2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖和直觀圖教師文檔教案文北師大版

PAGE第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第119頁(yè)[基礎(chǔ)梳理]1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面相互平行且相等多邊形相互平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不肯定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形態(tài)平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線相互平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形全等的圓側(cè)面綻開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jiǎn)記為：橫同豎半，平行性不變．3．三視圖(1)幾何體的三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方視察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：主左一樣高，主俯一樣長(zhǎng)，左俯一樣寬；看到的線畫實(shí)線，看不到的線畫虛線．1．依據(jù)斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖，S原圖＝2eq\r(2)S直觀圖．2．球心到截面的距離d＝eq\r(R2－r2)(其中R為球的半徑，r為截面半徑)．[四基自測(cè)]1．(基礎(chǔ)點(diǎn)：三視圖的畫法規(guī)則)若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個(gè)三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為()A．2，2eq\r(3) B．2eq\r(2)，2C．4，2 D．2，4答案：D2．(易錯(cuò)點(diǎn)：三視圖的識(shí)別)將正方體(如圖(1)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為()答案：B3.(基礎(chǔ)點(diǎn)：直觀圖的畫法規(guī)則)如圖，在直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長(zhǎng)為2cm，則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO為________，面積為________cm2.答案：矩形8授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第120頁(yè)考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[例](1)下列結(jié)論正確的是()A．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)B．六條棱長(zhǎng)均相等的四面體是正四面體C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)[解析]∵這條腰必需是垂直于兩底的腰，∴A錯(cuò)；斜四棱柱也可能有兩個(gè)側(cè)面是矩形，∴C錯(cuò)；必需用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，D錯(cuò)．故選B.[答案]B(2)下列結(jié)論正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的隨意一點(diǎn)的連線都是母線[解析]A錯(cuò)誤．如圖(1)所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．圖(1)B錯(cuò)誤．如圖(2)，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐．圖(2)C錯(cuò)誤．若六棱錐的全部棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必定要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．[答案]D(3)給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是________．[解析]①不正確，依據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不肯定全等；②正確，兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知．故答案為②③④[答案]②③④[破題技法]解空間幾何體概念辨析問題的常用方法提示：(1)直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，正棱柱是底面為正多邊形的直棱柱，易忽視正棱柱首先是直棱柱．(2)臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖[例](1)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形[解析]在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形，故選C.[答案]C(2)直觀圖為如圖所示的一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的正方形，則原圖形的周長(zhǎng)為________cm.[解析]將直觀圖還原為平面圖形，如圖．可知還原后的圖形中OB＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(12＋（2\r(2)）2)＝3，于是周長(zhǎng)為2×3＋2×1＝8(cm)．[答案]8(3)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．[解析]如圖，∵OE＝eq\r(（\r(2)）2－12)＝1，∴O′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4).∴直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).[答案]eq\f(\r(2),2)[破題技法]1.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧：在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出．2．斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形變更.))“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不變更，,相對(duì)位置不變更.))考點(diǎn)三空間幾何體的三視圖挖掘1已知幾何體形態(tài)，識(shí)別幾何體的三視圖/自主練透[例1](1)(2024·高考全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()[解析]由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.[答案]A(2)(2024·惠州調(diào)研)如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個(gè)三棱錐，得到圖②中的幾何體，則該幾何體的左視圖為()[解析]從幾何體的左面看，AD1在視線范圍內(nèi)，畫實(shí)線，C1F[答案]B[破題技法]由幾何體的直觀圖求三視圖．應(yīng)留意主視圖、左視圖和俯視圖的視察方向，留意看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示．還原幾何體形態(tài)時(shí)不要忽視空間幾何體的三視圖中的虛線．挖掘2由空間幾何體的三視圖還原直觀圖/自主練透[例2](1)(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16[解析]由題意，得該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成的，如圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形，則這兩個(gè)梯形的面積之和為2×(2＋4)×2×eq\f(1,2)＝12，故選B.[答案]B(2)(2024·南平質(zhì)檢)圖中網(wǎng)格的各小格是單位正方形，粗線構(gòu)成的上下兩個(gè)圖形分別是正三棱錐與圓臺(tái)組合體的主視圖和俯視圖，那么該組合體的左視圖的面積為()A．6＋eq\r(3) B．eq\f(15,2)C．6＋eq\f(3\r(3),4) D．8eq\r(3)[解析]由三視圖還原可得原圖形為一個(gè)圓臺(tái)上面放了一個(gè)正三棱錐，所以左視圖下面圓臺(tái)是一個(gè)等腰梯形，面積為S1＝eq\f(（2＋4）×2,2)＝6，上面是一個(gè)三角形，面積為S2＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(3,2)，所以左視圖的面積為S＝S1＋S2＝eq\f(15,2)，故選B.[答案]B[破題技法]由三視圖還原幾何體的方法：挖掘3由空間幾何體的部分視圖畫出剩余部分視圖/自主練透[例3](2024·石家莊質(zhì)檢)一個(gè)三棱錐的主視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的左視圖可能為()[解析]由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D.[答案]D[破題技法]由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖，先依據(jù)已知的一部分視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，從而得到未知視圖的可能形式．考點(diǎn)四三視圖中的最值問題[例]某幾何體的一條棱長(zhǎng)為eq\r(7)，在該幾何體的主視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為eq\r(6)的線段，在該幾何體的左視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a＋b的最大值為()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(5)[解析]將此幾何體中棱長(zhǎng)為eq\r(7)的棱抽離出來，構(gòu)造一個(gè)以它為體對(duì)角線的長(zhǎng)方體，如圖所示，則此長(zhǎng)方體的面對(duì)角線分別為a，b，eq\r(6).設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝b2，,y2＋z2＝a2，,z2＋x2＝6，,x2＋y2＋z2＝7，))消去x，y，z，得a2＋b2＝8，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝16，則a＋b≤4.故選C.[答案]C[破題技法]1.三視圖中的最值問題通常有兩種破解策略：(1)利用函數(shù)思想求解，即在解答時(shí)通過設(shè)出變量，利用函數(shù)與方程思想得到方程或函數(shù)解析式，運(yùn)用解方程或函數(shù)求最值的方法解答此類問題；(2)借助幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征求解，即仔細(xì)分析圖形，確定取最值時(shí)的相應(yīng)點(diǎn)、線段或角，再借助幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行計(jì)算求解．2．留意補(bǔ)形的策略在三視圖問題中的應(yīng)用，本例若是僅考慮符合題意的幾何體的形態(tài)，便極易陷入苦思而不得的泥沼．現(xiàn)考慮長(zhǎng)方體模型，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體對(duì)角線的三視圖即為長(zhǎng)方體的三條面對(duì)角線，從而得到本題的簡(jiǎn)易解法．(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在主視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上