高中數(shù)學強基計劃專題訓練01集合與常用邏輯用語

專題訓練01集合與常用邏輯用語一、單選題1．已知橢圓的兩焦點為，，x軸上方兩點A，B在橢圓上，與平行，交于P.過P且傾斜角為的直線從上到下依次交橢圓于S，T.若，則“為定值”是“為定值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不必要也不充分條件【答案】D【分析】先求出的軌跡，其軌跡方程為，取，結合特殊情形可得“當取定值，是定值”是錯誤的；再由是定值可得，從而可判斷當取定值，是定值”是錯誤的，從而可得正確的選項.【詳解】設為橢圓上的動點，為橢圓的半焦距，故，故，設直線，則到該直線的距離為，故，如圖，設直線的傾斜角為，過作的垂線，垂足為，則，故，設，故，同理.設的傾斜角為，則，，因為，故，所以，所以，同理，故，故的軌跡為以為焦點的橢圓，其長半軸長為，短半軸長為，故的軌跡方程為：，其中.取，,而，故不是定值即不是定值.故“當取定值，是定值”是錯誤的.又直線的參數(shù)方程為：，設，由整理得到：，故，而，故，所以，若為定值，則為定值，而，故當變化時，始終為定值，又故且，但，故，所以，但此時隨的變化而變化，不是定值，故“當取定值，是定值”是錯誤的.故選：D.【點睛】思路點睛：對于圓錐曲線中的動態(tài)問題，注意利用圓錐曲線的幾何性質去研究動點的軌跡，對于是否為定值的問題，注意構建不同變量之間的關系，結合特例來處理是否為定值的問題.2．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則“”是“”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】取特殊值易證不具有充分性，由，及得，判斷的符號可得具有必要性.【詳解】，，當時，，所以不具有充分性；，所以，又，則，所以，所以，不妨設因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以設公比為，則，，當時，，，所以，，當時，，；當時，，，所以，，所以，所以具有必要性，綜上，是的必要不充分條件.故選：A.【點睛】作差判斷與大小關系，將式子寫成指數(shù)式，注意正項等比數(shù)列公比大于0，根據(jù)公比與1的大小進行分類討論.3．若集合且，則稱構成的一個二次劃分.任意給定一個正整數(shù)，可以給出整數(shù)集的一個次劃分，其中表示除以余數(shù)為的所有整數(shù)構成的集合.這樣我們得到集合，稱作模的剩余類集.模的剩余類集可定義加減乘三種運算，如，（其中為除以的余數(shù)）.根據(jù)實數(shù)中除法運算可以根據(jù)倒數(shù)的概念轉化為乘法，因此要定義除法運算只需通過定義倒數(shù)就可以了，但不是所有中都可以定義除法運算.如果該集合還能定義除法運算，則稱它能構成素域.那么下面說法錯誤的是（

）A．能構成素域當且僅當是素數(shù) B．C．是最小的素域（元素個數(shù)最少） D．【答案】D【分析】先證明出A選項正確，從而說明C選項正確，BD選項根據(jù)定義求解即可.【詳解】能構成素域當且僅當是素數(shù)，理由如下：當為素數(shù)時，除0外，均與互素，此數(shù)記作，對于，考慮，若，則為的倍數(shù)，而為素數(shù)，故，故為的倍數(shù)，即，故存在，使得即可定義除法.當能構成素域，若是不素數(shù)，則，故對于，存在，使得，故為的倍數(shù)，故存在整數(shù)，使得，故，但，且為非零的整數(shù)，故不成立，故是素數(shù).綜上：能構成素域當且僅當是素數(shù)，A正確；因為，所以，B正確；根據(jù)A選項，由于2為最小的素數(shù)，有2個元素，元素個數(shù)最少，所以是最小的素域（元素個數(shù)最少），C正確；因為，所以，D錯誤；故選：D.【點睛】集合新定義，需要先讀懂題干信息，正確理解，再此基礎上舉一反三，進行求解，本題中A選項的證明是解題的關鍵.4．設集合，集合是集合的非空子集，中最大元素和最小元素的差稱為集合的長度，那么集合所有長度為的子集的元素個數(shù)之和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先考慮最小元素為，最大元素為的情況：只有一種情況；，且，共有種情況；，且，共有種情況；以此類推，有種情況，所以此類滿足要求的子集元素個數(shù)之和，計算可得：，再考慮可以分為，，，，等類，可得本題答案【詳解】當最小元素為，最大元素為時，集合有如下情況：集合中只含個元素；，只有種情況；集合中含有個元素；，且，共有種情況；集合中含有個元素；，且，共有種情況；以此類推集合中含有個元素；，有有種情況；所以此類滿足要求的子集元素個數(shù)之和：①

②，②兩式相加可得：同理可得：，，，，所有子集元素個數(shù)之和都是集合所有長度為的子集的元素個數(shù)之和為.故選：A5．設集合，，下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用因為與互為反函數(shù)，所以，互相關于對稱，得到，進而得出集合的范圍；對于集合，化簡得，設，進而利用導數(shù)求出的最值，得出集合的范圍，即可求解【詳解】對于集合，因為與互為反函數(shù)，所以，互相關于對稱，而，所以，只需要即可，因為，所以，，得，設，得，所以，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減，所以，，得到，所以，；對于集合，化簡得，設，，因為，可設，，單調(diào)遞減，又，所以，當時，，，，單調(diào)遞減，利用洛必達法則，時，，所以，，所以，；由于，，所以，D正確故選：D二、多選題6．設數(shù)集滿足下列兩個條件：（1）；（2），若則.則下論斷正確的是（

）A．中必有一個為0B．a(chǎn)，b，c，d中必有一個為1C．若且，則D．，使得【答案】BCD【分析】根據(jù)（1）（2）得到，，A錯誤，B正確；再分，，兩種情況，經(jīng)過推理得到C正確；在C選項的分析基礎上，得到若，此時求出，，使得，若，推理出中至少有2個相同，這與集合中元素的互異性矛盾，得到D正確.【詳解】由（1）得：數(shù)集中必有1或0，由（2）得：，故，A錯誤，B正確；由（1）知：，故等于中的一個，不妨設，因為，所以，故，下面證明C正確，因為，若，則，由（1）知：，滿足要求，同理若，則，滿足要求，若，則，滿足要求，若，因為，若，則，滿足要求，若，則中某個等于1，不妨設，由得，由（1）知：，又因為，，所以，，故，同理可得，所以相乘得，解得：，因為，所以，故取，滿足要求，綜上：若且，則，C正確；下面證明D正確；由（1）知：，故等于中的一個，不妨設，因為，所以，故，若，則，因為中某個等于1，不妨設，由得，根據(jù)C選項的分析可知：，，，則，故，故，，若，，此時，，使得，D正確；若，則，，由（1）知：，若，則，不可能，若，則，不可能，若，則，不可能，所以，故，同理可得：，因為的平方根有且只有2個，所以中至少有2個相同，這與集合中元素的互異性矛盾，故不存在即的情況，故，使得，D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：集合新定義問題，命題新穎，且存在知識點交叉，常常會和函數(shù)的性質，包括單調(diào)性，值域等進行結合，很好的考慮了知識遷移，綜合運用能力，對于此類問題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質，轉化為熟悉的問題來進行解決.三、解答題7．已知集合，若集合，且對任意的，存在，，使得（其中），則稱集合為集合的一個元基底．(1)分別判斷下列集合是否為集合的一個二元基底，并說明理由；①，；②，．(2)若集合是集合的一個元基底，證明：；(3)若集合為集合的一個元基底，求出的最小可能值，并寫出當取最小值時的一個基底．【分析】（1）利用二元基底的定義加以驗證，可得不是的一個二元基底.，是的一個二元基底.．（2）設，計算出的各種情況下的正整數(shù)個數(shù)并求出它們的和，結合題意得，即．（3）由（2）可知，所以，并且得到結論“基底中元素表示出的數(shù)最多重復一個”．再討論當時，集合的所有情況均不可能是的4元基底，而當時，的一個基底，由此可得的最小可能值為5．【詳解】（1）①不是的一個二元基底.理由是；②是的一個二元基底.理由是，.（2）不妨設，則形如的正整數(shù)共有個；形如的正整數(shù)共有個；形如的正整數(shù)至多有個；形如的正整數(shù)至多有個.又集合含個不同的正整數(shù)，為集合的一個元基底.故，即.（3）由（2）可知，所以.當時，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復一個.*假設為的一個4元基底，不妨設，則.當時，有，這時或.如果，則由，與結論*矛盾.如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.當時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，均不可能是的4元基底.當時，的一個基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要寫出一個即可.綜上，的最小可能值為5.【點睛】方法點睛：新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.8．給定整數(shù)，由元實數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合S為一個元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對值之和.(1)判斷、哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；(2)任取一個元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；(3)當遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)的最小值.注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).【分析】（1）根據(jù)元規(guī)范數(shù)集的定義，只需判斷集合中的元素兩兩相減的差的絕對值，是否都大于等于1即可；（2）利用元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，從而分類討論、與三種情況，結合去絕對值的方法即可證明；（3）法一：當時，證得，從而得到；當時，證得，從而得到；當時，分類討論與兩種情況，推得，由此得解；法二：利用規(guī)范數(shù)集的性質與（2）中結論即可得解.【詳解】（1）對于集合A：因為，所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；對于集合B：因為，又，，，，，，所以B相伴數(shù)集，即，故集合B是規(guī)范數(shù)集.（2）不妨設集合S中的元素為，即，因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當時，則，當且僅當且時，等號成立；當時，則，當且僅當且時，等號成立；當時，則，當且僅當時，等號成立；綜上所述：.（3）法一：不妨設，因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當時，則當時，可得，當且僅當時，等號成立，則范數(shù)，當且僅當時，等號成立，又，當且僅當時，等號成立，故，即范數(shù)的最小值；當時，則當時，可得，當且僅當時，等號成立，則，則范數(shù)，當且僅當時，等號成立，又，當且僅當時，等號成立，故，即范數(shù)的最小值；當，使得，且，當，即，即時，則當時，可得，當且僅當時，等號成立，則當時，可得，當且僅當時，等號成立，則范數(shù)；對于，其開口向上，對稱軸為，所以，所以范數(shù)的最小值為；當，即，即時，則當時，可得，當且僅當時，等號成立，則當時，可得，當且僅當時，等號成立，則范數(shù)；對于，其開口向上，對稱軸為，所以，所以范數(shù)；綜上所述：范數(shù)的最小值.法二：不妨設，因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，所以對于，同樣有，則，由（2）的證明過程與結論可得，，當且僅當時，等號成立，即，，……，所以范數(shù)，當且僅當時，等號成立，所以范數(shù)的最小值.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是理解元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，再將集合中的元素進行從小到大排列，利用分類與整合的思想進行討論分析，從而得解.9．我們稱為“花式集合”，如果它滿足如下三個條件：（a）；（b）的每個元素都是包含于中的閉區(qū)間（元素可重復）；（c）對于任意實數(shù)中包含的元素個數(shù)不超過1011.對于“花式集合”和區(qū)間，用表示使得的對的數(shù)量.求的最大值.【答案】【分析】先構造一個特例，再根據(jù)逐步調(diào)整法和數(shù)學歸納法可證的取值范圍，從而可求其最大值.【詳解】答案是.先給出取得最大值的構造：易于驗證，當由1011個以及1011個組成?由1011個以及1011個組成時，符合題意.再給出最優(yōu)性的證明：分成兩步進行.第一步，調(diào)整集合.斷言一：對于中區(qū)間，如果，則將中的替換為不改變原結果，稱之為“切換”.這是因為:①如果中的一個區(qū)間與相交，那么它最初和現(xiàn)在都與兩個區(qū)間相交，成立；②如果中的一個區(qū)間與不相交，則它要么與和都不相交，要么恰與中一個相交.因此，如果它與其中之一相交，則在替換區(qū)間后仍會與其中之一相交，也成立.斷言二：總能在有限次“切換”后，使得對于中任意兩個區(qū)間，它們要么不交，要么一個包含另一個，對于亦然.為此，考慮一個以區(qū)間為頂點的圖，兩頂點之間連邊當且僅當它們對應的兩區(qū)間交集非空（特別地，仍算作非空）.將每個連通分支的頂點對應的區(qū)間劃分為一組，記為，使得如果，則.顯然此分組方式唯一且不改變圖的連通性.下面，我們固定并對進行歸納.歸納基礎為，顯然成立.對每個，考慮中左端點位于最左邊的區(qū)間（注意稍后可能會變化）.則對于其它任何區(qū)間，我們有.另外，若，則稱包含.對其它區(qū)間執(zhí)行操作，那么總是包含操作后的區(qū)間.因此，與中的每個區(qū)間最多相交一次.只要存在區(qū)間且，操作過程就不會結束.當操作終止時，中必然不存在滿足的區(qū)間，并且對于不與中的任何區(qū)間相交.因此，，且包含中的所有區(qū)間.此時，我們?nèi)サ?，對應用歸納假設即可.第二步，加強歸納.設集合為“好的”集合，如果：1）；2）的每個元素都是包含在中的閉區(qū)間；3）對于任意實數(shù)中包含的元素個數(shù)不超過.定義為可以取得的最大值，其中是“好的”集合且是“好的”集合.下證加強的命題：，原題即時的特例.對此，我們采用歸納法，歸納基礎為.此時，再對使用歸納法.如果，顯然成立；否則，設為中最左邊的兩個區(qū)間（注意到，因此我們能夠比較這兩個區(qū)間的位置）?為中最左邊的兩個區(qū)間.此時不難得到：或兩者之一，與另一個集合中最多一個區(qū)間有非空交集.這是因為，若對某個與的交集非空，則.因此，對于所有與交集為空.不妨設與另一個集合中最多一個區(qū)間有非空交集，這樣一來，我們可以去掉，再利用歸納假設，結論成立.不妨設，否則把換成.令為中互相不包含的區(qū)間的集合（如果多個區(qū)間相同且未嚴格包含于更大的區(qū)間中，則選擇任意一個加入.注意到為“（|S|，1）好的”集合，為“（好的”集合.則：其中，不等號使用了奠基的結論.至此，加強的命題得證!10．設數(shù)集滿足：①任意，有；②任意x，，有或，則稱數(shù)集具有性質.(1)判斷數(shù)集和是否具有性質，并說明理由；(2)若數(shù)集且具有性質.（i）當時，求證：，，…，是等差數(shù)列；（ii）當，，…，不是等差數(shù)列時，求的最大值.【分析】(1)根據(jù)性質的定義判斷可得出結論(2)（i）推導出，再根據(jù)性質的定義推導出從而證明（ii）根據(jù)性質的定義得出在均為等差數(shù)列，再令進行驗證，可以不是等差數(shù)列，所以得出的最大值.【詳解】（1）證明：對于數(shù)集，，，所以數(shù)集不具有性質，對于數(shù)集，任意，，所以數(shù)集具有性質.（2）（i）當時，數(shù)集具有性質，，所以，即，因為，則，又因為，所以，則，因為，所以得，，，因為，所以，則，又因為，所以或，因為，所以(舍去)，即，，所以，即當時，，，…，是等差數(shù)列.（ii）若數(shù)集且具有性質，按照(1)推導的方式得出一般結論，具體如下：因為，所以，即，因為，所以①，所以，，因為，所以，即，因為，根據(jù)，分兩種情況：第一種情況為，，…，，第二種情況為，，先考慮第二種情況，與題意矛盾，，與題意矛盾，所以只能為第一種情況，可得②，由①②，得，即，即當時，，，…，是等差數(shù)列，當時，，所以，即，由前面得出，所以，，當成立時，，，，不是等差數(shù)列，所以的最大值為4.【點睛】方法點睛：等差數(shù)列的三種判定方法：定義法：(為常數(shù))等差中項法：通項公式法：（a，b為常數(shù)），但如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法進行證明.11．已知定義城為的函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對任意，都存在滿足，則稱函數(shù)具有性質．(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質，無需說明理由；①；

②(2)若函數(shù)的定義域為，且具有性質，則“有解”是“”的__________條件（橫線上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并證明你的結論；(3)若存在唯一的實數(shù)，使得函數(shù)，具有性質，求實數(shù)的值．【分析】（1）根據(jù)性質對兩個函數(shù)進行分析，從而確定正確答案.（2）根據(jù)充分、必要條件的知識，結合性質作出判斷.（3）對進行分類討論，求得的值域，結合性質以及的唯一性求得的值.【詳解】（1）性質：對任意，都存在滿足，.①，取，則，而，所以不具有性質.②，的定義域為，值域是，對于任意，，即存在，使，所以具有性質.（2）函數(shù)的定義域為，且具有性質，即使得對任意，都存在滿足，當“有解”時：如，則，，即的值域是，對任意，即存在使，也即具有性質，但，所以“有解”“”.當“”時，即對任意，都存在滿足，即“有解”，所以“”“有解”，所以“有解”是“”的必要不充分條件.（3）依題意，存在唯一的實數(shù)，使得函數(shù)，具有性質，即：存在唯一的實數(shù)，對任意，都存在滿足，，，記的值域為，則，當時：，，即，所以，唯一，符合題意.當時，的對稱軸為，.當，在上遞增，所以，所以，不唯一，不符合題意.當時，，在上遞增，所以，所以，無解.當時，，所以的最大值是，最小值是，則，所以，，由于唯一，所以（舍去）.當時，，所以的最大值是，最小值是，則，所以，，由于唯一，所以，解得（舍去）.綜上所述，的值為或【點睛】求解含有參數(shù)的一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏，分類標準的制定可以考慮二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、判別式、定義域等等.12．令.(1)若，，試寫出的解析式并求的最小值；(2)已知是嚴格增函數(shù)，是周期函數(shù)，是嚴格減函數(shù)，，求證：是嚴格增函數(shù)的充要條件：對任意的，，.【分析】（1）分別解不等式和來求得，結合圖象求得的最小值.（2）結合單調(diào)性、周期性以及“”的定義，先證明充分性，然后利用反證法證明必要性.【詳解】（1）由得得，解得.由得得，解得或.所以.畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，的最小值為.（2），，充分性：若對任意的，，，所以，，是嚴格增函數(shù)，所以是嚴格增函數(shù).必要性：，（用反證法）若存在，使得，則，設的周期為，取，則，，由于，所以，所以，與單調(diào)遞增矛盾，所以對任意的，，.證畢.【點睛】處理或函數(shù)的解析式問題，可通過解不等式來進行求解.證明充要條件，要證明兩個，一個是充分性，另一個是必要性.13．A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對任意的，都有．(1)設，證明：；(2)設，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的；(3)設，任取，令，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，不等式成立．【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再借助不等式放縮求出L作答.（2）利用反證法，推得導出矛盾作答.（3）根據(jù)給定條件，利用放縮法并結合絕對值的三角不等式，等比數(shù)列求和推理作答.【詳解】（1）因，則，，在上單調(diào)遞增，，則，，，，則，取，所以，對任意的，都有，所以.（2）假設存在兩個，使得，，則由，得，即，矛盾，因此假設是錯的，所以當，且存在，使得，那么這樣的是唯一的.（3），任取，令，則有，，因此，給定正整數(shù)k，，所以給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，不等式成立．【點睛】思路點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.14．已知正整數(shù)，集合.對于中的元素，，定義，令.(1)直接寫出的兩個元素及的元素個數(shù)；(2)已知，，…，，滿足對任意，都有，求m的最大值；(3)證明：對任意，，…，，總存在，使得.【答案】(1)，；個(2)4(3)證明見解析【分析】（1）由題可知中的n個數(shù)中有任意3個數(shù)字為1，數(shù)字為0，根據(jù)排列組合數(shù)可列的元素個數(shù)通式為；（2）第二小問等價于同時滿足的元素個數(shù)最多幾個，首先需要線分析最多幾個不同元素同一位置的分量可以同時為1，在以此極限情況找到m的不等式關系求出m最大值；（3）由題可知共有個非空子集，并且由題意可知當時，因此證明存在等式，即證明的值必有奇數(shù)即可.【詳解】（1），；，即中6個分量中恰有3個1，故的元素個數(shù)為；（2）對于的非空子集，設，這里為的第j個分量，定義，規(guī)定.設，令我們先證明引理：.（反證），令，不妨設，，…，滿足，其中又因為，且，，故，故，這與矛盾，引理證畢.回到原題，由引理，得，，，符合題意，綜上，當時，m的最大值為4（3）共有個非空子集，記為，，則在每個分量得奇偶性下恰有種不同得狀態(tài)，由知由抽屜原理，存在兩個不同的的非空子集，設，，有與奇偶性相同，令，由于，故令，則且都為偶數(shù)，不妨設，則為偶數(shù)而為奇數(shù)，故且為奇數(shù)故必存在一個，使得為奇數(shù)，又由于，從而【點睛】本題以新定義結合集合進行考查，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.15．設集合中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意，若，都有；②對于任意，若，則．(1)分別對和，求出對應的；(2)如果當S中恰有三個元素時，中恰有4個元素，證明：S中最小的元素是1；(3)如果S恰有4個元素，求的元素個數(shù)．【答案】(1)時，時；(2)證明見解析；(3)7個元素.【分析】（1）根據(jù)定義，應用列表法分別列舉得出、，再應用集合并運算求結果；（2）對于且，，列舉出滿足①時且，再結合②及元素個數(shù)，討論、求對應的元素個數(shù)，即可證結論；（3）對于且，，列舉出滿足①時且，結合②及元素個數(shù)，討論、、，進而確定中的元素即可.【詳解】（1）對于，集合的元素如下：且242848由表得：，此時要滿足有，如下表：且242顯然滿足要求，所以，則；對于，集合的元素如下：且8168321632由表得：，此時要滿足有，如下表：且242顯然滿足要求，所以，則.（2）對于且，，集合的元素如下：且由表得：且，此時要滿足有，如下表：且其中、且、、，當時，此時必有，即，故，，則，滿足要求；當時，必有，即，，故，，則，不滿足要求；綜上，當S中恰有三個元素時，中恰有4個元素，S中最小的元素是1，得證.（3）對于且，，集合的元素如下：且由表得：且，此時要滿足有，如下表：且**當時，上表第一列有且均屬于集合，而，矛盾；當時，上表第一列有且均屬于集合，而，矛盾當時，則且均屬于集合，而，此時只需滿足，則，可得，且，注意a不等于1，所以，故共有7個元素.【點睛】關鍵點點睛：后兩問，首先設出集合，根據(jù)題設集合的性質①列舉出集合中可能元素，再結合集合的性質②，由中元素個數(shù)分類討論確定所設元素的數(shù)量關系，即可得結果.16．設為實數(shù)，定義生成數(shù)列和其特征數(shù)列如下：（i）；（ii），其中.(1)直接寫出生成數(shù)列的前4項；(2)判斷以下三個命題的真假并說明理由；①對任意實數(shù)，都有；②對任意實數(shù)，都有；③存在自然數(shù)和正整數(shù)，對任意自然數(shù)，有，其中為常數(shù).(3)從一個無窮數(shù)列中抽出無窮多項，依原來的順序組成一個新的無窮數(shù)列，若新數(shù)列是遞增數(shù)列，則稱之為原數(shù)列的一個無窮遞增子列.求證：對任意正實數(shù)生成數(shù)列存在無窮遞增子列.【分析】（1）根據(jù)題意將代入數(shù)列計算即可；（2）將命題當作條件代入進行證明，根據(jù)最終結論判斷是否與原命題相悖判斷真假；（3）根據(jù)數(shù)列特性可以判斷數(shù)列實際就是將根據(jù)條件進行相加或相減，可得出存在，，的數(shù)列關系，再結合無窮遞增子列概念進行證明.【詳解】（1），因為，所以;，因為，所以;，因為，所以;.（2）①由題可知，假設對任意實數(shù)，都有，則，又已知，所以，很明顯，假設不成立.故命題①為假命題；②由題可知，假設對任意實數(shù)，都有，則又已知：，當時，，，假設不成立故命題②為假命題③假設命題③成立，則，因為，所以，即所以只需證明存在自然數(shù)和正整數(shù)，對任意自然數(shù)，有，即當時，；時，根據(jù)題意若存在一個使得，即存在恒成立則，但可知單調(diào)遞增，故不存在這樣的；故存在，使得，，…同理存在，使得，，…不妨假設，則，欲證明對任意自然數(shù)，有，只需證明：存在即可，即證明為偶數(shù)當，；，時符合題意即有自然數(shù)1、3和正整數(shù)，對任意自然數(shù)，有故存在自然數(shù)和正整數(shù)，對任意自然數(shù)，有，其中為常數(shù)故命題③為真命題（3）由③可知，有正整數(shù)，使得，，此時，，故生成數(shù)列存在無窮遞增子列：【點睛】方法點睛：對于新型數(shù)列，首先要了解數(shù)列的特性①抽象特性：此列特性可近似的將數(shù)列當作函數(shù)分析列式，例如(2)中的證明，將當作函數(shù)列式分析。②計算特性：此類特性若復雜一般只需要考生找規(guī)律而非實際計算，例如此數(shù)列實際就是將根據(jù)條件進行相加相減而已.尋找新型數(shù)列特性主要考查考生歸納總結規(guī)律的能力和抽象思維能力，屬于難題.17．給定正整數(shù)m，數(shù)列，且.對數(shù)列A進行T操作，得到數(shù)列.(1)若，，，，求數(shù)列；(2)若m為偶數(shù)，，且，求數(shù)列各項和的最大值；(3)若m為奇數(shù)，探索“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件，并給出證明.【分析】（1）利用已知條件先求出，將，，，代入：，，，即可求解；（2）由，得到，進而有，再由得到即可；（3）證明見解析.【詳解】（1）由題意時，，，，由，知，所以，，，，故.（2）記數(shù)列的所有項和為S，因為，且，所以，則，故.當，或，時取到等號，所以當，或，時，S取到最大值，為.（3）“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件是（）證明如下：先證充分性：當（）時，，所以為常數(shù)列；再證必要性：當為常數(shù)列時，記，設中有x個，則必有個，將數(shù)列的所有項相加得：，由，且m為奇數(shù)，所以，所以，由得：，所以，所以.【點睛】數(shù)學中的新定義題目解題策略：（1）仔細閱讀，理解新定義的含義；（2）根據(jù)新定義，對對應的知識進行再遷移（3）正確閱讀理解題干信息，抓住關鍵信息，轉化為我們所熟悉的問題.18．設且，集合，若對的任意元子集，都存在，滿足：，，且為偶數(shù)，則稱為理想集，并將的最小值記為.(1)當時，是否存在理想集？若存在，求出相應的；若不存在，請說明理由；(2)當時，是否存在理想集？若存在，直接寫出對應的以及滿足條件的；若不存在，請說明理由；(3)證明：當時，.【分析】（1）根據(jù)理想集的定義，分3元子集、4元子集分別說明判斷作答.（2）根據(jù)理想集的定義，結合（1）中信息，說明判斷5元子集，6元子集作答.（3）根據(jù)理想集的定義，結合（1）（2）中信息，判斷的所有6元子集都符合理想集的定義作答.（1）依題意，要為理想集，，當時，，顯然，有，而不是偶數(shù)，即存在3元子集不符合理想集定義，而，在中任取3個數(shù)，有4種結果，；；；，它們都不符合理想集定義，所以，當時，不存在理想集.（2）當時，，由（1）知，存在3元子集、4元子集均不符合理想集定義，5元子集，在此集合中任取3個數(shù)，滿足較小的兩數(shù)和大于另一個數(shù)的只有與兩種，但這3數(shù)和不為偶數(shù)，即存在5元子集不符合理想集定義，而的6元子集是，是偶數(shù)，是偶數(shù)，即的6元子集符合理想集定義，是理想集，所以，當時，存在理想子集，滿足條件的可分別為或.（3）當時，，由（1），（2）知，存在的3元子集、4元子集、5元子集不滿足理想集定義，要為理想集，，顯然符合理想