2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含答案

2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．命題“對(duì)，都有”的否定為（

）A．對(duì)，都有 B．對(duì)，都有C．，使得 D．，使得2．已知，，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．4．若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)是奇函數(shù)D．函數(shù)是奇函數(shù)5．正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的倍，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足：，記點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．為一條直線 B．為橢圓C．為與圓O相交的圓 D．為與圓O相切的圓7．集合，集合，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（

）A． B． C． D．8．已知，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且圓心在直線上．當(dāng)直線的斜率取最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．方程與方程可表示同一直線C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為D．過(guò)兩點(diǎn)的直線都可用方程表示10．已知函數(shù)下列命題正確的是（

）A．的值域?yàn)锽．若，則為奇函數(shù)C．若只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為D．若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E為棱的中點(diǎn)，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．三棱錐的體積為定值 B．直線平面C．當(dāng)時(shí)， D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的定義域?yàn)?13．已知梯形ABCD中，，，，，點(diǎn)在線段上，則的最小值為.14．已知點(diǎn)，，，直線將分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(1)求直線的方程；(2)求直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).16．在三角形中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知.(1)求角的大??；(2)若，三角形的面積為，求三角形的周長(zhǎng).17．在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手（1到5號(hào)）登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中選3名歌手．（1）求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；（2）X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X?2”的事件概率．18．如圖，已知圓，動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．(1)求證：直線過(guò)定點(diǎn)；(2)若兩條切線與軸分別交于兩點(diǎn)，求的面積的最小值．19．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.(1)已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的正弦值；(2)已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離;(3)（i）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積；（ii）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小.

參考答案1．【答案】C【詳解】命題“對(duì)，都有”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以所求否定是：，使得.故選：C.2．【答案】A【詳解】由誘導(dǎo)公式得，又由，可得．故選：A.3．【答案】C【詳解】，則，即，故.故選：C4．【答案】C【詳解】依題意，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，A選項(xiàng)，，所以是偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C5．【答案】D【詳解】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，正四棱錐的高為，側(cè)棱長(zhǎng)度為，則，解得，所以的取值范圍是.故選：D.6．【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)Px0,y0，由，可得則，所以，即，把代入圓，則點(diǎn)的軌跡的方程為：，即是圓心為，半徑為1的圓，則，由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓O相切的圓.故選：D.7．【答案】B【詳解】從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)相加，有種情況，當(dāng)直線，則，則，當(dāng)時(shí)，從中取一個(gè)數(shù)相加為的有，2種情況，當(dāng)時(shí)，從中取一個(gè)數(shù)相加為的有，2種情況，所以滿足條件的有4種情況，所以滿足條件的概率.故選：B8．【答案】B【詳解】由題意可得，，直線的斜率為．因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即當(dāng)直線的斜率取最大值時(shí)，，所以，故．故選：B．9．【答案】AD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：直線的斜率，傾斜角為，故A正確；對(duì)于B，表示過(guò)點(diǎn)斜率為k的直線，但不含點(diǎn)，而表示過(guò)點(diǎn)斜率為k的直線，且含點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率存在，設(shè)直線為，若在，軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，所以直線方程為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程為直線兩點(diǎn)式方程的變形，可以表示經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)Px1,y故選：AD.10．【答案】BCD【分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性，依次判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以的值域不為R，A錯(cuò)誤.若時(shí)，圖象如圖，由圖可知為奇函數(shù)，B正確.當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，若只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為，C正確.若在R上單調(diào)遞減，則時(shí)，在上單調(diào)遞減，則有，即的取值范圍為，D正確.故選BCD.11．【答案】AD【詳解】

對(duì)于A，如圖1，因,故A正確；

對(duì)于B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則,于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn),不妨設(shè)，則，，由題意，，即，于是，此時(shí)，故與不垂直，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.12．【答案】【詳解】要使函數(shù)解析式有意義，則有，即，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.13．【答案】【詳解】如圖，由題意以，為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)構(gòu)成的一次函數(shù)為，代入，，得，得，即，因點(diǎn)P在線段BC上，可設(shè)，其中，則，，，因，故當(dāng)時(shí)取最小值為.故答案為：14．【答案】【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為，由于直線與x軸的交點(diǎn)為，由直線將分割為面積相等的兩部分，可得，故，故點(diǎn)M在射線OA上，設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，如圖：則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故，把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，求得.②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，如圖：此時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得，求得，故有.③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，求得.設(shè)直線和AC的交點(diǎn)為P，則由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即，即，化簡(jiǎn)可得，由于此時(shí)，所以，兩邊開(kāi)方可得，所以，故有.綜上可得b的取值范圍應(yīng)是.故答案為：.15．【答案】(1)(2)直線的方程為：，【詳解】（1）由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結(jié)合，可得的點(diǎn)斜式方程：，化簡(jiǎn)整理，得，即為所求的直線方程．（2）由和聯(lián)解，得由此可得直線方程為：，即，，關(guān)于角平分線軸對(duì)稱，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯(lián)解，得，，因此，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，所以所以，整理得，因?yàn)椋?，因此，所以，所?（2）由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長(zhǎng)為.17．【答案】（1）415；（2）1725【分析】（1）根據(jù)古典概型分別求出甲、乙選中3號(hào)歌手的概率；利用PAB=PA?PB求得結(jié)果；（2）根據(jù)PX?2=P【詳解】（1）設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”則PA=C2∵事件A與B相互獨(dú)立，A與B相互獨(dú)立則AB表示事件“甲選中3號(hào)歌手，且乙沒(méi)選中3∴PA即觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率是415（2）設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”，則PC依題意，A，B，C相互獨(dú)立，A，B，C相互獨(dú)立，且ABC，ABC，ABC∴PX=2PX=3=PABC故“X?2”的事件的概率為1725【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件概率的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用古典概型分別求解出符合題意情況的概率.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）由題知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑，因?yàn)槭菆A的兩條切線，所以，，所以A，B在以PC為直徑的圓上，又因?yàn)?，且PC的中點(diǎn)為，所以以PC為直徑的圓M的方程為，化簡(jiǎn)可得，所以AB為圓C與圓M的公共弦，所以直線AB的方程為，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)；（2）當(dāng)PA，PB有一條斜率不存在，即時(shí)，不妨設(shè)PA的斜率不存在，則直線PA的方程為，此時(shí)，，設(shè)直線PB的方程為，由圓心到PB的距離，解得，所以直線PB的方程為，所以，此時(shí)，；同理斜率不存在時(shí)；當(dāng)PA，PB斜率均存在，即時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，因?yàn)镻A，PB與圓C相切，所以圓心C到直線的距離，即，，設(shè)PA，PB的斜率分別為，，則，，又點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，，，所以而，所以．又因?yàn)榍?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)．綜上，面積的最小值為．19．【答案】(1)(2)(3)（i）16；（ii）【詳解】（1）因?yàn)橹本€的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，所以直線的方向向量為，又平面的點(diǎn)法式方程可表示為，所以平面的法向量為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）因?yàn)槠矫娴狞c(diǎn)法式方程可表示為，所以平面的法向量為，設(shè)點(diǎn)是平面上一點(diǎn)，則，不妨令，則，即點(diǎn)是平面上