2024年“江南十校”2025屆新高三第一次綜合素質檢測 數學試卷（含答案）

姓名座位號

(在此卷上答題無效)

絕密★啟用前

2024年“江南十?！毙赂呷谝淮尉C合素質檢測

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2,回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號框?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知集合N=b|log2X<2},B={x||x|<4),A[}B=

A.(-oo,4)B.(0,4)C.(-4,4)D.(-4,0)

2.記等差數列{為}的前九項和為S〃，已知名+4=8,則Sg=

A.28B.30C.32D.36

2

3.已知函數/(x)=l----，則對任意實數》,有

2+1

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-x)+/(x)=2D./(-x)-/(x)=2

4.已知a,力都是銳角，cosa=-,cos(a+^)=--,求cos/?=

714

1395971

A.—B.C.—D.—

2989898

5.已知(l+2x)"的展開式中各項系數的和為243,則該展開式中的一項的系數為

A.5B.16C.40D.80

6.已知正方體43cz)-4用GR的棱長為石，以頂點4為球心，2為半徑作一個球，則球面

與正方體的表面相交所得到的曲線的長為

3〃5%c

A.——B.—C.2zrD.冗

22

數學試題第1頁(共4頁)

7.某次跳水比賽甲、乙、丙、丁,、戊5名跳水運動員進入跳水比賽決賽，現采用抽簽法決定決

賽跳水順序，在“運動員甲不是第一個出場，運動員乙不是最后一個出場”的前提下，“運動

員丙第一個出場''的概率為

3114

AA、—B.-C.-D.—

135413

8.對于x>0,e?為一工必五之。恒成立，則正數2的范圍是

A

A.42一B.—C.422eD.

e2e

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.設復數z在復平面內對應的點為Z,原點為0,1為虛數單位，則下列說法正確的是

A.Z-2=|z|2

B.5+z>4+z

C.若目=1,則2=±1或2=±?

D.若1<目《收，則點Z的集合所構成的圖形的面積為"

10.箱中裝有5張相同的卡片，分別標有數字1,2,3,4,5,從中有放回地隨機取兩次，每次

取1張卡片.4表示事件“第一次取出的卡片數字是奇數”，8表示事件“第二次取出的卡

片數字是偶數”，。表示事件“兩次取出的卡片數字之和是6"，則

13

A.0(NU3)=1B.P(BUC)=—

C.Z與2相互獨立D.3與。相互獨立

11.定義：設/'(%)是函數/(%)的導數，/"(X)是函數/'(X)的導數，若方程/"(x)=o有實數

解不，則稱點(玉)，/(/))為函數7=/(月的“拐點，經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都

有“拐點”，且“拐點”就是三次函數圖象的對稱中心.已知函數/(%)=63+&2+^,

(ab豐0)的對稱中心為(1,1),則下列說法中正確的有

A.a=—,b=-1

3

B.*)+嗚)+?-+底)+礙)的值是19

C.函數/(%)有三個零點

D.過(-14)只可以作兩條直線與y=/(x)圖象相切

數學試題第2頁(共4頁)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.拋物線y=2/上的一點〃到焦點的距離為1,則點〃的縱坐標為,

13.已知樣本七62,…，%的平均數為3,方差為4,樣本必，y2,…，%的平均數為8，方差為2,

則新樣本玉,々廣?,%，必，力，,'?，%的方差為.

-----*------------>>-----??1-----1-2

14.在△45C中，AB-CB-AC-BC=~BC,則tan(3-C)的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

如圖，一個質點在隨機外力作用下，從原點。處出發(fā)，每次等可能地向左或者向右移動一個

單位.

?----?.....?-----?------?----<-----?-----?-*--?

-4-3-2-101234

(I)求質點移動5次后移動到1的位置的概率；

(II)設移動5次中向右移動的次數為X,求X的分布列和期望.

16.(本小題滿分15分)

如圖，直角梯形48a>中，AB//CD,AB1.BC,ZDAB=60°>48=3=4,等腰

直角三角形4DE中，AE=DE,且平面4DE_L平面43C，平面4BE與平面CDE交于斯.

(I)求證：CD//EF；

(II)若CD=EF，求二面角4一3。一W的余弦值.

數學試題第3頁(共4頁)

17.(本小題滿分15分)

已知a>0,函數/'(x)=xe*-金，

(I)證明/(x)存在唯一的極值點；

(II)若存在。，使得/(x)26-2a對任意xeH成立，求實數b的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)

已知圓M：(X+1)2+/=16,動圓。過定點N(1,O)且與圓M內切，圓心。的軌跡為曲

線C.

(I)求曲線C的方程；

(II)曲線C上三個不同的動點P,E,尸滿足尸E與PF的傾斜角互補，且尸不與曲線C的頂

點重合，記尸關于x軸的對稱點為P,線段跖的中點為0為坐標原點，證明：P,H,

。三點共線.

19.(本小題滿分17分)

設集合一歹2,xez,yez｝.對于數列｛%｝,如果qeM,(i=1,2,3-)，則

稱｛%｝為“平方差數列”.

(I)已知在數列｛%｝中，％=3,5+1)%—〃4+i=l.求數列｛%｝的通項公式，并證明數

列｛2｝是“平方差數列”；

(II)已知"=2",判斷也”｝是否為“平方差數列”？說明理由；

(III)已知數列｛5｝為“平方差數列"，求證：ciCjeM,(i,j=1,2,3...).

數學試題第4頁(共4頁)

2024年“江南十?！毙赂呷谝淮尉C合素質檢測

數學答案

★選擇題

題號1234567891011

答案BCAADBABADBCDABD

★填空題：

12.-13.8.814.—

83

★解答題：

15.

解：(I)設質點移動到1為事件則向左移動2次，向右移動3次，=.......5分

(II)X的可能取值為0,1,2,3,4,5

尸(X=0)=C；(；)5=:，/0=1)=d；］=a，尸(X=2)=。汩丫噂

尸(X=3)=C；(f5=M，P(X=4)=C：(1)5啖nX=5)=C(iJ=±

X012345

P155551

323216163232

......11分

J^flU^^￡：m=0x—+lx—+2x—+3x—+4x—+5x—=-......]3分

3232161632322

16.

解：(I)NBu平面/ME,CDB平面4BFE

；.CD〃平面ABFE........2分

又平面ABE與平面CDE交于EF，CDu平面CDE

J.CDUEF........4分

(II)取4D中點O,連接OE,OB,BD

VZDAB=60°.AB=AD=4：./\ABD是等邊三角形

由三線合一得：OBJ.AD5分

又，;△/￡)石是等腰直角三角形

.'.OEA.AD

?.?平面石1平面平面/。石n平面=40

???0七1底面/8C。........6分

???08u平面/8C。

：.0E10B

故0/,0B,。石三線兩兩垂直.......7分

以。為坐標原點，分別以0/,0B,0石所在直線為丫軸，丁軸，z軸建立空間直角坐標系,

/(2,0,0),8(0,271,0),C(-3,V3,0),。(一2,0,0),￡(0,0,2)..............8分

,:CD=EF且由第一問得知CDHEF,

所以四邊形CD即是平行四邊形，

可得：F(-1,V3,2),..............9分

???BC=(-3-V3,0),CF=(2,0,2)

m-BC-0-3x-V3y=0

設平面BCF的法向量為=(x,y,z),貝卜

nvCF-02x+2z=0

令x=l,得：丫=-6,z=-l,解得：m=(],—JJ,—1)..............12分

平面ABC的法向量為n=(0,0,1)

--mnV5

COS<W77>=p^=——..............]4分

IIII

設二面角4-BC-/大小為6,由題意得。為銳角所以cos。二2..............15分

5

2

17.

解：(I)/'(x)=(x+l)e*-a,/"(x)=(x+2)e*........2分

當xe(—8,—2)時，/ff(x)<0,/'(x)單調遞減；當xe(-2,+8)時，/ff(x)>0,/'(x)單調遞增.

.......3分

①當x<—1時，/,(x)=(x+l)ex-<7<-a<0,所以x<-1時/'(x)無零點；........4分

②當XN-1時而1)=一。<0,/f(<7)=(<7+l)ea-(7>(<7+1)-￡7>0,

由零點存在定理，XN—1時，/'(X)有唯一零點〃7c........6分

綜上，/'(X)在7?上存在唯一零點.

所以，當xe(-8,〃7)時，/(x)<0,/(x)單調遞減；當xe(〃7,+co)時，f\x)>0,/(x)單調遞增.

所以/(x)存在唯一的極值點〃?........7分

(II)由⑴知/(Rm=/(〃?)，

此時/''(〃?)=(〃?+l)e"'一。=0,得a=(〃?+1)6”，由于a>0,所以〃?〉-l........8分

/0)26-2。等價于64_/'0：)+2。，令力(x)=/(x)+2a,則

“(x)min=f(〃?)min+2a=〃?e"—a"?+2a=me"'—〃?(〃?+1)，加+2(〃?+l)em-(-m2+2m+2)em,m>-\

.......10分

令v(x)=(-x2+2x4-2~)ex,x>-1

若存在a,使得了(x)2b—2a對任意xeR成立，等價于6<丫(乂\皿，........11分

M(x)=(-x2+4)ex,x>-l

當xc(T,2)時，M(x)>0,v(x)單調遞增；當xe(2,+a))時，v'(x)<0,v(x)單調遞減，

所以u(x)max=丫(2)=2?2,.......14分

故6?2e2,所以實數6的取值范圍(—Sie?].......15分

3

18.

解：（D已知圓〃的圓心為/（一1,。），半徑為4；設動圓。的圓心為Q（xj）,半徑為H.

|。叫=R,\DM\=4-R,\DM\+叫=4>\MN\,點D的軌跡是以M,N分別為左右焦點且長軸為4的橢

圓，則曲線C的方程為且+片=1.........5分

43

（II）設尸（%,%）,￡（再,必）,尸（》2，%）,8。3，8），尸'（/，—為），由題意x產芍，必「必，可知

2222

2》3=占+乂2,2%=弘+y2，—+—=1,—+—=1

4343

7y,-V,3（x,+x2）3x,

兩式相減得kEF=力"上=~弋=—廣,7分

4（必+必）4%

而上0H=右，所以后QH=4

8分

X33lCnRrR

設直線PE的方程為y-y0=k（x-x0）,則直線PF的方程為y-y0=-k（x—％,

將PE的方程代入片+之=1得

43

（3+4^2），+84（%-Ax0）x+4（j^0_kx°y-12=0①

X=x。是方程①的一個根，/看=4（%一H°）：T2②

10分

°13+4公

同理可得xx=%%+狂。）：T2③

0211分

°23+4/

②一③得（（%-4）=[6翳④

3+44

②+③得%（/+馬）=8（%2+」/：）-24⑤

八12/々?c

%一%=%（看一％）+%一[一〃（乙一%）+%]=k（X[f）-2%=%0（/+.2）―2甌2

⑥

X1~X2X1~X2X1~X2X0（Xl~X2）

80；+上2/2）

一2kx

o8歹。2一24-6婷

3+4左2

把④⑤代入⑥，得/CEF⑦

16狂0%一16包）外

3+4左2

4

22

顯然,+—=1，得8yo2=24—6/2⑧

把⑧代入⑦，得左即=二1'/\=也

..............14分

一16狂0%4%

而k°p一，所以kop,一..............15分

X0

.?kop.=k0H16分

即P,H,。三點共線.17分

19.

解：(D由(〃+1)?！耙弧╝“+i=1,得(/+2)%+i-("+1)凡+2=1，

兩式相減，得(2〃+2)%+]=(〃+1)(凡+2+%),即2。向=+%，

所以數列｛%｝是等差數列.

67,=3

由,，得4=5,所以公差—%=2，

故a“=q+("-l)d=2〃+1,即a“=2〃+1.5分

又因為2〃+1=(〃+1)2—〃之，〃+leZ,"eZ,

所以2〃+leM,即數列｛%｝是