福建省福州市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

福建省福州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校：..姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.已知集合/=｛乂-4x-5<6\,B={x|0<x<4，貝！J/riB=()

A.{x|-5<x<6}B.|x|-l<x<61

C.{x|0<x<D.1x|0<x<5}

2.已知復(fù)數(shù)Z=丁則⑸=()

9

B.-C.V5D.5

5

3.以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，工軸非負(fù)半軸為始邊的角其終邊落在直線V=2x上，則()

A.su一拽V5

B.COS6Z=——

55

?C4

C.tana=2D.sin2a=——

5

4.以y=±3x為漸近線的雙曲線可以是()

2

A.-x----V2=1[B.=1

39

22X2

匕3=1

C.D.y―--=1

39

5.如圖，梯形的腰CO的中點(diǎn)為E,且3C=34D,記次=加詼=五，貝！1屁=()

—*1一1—3一

-m+2nC.-2m+—nD.——m+—n

2222

6.已知圓+4加、一2加y+加=0儂￡R)與x軸相切，貝［|加二()

A.1B.0或；C.0或1D.

4

7.已知圓錐SO的底面半徑為1,過高線的中點(diǎn)且垂直于高線的平面將圓錐SO截成上、下兩

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

部分，若截得小圓錐的體積為立兀，則圓錐SO的側(cè)面積為（）

24

A.4JiB.2兀C.收兀D.兀

8.大氣壓強(qiáng)夕（單位：kPa）與海拔"（單位：m）之間的關(guān)系可以由2=p°e一劫近似描述,

其中Po為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)，k為常數(shù).已知海拔為5000m,8000m兩地的大氣壓強(qiáng)分別為

54kPa,36kp.若測(cè)得某地的大氣壓強(qiáng)為80kPa,則該地的海拔約為（）（參考數(shù)據(jù)：

lg2?0.301,lg3?0.477）

A.295mB.995mC.2085mD.3025m

二、多選題

9

9.已知（l-2x）9=%+%工+〃2工2H—+a9x,貝?。荩ǎ?/p>

A.“0=1

B.Q］=18

C.%+2+?，，+=—1

c1+39

L）.。］+%+%+。7+。9=---------------

10.如圖是函數(shù)［（x）=sin（0x+e）的部分圖象，則（）

D./（X）在［0,3兀］上恰有6個(gè)零點(diǎn)

11.已知函數(shù)/（同名卜）均為定義在R上的非常值函數(shù)，且g（M為/'（x）的導(dǎo)函數(shù).對(duì)

Vx,yeRJ（x+y）+/（x_y）=2/（x）/（y）且/⑴=0,則（）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

A./(O)=OB.f(x)為偶函數(shù)

C.g(x)+g(2024-x)=0D.[/?+[/(l-x)]2=l

三、填空題

12.己知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,高為百，則其體積為.

13.已知拋物線C:「=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)W在。上，且點(diǎn)M到直線x=-2的距離為6,

則町=.

14.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為&=-600,當(dāng)且僅當(dāng)〃=30時(shí)S0取得最小值，則｛。"｝

的公差的取值范圍為.

四、解答題

15.數(shù)列｛%｝滿足q=2,an+l=3a?+2.

⑴證明數(shù)歹4｛%+1｝為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和S」.

16.已知V/3C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且2℃osC=?cosC+6.cosB

⑴求角C；

Q)若a=4,b=C,D為4B中點(diǎn)、,求CD的長(zhǎng).

17.如圖，在四棱錐S-4BCD中，8C_L平面1S4民4D〃BC,1&4=BC=1,SS=逝，

/SR4=45°.

⑴求證：SA1ABCD■

(2)若AD=g,求平面SC。與平面”3的夾角的余弦值.

221

18.已知橢圓?。?+右=1卜>6>0)的離心率為彳，且過點(diǎn)(2,0).

ab2

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(1)求沙的方程；

⑵直線x-加y+l=0(加w0)交印于45兩點(diǎn).

(i)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,直線BC的斜率為左，證明：K為定值；

m

(ii)若沙上存在點(diǎn)p使得與，而在五§上的投影向量相等，且AP/B的重心在＞軸上，求

直線AB的方程.

19.閱讀以下材料：

①設(shè)/'(X)為函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù).若/'(X)在區(qū)間。單調(diào)遞增；則稱/(X)為區(qū)。上的凹函數(shù);

若r(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減，則稱/'(x)為區(qū)間。上的凸函數(shù).

②平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P稱為函數(shù)/(x)的“左切點(diǎn)”，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)尸恰好能作曲線

＞=/(無)的無條切線，其中4eN.

(1)已知函數(shù)/(x)=?x4+x3-3(2a+l*-x+3.

⑴當(dāng)時(shí)，討論工(x)的凹凸性；

(ii)當(dāng)a=0時(shí)，點(diǎn)P在＞軸右側(cè)且為了(無)的“3切點(diǎn)”，求點(diǎn)P的集合；

⑵已知函數(shù)g(x)=xe",點(diǎn)。在y軸左側(cè)且為g(x)的“3切點(diǎn)”，寫出點(diǎn)。的集合(不需要寫

出求解過程).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DCCBADBCADABD

題號(hào)11

答案BCD

1.D

【分析】利用一元二次不等式的解法，求出集合4=卜1-l?x<5},再利用集合的運(yùn)算，即

可求解.

【詳解】由——4x-5W0,得到-即/={x|-1W5},

又8=卜|0<x<61,

所以/cB={x|04xW5}

故選：D.

2.C

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算得到z=2+i,再利用模長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)閦==2+i,所以目=J4+1=石,

2-1(2-1)(2+1)??

故選：C.

3.C

【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義，直接求出sina,cosa,tana,再利用倍角公式求出

sin2a,即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榻?。的終邊落在直線歹=2x上，

當(dāng)角。的終邊在第一象限時(shí)，終邊過點(diǎn)(1,2),

ipn-f--2-\/5V5,0.cc?c2^5-\/54

Itunjsma=-----,cosa=——，tana=2,sm2a=2smacosa=2x-------x——=一,

55555

當(dāng)角。的終邊在第三象限時(shí)，終邊過點(diǎn)(-『2),

,r>n-+.2-\/5y[5..r/2^54

It匕HUsina=-------,cosa=-------，tana=2o,sin2a=2sinicosa=2x(--------)x(------)=一，

55555

故選：C.

4.B

【分析】利用漸近線的求法，直接求出各個(gè)選項(xiàng)的漸近線方程，即可求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由：-/=1得漸近線方程為尸土，X,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

對(duì)于選項(xiàng)B,由--1=1得漸近線方程為〉=±3工，所以選項(xiàng)B正確，

2

對(duì)于選項(xiàng)C,由、-/=1得漸近線方程為y=±瓜，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

丫

對(duì)于選項(xiàng)D,由V一方2=1得1漸近線方程為廣士?，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：B.

5.A

【分析】根據(jù)圖形，利用向量的幾何運(yùn)算得到函=_正-2萬，即可求解.

【詳解】因?yàn)锽C=3AD,又羽+前+而+西=。，所以

CD=-AB-BC-DA=-m-3n+n=-m-2n，

又E為腰。的中點(diǎn)，所以礪=齊心+屋=瑟+!麗=3萬一工前一元=-!薪+2萬，

222

，

故選：A.

6.D

【分析】根據(jù)一般式得圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，即可根據(jù)相切得廠=而[7=1司求解.

【詳解】將/+_/+4〃叱一2〃沙+〃2=0(機(jī)€1<)化為標(biāo)準(zhǔn)式為：(x+2/『+(>-根丫=5??-%,

2

故圓心為(-2m,m)半徑為r=J5m-m，且〃?>y或〃?<0,

由于Y+j?+4mx-2my+=0(〃zeR)與x軸相切，故廠=15m。-m=\m\,

解得〃7=[,或機(jī)=0(舍去)，

故選：D

7.B

【分析】根據(jù)體積公式可得圓錐的高，進(jìn)而求解母線，即可由側(cè)面積公式求解.

【詳解】圓錐的底面半徑為1,設(shè)高為隊(duì)過高線的中點(diǎn)且垂直于高線的平面將圓錐截成上

下兩部分，則小圓錐的底面半徑為:，高為:力，

22

則小圓錐的體積為：1?X(i)?x-h=—n^>h=V3.

32224

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

故圓錐母線長(zhǎng)為舊時(shí)=2,

故圓錐SO的側(cè)面積為兀xlx2=2兀

故選：B

8.C

【分析】根據(jù)條件得到54=為曉。。。"，36=0。。。。%兩式相比得到30004=也5,又由

8OOOA

36=poe-和80=pW,得到^(/7-8000)=ln—,從而得到上網(wǎng)”=一絲色,即可求

解.

【詳解】由題知54=R)e應(yīng)期①,36=為廠。。。*②,

a

①,②兩式相比得到**萬,

3

所以300(R=ln-③,

2

當(dāng)p=80kPa時(shí)，由80=Ae一妨④，②+④得到/卸。。*=士，

9

所以左(〃-8000)=In—⑤，

999

In—1g一/Ige1g一

/z-800021g3-l-lg20.347

由⑤+④，得到2020.20

0.17('

3000ln-Ig^/lgelg|lg3-lg2

2

解得hx2085m.

故選：C.

9.AD

【分析】利用賦值法令x=0可計(jì)算得出A正確，令無=1可知C錯(cuò)誤，求出展開式中一次項(xiàng)

的系數(shù)，經(jīng)計(jì)算可得B錯(cuò)誤；構(gòu)造方程組計(jì)算可得D正確.

【詳解】對(duì)于A,令x=0,即可得(1-2x0)9=%=1,可得A正確;

對(duì)于B,因?yàn)檎归_式中可代表一次項(xiàng)系數(shù)，所以(1-2x)9的展開式中含有一次項(xiàng)

CtF(-2x，=-18x,可得％=-18,即B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,令x=l,即可得(1—2)=00+%+a2H----(■%=—1①，可得

4+。2-----F%=-1-/=-2,所以C錯(cuò)誤；

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

對(duì)于D,令X=—1,即可得(1+2)=/—4+出—。3+…—“9=3。②，

①-②得2(%+/+%+。7+。9)=—(1+3。)，得4+%+%+。7+。9=---1—，即D正確.

故選：AD

10.ABD

【分析】根據(jù)圖象可知7=兀，即可判斷選項(xiàng)A的正誤，利用丁=兀，得到④=2或。=-2,

當(dāng)。=2時(shí)，根據(jù)條件得至lj/'(x)=sin(2x+，］,進(jìn)而可判斷出選項(xiàng)B和C的正誤，再利用

y=sinx的性質(zhì)，求出/(無)在［0,3可上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可判斷出正誤；當(dāng)。=一2,根據(jù)條件

得至IJ/(x)=sin(-2x+gj,進(jìn)而可判斷出選項(xiàng)B和C的正誤，再利用V=sinx的性質(zhì)，求

出/■(“在［0,3兀］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可判斷出正誤，從而得到結(jié)果.

【詳解】由圖知，!T=2兀B71=7T得到丁=兀，所以選項(xiàng)A正確，

2362

F271

由7=時(shí)=兀，得到0=2或。=一2,

當(dāng)。=2時(shí)，由五點(diǎn)法畫圖知，第三個(gè)點(diǎn)為住,()］,所以2x2+。=%得到0=

16/63

所以/(x)=sin［2x+5,

(5兀)./5兀，2兀、.7兀171

/r——=sm(—+—)=sin——=——>/O,

(4J23622

由sin(2x+g]=0,得至！J2x+g=左兀，左6Z,即x=-1+g,左wZ,

又xe[0,3兀],由0?—三+?43兀，且上eZ,得到1/46,后eZ,

所以/'(X)在[0,3兀]上恰有6個(gè)零點(diǎn)，

所以選項(xiàng)B和D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

.[71]71兀

當(dāng)口=一2,由sin[-§+9j=0,得至!]一§+"=左兀，左EZ,即9=§+癡,左EZ,

當(dāng)左=2m+1,冽￡Z時(shí)，/(x)=sin\-2x+—|=sin(2x-—),

jr

由圖知/(x)=sin(2x--)不合題意,

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

當(dāng)左=2冽，加cZ時(shí)，/(x)=sin-2x+—

兀

sin(-71+—)=sin(-

5兀=sin()=sin(=>fg

23622

jr

由sinf-2x+yj=0,pr-i兀左兀jQ

得至！J-2x+—=kji,keZj,即X--------------------，左￡Z,

62

又xe[0,3兀],由04—%——<3?t,且左eZ,得到一6(左(—1,左eZ,

所以/'(x)在［0,3可上恰有6個(gè)零點(diǎn),

所以選項(xiàng)B和D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

11.BCD

【分析】選項(xiàng)A,根據(jù)條件，令x=y=0,即可求解；選項(xiàng)B,利用選項(xiàng)A中結(jié)果，令x=0,

即可求解；選項(xiàng)C,令x=l,得到求(l+x)+/(l_x)=0,進(jìn)而有/'(l+x)-_T(l-x)=0,

再利用選項(xiàng)B中結(jié)果，得到g(x)為奇函數(shù)，從而得出g(x)的周期為4的周期函數(shù)，即可求

解；選項(xiàng)D,令》=九得至!J〃2x)+/(O)=2/2(x),用if代替x,y得到

/(2-2X)+/(O)=2/2(1-X),利用C中結(jié)果，兩式相加，即可求解.

【詳解】因?yàn)閂x/eRJ(x+力+/(x-y)=2/(無)/(力，且/⑴=0,

對(duì)于選項(xiàng)A,令x=y=0,得到2/(0)=2/(0"(0),所以/(0)=0或〃0)=1,

若"0)=0,令尸0,得到2/(x)=2jW(0)=0,得到〃x)=o,與題不合，

所以〃0)=1,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)B,由選項(xiàng)A知/(0)=1,令x=0,得到/■(力+/(-力=2/(0)/(用=2/(了)，

即/(-田=/3)，又“X)的定義域?yàn)镽，所以選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C,令x=l,得到/(1+力+/(1-了)=2〃1"3=0,

所以“X)關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，

BP/(l+x)+/(l-x)=0,所以廣(1+x)-廣。一x)=0,

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

又由選項(xiàng)B知，/(-x)=/(x),得至U-/'(-x)=/'(x),BPf'(-x)=-fXx),

所以g(x)為奇函數(shù)，令=由r(l+x)-/(l-x)=O,得到g(2T)=g?),

貝I有g(shù)(2+t)=g(V)=-g(。，所以g(4+0=-g(2+/)=g?),

即g(x)的周期為4的周期函數(shù)，所以

g(x)+g(2024-x)=g(x)+g(4x506-x)=g(x)+g(-x)=0,故選項(xiàng)C正確,

對(duì)于D,令x=>,得到則/(2x)+〃0)=2/2(x)①，

用1—x代替x，y得到/(2-2x)+〃0)=2尸(l-x)②，

由①+②得2/(+)+2/°一x)=2/(0)+/(2-2x)+/(2x)=2+/(2-2x)+/(2x),

由選項(xiàng)C知/(2-2x)+/(2x)=0,所以/2(x)+/20-x)=i,故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的奇偶性、周期性以及導(dǎo)

數(shù)的知識(shí)，抽象函數(shù)性質(zhì)綜合問題一般使用賦值法，本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C和D的判斷，

選項(xiàng)C解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意采用變量代換推出函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，即可求解，

選項(xiàng)D,通過賦值得到/(2x)+/(0)=2/(x)和/(2-2x)+/(0)=2/2(1-x),結(jié)合條件和

對(duì)稱性，即可求解.

12.3

【分析】應(yīng)用三棱柱的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以S==x2x2xsinW=E

三棱柱的體積為/=§/?=百x/=3.

故答案為：3.

13.5

【分析】由條件求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)論.

【詳解】拋物線產(chǎn)=4無的準(zhǔn)線方程為x=T,

設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(4，yj,貝！J尤I、。，

因?yàn)辄c(diǎn)M到直線X=-2的距離為6,

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-l的距離為5,

由拋物線定義可得k5.

故答案為：5.

14.（24,25）

【分析】由題意可得%。＜0,%＞。列出不等式組，即可求解.

-600+24-<0

【詳解】由題意可得，?30＜0??31＞0＞即-6。。+25〃>。'解得2K25,

故d的取值范圍為(24,25).

故答案為:(24,25).

15.(1)證明見解析

(2)5?=---n--

【分析】(1)由已知可得出。用+1=3(?！?1),利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立;

(2)求得見=3"-1,利用分組求和法可求得邑.

【詳解】(1)證明：因?yàn)?+i=3a“+2,所以。"+i+l=3%+3=3(a“+l),

又因?yàn)椋?1=3工0,所以4T=3,

%+1

數(shù)列｛%+1｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

(2)解：由(1)知%+1=3",所以a“=3"—1,

所以=(3+32+33+---+3")-n=3^-^=

兀

16.(1)C=T

6

⑵平

2

【分析】(1)由正弦定理及三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得解；

(2)利用向量的中線公式而=185+而)平方即可得解.

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】(1)因?yàn)?acosC=V5bcosC+J5c?cosB,

由正弦定理，得2sin4cosc=V3sin5cosC+V3cos5sinC

=V3sin(^+C)

=百sin(兀一%)

=V3siiL4,

A

因?yàn)?＜/＜兀，則siMwO,所以cosC=——，

2

TT

由于0＜。＜兀，則。=—；

6

(2)因?yàn)?。為中點(diǎn)，故方=：(5+荏)，

所以|麗f=：的+礪)2

=1|G4|2+1|CB|2+1|C5||CB|C0S￡

ii1rr6

=—x3+—X16H——xV3X4X——

4422

_31

所以CD的長(zhǎng)為息.

2

17.(1)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)正弦定理得sinZSAB=1,或者利用余弦定理求解AB=1,即可得SA1AB,

結(jié)合即可由線面垂直的判定求證，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角求解，或者利用線面垂直，找到二面角的幾

何角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求解，

【詳解】（1）解法一：在△M3中，

因?yàn)镾/=1,/SA4=45°,S2=",

由正弦定理，得..SB,所以^=也一,

smZSBAsmZSABsin45°sinSAB

所以sin/S43=l,

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

因?yàn)?°</"3<180°,所以NS4B=90。，所以

因?yàn)?C_L平面S4B,S/u平面S48,所以BCLSzl,

又BCC\4B=B,3C,/8u平面/BCD

所以S/_L平面48C。；

方法二：證明：設(shè)/B=x,在△S48中，

因?yàn)镾N=\,ZSBA=45°,S3=",

由余弦定理，得=SB°+AB2-2SB-ABcosZSBA,

所以l=2+x?-2立rcos45°，即/一2x+l=0,解得x=l.

所以S42+/B2=SB2=2,所以SN_L/B.

因?yàn)?C_L平面S4B,S/u平面S48,

所以3C，￡4,

又BCn/8=B,8C,/3u平面/BCD

所以"_L平面N8CA；

解法三：設(shè)/B=x,在△"8中，

因?yàn)樯?1,/甌4=45。,52=",

由余弦定理，=SS2+AB2-2SBABcosZSBA,

所以1=2+x2-2?xcos45°，即/-2尤+1=0,解得x=l.

所以“之+么/=S8?=2，所以SN_L/5.

因?yàn)?C_L平面”8,8Cu平面/BCD,

所以平面/8CD工平面S48；

又平面/3Cr>n平面"3=/瓦"，/用"<=平面5/12,

所以"_L平面4BCD；

(2)解法一：由(1)知"_L平面4BC。，

又48,4Du平面48CZ),所以&4，，

因?yàn)?C_L平面WB,/3u平面SAB,所以BCL4B,

因?yàn)?D〃3C,所以ND148,

所以S4,4D,48兩兩垂直.

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，F(xiàn)軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

則S(O,O,I),C(I,I,O),D3,O,O],所以交=(1,1,-1),麗=3,0,-1

設(shè)平面SCZ)的法向量為4=(x,y,z),

X-L5C,nx?SC=x+y-z=0,

則＜即<一—?1取x=2,則)=(2,-1,1),

4_LSD,n,SD=-x-z=0,

I12

顯然平面SAB的一個(gè)法向量足=(1,0,0),

所以COS〃1，〃2=V6

V

所以平面SC。與平面&48的夾角的余弦值為逅.

3

解法二：由(1)知￡4_L平面/BCD,過3作8M〃弘，則敏_L平面48CD,

又4B,8Cu平面N3CD,所以8兒U/民氏VU8C,

因?yàn)?C_L平面SN8,

又/8u平面”5,所以BC_L/3,

所以期,843。兩兩垂直.

以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，f軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐

=(-1,1,-l),CD=fl,-1,0

設(shè)平面SCD的法向量為4=(x,y,z),

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

c-?—?n-SC=-x+y-z=0,

nISC,{

則」}—即--------1取了=2,貝!]%=(1,2/)，

n,lCD,nxCD=x--y=0,

顯然平面SAB的一個(gè)法向量三=（0,1,0）,

一一%?幾22、6

所以COS%,%=開戶■=I,,2=出

回㈣Vl2+22+l23

所以平面SC。與平面&48的夾角的余弦值為逅.

3

解法三：延長(zhǎng)CD、?/交于點(diǎn)連接SM,

則平面SCDn平面SAB=SM,

在ASBM中，

SB=V2,ZSBA=45°,W=2,

由余弦定理，MSM2=SB2+MB--2SB-MBcos^SBM,

所以SM?=(&y+22-2x@x2x[=2,所以W?+*2=敏2,

所以

因?yàn)?C_L平面"B.SMu平面S48,

所以又SMLSB,SBcBC=B,

所以5M_L平面1sBC,

又SCu平面SSC,所以5M_LSC,

所以ZBSC為平面SCD與平面SAB的夾角，

因?yàn)?C_L平面548,58匚平面5/8,

所以BCLSB,

因?yàn)?8=&,8。=1,得SC=VL

55_V|_V|

所以cos/8SC=

sc-^-T

所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為逅.

3

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

22

18.(1)土+匕=1

43

⑵(i)證明見解析；(ii)3x±6y+3=0

【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率為;，且過點(diǎn)（2,0）可得;

2_2

（2）（i）由點(diǎn)差法可得與二號(hào)3進(jìn)而有勺=0.上二43

x2—再4mx2-x{x2+x[x2-x14

22

二+匕=1S'故由重心坐標(biāo)公式可得號(hào)=3由

(ii)聯(lián)立＜43可得%+%=r

x-my+1=0

萬，而在冠上的投影向量相等可知P在的垂直平分線上，根據(jù)其方程

9H7

y-yD^-m(x-xD),可得力=一E,由「在”進(jìn)而可得

a24=2

【詳解】（1）由題意，得4=2,解得

b=E

b2=a2-c2

22

所以用的方程為土+匕=1;

43

（2）依題意可設(shè)點(diǎn)4（-石，-%）1（%2，%），且項(xiàng)。工2,

（i）證明：因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,所以C，

遼+旦二19

因?yàn)辄c(diǎn)42在少上，所以23,所以三二日=一發(fā)二K,即與二21=一。,

x；“，43xf-xf4

------1------二1

因?yàn)橹本€〃沙+1=0（%*0）的斜率為',直線BC的斜率為改，

所以&=上〃.及土叢=穿耳=_；即人為定值一I

mx2-x{x2+x[x2-x{4m4

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

（ii）設(shè)弦的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為（x。,%）,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（馬,乃的重心G的坐標(biāo)為（%，%），

工+匕=1

由《43,得(3/+4)/_6叼_9=0,

x-my+l=O

M

所以△=36/+36(3/+4)=144(/+])>O,且必+%=；74

因?yàn)锳P/2的重心G在N軸上，所以土言主生=0,

所以尤石=一（尤1+工2）=一（加乂-1+加%—1）=一加（必+%）+2=一〃53黑4+2=3加：+4

所以%=上產(chǎn)=4/+%_3m

3加2+4'>°-2-3〃/+4

因?yàn)橘M(fèi)，而在冠上的投影向量相等，所以幟4|=|尸到，且尸

所以直線尸Z）的方程為了-%=-加（x-x0）,

ll」/\3m(84)9m

mm

所以P=>oD~(Xp-XD,)=——3m25--+--4----(-3/n-+-4-H3—m；2-+-4-)二3m2+4

89my

所以點(diǎn)P|22,，-a2J，

(3加+43m+4)

又點(diǎn)P在〃上，所以（3切?+4）〔3m2+4J

----------1------------

43

即m2(3加2_1)=0,

又因?yàn)榧觲0,所以加=±/_,所以直線的方程為3尤±J5y+3=O.

X>1|0<x<l

19.（l）（i）答案見解析；（ii）（x,y）<

4-4x<j/<x3-3x2—x+31d—3x2—x+3<y<4—4x

—4<x<—2—2<x<0

x<-4

⑵點(diǎn)。的集合為｛（x,y）|或<xx+4或<x+4X

xe2<y<0xe<"--------<y<xe

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】(1)(i)利用導(dǎo)函數(shù)并對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可得出函數(shù)/(X)的單調(diào)性，可得

其凹凸性；

(ii)根據(jù)“左切點(diǎn)”的定義，由切點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)即可得出點(diǎn)尸的集合；

(2)根據(jù)函數(shù)g(x)=xe工利用“切點(diǎn)，，的定義,得出單調(diào)性即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）因?yàn)?（x）+x3-3（2a+1*-x+3,

所以/'（X）=4ax3+3x2-6（2a+l）x-l,

令/?(x)=4ax3+3x2-6(2a+l)x-l,

所以=12.x2+6x-6(2a+l)=6(2ox+2a+^(x-,.

(i)當(dāng)a=0時(shí),h\x)=6(x-l),令解得x21；

令〃'(x)VO,解得尤VI；

故/'(x)為區(qū)間［1,+動(dòng)上的凹函數(shù)，為區(qū)間(f』上的凸函數(shù)；

當(dāng)二<.<0時(shí)，令〃⑴“，解得IWxV-組L

4