解密17概率統(tǒng)計（講義）-2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義分層訓(xùn)練

解密17概率統(tǒng)計考點熱度★★★★☆內(nèi)容索引核心考點1隨機事件的概率核心考點2古典概型核心考點3隨機抽樣核心考點4用樣本估計總體核心考點5變量間的相關(guān)關(guān)系核心考點6統(tǒng)計案例課外補充幾何概型（有興趣的研究）微專題概率統(tǒng)計綜合應(yīng)用考點由高考知核心知識點預(yù)測概率統(tǒng)計熱點預(yù)測與趨勢分析概率統(tǒng)計基本為必考題。今后高考的命題趨勢：選擇、填空、解答皆有可能出。變化很多。一般難度不大核心考點一隨機事件的概率隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：（1）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試?yán)妙l率估計概率

（1）、利用頻率估計概率

在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗，利用一個隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率。

（2)、在統(tǒng)計學(xué)中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復(fù)雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。

(3)、隨機數(shù)

在隨機事件中，需要用大量重復(fù)試驗產(chǎn)生一串隨機的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計工作。把這些隨機產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機數(shù)。2.概率的基本性質(zhì)1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3.互斥事件與對立事件事件A和事件B不可能同時發(fā)生，這種不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件。

如果A1，A2，…，An中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥。

對立事件：

兩個事件中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做。

注：兩個對立事件必是互斥事件，但兩個互斥事件不一定是對立事件。

事件A+B的意義及其計算公式：

（1）事件A+B：如果事件A，B中有一個發(fā)生發(fā)生。

（2）如果事件A，B互斥時，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥時，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。

（3）對立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。

如果事件A，B互斥時，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥時，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。

如果事件A，B對立事件，則P（A+B）=P（A）+P（B）=1。

互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系：

互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生。因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件。考法隨機事件的概率1．（2015·湖北·高考真題（文））我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B【詳解】設(shè)夾谷石，則，所以，所以這批米內(nèi)夾谷約為石，故選B.考點：用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體.2．（2018·全國·高考真題（文））若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【詳解】分析：由公式計算可得詳解：設(shè)事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，則因為所以，故選B.點睛：本題主要考查事件的基本關(guān)系和概率的計算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2021·江蘇·高考真題）邏輯表達(dá)式等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】從集合角度去理解邏輯表達(dá)式【詳解】如圖，類似于，則類似于故選：D.1．（2016·天津·高考真題（文））甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿锳． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：甲不輸概率為選A.【考點】概率【名師點睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.運用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法公式.對古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當(dāng)正面問題比較復(fù)雜時，往往采取計數(shù)其對立事件.2．（2021·廣西·模擬預(yù)測（理））甲?乙去同一家藥店購買一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售A，B，C三種醫(yī)用外科口罩，甲?乙購買A，B，C三種醫(yī)用口罩的概率分別如下：購買A種醫(yī)用口罩購買B種醫(yī)用口罩購買C種醫(yī)用口罩甲0.20.4乙0.30.3則甲?乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（）A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32【答案】D【分析】先求出甲購買A種醫(yī)用口罩和乙購買B種醫(yī)用口罩的概率，然后利用獨立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.【詳解】由表可知，甲購買A種醫(yī)用口罩的概率為0.4，乙購買B種醫(yī)用口罩的概率為0.4，所以甲，乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為.故選：D.3．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）如圖，開關(guān)，被稱為雙聯(lián)開關(guān)，可以與a，b點相連，概率分別為，可以與c，d點相連，概率分別為，普通開關(guān)要么與e點相連（閉合），要么懸空（斷開），概率也分別為．若各開關(guān)之間的連接情況相互獨立，則電燈不亮的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對立事件，結(jié)合相互獨立事件概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】先考慮對立事件“電燈亮”：首先需要“與e點相連”，同時滿足“與點相連且與c點相連”或“與b點相連且與d點相連”，因此電燈亮的概率，故電燈不亮的概率為.故選：C4．（2021·四川內(nèi)江·一模（文））“事件A與事件B是對立事件”是“事件A與事件B是互斥事件”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合對立事件、互斥事件的定義分析判斷【詳解】因為當(dāng)事件A與事件B是對立事件時，可得事件A與事件B一定是互斥事件，而當(dāng)事件A與事件B是互斥事件時，事件A與事件B不一定是對立事件，所以“事件A與事件B是對立事件”是“事件A與事件B是互斥事件”的充分而不必要條件，故選：A核心考點二古典概型類型一：古典概型；古典概型的基本特點：基本事件數(shù)有限多個；每個基本事件之間互斥且等可能；概率計算公式：A事件發(fā)生的概率;考法古典概型1．（2020·山東·高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進(jìn)入同一間教室的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型概率公式，結(jié)合分步計數(shù)原理，計算結(jié)果.【詳解】5位老師，每人隨機進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，共有種方法，其中恰好全都進(jìn)入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B2．（2011·浙江·高考真題（文））從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球,則所取的3個球中至少有1個白球的概率是()A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：從裝有個紅球，個白球的袋中任取個球，共有基本事件種，則全取紅球的基本事件只有一種，所以所取個球中至少有個白球的概率為，故選D.考點：古典概型及其概率的計算.1．（2022·湖南邵陽·一模）“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：任意一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)（質(zhì)數(shù)）之和，也就是我們所謂的“1+1”問題．它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中都取得了相當(dāng)好的成績．若將14拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為素數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出所有的等式，計算基本事件的總數(shù)，再計算事件拆成的和式中，加數(shù)全部為素數(shù)所包含的基本事件，即可得到答案；【詳解】，共有13個和式，其中加數(shù)全部為素數(shù)為，共3個基本事件，，故選：A2．（2022·廣西柳州·二模（文））為了豐富學(xué)生的課外生活，學(xué)校組建了數(shù)學(xué)建模?航空?繪畫?攝影?舞蹈個興趣小組，小明隨機選報其中的個，則小明選報了數(shù)學(xué)建模興趣小組的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型計算公式直接計算即可.【詳解】個興趣小組隨機選報其中個的方案共種，其中包括數(shù)學(xué)建模興趣小組的方案有種，所以概率為，故選：B.核心考點三隨機抽樣統(tǒng)計學(xué)中的簡單的抽樣方法；方法一：簡單隨機抽樣；基本原理：根據(jù)研究目的選定總體，首先對總體中所有的觀察單位編號，遵循隨機原則，采用不放回抽取方法，從總體中隨機抽取一定數(shù)量觀察單位組成樣本。具體做法：①隨機數(shù)字法；②抽簽法；優(yōu)缺點分析：優(yōu)點：基本原理比較簡單；當(dāng)總體容量不大時比較方便；抽樣誤差的計算較方便；缺點：對所有觀察單位編號，當(dāng)數(shù)量大時，有難度；方法二：系統(tǒng)抽樣；基本原理：先將總體的觀察單位按某順序號等分成n個部分再從第一部分隨機抽第k號觀察單位，依次用相等間隔，機械地從每一部分各抽取一個觀察單位組成樣本；優(yōu)缺點分析：優(yōu)點：抽樣方法簡便，特別是容量比較大的時候；

易得到一個按比例分配的樣本，抽樣誤差較小；缺點：仍需對每個觀察單位編號；

當(dāng)觀察單位按順序有周期趨勢或單調(diào)性趨勢時，產(chǎn)生明顯偏性；方法三：分層抽樣；基本原理：先將總體按某種特征分成若干層，再從每一層內(nèi)隨機抽取一定數(shù)量的觀察單位，合起來組成樣本。具體做法：第一步：計算每一層個體數(shù)與總體容量的比值；第二步：用樣本容量分別乘以每一層的比值，得出每層應(yīng)抽取的個體數(shù)；第三步：用簡單隨機抽樣的方法產(chǎn)生樣本；優(yōu)缺點分析：優(yōu)點：在一定程度上控制了抽樣誤差，尤其是最優(yōu)分配法；缺點：總體必須要能分成差別比較大的幾層時才能用，局限性比較大；總結(jié)：以上三種抽樣方法的共同特征是每個個體被抽中的可能性相同；考法隨機抽樣1．（2019·全國·高考真題（文））某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗，若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是A．8號學(xué)生 B．200號學(xué)生 C．616號學(xué)生 D．815號學(xué)生【答案】C【分析】等差數(shù)列的性質(zhì)．滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．使用統(tǒng)計思想，逐個選項判斷得出答案．【詳解】詳解：由已知將1000名學(xué)生分成100個組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號學(xué)生被抽到，所以第一組抽到6號，且每組抽到的學(xué)生號構(gòu)成等差數(shù)列，公差，所以，若，則，不合題意；若，則，不合題意；若，則，符合題意；若，則，不合題意．故選C．【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣.2．（2021·湖南·高考真題）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖（1）和圖（2）所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則在抽取的高中生中，近視人數(shù)約為（）A．1000 B．40 C．27 D．20【答案】D【分析】根據(jù)高中生的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比可得所抽的高中生人數(shù)，再由近視率為即可求解.【詳解】由圖（1）知高中生的總?cè)藬?shù)為人，所以應(yīng)抽取的高中生為人，抽取的高中生中，近視人數(shù)約為人，故選：D1．（2012·四川·高考真題（文））交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為A．101 B．808 C．1212 D．2012【答案】B【詳解】試題分析：由分層抽樣的定義可得，解得，答案選B．考點：分層抽樣2．（2021·上海松江·一模）某校有高一學(xué)生390人，高二學(xué)生360人，高三學(xué)生345人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取部分學(xué)生作為樣本.若從高二學(xué)生中抽取的人數(shù)為24人，則高一學(xué)生和高三學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)分別為（）A．高一學(xué)生26人?高三學(xué)生23人B．高一學(xué)生28人?高三學(xué)生21人C．高一學(xué)生多于24人?高三學(xué)生少于24人即可D．高一?高三學(xué)生人數(shù)都不限【答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣在各層的抽樣比相等建立方程求解即可.【詳解】設(shè)高一學(xué)生抽取人，高三學(xué)生抽取人，則有：，故選：A3．（2020·西藏·林芝一中模擬預(yù)測（理））電影《你好，李煥英》于年月日在中國內(nèi)地上映，創(chuàng)造了連續(xù)多日的單日票房冠軍．某新聞機構(gòu)想了解全國人民對《你好，李煥英》的評價，決定從某市個區(qū)按人口數(shù)用分層抽樣的方法抽取一個樣本．若個區(qū)人口數(shù)之比為，且人口最少的一個區(qū)抽出人，則這個樣本的容量等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】這個樣本的容量為，則，由此能求出這個樣本的容量．【詳解】解：從某市3個區(qū)按人口數(shù)用分層抽樣的方法抽取一個樣本．3個區(qū)人口數(shù)之比為，且人口最少的一個區(qū)抽出100人，設(shè)這個樣本的容量為，則，解得．這個樣本的容量等于600．故選：D．核心考點四用樣本估計總體1、平均數(shù)：一般地，如果有n個數(shù)那么，叫做這n個數(shù)的平均數(shù)，讀作“x拔”。2、加權(quán)平均數(shù)：如果n個數(shù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，…，出現(xiàn)次（這里）。那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個數(shù)的平均數(shù)可以表示為，這樣求得的平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù)，其中叫做權(quán)。3、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

4、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（mode）。

5、極差：組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差(range)。

6、方差：在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。通常用“”表示，即7、標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用“s”表示，即方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，就越穩(wěn)定。常用的幾個統(tǒng)計學(xué)圖表；圖表一：頻率分布直方圖與頻率分布折線圖；說明幾個基本概念：頻數(shù)：符合某一條件的個體個數(shù)；頻率：頻率=；（在必要情況下，可以近視的看作概率；所有組的頻率之和是1；）認(rèn)識頻率分布直方圖：橫標(biāo)是分組的情況；縱標(biāo)不是頻率，而是頻率/組距；小方框的面積才是頻率；所有的面積和為1；畫頻率分布直方圖：第一步：求極差；第二步：分組，確定組距；第三步：列頻率分布表；第四步：作圖；畫頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中每個方框的頂邊的中點用直線連起來形成的折線圖；圖表二：莖葉圖；定義：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，一般用中間的數(shù)表示個位數(shù)以上的部分，兩邊的數(shù)表示個位數(shù)字；若數(shù)據(jù)是小數(shù)，一般用中間的數(shù)表示整數(shù)部分，兩邊的數(shù)表示小數(shù)部分形成的圖表；考法用樣本估計總體1．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選：C.【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率等于.2．（2017·全國·高考真題（理））某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】A【分析】觀察折線圖，結(jié)合選項逐一判斷即可【詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，觀察折線圖，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正確；對于D選項，觀察折線圖，各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.故選：A3．（2020·全國·高考真題（理））在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】計算出四個選項中對應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組.【詳解】對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.【點睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．（2021·全國·高考真題（理））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.1．（2019·全國·高考真題（理））演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差【答案】A【分析】可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．【詳解】設(shè)9位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．【點睛】本題旨在考查學(xué)生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.2．（2022·四川巴中·一模（文））如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為和，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，樣本極差分別為和，則（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】觀察圖形可知，樣本A的數(shù)據(jù)均在之間，樣本B的數(shù)據(jù)均在之間，利用平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差的定義可得解.【詳解】觀察圖形可知，樣本A的數(shù)據(jù)均在之間，樣本B的數(shù)據(jù)均在之間，由平均數(shù)的計算可知，樣本極差樣本B的數(shù)據(jù)波動較小，故，故選：B3．（2022·云南昆明·一模（文））在如圖所示的莖葉圖中，記甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為、，標(biāo)準(zhǔn)差分別為、．根據(jù)莖葉圖估計甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差，下列描述正確的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由莖葉圖計算出甲、乙的平均數(shù)，再由莖葉圖數(shù)據(jù)的分布情況判斷甲、乙誰的數(shù)據(jù)更集中即可判斷.【詳解】由莖葉圖知，甲的數(shù)據(jù)有，乙的數(shù)據(jù)有，則，，所以，再由莖葉圖數(shù)據(jù)的分布情況可知，甲的數(shù)據(jù)主要集中在附近，乙的數(shù)據(jù)比較分散，所以甲數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，所以.故選：A4．（2022·河南洛陽·一模（文））為了響應(yīng)國家節(jié)電號召，某小區(qū)欲對全體住戶進(jìn)行節(jié)電設(shè)施改造．在大規(guī)模改造前，為預(yù)估改造效果，現(xiàn)在該小區(qū)中抽取了100戶進(jìn)行改造，并統(tǒng)計出了這100戶在改造前后的月均用電量（單位：度），得到的頻數(shù)分布表如下：月均用電量頻數(shù)12183022126改造前這100戶月均用電量頻數(shù)分布表改造后這100戶月均用電量頻數(shù)分布表月均用電量頻數(shù)122440168

（1）補全改造后這100戶的月均用電量的頻率分布直方圖；（2）利用以上數(shù)據(jù)估計該小區(qū)在改造完成后，月均用電量低于150度的概率；（3）該小區(qū)現(xiàn)有2000戶，若全部改造完成后，估計一個月能節(jié)約多少度電？（同一組的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點的值作代表）【答案】（1）詳見解析；（2）0.56；（3）38000【分析】（1）根據(jù)和的頻數(shù)得到頻率，補全頻率分布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求解；（3）分別求得改造前和改造后月平均用電量，再作差求解.（1）解：因為的頻數(shù)為24，所以頻率為0.24，的頻數(shù)為16，所以頻率為0.16，則改造后這100戶的月均用電量的頻率分布直方圖如下：（2）由頻率分布直方圖知：月均用電量低于150度的概率為：.（3）改造前月平均用電量：；改造后月平均用電量：，則，所以全部改造完成后，估計一個月能節(jié)約38000度電.核心考點五變量間的相關(guān)關(guān)系變量間的相互關(guān)系與統(tǒng)計案例；1、相關(guān)關(guān)系的分類：從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)。2、線性相關(guān)：從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線。3．最小二乘法求回歸方程：(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距考法變量間的相關(guān)關(guān)系1．（2020·全國·高考真題（理））某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.2．（2015·湖北·高考真題（文））已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān)D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)【答案】A【詳解】因為變量和滿足關(guān)系，一次項系數(shù)為，所以與負(fù)相關(guān)；變量與正相關(guān)，設(shè)，所以，得到，一次項系數(shù)小于零，所以與負(fù)相關(guān)，故選A.1．（2021·河南·模擬預(yù)測（文））已知兩個變量與的五組數(shù)據(jù)如下表所示，且關(guān)于的線性回歸方程為，則（）6.37.27.88.29.542465057A．52 B．53 C．54 D．55【答案】D【分析】由表格數(shù)據(jù)求，由樣本中心在回歸方程上求，進(jìn)而根據(jù)均值公式求參數(shù)m即可.【詳解】由，則，∴.故選：D.2．（2021·四川雅安·模擬預(yù)測（理））某學(xué)習(xí)研究小組為了考察學(xué)校軍訓(xùn)期間的礦泉水需求量林泉水件數(shù)（單位：件）與同時軍訓(xùn)的班級數(shù)量（單位：個）之間的相關(guān)關(guān)系，得到了如下散點圖．若根據(jù)該散點圖求出的回歸直線方程為，則的值是（）A． B．8 C．5 D．3【答案】D【分析】求出樣本中心點，根據(jù)回歸直線必過樣本中心點，代入即可得解.【詳解】解：回歸直線必過樣本中心點，即，代入計算得．故選：D．核心考點六統(tǒng)計案例回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距．樣本相關(guān)系數(shù)：r＝，用它來衡量兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系．(1)當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；(2)當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)；(3)r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強；r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|＞0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系．6．獨立性檢驗：(1)用變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量．例如：是否吸煙，宗教信仰，國籍等．(2)列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．(3)一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)，可利用獨立性檢驗判斷表來判斷“x與y的關(guān)系”．這種利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗．附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828注意：（1）越大相關(guān)性越強，反之越弱；（2）附表中P(K2≥k)是兩個統(tǒng)計學(xué)變量無關(guān)的概率；考法統(tǒng)計案例5．（2021·全國·高考真題（文））甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【分析】根據(jù)給出公式計算即可【詳解】（1）甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為.（2）故能有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.6．（2020·全國·高考真題（理））某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析【分析】（1）利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；（2）利用公式計算即可；（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.【詳解】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為（2）樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.1．（2022·廣東茂名·一模）為了增強學(xué)生體質(zhì)，茂名某中學(xué)的體育部計劃開展乒乓球比賽，為了解學(xué)生對乒乓球運動的興趣，從該校一年級學(xué)生中隨機抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，男女人數(shù)相同，其中女生對乒乓球運動有興趣的占80%，而男生有15人表示對乒乓球運動沒有興趣．（1）完成2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“對乒乓球運動是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒興趣合計男女合計（2）為了提高同學(xué)們對比賽的參與度，比賽分兩個階段進(jìn)行.第一階段的比賽賽制采取單循環(huán)方式，每場比賽采取三局二勝制，然后由積分的多少選出進(jìn)入第二階段比賽的同學(xué)，每場積分規(guī)則如下：比賽中以取勝的同學(xué)積3分，負(fù)的同學(xué)積0分；以取勝的同學(xué)積2分，負(fù)的同學(xué)積1分.其中，小強同學(xué)和小明同學(xué)的比賽倍受關(guān)注，設(shè)每局小強同學(xué)取勝的概率為，記小強同學(xué)所得積分為，求的分布列和期望.附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.1500.1000.050k00.4550.7801.3232.0722.7063.841【答案】（1）表格見解析，沒有；（2）分布列見解析，.【分析】（1）列出2×2列聯(lián)表，計算卡方的值，從而可得出答案；（2）首先求出的所有可能取值，然后計算取各個值時的概率，從而可列出分布列及求出數(shù)學(xué)期望.（1）由題意得到如下的2×2列聯(lián)表，有興趣沒興趣合計男8515100女8020100合計16535200，由表格得到，所以沒有90%的把握認(rèn)為“對乒乓球運動是否有興趣與性別有關(guān)”.（2）由題意，知，；；；，所以的分布為0123所以期望.2．（2022·全國·模擬預(yù)測）千百年來，人們一直在通過不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書、快馬驛站等通信方式被人們廣泛應(yīng)用;第二次工業(yè)革命后，科技的進(jìn)步帶動了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報的發(fā)明讓通信領(lǐng)域發(fā)生了翻天覆地的變化;之后，計算機和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則使得“千里眼”“順風(fēng)耳”變?yōu)楝F(xiàn)實.現(xiàn)在，的到來給人們的生活帶來顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公司在第月份至6月份的經(jīng)濟(jì)收入(單位:百萬元)關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如表:時間(月份)123456收入(百萬元)根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖，如圖.（1）根據(jù)散點圖判斷，與均為常數(shù))哪一個適宜作為經(jīng)濟(jì)收入