黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試卷含答案

黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)（

）A． B． C． D．3．平行四邊形中，為的中點，點滿足，若，則的值是（）A．4 B．2 C． D．4．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，，，，，則數(shù)列的公比為A．3 B． C．2 D．5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．設函數(shù)定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù) D．方程僅有個實數(shù)解7．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．8．設函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)的一個周期為；B．函數(shù)的值域是；C．函數(shù)的圖象上存在點，使得其到點的距離為；D．當時，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個公共點.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．函數(shù)的最小值為10．下列命題正確的有（

）A．若等差數(shù)列的前項的和為，則，，也成等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，且，則C．若等差數(shù)列的前項和為，已知，且，，則可知數(shù)列前項的和最大D．若，則數(shù)列的前2020項和為404011．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．的表達式可以寫成B．的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數(shù)是奇函數(shù)C．的對稱中心D．若方程在0,m上有且只有6個根，則三、填空題12．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則.13．已知邊長為2的菱形中，，點為線段（含端點）上一動點，點滿足，則的取值范圍為．14．若，則的最小值為.四、解答題15．已知向量．(1)求向量與的夾角的大??；(2)若向量，求實數(shù)的值；(3)若向量滿足，求的值．16．已知向量，，函數(shù)，相鄰對稱軸之間的距離為．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位得的圖象，若關(guān)于x的方程在上只有一個解，求實數(shù)m的取值范圍．17．已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若對于任意不同的，，都有，求實數(shù)的取值范圍.18．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)若，，求邊上的角平分線長；(2)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍.19．一般地，元有序?qū)崝?shù)組稱為維向量（如用一個實數(shù)可表示一維向量，用二元有序?qū)崝?shù)對可表示二維向量，）.類似我們熟悉的二維向量和三維向量，對于維向量，也可以定義兩個向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算、兩個向量的數(shù)量積、向量的長度（模）等，如，則.若存在不全為零的個實數(shù)，，，，使得，則稱向量組，，，是線性相關(guān)的，否則，稱向量組，，，是線性無關(guān)的.(1)判斷向量組，，是否線性相關(guān).(2)已知函數(shù)，，且恒成立.①求的值；②設，其中，若，，數(shù)列的前項和為；證明：當時，.參考答案：題號12345678910答案BBDAACCDBCBCD題號11答案ABC1．B【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集運算可得結(jié)果.【詳解】解不等式可得；又可知，可知A錯誤，B正確；，即可得C錯誤，D錯誤.故選：B2．B【解析】由復數(shù)的乘法運算法則化簡復數(shù),根據(jù)共軛復數(shù)的定義即可求解.【詳解】因為復數(shù),由復數(shù)的乘法運算法則可得,,利用共軛復數(shù)的定義可得,=,故選:B【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算及共軛復數(shù)的定義;屬于基礎(chǔ)題.3．D【分析】利用M為CD的中點，點N滿足，得到，再將等式轉(zhuǎn)化成的關(guān)系，從而得到，的方程，求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，因為，所以，所以，由平面向量基本定理可得，解得，所以故選：D【點睛】本題考查了平面向量基本定理的應用，涉及了平面向量的數(shù)乘和線性運算，用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．4．A【解析】設正項等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，進而得出公比的方程，即可求解.【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為，由，可得，因為，所以，又因為，所以，即，解得或，又由，可得，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項公式的應用，著重考查推理與計算能力.5．A【分析】以為整體，利用誘導公式結(jié)合倍角公式求，結(jié)合兩角和差公式運算求解.【詳解】因為，則，且，可得，則，，所以，故選：A.6．C【分析】根據(jù)fx?1與的奇偶性可判斷函數(shù)的對稱性與周期性，從而作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合判斷各選項.【詳解】為奇函數(shù)，即，關(guān)于點對稱，又為偶函數(shù)，即，關(guān)于直線對稱，所以，即，所以，即函數(shù)的最小正周期為，A選項：，A選項正確；B選項：，所以為奇函數(shù)，B選項正確；C選項：由當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，C選項錯誤；D選項：由，得作出函數(shù)及圖像如圖所示，

由已知函數(shù)的值域為，且，當時，，函數(shù)與無公共點，當時，由圖像可知函數(shù)與函數(shù)有個公共點，即有個解，D選項正確；故選：C.7．C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，，則，當且僅當時取等號，因此，的面積，所以當時，的面積取得最大值.故選：C8．D【分析】利用函數(shù)的周期性定義結(jié)合余弦函數(shù)的周期性可判斷A；采用三角代換，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)值域，判斷B；利用，結(jié)合兩點間距離公式可判斷C；結(jié)合解，根據(jù)解的情況判斷D，即得答案.【詳解】對于A，，，故不是函數(shù)的一個周期，A錯誤；對于B，，需滿足，即，令，，則即為，當時，在上單調(diào)遞增，則；當時，，（，故）此時在上單調(diào)遞減，則，綜上，的值域是，B錯誤；對于C，由B知，，當時，,滿足此條件下的圖象上的點到的距離；當時，,滿足此條件下的圖象上的點到的距離，當且僅當且時等號成立，而時，或，滿足此條件的x與矛盾，即等號取不到，故函數(shù)的圖象上不存在點Px,y，使得其到點1,0的距離為，C錯誤；對于D，由B的分析可知，則，即，又，故當且僅當時，，即當時，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個公共點，D正確．故選：D【點睛】難點點睛：本題綜合考查了函數(shù)的知識的應用問題，涉及余弦函數(shù)的周期，值域以及最值和函數(shù)圖象的交點問題，綜合性強，難度較大，解答時要結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性，綜合求解.9．BC【分析】對A舉反例即可；對B根據(jù)不等式性質(zhì)即可判斷；對C，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對D舉反例即可.【詳解】對A，當時，，故A錯誤；對B，當，則，則，故B正確；對C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，故C正確；對D，當時，，故D錯誤.故選：BC.10．BCD【分析】A.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷；B.利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；C.根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式判斷；D.利用數(shù)列并項求和判斷.【詳解】A.等差數(shù)列的前項的和為，則，，也成等差數(shù)列，故錯誤；B.為等比數(shù)列，且，則，所以，故正確；C.因為，則，，則，所以，，所以數(shù)列前項的和最大，故正確；D.因為，所以數(shù)列的前2020項和為：，，故正確.故選：BCD11．ABC【分析】利用特殊點求得函數(shù)的解析式即可判斷A，根據(jù)相位變換求得新函數(shù)解析式即可判斷奇偶性，即可判斷B，先求出的解析式，然后代入正弦函數(shù)對稱中心結(jié)論求解判斷C，把問題轉(zhuǎn)化為根的問題，找到第7個根，即可求解范圍判斷D.【詳解】由，得，即，又，所以，又的圖象過點，則，即，所以，即得，又，所以，所以，故A正確；向右平移個單位后得，為奇函數(shù)，故B正確；對于C，，令得，所以對稱中心，故C正確；對于D，由，得，解得或，方程即，因為，所以，又在0,m上有6個根，則根從小到大為，而第7個根為，所以，故D錯誤.故選：ABC.12．【分析】根據(jù)復數(shù)運算的除法法則和模的計算公式，即可化簡得到答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.13．【分析】利用基底，結(jié)合向量的線性運算表示，即可根據(jù)數(shù)量積的運算律求解.【詳解】設，其中，已知邊長為2的菱形中，，則為等邊三角形，又，則又，故故．故答案為：

14．【分析】令，則，可得，求導求得最小值即可.【詳解】令，則，所以，所以，令，則，所以在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù)，又，當時，，在上為減函數(shù)，當時，，在上為增函數(shù)，所以函數(shù).故答案為：.【點睛】方法點睛：利用換元法，通過二次求導，求函數(shù)的最小值是一種常用方法，在平時的學習中應多體會.15．(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用向量的夾角公式計算即得.（2）利用平面向量共線的坐標表示，共線向量的坐標表示列式計算即得.（3）利用向量相等構(gòu)造方程求得，再利用坐標求模即得結(jié)果.【詳解】（1）由向量，得，于是，而，所以.（2）由向量，得，，由，得，解得，所以實數(shù)的值是.（3）依題意，即，于是，解得，所以.16．(1)(2)【分析】（1）首先利用數(shù)量積公式和三角恒等變換化簡函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）首先利用三角函數(shù)的圖象變換求函數(shù)的解析式，再通過換元后，結(jié)合的圖象，即可求解.【詳解】（1），，，因為相鄰的對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，得，所以，令,則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為;（2）由（1）知，將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)，再向左平移個單位得，令，則，所以，因為在上只有一個解，

由的圖象可得，?3≤m<3或所以的取值范圍是17．(1)極小值為，無極大值；(2).【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)極值的定義進行求解即可；（2）對已知不等式進行變形，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)分類討論求解即可.【詳解】（1））因為，所以令，解得或（舍去）.當變化時，，的變化情況如表所示.20單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，當時，有極小值，且極小值為，無極大值（2）不妨令，則等價于，即令函數(shù)，可知在上單調(diào)遞減，若，即，則在上恒成立，故在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，符合題意若，即，則在上不恒成立，故在上不恒成立，則在上不可能單調(diào)遞減，不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：由已知不等式構(gòu)造函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.18．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)平方關(guān)系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面積法計算可得答案；（2）延長交于，延長交于，設，分別求出、，再根據(jù)三角恒等變換化，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因為，，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以；又因為，，所以，即，解得，設邊上的角平分線長為，則，即，即，解得，即邊上的角平分線長為；（2）延長交于，延長交于，設，所以，在中，在中，，，所以，在中，同理可得在中，所以，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍為12,1.19．(1)，，是線性無關(guān)的(2)①；②證明見詳解【分析】（1）假設，，線性相關(guān)，根據(jù)題意列方程解得，即可得出矛盾；（2）①令，分析可知原題意等價于對任意恒成立，結(jié)合定點法求得；②利用放縮法結(jié)合裂項相消法可得，