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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市西四旗高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線x=sin2024π的傾斜角為(
)A.2024π B.π2 C.π3 2.設(shè)向量a=(1,2,m),b=(2,0,?1),若a⊥b,則A.?2 B.?1 C.1 D.23.過點(diǎn)(?1,2)且與直線x?y?1=0垂直的直線l的方程為(
)A.x+y?3=0 B.x?y+3=0 C.x+y?1=0 D.x?y+1=04.如圖,在四面體ABCD中,E是棱AB上一點(diǎn),且AE=13AB,F(xiàn)是棱CD的中點(diǎn),則EF=A.?13AB?12AC+15.兩平行直線mx?3y?2=0與4x?6y?7=0之間的距離為(
)A.1326 B.1313 C.6.用2,3,4這3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),則事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為(
)A.13 B.12 C.237.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E為棱AB靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),點(diǎn)F為△ACD的重心,則線段EF的長(zhǎng)為(
)A.2 B.3 C.2 8.如圖,在四棱錐S?ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=SA=SD=2AB=2,P為棱AD的中點(diǎn),且SP⊥AB,AM=λAS(0≤λ≤1),若點(diǎn)M到平面SBC的距離為33,則實(shí)數(shù)λA.13 B.12 C.23二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)M,N是兩個(gè)隨機(jī)事件,若P(M)=13,P(N)=1A.若N?M,則P(M∪N)=13
B.若M∩N=?,則P(M+N)=0
C.若P(M∩N)=118,則M,N相互獨(dú)立
D.若M10.已知直線l過點(diǎn)(1,3),若l與x,y軸的正半軸圍成的三角形的面積為S,則S的值可以是(
)A.3 B.5 C.7 D.911.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=2,∠DAB=∠AA.若點(diǎn)Q在平面A1B1C1D1內(nèi),則p=1
B.若CQ⊥DB,則m=n
C.當(dāng)p=12時(shí),三棱錐Q?ABD的體積為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知平面α的法向量為p=(1,2,?1),平面β的法向量為r=(m,1,?m),若α//β,則m=______.13.在正方體ABCD?A1B1C14.在△ABC中,頂點(diǎn)A(2,3),點(diǎn)B在直線l:3x?y+1=0上,點(diǎn)C在x軸上,則△ABC周長(zhǎng)的最小值為______.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)
如圖,正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2.
(1)用空間向量方法證明:A1C1//平面16.(本小題15分)
已知直線l:(2a+3)x+(1?a)y+7+3a=0,a∈R.
(1)求l恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若l經(jīng)過第一、二、三象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17.(本小題15分)
如圖,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=AA1=2,P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn).
(1)18.(本小題17分)
為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),協(xié)同發(fā)展學(xué)科綜合能力,促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展,某校數(shù)學(xué)組舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽,素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關(guān)形式.現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽,甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是23和12.假設(shè)兩人是否回答出問題,相互之間沒有影響;每次回答是否正確,也沒有影響.
(1)若乙回答了4個(gè)問題,求乙至少有1個(gè)回答正確的概率;
(2)若甲、乙兩人各回答了3個(gè)問題,求甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的概率;
(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確,則退出比賽,求甲恰好回答519.(本小題17分)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,定義:過點(diǎn)A(x0,y0,z0),且方向向量為m=(a,b,c)(abc≠0)的直線的點(diǎn)方向式方程為x?x0a=y?y0b=z?z0c;過點(diǎn)A(x0,y0,z0),且法向量為m=(a,b,c)(a2+b2+c2≠0)的平面的點(diǎn)法向式方程為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0,將其整理為一般式方程為ax+by+cz?d=0,其中d=ax0+by0+cz0.
(1)求經(jīng)過參考答案1.B
2.D
3.C
4.D
5.C
6.C
7.A
8.A
9.AC
10.CD
11.ABD
12.1213.32814.215.(1)證明:由題,以D為原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
∵正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,
∴A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),A1(2,0,2),
則A1C1=(?2,2,0),AC=(?2,2,0),CD1=(0,?2,2),
設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
則n?AC=?2x+2y=0n?CD1=?2y+2z=0,令z=1,則可得x=1,y=1,即n=(1,1,1);
∴n?A1C1=?2+2+0=0,
∴n16.解:(1)已知直線l:(2a+3)x+(1?a)y+7+3a=0,a∈R,
整理直線l的方程,得(2x?y+3)a+3x+y+7=0,
聯(lián)立方程組2x?y+3=0,3x+y+7=0,
解得x=?2,y=?1,所以直線l恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2,?1);
(2)當(dāng)a=1時(shí),直線l的方程為x=?2,經(jīng)過二、三象限,不符合題意;
當(dāng)a≠1時(shí),y=2a+3a?1x+3a+7a?1,
因?yàn)閘經(jīng)過第一、二、三象限,所以2a+3a?1>03a+7a?1>0?(2a+3)(a?1)>017.解:(1)取B1C1的中點(diǎn)G,連接QG,顯然QG//BB1,
由正三棱柱的特征可知BB1⊥底面ABC,所以GQ⊥底面ABC,
又AQ、BQ?底面ABC,所以GQ⊥AQ,GQ⊥BQ,
因?yàn)镼是BC中點(diǎn),易得AQ⊥BQ,
則以Q為原點(diǎn),QA,QB,QG所在直線為x軸,y軸,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則Q(0,0,0),C1(0,?1,2),A(3,0,0),A1(3,0,2),B1(0,1,2),
所以P(32,12,2),AP=(?32,12,2),QC1=(0,?1,2),
則|cos<AP,QC1>|=|AP?QC1||AP||QC1|=18.解:(1)某校數(shù)學(xué)組舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽,素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關(guān)形式,
甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽,甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是23和12.
假設(shè)兩人是否回答出問題,相互之間沒有影響;每次回答是否正確,也沒有影響,乙回答了4個(gè)問題,
記“乙至少有1個(gè)回答正確”為事件M,
∴乙至少有1個(gè)回答正確的概率為P(M)=1?P(M?)=1?(1?12)×(1?12)×(1?12)×(1?12)=1516.
(2)甲、乙兩人各回答了3個(gè)問題,記“乙答對(duì)i個(gè)問題”為事件Bi(i=1,2,3),“甲答對(duì)i個(gè)問題”為事件Ai(i=1,2,3),
則甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的事件為:
A1A2A3B1B2?B3?+19.解:(1)∵A(?1,2,4),B(2,0,1),
∴直線AB的方向向量為m=AB=(3,?2,?3),
∴直線AB的點(diǎn)方向式方程為x+13=y?2?2=z?4?3;
(2)證明:由平面α1為:2x?3y+z?1=0,
∴平面α1的法向量為m1=(2,?3,1),
由平面β1為:x+y?2z+4=0,
∴平面β1的法向量為m2=(1,1,?2),
設(shè)交線l的方向向量為n=(x0,y0,z0),
則根據(jù)
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