山東省濟南市章丘某中學2023-2024學年八年級上學期第一次學情反饋數(shù)學試題（解析版）

2023-2024學年山東省濟南市章丘新世紀博雅實驗學校八年級第一學

期第一次學情反饋數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.-8的立方根是（）

A.+2B.2C.-2D.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)立方根的定義進行解答.

【詳解】2）3=-8,

A-8的立方根是-2,

故選C.

【點睛】本題主要考查了立方根，解決本題的關鍵是數(shù)積立方根的定義.

2.二次根式J匚；在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)尤的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

【解析】

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式計算即可得到X的取值范圍，然后在數(shù)軸上表示即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，1-xAO,

解得戈S1,

在數(shù)軸上表示如下：

」】I----1?.

-1012

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，理解二次

根式有意義的條件是解題關鍵.

3.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形邊長的是（）

A.4,5,6B.12,16,20C.5,10,13D.8,40,41

【答案】B

【解析】

【分析】如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，最長邊所對的

角為直角.由此判定即可.

【詳解】解：A、:52+42優(yōu)2,三條線段不能組成直角三角形，故A選項錯誤；

B、122+162=202,.?.三條線段能組成直角三角形，故B選項正確；

C、????.-52+102^132,三條線段不能組成直角三角形，故C選項錯誤；

D、?.收+402力412,...三條線段能組成直角三角形，故D選項錯誤；

故選B.

【點睛】此題考查了勾股定理逆定理的運用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要

利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

4.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）.

A,屈B.C.CD.由

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A.屏是最簡二次根式，符合題意；

B.年=后^=2\^,故不是最簡二次根式，不合題意；

IL￡口

C.V33,故,3不是最簡二次根式，不合題意；

D.J§=3,故而不是最簡二次根式，不合題意.

故選：A

【點睛】本題考查了最簡二次根式根式的定義，熟知最簡二次根式的定義是解題關鍵，判斷二次根式是最

簡二次根式要符合兩個條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含開的盡方的因數(shù)或因式.

5.下列計算正確的是（）

A」?B.坊+3仃=5〃C.次=4gD.

V3（25/3-2）=6-2V3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)零指數(shù)塞，二次根式的加法以及二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運算進行計算即可求

解.

（"）=1

【詳解】解：A.,故該選項不正確，不符合題意；

B.后=5相，故該選項不正確，不符合題意；

c.Js=2>/2,故該選項不正確，不符合題意；

V3（2x/3-2l=6-2>/3

D.,故該選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了零指數(shù)幕，二次根式的加法以及二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運算，熟練掌握二

次根式的運算法則是解題的關鍵.

6.如圖，在3x4的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長都是1）中，標記格點A,B,C,D,則下列線段長

度為Jid的是（

）

A.線段A3B.線段BCC.線段/CD.線段

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理分別求解48,BC,AC,BD,從而可得答案.

【詳解】解：由勾股定理可得：

池==6

BC=JF+f=師

4。=#+甲=屈,

3。=百+3?=而,

故選：B.

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，熟記勾股定理的解本題的關鍵.

7.如圖圓柱的底面周長是10c加，圓柱的高為13n,3c為圓柱上底面的直徑，一只螞蟻如果沿著圓柱的側

面從下底面點A處爬到上底面點B處，那么它爬行的最短路程為（）

B.11CWD.12cm

【答案】C

【解析】

【分析】把圓柱沿母線AC剪開后展開，點B展開后的對應點為B',利用兩點之間線段最短可判斷螞蟻

=5,然后利用勾股定理計算出AB'即可.

解：把圓柱沿母線AC剪開后展開，點B展開后的對應點為B,,則螞蟻爬行的最短路徑為AB',如

圖，AC=12,CB,=5,

在Rt^ACB',加=內(nèi)+13=13

所以它爬行的最短路程為13cm.

故選：C.

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之

間的最短路徑.一般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構造直角三角形解決問題.

8.如圖，數(shù)軸被墨跡污染了，被覆蓋的數(shù)不可能是（）

H012----^3

A.SB.A/5C.而D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)算術平方根的定義估算無理數(shù)赤、6巫、幣的大小即可.

【詳解】解：數(shù)軸被墨跡污染的數(shù)介在1與2之間，

vl-=l,23=4,3-=9,

1<73<2,2<>/5<3,2<76<3,2<y/l<3,

故選：A.

【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的估算，理解估算方法是正確解答的前提.

9.我國是最早了解勾股定理的國家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商

高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”.三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細注釋，并

給出了另外一種證明.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)面積公式，逐項推理論證判斷即可.

【詳解】解：A、大正方形的面積為：

—aZ>x4+（6—a）2=a2+b2

也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：2

.一+62=1,故A選項能證明勾股定理；

B、大正方形的面積為：+bi；

—aZ?x4+c3=2ab+c2

也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：2,

.（a+b[=lab+c2

,,,

.，+/=/,故B選項能證明勾股定理；

11.

（a-\-b\（a+，）=ia2-\-b2I+ab

c、梯形的面積為：2'2；

1-12L12

—^6x2+-c3=ab+-c2

也可看作是2個直角三角形和一個等腰直角三角形組成，則其面積為：222,

11.

ab+—c2=—（+ab

??O'+/=，故C選項能證明勾股定理；

D、大正方形的面積為：g+匕）；

也可看作是2個矩形和2個小正方形組成，則其面積為：a'+b:+2ab,

2

?,?（\a+bJf=a+b，+Zab，

??.D選項不能證明勾股定理.

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式，熟練掌握勾股定理的證明和完全平方公式的幾何意

義是解題的關鍵.

【解析】

【分析】先根據(jù)勾股定理用EC,80表示出P爐，用尸C,4?表示出尸4,再把47=：!,80=4代

入進行計算即可.

【詳解】解：；APBC與二94c是直角三角形，AC=2,BC=4,

,-.PB2=PC2+BC2=PC2+16,

PA1=PC3+AC3=PC3+4,

...?序-=（尸。2+16）-（PC:+4）=12,

故選D.

【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊

長的平方是解題的關鍵.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.直接填寫答案.

11.請寫出一個比J可小的整數(shù).

【答案】4（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)算術平方根的意義求解.

【詳解】解：.??由16<23可得：標<4,

即4<后，

故答案為：4（答案不唯一）.

【點睛】本題考查算術平方根和無理數(shù)的估算，熟練掌握基本知識是解題關鍵.

12.標的平方根是.

【答案】±2

【解析】

【詳解】解：：而=4

JiJ的平方根是±2.

故答案為±2.

13.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形

A、B、C、O的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形￡的面積是—.

【答案】10

【解析】

【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得:

A、8的面積和為Si,C、。的面積和為S2,Si+S2=S3,

B

???正方形A、B、C、。的面積分別為2,5,1,2,

??,最大的正方形E的面積S3=SI+&=2+5+1+2=10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，解決此題的關鍵熟練運用勾股定理的發(fā)現(xiàn)的來源.

14.如圖，OA=OB,則在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是.

【答案】"Js

【解析】

【分析】先利用勾股定理求解=再結合點A的位置可得答案.

【詳解】解：由勾股定理可得：0B=+1'=6

，。4=。3=收

所以A點表示的數(shù)為：-后

故答案為：-J5

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用、實數(shù)與數(shù)軸，利用勾股定理求解=后是解本題的關鍵.

15.在"C中，^5=15.^0=13,高，D=12,則?45c的周長是.

【答案】42或32##32或42

【解析】

【分析】分兩種情況討論：當高皿在?超C的內(nèi)部時，當高4?在~45c的外部時，結合勾股定理,

即可求解.

【詳解】解：當高山在445c的內(nèi)部時，如圖，

在Rt^ABD中，SD?^lAB:-AD:-V15'-12;-9,

在用“CD中，—

-,BC=BD+CD=}4,

此時"。的周長是H5+BC+4c=15+14+13=42；

當高皿在?45c的外部時，如圖，

在火以幺3。中，BD-yjAB:-AD:-715,-12;-9,

在RMaCD中，CO=〃C2-m=*3jy=5,

：.BC=BD-CD=4,

此時“SC的周長是月2+BC+ZC=15+4+13=32.

綜上所述，?超。的周長是42或32.

故答案為：42或32

【點睛】此題考查了勾股定理的知識，在解本題時應分兩種情況進行討論，易錯點在于漏解，同學們思考

問題一定要全面，有一定難度.

16.到目前為止，勾股定理的證明已超過400種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個直角

三角形如圖擺放，已知RM5c空KrAD即，點尸落在2C上，點c與點E重合，斜邊月8與斜邊CQ

交于點M,連接幺D,BD,若HC=9,BC=5,則四邊形的面積為.

【答案】53

【解析】

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得0R=4C=9,C斤=80=5,再根據(jù)四邊形/BCD的面積等于

△DAC的面積與ADBC的面積的和，列出算式計算即可求解.

【詳解】解：：RtLABC^RiLDEF,

：.DFAC^9,CF=BC5,

,=S3c+S3=:x9x9+gx5x5=53

故答案為：53.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，關鍵是求出0歹=力0=9,CF=BC=5,以及由圖形得到四邊形

」竊00的面積等于AD4c的面積與ADBC的面積的和.

三、解答題：本題共10小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：衣一（"一2）+（一1嚴.

【答案】3-啟

【解析】

【分析】根據(jù)實數(shù)的混合運算法則計算即可.

【詳解】a-（G?）+（T嚴

=2-73+2-1

=3-73.

【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，以及算術平方根、實數(shù)的乘方運算等知識，解題的關鍵是掌握

運算法則進行解題.

18.計算:

（1）4x/5+J45—

（2）￡+Q-欄y

【答案】⑴5而;⑵4一由.

【解析】

【分析】（1）先化簡二次根式，再進行加減運算；

（2）先化簡二次根式，在計算乘除，最后算加減.

【詳解】（1）4小+而-叵

=445+345-2^5

=5也；

（2）7K而+W+。-/廣

=2\f3—5/6-y/z+（1—>/3）

=273-V3+1-2V3+3

=4-^3

【點睛】本題考查的是二次根式的運算，能夠準確的化簡二次根式是解題的關鍵.

19.如圖所示，有一塊四邊形花圃AB=3m,AD=4m,5C=13m,CD=12m,

4=90°.若在這塊花圃上種植花草，已知每種植1m?需50元，則共需多少元？

AD

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的應用；連接則在直角AHBQ中，已知

AD,45根據(jù)勾股定理可以計算3Q,又因為30,+0（"=80、所以ABC。為直角三角形，四邊形

力5。。的面積為和AHC。面積之和.

【詳解】解：連接3。,

在中，AB—3,血）=4,

2

BD=>JAB'+AC=5t

?.?在A30C中，BD2+DC2=BC\

Z.BDC=90°,

-xBDxCD=3Q

的面積為2平方米,

—xABxAD=6

AABD的面積為2平方米,

四邊形面積=36平方米,

共需花費36x50元=1800元.

答：共需花費I'。。元.

20.解方程:

⑴16/=49；

77

工1=—%=—一

【答案】⑴4,“4

（2）&=10,曰=-6

【解析】

【分析】(1)先將系數(shù)化勺1,然后方程左右兩邊同時開方即可求解；

(2)用直接開方法求出工一？的值，再求出1的值即可.

【小問1詳解】

解：161=49,

16,

77

工

【小問2詳解】

的(x-2)2=64

解：，

.1=8或-8,

Tj=10x3=-6

【點睛】本題考查了利用平方根求解，正確利用平方根求解是解答本題的關鍵.

21.已知：a="+2,b=\/7-2,求：

(1)的值；

(2)。'+〃一。6的值.

【答案】(1)3(2)19

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平方差公式進行計算即可求解；

(2)先計算。-6=4,根據(jù)完全平方公式變形，結合(1)的結論，代入求值即可求解.

【小問1詳解】

解：?.?。=萬+2,6="-2,

.^=(77+2)(77-2)

=7-4

=3.

【小問2詳解】

.《=幣+2,b=J1-2,

,°-小="+2-(6-2)=4

??

又ab-3

.a2+b2-ab=(a-b)^+ab

=42+3

=19.

【點睛】本題考查了二次根數(shù)的混合運算，完全平方公式，平方差公式，正確的計算是解題的關鍵.

22.如圖，長方形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別為6和9.

（1）小正方形的邊長為,它在___________和這兩個連續(xù)整數(shù)之間.

（2）請求出圖中陰影部分的面積.（結果保留根號）

【答案】（1）而；2；3

（2）3而-6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)算術平方根可得小正方形的邊長，估算而在2和3之間；

（2）利用面積計算公式可得結論.

【小問1詳解】

..?小正方形的面積為6,

小正方形的邊長為卡,

*/4<6<9,

;.2<j6<3,

它在2和3這兩個連續(xù)整數(shù)之間.

【小問2詳解】

陰影部分的面積為：J6X（3-76）=3X/6-6.

【點睛】本題考查列代數(shù)式和算術平方根問題，得到兩個正方形的邊長是解決本題的關鍵.

23.如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm,點尸從點A開始沿邊向2點以每

秒1c根的速度移動；點。從點B沿BC邊向點C以每秒2cHi的速度移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，

△BPQ的面積為多少？

【答案】18cM2

【解析】

【分析】設A3為貝?。?。為AC為5xcm,根據(jù)周長為36on,可求出x的值，從而得到

△ABC的三邊長，得到△ABC是直角三角形，然后根據(jù)點尸從點A開始沿邊向B點以每秒1c加的速度移

動；點。從點5沿5c邊向點C以每秒2c機的速度移動，如果同時出發(fā)，即可求出，△BPQ的面積.

【詳解】解：設AB為3XCM,則為AC為5xcnt,

,周長為36cm,

AB~\~BC~\-AC=36cm,

.,*3x+4x+5x=36,

解得x=3,

.\AB=9cmfBC=12cm,AC=15cm,

：.AB2+BC2=AC2,

.?.△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，即乙480=90，,

過3秒時，3P=9-3X1=6（cm）,5。=2*3=6（cm）,

2_1

：?SAPBQ=2BP*BQ=2X6X6=18（cm2）.

故過3秒時，45尸。的面積為18c儂.

【點睛】本題主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面積.由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形

是解題的關鍵.

24.如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離3c為0.7米，

梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地

面的距離4。為1.5米.

（1）梯子45的長是多少？

（2）求小巷的寬.

【答案】（1）2.5米；（2）2.7米

【解析】

【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB的長度

（2）由（1）知梯子AB的長度，利用勾股定理求出BD的長，即可得到答案.

【詳解】（1）在RARCH中，

\-^ACB=90°,8。=0.7米，乂。=2.4米，

,-,^52=0.72+2.42=6.25.

.-.245=2.5（米）.

答：梯子月3的長是2.5米

（2）在中，

?.?/0=90°,4。=1.5米，BD2+AD2=A'B2,

.?.5D2+1.52=6.25,

BD:-4.

???BD>0，

?，.BD=2米.

:.CD=BC+BD=Q7+2=17米.

答：小巷的寬度CO為2.7米.

【點睛】本題考查了勾股定理的應用，關鍵是掌握利用勾股定理求有關線段的長度的方法.

25.如圖，在4?4的正方形網(wǎng)格中，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角

形.

(1)在圖①中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；

(2)在圖②中，畫一個直角三角形，使它的一邊長是有理數(shù)，另外兩邊長是無理數(shù);

(3)在圖③中，畫一個直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析

【解析】

【分析】(1)畫一個邊長為3,4,5的三角形即可；

(2)利用勾股定理，找長為和4的線段，畫三角形即可；

(3)利用勾股定理，找長為S'、和加的線段，畫三角形即可；

【詳解】解：(答案不唯一)

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，準確的理解勾股定理公式和構造直角三角形是解題的關鍵.

26.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

圖1圖2圖3

(1)概念理解：如圖2,在四邊形中，AB=AD,=問四邊形W8CQ是垂美四邊形

嗎？請說明理由.

(2)性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形兩組對邊月3,CD馬BC,M之間的數(shù)量關系.

猜想結論：(要求用文字語言敘述)

寫出證明過程(先畫出圖形，寫出已知、求證).

(3)問題解決：如圖3,分別以的直角邊2C和斜邊為邊向外作正方形力CFG和正方形

ABDE,連接CE