人教B版高中數(shù)學必修第一冊第三章函數(shù)3.1.3函數(shù)的奇偶性課件

3．1.3函數(shù)的奇偶性【課程標準】結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義．教

材

要

點知識點偶、奇函數(shù)1．偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則稱y＝f(x)為偶函數(shù)．2．奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有________，且______________，則稱y＝f(x)為奇函數(shù)．－x∈Df(－x)＝－f(x)3．奇、偶函數(shù)的圖象特征(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于________成中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于________對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．原點y軸狀元隨筆奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，反之，若定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性．基

礎(chǔ)

自

測1．(多選)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0C．f(x)f(－x)＜0D．f(0)＝0答案：ACD解析：由偶函數(shù)的定義知f(－x)＝f(x)，所以f(－x)－f(x)＝0正確，f(－x)＋f(x)＝0不一定成立．f(－x)f(x)＝[f(x)]2≥0，f(0)＝0不一定成立．故選ACD.

解析：A，D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C項中函數(shù)為奇函數(shù)．答案：C3．若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函數(shù)，則a的值為(

)A．－2B．2C．0

D．不能確定解析：因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列圖象表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是_____，是偶函數(shù)的是____．(填序號)解析：(1)(3)關(guān)于y軸對稱是偶函數(shù)，(2)(4)關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)．(2)(4)(1)(3)題型1函數(shù)奇偶性的判斷例1.判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋x3＋x5；【解析】

因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，－x∈R.又因為f(－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝x＋x3＋x5是奇函數(shù)．(2)f(x)＝x2＋1；【解析】因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，－x∈R.又因為f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝x2＋1是偶函數(shù)．(3)f(x)＝x＋1；【解析】因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，－x∈R.又因為f(－1)＝0，f(1)＝2，所以f(－1)≠f(1)且f(－1)≠－f(1)，因此函數(shù)f(x)＝x＋1既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)．(4)f(x)＝x2，x∈[－1，3]；【解析】因為函數(shù)的定義域為[－1，3]，而3∈[－1，3]，但－3?[－1，3]，所以函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，3]既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(5)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；【解析】因為x∈R，f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．

【解析】方法一作出函數(shù)圖象如圖：關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)．方法二當x>0時，f(x)＝1－x2，此時－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)；當x<0時，f(x)＝x2－1，此時－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，所以f(－x)＝－f(x)；當x＝0時，f(－0)＝－f(0)＝0.綜上，對x∈R，總有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為R上的奇函數(shù)．方法歸納函數(shù)奇偶性判斷的方法(1)定義法：(2)圖象法：若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用在解選擇、填空題中．跟蹤訓練1

判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；解析：∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；解析：∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．

(5)y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(xiàn)(x)＝f(x)＋f(－x)；解析：F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又因為x∈(－a，a)關(guān)于原點對稱，所以F(x)是偶函數(shù)．(6)y＝x2，x∈(－1，1].解析：定義域不關(guān)于原點對稱，非奇非偶．狀元隨筆先求函數(shù)定義域，再根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷．題型2函數(shù)奇偶性的圖象特征

[經(jīng)典例題]例2.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5]，若當x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖，則不等式f(x)＜0的解集是________________．

根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱作圖，再求出f(x)＜0的解集．

方法歸納根據(jù)奇偶函數(shù)在原點一側(cè)的圖象求解與函數(shù)有關(guān)的值域、定義域、不等式問題時，應根據(jù)奇偶函數(shù)圖象的對稱性作出函數(shù)在定義域另一側(cè)的圖象，根據(jù)圖象特征求解問題．

－1

狀元隨筆

利用定義法求a，也可利用特值法f(－1)＝－f(1)．

方法歸納由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)應注意兩點(1)函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)的奇偶性的一種方法，也是在已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì)，要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用．(2)利用常見函數(shù)如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)具有奇偶性的條件也可求得參數(shù)．

跟蹤訓練3

(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為[a－2，2a]，則a＝____________，b＝____________；

0

解析：當x>0時，－x<0，則f(－x)＝－x2－bx，f(x)＝－f(－x)＝x2＋bx，即ax2－2x＝x2＋bx，解得a＝1，b＝－2，可驗證當x<0時，對a＝1，b＝－2，也有f(x)＝－f(－x)，故f(a＋b)＝f(－1)＝1.

題型4函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應用

[經(jīng)典例題]例4.(1)(多選)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f(x＋1)為奇函數(shù)，并且當x∈[1，2]時，f(x)＝1－|x－2|，則下列選項正確的是(

)A．f(x)在(－3，－2)上為減函數(shù)

B．f(x)在(－3，－2)上f(x)<0C．f(x)在(－3，－2)上為增函數(shù)

D．f(x)在(－3，－2)上f(x)>0【答案】

CD

【解析】因為函數(shù)f(x＋1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(1，0)對稱，則f(－x)＋f(2＋x)＝0，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，于是，f(x)＋f(2＋x)＝0，用x＋2替換x，可得f(x＋2)＋f(4＋x)＝0，所以f(x＋4)＝f(x).當x∈[1，2]，f(x)＝1－|x－2|＝x－1；當x∈(－3，－2)時，f(x)＝f(x＋4)＝(x＋4)－1＝x＋3>0，所以f(x)在(－3，－2)上為增函數(shù)，且f(x)>0.故選CD.(2)已知奇函數(shù)y＝f(x)，x∈(－1，1)，在(－1，1)上是減函數(shù)，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)＜0.

狀元隨筆1.由奇函數(shù)得f(－x)＝－f(x)．2．函數(shù)單調(diào)遞減，若f(x1)＜f(x2)得x1＞x2.3．定義域易忽略．

方法歸納1．函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系(1)若f(x)是奇函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相同的單調(diào)性．(2)若f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上也為單調(diào)函數(shù)，且具有相反的單調(diào)性．2．利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用單調(diào)性脫掉“f”求解．(2)在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．跟蹤訓練4

(1)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，5]上單調(diào)遞減，且最小值為3，那么f(x)在區(qū)間[－5，－1]上是(

)A．單調(diào)遞增且最小值為3B．單調(diào)遞增且最大值為3C．單調(diào)遞減且最小值為－3D．單調(diào)遞減且最大值為－3答案：D

解析：當－5≤x≤－1時，1≤－x≤5，所以f(－x)≥3，即－f(x)≥3，從而f(x)≤－3，又奇函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，故f(x)在[－5，－1]上單調(diào)遞減．(2)已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1，1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，若f(1－a2)＋f(1－a)＜0，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)定義在[－2，2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)＜f(m)，求實數(shù)m的取值范圍．

狀元隨筆(2)可利用奇偶性把所給的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系．(3)兩個自變量1－m，m不一定屬于同一單調(diào)區(qū)間，可考慮用絕對值表示來處理．題型5利用函數(shù)的奇偶性求解析式

[邏輯推理]例5.若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝x2－2x－1，求函數(shù)f(x)的解析式．

方法歸納利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應在哪個區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．跟蹤訓練5

設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．

解析：因為f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.

①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2得f(x)＝x2.(①－②)÷2得g(x)＝2x.

答案：AD

2．(多選)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≤0時f(x)＝－x2－2x，則(

)A．f(x)的最大值為1B．f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減C．f(x)≥0的解集為[－2，2]D．當x>0時，f(x)＝x2－2x答案：ABC

答案：A2．(5分)已知f(x)是定義在[m－5，1－2m]上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－2x，則f(m)＝(

)A．－8B．8

C．－24D．24解析：由奇函數(shù)的對稱性可知，m－5＋1－2m＝0，∴m＝－4，∵x≥0時，f(x)＝x2－2x，f(x)是奇函數(shù)，∴f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－(42－2×4)＝－8.故選A.答案：A3．(5分)偶函數(shù)y＝f(x)的局部圖象如圖所示，則(

)A．f(1)＞f(3)B．f(1)＜f(3)C．f(1)＝f(3)D．不能確定f(1)與f(3)的大小答案：B解析：方法一因函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，補全圖象如圖，由圖象可知f(1)<f(3)．方法二由圖象可知f(－1)<f(－3)．又函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)<f(3)．

答案：A

(－∞，－2)(－2，0)(0，2)(2，＋∞)x－－＋＋f(x)－＋－＋＋－－＋二、填空題(每小題5分，共15分)5．(5分)已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－1，1)上的減函數(shù)，則不等式f(1－x)＋f(1－3x)＜0的解集為________．

6．(5分)已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b

是偶函數(shù)，定義域為[a－1，2a]，則a＋b＝________，單調(diào)遞減區(qū)間是________．

7．(5分)給出下列結(jié)論：①若f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(x)是偶函數(shù)；②若f(x)是偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于原點對稱；③若f(－2)＝f(2)，則f(x)(x∈R)是偶函數(shù)；④若f(x)(x∈R)是偶函數(shù)，則f(－2)＝f(2)；⑤若f(2)≠f(－2)，則f(x)(x∈R)不是偶函數(shù)；⑥既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)＝0(x∈R)；⑦若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.其中正確的結(jié)論是______