)〉0,解得x〉2或x<—2,

所以/(x)的定義域為(一“，一2)”2,+。)，

又y=log3X在定義域上單調(diào)遞增，歹=/一4在(2,+8)上單調(diào)遞增，在(一*-2)上單調(diào)遞減,

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

故選：C

6.已知costanatan(3=2,則cos(a—6)=()

3113

A.B.D.

412124

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosacos尸、sinasin/7,再由兩角差的

余弦公式計算可得.

【詳解】因為cos(a+￡)=cosacos￡-sinasin￡=—,

sinasinB=--

csinasmB2

tanatan/3=---——土=2,解得＜

cos。COSB

cosacos^=--

所以cos(。一力)=cosacos力+sinasin0---.

故選：A

7.設(shè)/(x)是定義域為R上的偶函數(shù)，且在(0,+。)單調(diào)遞增，則()

第3頁/共18頁

【答案】B

【解析】

2323

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知〉2”，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得kg,3>1>2。>，結(jié)合函

數(shù)/(x)的奇偶性和單調(diào)性即可得出結(jié)論.

(_2\(

【詳解】由指數(shù)函數(shù)y=2、為單調(diào)遞增函數(shù)可知2。=1>2三>2”所以/『>f2技

V)\)

又“X)是定義域為R上的偶函數(shù),

所以/[叫2/㈠啕3)=/(睡23)，

(lAf(_3A

由對數(shù)函數(shù)y=log2%可知，Iog23〉log22=l,所以/[log2§J>/⑴>/23>/22

故選：B

8.已知向量2==(sinx,sinx+cosx),函數(shù)/(x)=展3.若對于任意的西,％e0,^j,且

西/吃，均有|/(再)—/(/)|>/卜"一e[成立，則實數(shù)f的取值范圍為()

A.[0,+oo)B,[1,+<?)C.(-℃,1]D.(-<?,0]

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得/(x)=(x+l)sinx+cosx,則((尤)>0在0,])上恒成立，不妨設(shè)當(dāng)</，則原不

等式可轉(zhuǎn)化為/(石)-m』</(%)-/9,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(x)-/el再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求

得實數(shù)/的取值范圍

【詳解】因為G=(x,l),=(sinx,sinx+cosx),

所以/(x)=a-b=xsinx+sinx+cosx=(x+l)sinx+cosx,

第4頁/共18頁

貝!Jf\x)=sinx+(x+1)cosx-sinx=(x+1)cosx,

兀?

當(dāng)xe0,-IH^COSX>0,X+1>0,則/''(x)〉0恒成立,

所以/(x)在0,1")上為增函數(shù)，

不妨設(shè)西</，則/(占)</(%)，因為ew<e*，

所以|/(再)_/(%2)|>49一e］等價于/(西)_/@2)</(9_e?),

X2

即/(%1)一忙項</(x2)-Ze,

令h(x)=f(x)-tex=(x+1)sinx+cosx-tex，會0仁,

所以可知"(x)在0,1)上為增函數(shù),

x兀I

所以〃'(％)=(x+1)cosx-te>0在0?-I上恒成立,

幡(x+l)cosx/c兀、,一八一

即，<----'-----在°，大上怛成乂，

e、L2；

令g(x)=①)

,,、Fcosx-(x+l)sinxleA-(x+l)cosx-eA-xsinx-sinx-xcosx.

則g3=---------------u----------------=----------/---------°，

(e)C

所以g(X)在0,1j上為減函數(shù)，所以gOAgl'ljnO,

所以/W0,所以實數(shù)/的取值范圍為(—8,0].

故選：D

【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁?/p>

不等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

單調(diào)性、極(最)值問題處理.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

第5頁/共18頁

9.下列式子的運算結(jié)果為省的是()

A.1+tan15。B.tan200+tan40+V3tan20tan40

1-tan15

C.sin50°(0+3tan10°)D,2也11”_

''1-tan215°

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用兩角和的正切公式判斷A、B、D；根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式、二倍角公式判

斷C.

【詳解】對于A：l+tanl5=tan45+tan15。=tan/45=+K)=tan60?=料,故A正確；

1-tanl51-tan45tan15''

(7“c。、tan200+tan40rr

對于B：tan60=tan120+40)=-----------；-------=>J3>

\，1-tan20tan40

所以tan20°+tan40°+J3tan20°tan40=V3，故B正確；

(V3cosl00+3sinl0°

對于C：sin50°(G+3tan10°)=sin50

、cos10°)

2A/3f—cos10°+^-sinl0°

o2V3sin(10°+3

=sin50------------——；—

=sin50°--------------------：-------------coslO

cos10

2A/3sin40°sin50°2Gsin40°cos40°=國吧=但"=百，故C正確；

cos10°cos10°cos10cos10

對于D：23nl5-tan(2x150)=tan30=昱，故D錯誤.

1-tan215'>3

故選：ABC

10.己知向量2=(4,2),3=(-6,2),則()

一一(2加45}

A.卜+囚=20B.與向星Q共線的單位向星是，

155

\一

C.(a+6)_LaD.向量a在向量3上的投影向量是

【答案】CD

【解析】

第6頁/共18頁

,a

【分析】求出Z+B的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求模，即可判斷A；與向量z共線的單位向量為土同，即可判斷

7a-b-

B；求出僅+b)也即可判斷C；根據(jù)向量￡在向量B上的投影向量是方心判斷口.

【詳解】因為方=(4,2),3=(—6,2),

所以3+B=(4,2)+(—6,2)=(—2,4),則5+B卜?^7+42=2也,故A錯誤;

又同="?+22=2后,則與向量々共線的單位向量為土向,

因為(1+B)-g=4x(_2)+2x4=0,所以+故C正確；

因為1Z=4x(—6)+2x2=—20,=(—67+2?=40,

a-bt1-

所以向量Z在向量B上的投影向量是可必=一56,故D正確.

\b\

故選：CD

11.已知函數(shù)/(x)=2cos[0x+])(O<0<3),且對VxeR,都有/'(x)=/'(—x),把/⑴圖象

17r

上所有的點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,再把所得函數(shù)的圖象向右平移7個單位，得到函數(shù)g(x)

的圖象，則下列說法正確的是()

A.CD—\

D.8(月在0,3上有1個零點

C.為偶函數(shù)

【答案】ABD

【解析】

兀

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)由/'(x)=/'y-X可得/'(X)關(guān)于直線x=N對稱，從而求得。，即可得到

6

/(X),從而判斷A；再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出g(x)解析式，最后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即

第7頁/共18頁

可.

【詳解】對于A：因為/(x)=2cos[ox+]J,所以/'(x)=—2(ysin[0x+g

=,.?./'(X)關(guān)于直線x=^?對稱，

TTTTTT

:.—co-\——=kn-\——，左￡Z,/.0=6左+1,左￡Z,

632

又?.?0＜。＜3,.,.當(dāng)左=0時，0=1,所以/(X)=2cos1x+：；故A正確；

對于B：把/(x)圖象上所有的點，縱坐標(biāo)不變，

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到了=2cos+1],

再把y=2cos12x+1J的圖象向右平移§個單位得到了=2cos

BPg(x)=2cosf2%-^-j,

??.g(x)關(guān)于點5,oJ對稱，滿足xj=-g(x),故B正確；

對于C：*口+仁]=2(：052口+.1—仁=2cos[2x+*],為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；

對于D：當(dāng)時，2x--^e,則g(x)在[og]上只有一個零點，故D正確.

故選：ABD.

第n卷(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題每小題5分，共15分

12.已知向量￡=(-4,3),S=(m,-9),若?！?，則實數(shù)加=.

【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

第8頁/共18頁

【詳解】因為。=(-4,3),1=(見一9)苴二//，,

所以—4x(—9)=3機，解得加=12.

故答案為：12

29

13.已知函數(shù)/(X)=2/+3X，若m〉0,〃>0,且f(m)+/(2/J-3)=/(0),則一+—最小值是.

mn

322

【答案】一##10—

33

【解析】

【分析】確定給定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，再求出機，〃的關(guān)系等式，并利用基本不等式“1”的妙用求出最

小值.

3

【詳解】函數(shù)/(X)=2x3+3》定義域為R,y(_x)=2(-x)+3(-x)=-/(x),

因此函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，

由/㈣+/(2〃-3)=/(0),得/(機)=一/(2〃-3)=/(3-2〃)，則加+2〃=3,

后卜1291。、/2919m4n119m4〃32

所以—I—二—(m+2/1)(—I—)=-(20H-----1-----)>—(20+2J---------)=—,

mn3mn3nm3\nm3

當(dāng)且僅當(dāng)9m"二一4n，即加=3一,〃=9—時取等號，

nm48

2932

所以一+—最小值是二.

mn3

32

故答案為：—

3

14.已知函數(shù)/(x)=2°24sin2xl°g/inx+2024cosniogjosx,則〃x)的最大值是

22

【答案】1012

【解析】

x=22

【分析】化簡可得f()-2024(sinxlog2sinx+cosxlog2cosxj,構(gòu)造

22

g(x)=sinxlog2sinx+cosxlog2cosx,通過導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得其最值.

x22

［詳尚星］/()-2024sinxlog1sinx+2024cosxlog〔cosx

22

2

=-2024(sin?xlog2sinx+cosxlog2cosx

第9頁/共18頁

sinx>0

由題可得《,故x￡12左兀,2析+^(左eZ),

cosx>0

22

令g(x)-sinxlog2sinx+cosxlog2cosx,xG(2^71,2^71+5)(左GZ),

1

g'(x)=2sinxcosx-logsinx+sin2x?-----------COSX

2sinx?In2

1/?、

+2cosx(-sinx)logcosx+cos2x--------------(-smx

2cosx?In2

c.1sinxcosx3.1sinxcosx

=2smxcosxlog2sinx+——------2smxcosxlog2cosx------——

=sinxcosx2logsinx+———2logcosx———

j2In22In2

c.1smx

=2smxcosxlog------

cosx2

由x￡12左兀,2左兀+](keZ),則sinxcosx>0,

則當(dāng)x￡[2伍2左兀+：)(左￡Z)時，g'(x)<0,

當(dāng)xe2左兀+；,2左兀+]](左eZ)時，g'(x)>0,

即g(x)在[2祈+(左GZ)上單調(diào)遞減,

I_兀c7兀

在I2k7ii+—,2kii+—(keZ)上單調(diào)遞增,

2\2

、,72.721

故g(x)而=g12bl+：卜

min1。及與"log2—=bg2-

2J2J

則/(5「一2024x1012.

故答案為：1012.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于將原函數(shù)變形后，構(gòu)造

22

g(x)=sinxlog2sinx+cosxlog2cosx,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，難點在于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計算.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

第10頁/共18頁

2sin（7i-x）-sinI—+x1

15.已知-----z-------7——--------=—■

＜（3兀）°、13

5COSI—+X1+3COS（Z7l-x）

（1）求tanx的值；

（2）若sinx,館5》是方程》2—機工+〃=0的兩個根，求加2+3〃的直

【答案】（1）2

（2）3

【解析】

【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，即可得解；

sinx+cosx—m

（2）利用韋達定理得到＜.,從而得至！J加2+3〃=l+5sinxcosx，再由同角三角函數(shù)的基

smxcosx=n

本關(guān)系求出sinxcosx,即可得解.

【小問1詳解】

2sin（7i-x）-sin—+x

5cos+xJ+3cos(2兀-x)

?…2sinx-cosx3~…2tanx-13"

所以一-----------二二，所以----------二一,解AT1得ZC3tanx=2；

5smx+3cosx135tanx+313

【小問2詳解】

sinx+cosx=m

因為sinx,cosx是方程J—加工+〃=0的兩個根，所以〈.，

smxcosx=n

m+3n=(sinx+cosx)+3sinxcosx=l+5sinxcosx,

「.sinxcosxtanx222rl「2r

又smxcosx=-------------=——------=———=—，：.m+3〃=l+5x—=3.

sinx+cosxtanx+12+155

16.已知函數(shù)/(x)=—3%2+&+c在％=o時取得極大值1.

（1）求曲線，＞二/（%）在點（3,/（3））處的切線方程;

（2）求過點（0,2）與曲線歹=/（x）相切的直線方程.

【答案】(1)9x-y-26=0；

(2)3x+歹一2=0或15%—4歹+8=0

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【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求仇C,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

(2)先設(shè)切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，根據(jù)題意列式求解飛,進而可得結(jié)果.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=/—3必+3區(qū)+c,求導(dǎo)得/f(x)=3x2-6x+3b,

/(0)=36=0仿=0

依題意，<解得皿即f(x)=x3-3x2+1,(x)=3x2-6x,

/(O)=c=l

由/'(x)〉0,得x〉2或x<0,由/'(x)<0,得0<x<2,則/(x)在x=0處取得極大值1,

即6=0,c=l符合題意，于是"3)=1/⑶=9,即切點坐標(biāo)為(3,1),切線斜率左=9,

所以函數(shù)了=/(x)的圖象在(3/(3))處的切線方程為y-1=9(x—3),即9x-y-26=0.

【小問2詳解】

由⑴得：/(x)=x3-3x2+1,=3x2-6x,

設(shè)切點坐標(biāo)為(％,xj-3x；+1),切線斜率左=3x：-6x0,

則切線方程為y—-3x；+1)=(3xj-6%)(x—x。)，

由切線過點(0,2),得2-(4-3x；+1)=(3x；-6x0)(-x0),

,1

整理得(/T)-(2/+1)=0,解得%=1或%=—],

所以切線方程為y+l=_3(x_l)或y_L="(x+，)，即3尤+了-2=0或15x—4y+8=0.

842

17.已知函數(shù)=為奇函數(shù).

(1)求實數(shù)。的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=log21-log2：+機，若對任意的％e(0,1],總存在玉e[2,8],使得

g(xJ=/(Z)成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)-1

5￡

(2)

3；4

【解析】

【分析】(1)首先可得函數(shù)的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到/(。)=0,求出參數(shù)。的值，再檢驗即可;

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(2)首先求出/(x)在(0』上的值域A,再利用換元法求出g(x)在xe[2,8]上的值域2,依題意

A^B,即可得到不等式組，解答即可.

【小問1詳解】

由題意可得，函數(shù)的定義域為R,因為/(x)是奇函數(shù)，所以/(0)=三孑=0,可得a=—1,

經(jīng)檢驗，對于VxeR,/(—x)=—/(x)成立，所以a=—1.

【小問2詳解】

由(1)可得=-=1———

、'2V+12，+l

因為xe(O,l],所以2，e(l,2],2x+le(2,3],「jG(3

22

,J-------e

2V+12X+1°4,

所以當(dāng)xe(O,l]時/(x)的值域Z=,

又g(x)=log231og2；+〃z=(log2X-l)(k)g2X_2)+機,xe[2,8],

3

iSt=log2x,re[1,3],則>=(7一1)?—2)+加=/―37+2+機=|/

4

31

當(dāng)/=一時，取最小值為一—+m,當(dāng)/=3時，取最大值為2+機，

24

1c

即g(x)在xe[2,8]上的值域3=-----卜m，2+m,

4

又對任意的％e(0,1],總存在再e[2,8],使得g(xj=/(x2)成立，

一■-+zn<0

451

即4口5,所以〈,解得—機,即實數(shù)加的取值范圍是一彳,二

3434

2+m>—

3

B^lx>0

x+1

18.已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=<

—+l,x<0

[2

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⑴求函數(shù)/(X)的極值；

(2)若函數(shù)y=ae工-/區(qū)在區(qū)間。,2)上單調(diào)遞增，求。的最小值；

X

(3)如果存在實數(shù)加、n,其中加<”,使得g(加)=g(〃)，求"一機的取值范圍.

【答案】(1)極小值為-,，無極大值

e

⑵-

e

(3)[3-21n2,2)

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極值；

(2)依題意可得了=口^一!20在(1,2)上恒成立，顯然。>0,參變分離可得設(shè)

xa

m(x}=xQx,xe(l,2),利用導(dǎo)數(shù)得到加(x)>加(1)=e,即可求出參數(shù)。的取值范圍，即可得解；

(3)方法1：依題意可得函數(shù)g(x)在(一8,0]、(0,+8)上為增函數(shù)，則—2<加<0,0</7<e-l,從

而得到加二21n(〃+l)—2,則〃一加二〃一21n(〃+l)+2,令0(x)=x—21n(x+l)+2,

x€(0,e-l],利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出〃-掰的取值范圍；方法2：依題意可得

/\,〃=e'一1"

-2<m<0,0<n<e-1,令g(加)==，，可得<,0</<1,令

h(t)=n-m=et-2t+l,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出〃(7)的范圍，從而得解.

【小問1詳解】

???/(x)定義域為(0,+8),/,(x)=l+lnx,

.,.當(dāng)xe(0,eT)時，f(x)<0；當(dāng)xe(eT,+e)時，/,(%)>0；

.?./(x)在倒,1)上單調(diào)遞減，在(「,+句上單調(diào)遞增，

???/(x)的極小值為/仁一|)=—1,無極大值.

e

【小問2詳解】

依題可知，y=aex-Inx,y'=ae*—』20在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以

xa

設(shè)機(x)=xe‘，xe(l,2),m((x)=(x+l)eY>0,所以根(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

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m(x)>m(l)=e,故即QN1，即Q的最小值為

aee

【小問3詳解】

ln(x+l),x>0

方法1：由已知g(x)=<x，則函數(shù)g(x)在(-8,0]、(0,+8)上為增函數(shù),

—+l.x<0

[2

若存在實數(shù)加、n,其中加<〃，使得g(加)=g(〃)，則一2<加<0,0<7?<e-l,

由g(加)=g(〃)可得￡+l=ln(〃+l),則加=21n(〃+l)-2,

故〃一加=〃一21n(〃+l)+2,

V—1

令0(x)=x_21n(x+l)+2,xe(0,e-l],"(x)=l-------一二0,可得x=l.

x+1x+1

當(dāng)0<x<l時，(p'(x)<0,此時函數(shù)0(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，0(x)>0,此時函數(shù)"(%)單調(diào)遞增,

故，。(%=9⑴=3-21n2,

又因為9(0)=2,^(e-l)=e-l,且e—1<2,所以3-2必24/小)<2,

因此，〃—機的取值范圍是［3—21n2,2).

ln(x+l),x>0

方法2：由己知g(x)=〈x，則函數(shù)g(x)在(一*0］、(0,+8)上為增函數(shù),

—+l,x<0

［2

若存在實數(shù)加、"，其中加<",使得g("z)=g(〃)，則一2(機<0,0</?<e-l,

/=ln(〃+l)

n=el-1

令g(W=g(〃)=/，貝"m，可得<

t=—+lm=2t—2

[2

由—2(機<0可得0</41,

令〃(。=場一加=e'-2/+1,其中0</41,令/(7)=e'-2=0可得/=ln2,

當(dāng)0</<ln2時，h'(t^<0,此時函數(shù)〃(7)單調(diào)遞減，當(dāng)In2</Wl時，〃'(7)>0,

此時函數(shù)〃(/)單調(diào)遞增，故當(dāng)0</41時，A(r)min=A(ln2)=3-21n2,

又因為〃(0)=2,A(l)=e-1,且e-1<2,所以3-2。2?<2,

因此〃一機的取值范圍是［3—21n2,2).

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19.已知函數(shù)/(%)=/sin(3%+0)(/>0,3>0,|勿轉(zhuǎn))的圖象如圖所示

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間;

求函數(shù)”%)=/閨/X71兀

(2)，在0,7上的最大值和最小值.

2~62

(3)若函數(shù)g(x)=/〃eN*)內(nèi)恰有781個零點，求實數(shù)機、"的值.

57rJr

【答案】(1)-—+kn,-+lat,左eZ

3

(2)最大值為一，最小值為0

4

(3)m=l,n=521

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象求出/(x)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得;

7T

(2)首先利用三角恒等變換公式化簡h(x)的解析式，根據(jù)x的取值范圍，求出2x-2的范圍，再由正弦函

0

數(shù)的性質(zhì)計算可得；

(3)首先得到g(x)=cos2x+msinx,令g(久)=0,2sin2x—msinx—1=0>令

r=sinxe[-l,l],得2/一掰/一1=0，則方程必有兩個不同的實數(shù)根乙、^