2024春新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.2.1復(fù)數(shù)的加減運算及其幾何意義分層演練含解析新人教A版必修第二冊

復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義A級基礎(chǔ)鞏固1.[(a-b)-(a+b)i]-[(a+b)-(a-b)i]等于 ()A.-2b-2bi B.-2b+2biC.-2a-2bi D.-2a-2ai解析:原式=[(a-b)-(a+b)i]+[-(a+b)+(a-b)]i=-2b-2bi.答案:A2.已知復(fù)數(shù)z1=1+3i,z2=3+i(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi),z1-z2對應(yīng)的點在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析:因為復(fù)數(shù)z1=1+3i,z2=3+i,所以z1-z2=(1+3i)-(3+i)=-2+2i,所以復(fù)數(shù)z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在其次象限.故選B.答案:B3.復(fù)數(shù)z1=a+4i,z2=-3+bi,若它們的和z1+z2為實數(shù),差z1-z2為純虛數(shù),則a,b的值為 ()A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4解析:因為z1+z2=(a-3)+(4+b)i為實數(shù),所以4+b=0,解得b=-4.因為z1-z2=(a+4i)-(-3+bi)=(a+3)+(4-b)i為純虛數(shù),所以a+3=0,且4-b≠0,所以a=-3,且b≠4.故a=-3,b=-4.答案:A4.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)-3-2i,-4+5i,2+i,z分別對應(yīng)點A,B,C,D,且四邊形ABCD為平行四邊形,則z=3-6i.解析:由題意知DC=AB,所以2+i-z=(-4+5i)-(-3-2i),所以z=3-6i.5.如圖所示,在復(fù)平面內(nèi)的四個點O,A,B,C恰好構(gòu)成平行四邊形,其中O為原點,點A,B,C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R),求zA-zC.解:因為OA+OC=OB,所以4+ai+(a+bi)=6+8i.因為a,b∈R,所以4+a=6所以zA=4+2i,zC=2+6i,所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.B級實力提升6.(全國卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1解析:由題意得z=x+yi,則z-i=x+(y-1)i.由|z-i|=1,得x2所以x2+(y-1)2=1.答案:C7.A,B分別是復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點,O是原點,若|z1+z2|=|z1-z2|,則三角形AOB肯定是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形解析:依據(jù)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義,知以O(shè)A,OB為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等,則此平行四邊形為矩形,故三角形AOB肯定是直角三角形.答案:B8.復(fù)平面內(nèi)有三點A,B,C,點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,向量BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-i,則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-2i.解析:因為BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1+2i,BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-i,所以AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-i)-(1+2i)=2-3i.因為OC=OA+AC,所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+i)+(2-3i)=4-2i.9.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=3,求|z1-z2|.解:如圖所示,設(shè)OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2.依據(jù)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義,由|z1|=|z2|知,以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形,所以|OA|=|OB|,OC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1+z2,所以|OC|=3.在△AOC中,|OA|=|AC|=1,|OC|=3,所以∠AOC=30°.同理得∠BOC=30°,所以△OAB為等邊三角形,則|BA|=1.因為BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1-z2,所以|z1-z2|=1.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多空題已知x∈R,y