第三章 L.Hospital法則課件

L.Hospital法則

在第一章中我們已經(jīng)知道，當(dāng)分子分母都是無窮小或都是無窮大時(shí)，兩個(gè)函數(shù)之比的極限可能存在也可能不存在，即使極限存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一運(yùn)算法則。這種極限稱為未定式

本節(jié)我們就利用Cauchy中值定理來建立求未定式極限的L.Hospital法則，利用這一法則，可以直接求這兩種基本未定式的極限，也可間接求出等其它類型的未定式的極限第三章L.Hospital法則定義例如,第三章L.Hospital法則定理定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.第三章L.Hospital法則證定義輔助函數(shù)則有第三章L.Hospital法則注①定理的條件：分子分母都是無窮小；分子分母都可導(dǎo)，且分母的導(dǎo)數(shù)不等于0；導(dǎo)數(shù)之比的極限存在或?yàn)椤蔻诙ɡ淼慕Y(jié)論：函數(shù)之比的極限等于導(dǎo)數(shù)之比的極限③第三章L.Hospital法則④仍有類似的結(jié)論如：定理第三章L.Hospital法則關(guān)于型的極限，有下述定理定理結(jié)論仍成立第三章L.Hospital法則例1解例2注在反復(fù)使用法則時(shí)，要時(shí)刻注意檢查是否為未定式，若不是未定式，不可使用法則。第三章L.Hospital法則例3解例4解第三章L.Hospital法則例5證明證分兩種情況①則連續(xù)使用μ次法則，得②則連續(xù)使用[μ]次法則，得第三章L.Hospital法則本例說明：但它們趨于+∞的速度有快有慢由慢到快依次是：對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)這一點(diǎn)從圖上即可看出oxy第三章L.Hospital法則例6解直接應(yīng)用法則比較麻煩，先變形，再用法則第三章L.Hospital法則例7分母→1，分子振蕩而沒有極限L.Hospital法則“失效”注分子分母中出現(xiàn)不可使用L.Hospital法則第三章L.Hospital法則例8解注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法——尤其是等價(jià)無窮小的代換——結(jié)合使用，可以簡化運(yùn)算過程，效果會(huì)更好，使用起來也更有效。第三章L.Hospital法則關(guān)鍵:通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃螌⑵渌愋臀炊ㄊ交癁槁灞剡_(dá)法則可解決的類型.仍可使用L.Hospital法則來求極限步驟:即將其中之一個(gè)因子下放至分母就可轉(zhuǎn)化為第三章L.Hospital法則例9注意：對(duì)數(shù)因子不下放，要放在分子上步驟:第三章L.Hospital法則例10解步驟:第三章L.Hospital法則例11解例12解第三章L.Hospital法則例13解第三章L.Hospital法則例14解極限不存在洛必達(dá)法則失效。注意：洛必達(dá)法則的使用條件．第三章L.Hospital法則幾點(diǎn)說明①L.Hospital法則只是求未定式極限的一種有效方法，是充分條件，當(dāng)定理的條件滿足時(shí)，所求的極限存在或?yàn)椤?，?dāng)定理的條件不滿足時(shí)，主要是指（3）不成立，即導(dǎo)數(shù)之比的極限不易求出，或不存在但不∞，函數(shù)之比的極限未必不存在，此時(shí)L.Hospital法則：“失效”不宜使用L.Hospital法則②L.Hospital法則只能對(duì)這兩種基本未定式才可直接應(yīng)用，其它類型的未定式必須先轉(zhuǎn)化第三章L.Hospital法則③L.Hospital法則與等價(jià)無窮小的代換結(jié)合使用效果會(huì)更好④使用L.Hospital法則前宜先行約去可約因子，特別是極限不為0的因子，宜將確定后的極限值提到極限號(hào)外，以簡化計(jì)算（這相當(dāng)于提前使用了一次乘積極限的運(yùn)算法則）⑤可考慮進(jìn)行恒等變形或引入適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，以簡化計(jì)算第三章L.Hospital法則三、小結(jié)洛必達(dá)法則第三章L.Hospital法則