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河南省商丘市夏邑縣2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期月測(一)(10月)數(shù)學(xué)試題(B)一、單選題(本大題共8小題)1.給出下列命題:①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點,則它們的終點構(gòu)成一個圓;②在正方體中,必有;③若空間向量滿足,則;④空間中任意兩個單位向量必相等;其中假命題的個數(shù)是(
)A.1 B.2 C.3 D.42.關(guān)于空間向量,以下說法正確的是(
)A.若,則的夾角是鈍角B.若,則C.若,則D.空間中任何兩個向量都是共面向量3.已知是四面體的棱的中點,點在線段上,點在線段上,且,以為基底,則可以表示為(
)A.B.C.D.4.設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)正交基,已知向量在基下的坐標(biāo)為,其中,,,則向量在基下的坐標(biāo)是(
)A. B. C. D.5.在空間直角坐標(biāo)系中,為原點,已知點,,則(
)A.點關(guān)于點的對稱點為B.點關(guān)于軸的對稱點為C.點關(guān)于軸的對稱點為D.點關(guān)于平面的對稱點為6.已知,,則=(
)A. B. C. D.7.在空間直角坐標(biāo)系中,,點關(guān)于y軸的對稱點為C,則=(
)A. B. C.3 D.8.已知平面內(nèi)有一點,平面的一個法向量為,則下列四個點中在平面內(nèi)的是(
)A. B.C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.已知空間向量,則下列說法正確的是(
)A.若,則,共線B.若,則,共線C.若,,則,,共面D.若,,則,,共面10.下列結(jié)論正確的是(
)A.若向量,,,則共面B.若直線l的方向向量為,平面的一個法向量為,則C.若向量,,則在上的投影向量為D.已知平面,不重合,平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,則11.若非零向量的夾角為銳角,且,則稱被“同余”.已知被“同余”,則在方向上的投影結(jié)果不正確的是(
).A. B. C. D.三、填空題(本大題共3小題)12.已知,若平面的一個法向量為,則.13.若空間中有三點,則點到平面的距離為.14.四面體OABC中,M,N分別是OA,CB的中點,點G在線段MN上,且使,若,則.四、解答題(本大題共5小題)15.是空間的一個單位正交基底,向量,是空間的另一個基底,用基底表示向量.16.已知空間中三點,,.設(shè),.(1)求和;(2)若與互相垂直,求實數(shù)的值.17.已知是直線l的方向向量,是平面的法向量.(1)若,求a,b的關(guān)系式;(2)若,求a,b的值.18.如圖,在棱長為的正方體中,點是的中點.(1)求證:;(2)求平面與的夾角.19.在四棱錐中.底面為矩形,且平面.為中點.(1)求點到直線的距離;(2)求異面直線所成角的余弦值.
參考答案1.【答案】B【詳解】對于①,根據(jù)空間向量的定義,空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點,則它們的終點構(gòu)成一個球面,故①為假命題;對于②,根據(jù)正方體的定義,上下底面的對角線必定相等,結(jié)合向量的方向,所以,故②為真命題;對于③,根據(jù)向量相等的定義,明顯成立,故③為真命題;對于④,向量相等即模相等和方向相同,故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題,故④為假命題.故選:B2.【答案】D【詳解】對于,若夾角為,則成立,錯誤;對于,若,則不一定垂直,錯誤;對于C,若,當(dāng)時,不一定平行,C錯誤對于D,空間任何兩個向量必然共面,D正確.故選:D.3.【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求得正確答案.【詳解】依題意,.故選D.4.【答案】A【詳解】因為向量在基下的坐標(biāo)為,所以,又,,,所以.所以向量在基下的坐標(biāo)是.故選:A.5.【答案】C【詳解】點關(guān)于點的對稱點為,A錯;點關(guān)于軸的對稱點為,B錯;點關(guān)于軸的對稱點為,C正確;點關(guān)于平面的對稱點為,D錯.故選:C6.【答案】C【詳解】由,,可得.故選:C7.【答案】C【詳解】因點關(guān)于y軸的對稱點為,,則,故.故選:C.8.【答案】C【詳解】設(shè)平面內(nèi)任意一點,則,平面的一個法向量為所以,整理得,而,,,,所以對比選項可知只有在平面內(nèi).故選:C.9.【答案】ABC【詳解】對A,因為,所以,共線,故A正確;對B,因為,所以,共線,故B正確;對C,因為,所以,,共面,故C正確;對D,設(shè),則,該方程組無解,故,,不共面,故D錯誤,故選:ABC.10.【答案】AD【詳解】對A觀察可知,,所以共面,A正確;對B,,所以或,B錯誤;對C,因為,,所以,所以在上的投影向量為,C錯誤;對D,因為,即共線,所以,D正確;故選:AD.11.【答案】BCD【詳解】因為被“同余”,所以,即,則在方向上的投影為,故A不符合題意,BCD符合題意.故選:BCD12.【答案】.【詳解】因為,可得,因為平面的一個法向量為,則,解得,所以.故答案為:.13.【答案】/【詳解】由可得,設(shè)平面的一個法向量為,則,即,令,則,又,則點到平面的距離為,故答案為:.14.【答案】【詳解】
因為又不共面,∴,則.故答案為:.15.【答案】【詳解】設(shè),即有,因為是空間的一個單位正交基底,所以有,所以.16.【答案】(1),(2)【詳解】(1)∵,,,,.∴,于是,,.(2)∵,,又與互相垂直,∴.即.∴,.17.【答案】(1);(2)【詳解】(1)由得,所以,即,整理得;(2)由得,所以,解得,.18.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】(1)因為,且平面,所以平面.又平面,所以,又因為四邊形是正方形,則平面,所以平面.因為平面,所以.(2)如圖,以點為原點,以向量的方向為軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,.設(shè)平面的一個法向量為,則,令,則,故平面的法向量可取為.由(1)可知,平面,所以平面的法向量可取,
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