整式乘除的綜合運用-2021-2022學年七年級數學下冊?？碱}專練（北師大版）

專題05整式乘除的綜合運用

題圓=整式乘法中的化簡求值

1.已知x—y=2,求代數式(x+Ip-2x+y(y-2x)的值.

【解答】解：*/(x+1)2-2x+y(y-2x)

—x2+1+2x-2x+y2—2xy

=(x-y)2+l.

.,.把x—y=2代入得：

原式=22+1=5.

2.化簡求值：[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x+y)]-(-2j/),其中|2x—l|+(y+3)2=0.

【解答】解：原式=(Y+j?―一+2初一/+2町+2/)+(—2>)

=(4盯+2/)+(—2〉)

——2x—y,

-.?|2x-l|+(v+3)2=0,

2x—1=0,y+3=0,

1r

/.%=—,y=-3,

2

二原式=-2xg-(-3)=2.

3.已知x-y=3,求代數式(x+l>-2x+y(y-2x)的值.

【解答】解：原式=12+2x+l一2x+/一2盯=(x->)2+i,

當工一天=3時，原式=10.

4.先化簡，再求值：[(%-5y)(x+5p)-(x-2y)2+V]+2>，其中％=-1,>=g

【解答】解：[(x—5y)(x+5y)—(x—2歹)2+*.2》

=[x2-25)2-x2+4xy-4y2+y2]-i-2y

=[4孫-28y2]+2y

=2x—14y,

當x=T,y=L時，原式=_2_7=_9.

2

5.已知--4x-3=0,求代數式(4x-2)-(x+y)(x_y)_y2的值.

【解答】解：(4x-2)-(x+y)(x-y)-y2

=4x-2-x2+y2-y2

——+4x—2.

x2—4x—3=0,

/.—4x—2—1.

原式=1.

題昌昌整式乘除的幾何背景

6.如圖，從邊長為。的大正方形中剪掉一個邊長為6的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長

方形，根據圖形的變化過程寫出正確的等式是（）

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.a2-ab=a(a-b)

C.a2-b2=(a-b)2D.a-lab+b2=(a-b)2

【解答】解：第一個圖形陰影部分的面積是

第二個圖形的面積是(q+6)(〃-6).

/.a2-b2=(a+b)(a-b).

故選：A.

7.如圖，從邊長為（a+4）c冽的大正方形紙片中剪去一個邊長為（a+l）c冽的小正方形（Q〉0）,剩余部分沿虛

線剪開，拼成一個矩形（不重盤無縫隙），則矩形的面積為（）

A.a(2a+5)cm2B.3(2a+5)cm2C.3(2a+V)cm2D.a(2a+l)cm2

【解答】解：矩形的面積是5+/-（0+1）2

—6Z+8。+16—。一2?！?

—6。+15.

故選：B.

8.數學課上，我們知道可以用圖形的面積來解釋一些代數恒等式，如圖1可以解釋完全平方公式:

(。+b)2=a2+2ab+b1.

圖1圖2

（1）如圖2（圖中各小長方形大小均相等），請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積（不化簡）：

方法1:—4ab—.

方法2:.

（2）由（1）中兩種不同的方法，你能得到怎樣的等式？請說明這個等式成立；

（3）已知（2加+〃）2=13,（2加一〃了=5,請利用（2）中的等式，求加〃的值.

【解答】解：（1）陰影部分的面積為：4出?或（4+6）2—

故答案為：4ab；(a+Z?)2-(a-b)2.

(2)(a+b)2-{a—Z?)2=4ab,成立.

證明：(Q+bp-(G-bp=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)=4ab.

(a+b)2—(a—Z?)2=4ab.

(3)由(2)得：(2m+n)2-(2m-n)2=Smn.

2m+n)2=13，(2m一〃了=5,

Smn=13-5.mn=1.

9.如圖1,兩種長方形紙片的長分別為b和c,寬都為a,將它們拼成如圖2所示的圖形，其中四邊形48C。

和四邊形都為正方形，設空白部分的面積之和為H，陰影部分的面積之和為§2.

(1)直接寫出Q,b,。的等量關系式；

(2)用含〃，C的代數式表示圖中陰影部分的面積§2；

(3)若81-邑=642,求力與c的數量關系.

a

b

a

圖1

【解答】解：(1)由圖知b=2a+c；

22

(2)S2=b-^abx2-^a(a+c)x2-c

=(2a+c)2-a(2a+c)-a(a+c)-c2

—4。2+4。。+C2—2/—dC—/—CLC—C?

="+2ac；

(3)-.-S1-S^ea2,

^abx2+^a(a+c)+c2-(a2+2ac)=6a2,

a(2a+c)+a2+ac+c2-a2-2ac=6a2,

/.c=2af

又<b=2。+c，

b=2c.

10.如圖，從邊長為。的大正方形中剪掉一個邊長為6的小正方形，再將剩下的陰影部分剪開，拼成右邊的

長方形.根據圖形的變化過程可以驗證下列哪一個等式成立（）

A.(a—6)2=cT—2ab+b~B.a{a+b)=a2+ab

C.{a+b)2—cT+lab+b2D.(a-b){a+b)—a2—b2

【解答】解：由題意這兩個圖形的面積相等,

a——b~=(a+—6),

故選：D.

11.我們知道，可以利用直觀的幾何圖形形象地表示有些代數恒等式.例如：（2a+b^a+b）=2a2+3ab+b2,

可以用圖1的面積關系來表示.還有許多代數恒等式也可以用幾何圖形面積來表示其正確性.

（1）根據圖2寫出一個代數恒等式;

（2）已知等式：（a+2b）2+4ab+4b2,請你在圖3的方框內畫出一個相應的幾何圖形，利用這個圖形

的面積關系來表示等式的正確性.

圖2圖3

【解答】解:(1)(2a+b)(a+2b)—2a2+5ab+2b2；

（2）如圖所示:

abh

12.在學習完全平方公式這一節(jié)課中，北師大版《數學》七年級下冊教材中利用一個圖形（如圖1）,通過

不同的方法計算圖形的面積來驗證完全平方公式：5+少=/+2/+/.

（1）根據上面的原理，利用圖2可以驗證的等式為：—（a++2b）=a2+3ab+2b2—；利用圖3可以驗

證的等式為：—；

（2）利用（1）中所得結論，解決下面的問題：“+b+c=9,a2+b2+c2=29,求ab+bc+ca的值；

（3）如圖4,有4、B、。三類長方形（或正方形）卡片（〃〉b）,其中甲同學持有4、5類卡片各一張，

乙同學持有5、。類卡片各一張，丙同學持有4、。類卡片各一張，現隨機選取兩位同學手中的卡片共四

張進行拼圖，則能拼成一個正方形的概率是—.（直接寫出結果）

【解答】(1)(a+b)^a+2b)=a2+3ab+2b2；

(〃+6+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

故答案為：(Q+6)?(〃+2b)=a2+3ab+2b2；(a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+lac+2bc；

(2),.,〃+6+c=9,

+6+0)?=81,

即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=81,

又丁〃+H=29,

2ab+2ac+2bc=81-29=52，

ab+be+ca=26；

(3)畫樹狀圖如圖所示：

共有6個等可能的結果，能拼成一個正方形的結果有2個，

「?能拼成一個正方形的概率為;

1

故答案為:

3

13.從邊長為。的正方形中減掉一個邊長為6的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）.

（1）上述操作能驗證的等式是—a12-b~=（a+6）（。-6）—；

（2）運用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：

①己知：a-6=3,a2-Z>2=21,求a+6的值；

②計算：（1一5"6"?…'""'a-/?

【解答】解：（1）圖1陰影部分的面積為圖2陰影部分的面積為（a+6）（。-6）,二者相等，從而能

驗證的等式為：a-b2^（a+b^a-b）,

故答案為：a2-b2=(a+bXa-b)；

(2)@-：a-b=3,a2-b2=21,a2—b2—(a+b)(a-b),

「.21=(a+6)x3，

a+b=7；

2232422019220202

——)(1——)(1+

20192020

1324352018202020192021

=—X—X—X—X—X—X...X-----------X------------X-----------X-----------

2233442019201920202020

12021

—x--------

22020

2021

4040

14.對于任意有理數Q,b,c,d,我們規(guī)定"=a2+d2-be.

cd

2xk~)c

(1)填空：對于有理數X,y,3若是一個完全平方式，則左=_±2_；

-2>〉

2

(2)對于有理數x,若2x+y=18,3x+>^+V=204.

3x-3y

G)求與的值;

(zz)將長方形ABCD和長方形CEFG按照如圖方式進行放置,其中點E在邊CD上,連接BD,BF.若a=2x,

b=y,圖中陰影部分的面積為174,求〃的值.

2xkx

【解答】解：(1)=(2x)2+j2-fcex(-2j)=4x2+y2+2kxy,

-2jy

...2x履是一個完全平方式，

-2yy

2k=±2xV?x1=±4，

解得左=±2；

故答案為：±2.

(2)(z)方法1:(3x+y)2+(x—3y月-3(2x2+3y2)

=9x2+6xy+y2+x2-6xy+9y2-6x2-9y2

=4x2+y2

=204，

4xy=(2x+y)2-(4x2+y2)=120,

解得孫二30；

方法2：依題意有I*22，，

[(3x+y)2+(x-3y了-3(2/+3/)=204

9-7219+后

解得＜再2,%2

%=9+百72=9-721

則xy=30；

(ii)na2+nb2—gna。-；6(a+nb)=174,

na1+nb2-ab=348,

4nx2+ny2-2xy=348,

n(2x+_y)2-4nxy-2xy=348，

324〃-120"-60=348，

解得"=2.

故〃的值為2.

15.數學活動課上，張老師用圖①中的1張邊長為。的正方形/、1張邊長為6的正方形8和2張寬和長分

別為〃與6的長方形C紙片，拼成了如圖②中的大正方形.觀察圖形并解答下列問題.

b

bb

圖①圖②圖③

(1)由圖①和圖②可以得到的等式為_(a+b)2=a2+2ab+b2(用含a,6的代數式表示)；并驗證你得

到的等式；

(2)嘉琪用這三種紙片拼出一個面積為(2a+6)(a+26)的大長方形，求需要4、B、C三種紙片各多少張;

(3)如圖③，已知點C為線段48上的動點，分別以/C、3c為邊在的兩側作正方形NCDE和正方形

BCFG.若48=6,且兩正方形的面積之和豆+邑=20,利用(1)中得到的結論求圖中陰影部分的面積.

【解答】解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2,

驗證：(a+Z?)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b1,

(2),/(2a+b)(a+2b)=2a2+Sab+2Z?2,

.??所需4、B兩種紙片各2張，C種紙片5張，

(3)設4C=Q,BC=。尸=b則Q+6=6,

???4+邑=20,

/+〃=20,

(Q+A)。=Q?+2ab+Z)2,

a2+b2=(a+Z?)2-2ab,

/.20=62-lab,

ab=8,

'S陰影=~=4.

16.對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式，例如圖1可以得到

(a+b)2=a2+2ab+b2,請解答下列問題：

(1)圖2所表示的數學等式為—(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac—；

(2)利用(1)得到的結論，解決問題：若Q+6+C=12,a2+b2+c2=60,求ab+ac+bc的值；

(3)如圖3,將兩個邊長分別為。和6的正方形拼在一起，B,C,。三點在同一直線上，連接/E,EG,

若兩正方形的邊長滿足a+6=15,ab=35,求陰影部分面積.

【解答】解：(1)由圖可得，(。+6+。)2=。2+/+。2+2〃6+2慶+2〃。；

故答案為：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(2)由(1)可得：ab+bc+ac=^[(a+b+cy-(a2+b2+c2)]=^-[122-60]=42；

(3)$陰影=°2+6?-g(a-6)a-；b2

=a2+b2-—a1+—ab-—b2

222

=g(02+/+°6)

1,

=-[(a+b)2-ab]

1,

=-[152-35]

=95.

題園且整式運算中的歸納猜想

17.探索規(guī)律:1x2x3x4+1=52,2x3x4x5+1=10,3x4x5x6+1=19?....請運用你發(fā)現的規(guī)律解

決問題：若200x202x204x206+16=/,則°=41204.

【解答】解：1X2X3X4+1=(1X4+1)2=52,

2x3x4x5+1=(2x5+1)2=112,

3x4x5x6+l=(3x6+l)2=192

...,

.-.200x202x204x206+16

=16x(100x101x102x103+1)

=16x(100x103+1)2

=412042

則。=41204,

故答案為：41204.

18.我國南宋數學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”.這個三角形給出了

(a+6)"(〃=l,2,3,4,…)的展開式的系數規(guī)律(按。的次數由大到小的順序)：

11(?+Z?)1=a+b

121(〃+b)2=a2+2ab+b1

1331(6Z+Z?)3=a3+3a2b+3ab2+b3

l

14641(Q+bp=/+4/6+6ai+4a+/

請依據上述規(guī)律，寫出(尤-3刈7展開式中含x.5項的系數是_一6051_

【解答】解：刈7展開式中含工刈5項的系數，

X

由(X--)2017=X2O17-2O17.X2016

XX

可知，展開式中第二項為-2017?，巴昌=一6051,15,

(x--)2017展開式中含X2015項的系數是-6051,

X

故答案為：-6051

19.觀察下列各式，尋找規(guī)律：

已知XH1,計算：

(尤—1)(1+X)=X2-1

(x-l)(l+x+x2)=x3-1

(尤-1)(1+x+x2+x3)=x4-1

(x-1)(1+x+x2+x3+X，)=丁-1

(1)根據上面各式可得規(guī)律：(x-l)(l+x+x2+9+...+x")=_x"+'-I

(2)根據(1)中規(guī)律計算1+2+22+23+2,+…+2刈8的值.

(3)求。+315+...+3一的個位數字.

【解答】解：(1)由規(guī)律可知:(x-l)(l+x+尤2+Y+…+無")=尤向一1,

故答案為x"+Jl；

(2)原式=(2-1)(1+2+22+23+24+3+22°18)=22°19-1：

(3)原式=(1+3+3?+...+313+314+...+3100)-(1+3+32+...+313)

=1(3-1)(1+3+32+...+313+314+...+3100)-i-(3-l)(l+3+32+...+315)

3101-314

2

31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,..

.?.個位數按3,9,7,1進行循環(huán),

原式=1+7+9+3+...+7+9

=22x20-3

=440-3

=437,

314+3"+…+3-的個位數字是7.

20.觀察下歹恪式的規(guī)律：Ix2x3x4+l=(lx4+iy；2x3x4x5+l=(2x5+l)2；3x4x5x6+l=(3x6+1)?；

，則第五個式子為_(5x8+iy_,第〃個式子為—.(其中〃為正整數)

【解答】解：由題意知第五個式子為5x6x7x8+l=(5x8+l『,

第n個式子為n(n+1)(〃+2)(〃+3)+1=+3)+1]2，

22

故答案為：(5x8+l),n(n+X)(n+2)(?+3)+1=[n(n+3)+1]1

21.閱讀以下內容：(x-l)(x+1)=x2-1,(x-l)(無2+尤+1)=苫3-1,(x-l)(x3+x2+x+1)=x4-1,根據這

一規(guī)律，計算：1+2+2?+221+2"+…+2289-22°2°=_一1

【解答】解：根據題意，總結規(guī)律得:

(尤一l)(x"+尤"T+…+尤+1)=x"+1-l

當x=2,〃=2019時,

(2-1)(22019+22018+...+2+1)=22020-1,

22019+22018+...+2+1=22?-1,

二原式=2202°_1_22°2。=T,

故答案為：-1.

22.觀察下列等式:

(a—b)(a+b)=a2—b~

(a-b)(a2+ab+b2)—a3—b3

(a-b)(a3+a2b+ab2+6)=a4-64...

利用你的發(fā)現的規(guī)律解決下列問題

(1)(tz-&)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=_a5-b5_(直接填空)；

(2)(a-b)(a"T+a-2b+a'^b2...+abn-2+)=(直接填空)；

(3)利用(2)中得出的結論求6刈9+6沏8+...+6+6+1的值.

【解答】解：(1)(a-b)(a4+a3b+a2b2tab3+b4)=a5-b5

故答案為：a5-b5

(2)(a-b^a'-1+a"-2b+^V...+abn-2+b*')=a"—bn

故答案為：an-b"；

i6202<>_1

(3)62019+62018+...+62+6+l=(6-1)(62019+62018+...+62+6)x|=.

23.觀察下面各式的規(guī)律：

12+(1X2)2+22=(lx2+l)2；

2z+(2x3)2+32=(2x3+iy；

32+(3X4)2+42=(3x4+l)2；

<1)寫出第2021個式子；

(2)寫出第〃個式子，并驗證你的結論.

【解答】解：(1)根據題意得：第2021個式子為20212+(2021x2022)2+2022?=(2021x2022+1>；

(2)以此類推,第〃行式子為/+[〃(〃+1)了+(〃+以=[〃(”+1)+球.

理由:左邊=/+(〃2+")2+(“+1)2

="4+2/+3"~+2n+1,

右邊=(/+〃+1)2

=/+2/+3/+2幾+1,

/.n2+\n(n+1)]2+(〃+1)2=[n(n+1)+1]2.

題圓圓新定義運算與閱讀理解題型

24.對于任意有理數a,b,現用★定義一種運算：a^b=a2-b2.根據這個定義，代數式(x+;/)★》可

以化簡為()

A.xy+x2B.xy-y2C.x2+2xyD.x2

【解答】解：=〃，

=(x+y)2-y2

=x2+2xy+y2-y2

=x2+2xy，

故選：C.

25.定義運算“十”，其法則為a十6=/_凡則方程5十x=24的解是x=1或-1.

【解答】解：根據題意，得：52-X2=24,

解得：1=1或1=—1,

故答案為：1或-1.

ahcih

26.將4個數a,b,c,d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義=ad-be,上述

cdcd

Yi1v*_2

記號就叫做2階行列式.若一=17,則三=6

x+2x+1

【解答】解：由題意可得：

(X+1)2-(X+2)(X-2)=17,

x2+2x+l-(x2-4)=17,

%2+2x+1—%2+4=17，

2x=12,

x=6,

故答案為：6.

27.閱讀:

計算:(---)(2+---)-(1+---)2+2

232323

解：設方,]_

23

則原式=t(t+2)—(1+￡)2+2

=/+2t—(1+2t+/)+2

=1.

請按照上述的解題思路，解答下列問題：

計算：(2-ab+2a2)(2a2-ab-2)-(2a2-ab+1)2+2(-〃％+2/)+。.

【解答】解：設冽=2Q2_Q6,

2

則(2—cib+2Q2)(2/—ab—2)—(2〃—ab+1)+2(-a2b+2/)+Q

22

=(2—cib+2/)(2Q2—ab—2)—(2Q?—ab+1)+2(—ab+2tz)

=(m+2)(加-2)-(m+1)2+2m

=m2-4-(m2+2m+1)+2m

=m2-A-m2-2m-1+2m

=—5.

五角星=4,

【解答】解：根據題意得：3、?3?歹=4,

所以3如=4,

即32'+"=4?=16,

所以2(9*-8P)

=2x[(32r-(34)']

=2x(32x-34y)

=2,32X+4-V

=2x16

=32,

故答案為：32.

29.閱讀理解題：

定義：如果一個數的平方等于-1,記為產=-1,這個數，叫做虛數單位.那么和我們所學的實數對應起來

就叫做復數，表示為a+bi(a,6為實數)，“叫這個復數的實部，6叫做這個復數的虛部，它的加，減，

乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似.

例如計算：(2+z)+(3-4z)=5-3z.

(I)填空：z3z4=.

(2)計算：?(2+0(2-/);②(2+獷；

(3)若兩個復數相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：(x+y)+3i=(l-x)-.，

(X,V為實數)，求X,y的值.

(4)試一試：請利用以前學習的有關知識將工化簡成。+歷?的形式.

1-Z

【解答】解：⑴???/=一1,

/.I?3=.21?*1=1—1?*1=—?I,

z4=z2*z2=—1*(—1)=1,

(2)?(2+Z)(2-Z)=-Z2+4=1+4=5；

②(2+1)2=z2+4z+4=-l+4z+4=3+4z；

(3),/(x+y)+3i=(1-x)-yi,

x+y=\-x,3=-y,

.，.％=2,y=—3；

2

(4)l+z=(l+z)(l+0_(l+0=2z^.

1-廠(一)(1+2)-2一2一?

30.在學習完全平方公式：后，我們對公式的運用進一步探討.

(1)若06=30,a+6=10,則/+從的值為40.

⑵“若y滿足(40-y)(y-20)=50,求(40-4+(10)2的值”.

閱讀以下解法，并解決相應問題.

解：設40-y=a,y-20=b

貝i|a+6=(40-y)+(y-20)=20

aZ>=(40-7)(J-20)=50

這樣就可以利用(1)的方法進行求值了.

若x滿足(40-x)(x-20)=-10,求(40-x)2+(x-20)2的值.

(3)若x滿足(30+x)(20+x)=10,求(30+勸2+(20+尤)2的值.

【解答】解：(1)?5+6=10,

(a+b)2=100,

即a2+2ab+b2=1QQ,

將仍=30,代入得：+2x30=100,

a2+Z,2=100-60=40,

故答案為40.

(2)設40-x=a,x—1Q=b,

貝lJ(40-x)(x-20)=a6=-10,

'：a+b=(40-x)+(x-20)=20,

(40-x)2+(x-20)2

=a1+b~

=(a+bp-2ab

=202-2X(-10)

=420.

(3)設30+x=a,20+x=6,

貝iJ(30+x)(20+x)="=10,

'：a-b=(30+x)-(20+x)=10,

(30+X)2+(20+X)2

=a~+b~

=(a-b)2+lab

=102+2x10

=120.

3"+力.

請根據這個規(guī)定解答下列問題:

(1)

(2)

有最小值，最小值是多少？

【解答】解：(1)原式=(—2x3xl)+((—2>+3i)=—

故答案為-;

7

(2)原式=(4刁％)+(工2+(5^)2)=X2+4A孫+25/是完全平方公式,

...4左=±10,

/.k=±—，

2

故答案為土土；

2

⑶原式3-2仆+2)-[―+9]=6xi-9=6(1)2一9|,

17

當x二-時最小值為-9—.

33

z\[I

32.若我們規(guī)定三角“L------表示為：abc；方框“?一工1”表示為：(/+/1)?例如:

A

=1X19X3^(24+31)=3.請根據這個規(guī)定解答下列問題

C1)計算/T八1__