人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第11講第一章空間向量與立體幾何章末重點(diǎn)題型大總結(jié)(學(xué)生版+解析)

第11講第一章空間向量與立體幾何章末題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算空間向量在立體幾何中的應(yīng)用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算空間向量的基本定理兩個(gè)向量的數(shù)量積空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算共線(xiàn)向量定理共面向量定理空間向量分解定理平行與垂直的條件直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量方程平面的法向量與平面的向量表示直線(xiàn)與平面的夾角二面角及其度量距離二、題型精講題型01空間向量的概念及運(yùn)算【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則（

）A． B．2 C． D．10【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．【典例3】（2023春·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間向量，則使向量與的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則、兩點(diǎn)間的距離是（

）

A． B． C． D．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，是的中點(diǎn)．試確定向量在平面上的投影向量，并求．【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間向量滿(mǎn)足，，則與的夾角為_(kāi)________．題型02四點(diǎn)共面問(wèn)題【典例1】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列條件中，使與，，一定共面的是（

）A．B．C．D．【典例2】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【變式1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線(xiàn)為、，、分別是對(duì)邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則、、的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，題型03平面法向量的求解【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則平面的一個(gè)單位法向量是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間四點(diǎn)，，，．求平面的一個(gè)法向量為_(kāi)_________；【變式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中?？计谀┛臻g直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量可以是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）平面經(jīng)過(guò)，且垂直于法向量為的一個(gè)平面，則平面的一個(gè)法向量是（

）A． B． C． D．題型04利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系【典例1】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面．，，分別為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．直線(xiàn)在平面內(nèi) D．相交且不垂直【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.【典例4】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論．【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．異面直線(xiàn)與所成的角為30°C．平面平面 D．平面平面【變式2】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體的體積為，，，底面邊長(zhǎng)均為4，且分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的有（

）A． B．平面C． D．平面【變式3】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，，為的中點(diǎn)．(1)求直線(xiàn)與所成角的余弦值；(2)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使平面．【變式4】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，且．(1)求證：直線(xiàn)平面；(2)若是正三角形為中點(diǎn)，能否在線(xiàn)段上找一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定該點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由．題型05異面直線(xiàn)所成角【典例1】（2023春·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓錐的軸截面為等邊三角形，為弧的中點(diǎn)，為母線(xiàn)的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為下底面圓周上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，為上一點(diǎn)，，，且.(1)求的值；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．【變式1】（2023春·山東濟(jì)南·高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體滿(mǎn)足，，，且該四面體的體積為，則異面直線(xiàn)與所成角的大小為（

）A． B． C．或 D．或【變式2】（2023·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知兩個(gè)正四棱錐與的高分別為1和2，，則異面直線(xiàn)與所成角的正弦值為_(kāi)_______．【變式3】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形的各邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：，；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.題型06利用向量法求直線(xiàn)與平面所成角（定值）【典例1】（2023春·浙江舟山·高一舟山中學(xué)校考階段練習(xí)）在四棱錐中，已知側(cè)?為正三角形，底?為直角梯形，，，，，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，且=2.

(1)求證：平?；(2)若點(diǎn)到平?的距離為，求直線(xiàn)和平?所成角交的正弦值.

【典例2】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【典例3】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐所得的多面體．現(xiàn)將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)分別作平行于各底面的截面，截去四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐，得到所有棱長(zhǎng)均為1的截角四面體，如圖所示．

(1)求證：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【變式1】（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在中，為直角，，,,沿將折起，使，得到如圖②的幾何體，點(diǎn)在線(xiàn)段上．

(1)求證：平面平面；(2)若平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【變式2】（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校﹨抢蠋煱l(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》有“芻甍”這個(gè)五面體，于是她仿照該模型設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)探究題，如圖：，，分別是正方形的三邊、、的中點(diǎn)，先沿著虛線(xiàn)段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形著線(xiàn)段折起，連接、就得到一個(gè)“芻甍”．(1)若是四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．題型07利用向量法求直線(xiàn)與平面所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D，在三棱臺(tái)中側(cè)面為等腰梯形，為中點(diǎn).底面為等腰三角形，為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)記二面角的大小為.①當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.②當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦的最大值.【典例2】（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的等邊中，，分別是，的中點(diǎn)．將沿折至（如圖2），使得．(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)在棱上，當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求的長(zhǎng)．【典例3】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.

(1)證明：.(2)若，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值.【變式1】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，六面體的底面是菱形，，且平面，平面與平面的交線(xiàn)為.(1)證明：直線(xiàn)平面；(2)已知，三棱錐的體積，若與平面所成角為，求的取值范圍.【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，為底面圓周上異于，的點(diǎn).(1)在平面內(nèi)，過(guò)作一條直線(xiàn)與平面平行，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)平面∩平面，與平面QAC所成角為，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的取值范圍.題型08利用向量法解決直線(xiàn)與平面所成角的探索性問(wèn)題【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市雨花臺(tái)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)設(shè)，，，點(diǎn)在上，若與平面所成的角的正弦值為，求此時(shí)點(diǎn)的位置．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖（1），在正三角形中，分別為中點(diǎn)，將沿折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接，過(guò)點(diǎn)作平面與平面平行，分別交于.(1)證明：平面；(2)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值.【變式1】（2023·廣東·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，梯形底面，.設(shè)為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角余弦為，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式2】（2023·湖北荊州·沙市中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，(1)若，證明：平面；(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.題型09利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得至處，且．

(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【典例2】（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿(mǎn)足，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，若，求二面角的余弦值.【變式1】（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，多面體中，四邊形是菱形，，，，，，平面，.

(1)求；(2)求二面角的正弦值.【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.題型10利用向量法求二面角（最值或范圍）【典例1】（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，所有棱長(zhǎng)都相等，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)若，證明：平面.(2)求平面與平面夾角余弦值的最大值.【典例2】（2023秋·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，是的中點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)設(shè)二面角平面角的補(bǔ)角大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【變式1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，二面角為直二面角.(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.題型11利用向量法解決二面角中的探索性問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，在四棱錐中，，，是棱上一點(diǎn)．

(1)若，求證：平面；(2)若平面平面，平面平面，求證：平面；(3)在（2）的條件下，若二面角的余弦值為，求的值．【典例2】（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為等腰梯形，，，底面梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)和互相垂直，垂足為，，點(diǎn)為棱上的任意一點(diǎn).

(1)求證：；(2)是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為，若存在求出點(diǎn)的位置；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥比庵?，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式2】（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖1直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，沿將梯形折起（如圖2），使平面平面．

(1)證明：平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型12利用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體，若平面，且滿(mǎn)足，則到的距離為（）A． B． C． D．【典例2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線(xiàn)段上．(1)求證：；(2)若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求的值．【變式1】（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(1)求平面與平面夾角的正弦值；(2)求到直線(xiàn)的距離．題型13利用向量法求點(diǎn)到平面的距離【典例1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【典例2】（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角正弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【變式1】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，是正三角形．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)平面；(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)到平面的距離．【變式2】（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知多面體，四邊形是等腰梯形，，，四邊形是菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.題型14利用向量法解決點(diǎn)到平面的距離的探索性問(wèn)題【典例1】（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習(xí)）圖1是直角梯形，，，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【典例2】（2022秋·湖北孝感·高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)線(xiàn)段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【變式1】（2022春·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)校考期中）已知四棱錐，底面是菱形，，平面，，點(diǎn)滿(mǎn)足.

(1)求二面角的平面角的余弦值；(2)若棱上一點(diǎn)到平面的距離為，試確定點(diǎn)的位置.【變式2】（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐中，底面為矩形，平面，，點(diǎn)在棱上.(1)若為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；(2)是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.三、數(shù)學(xué)思想01函數(shù)與方程的思想1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，若線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2019秋·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州一中?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方體，，，點(diǎn)、分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的三條棱所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系2．（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體，是正方形的中心，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_____．3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，四邊形是矩形，平面平面，已知，，且當(dāng)規(guī)定正視方向垂直平面時(shí)，該幾何體的側(cè)視圖的面積為.若，分別是線(xiàn)段，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．

第11講第一章空間向量與立體幾何章末題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算空間向量在立體幾何中的應(yīng)用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算空間向量的基本定理兩個(gè)向量的數(shù)量積空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算共線(xiàn)向量定理共面向量定理空間向量分解定理平行與垂直的條件直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量方程平面的法向量與平面的向量表示直線(xiàn)與平面的夾角二面角及其度量距離二、題型精講題型01空間向量的概念及運(yùn)算【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【詳解】由圖可得，則，故,故選：A【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．【答案】(1)11(2)【詳解】（1）向量，向量與的夾角都是，且，，；（2）【典例3】（2023春·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，則使向量與的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，，，故，，，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角，所以，即，則，解得，即.故答案為：.【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則、兩點(diǎn)間的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)樗倪呅?、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則，，又因?yàn)槎娼堑拇笮?，即，則，因?yàn)?，由圖易知，，所以，.故選：C.【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，是的中點(diǎn)．試確定向量在平面上的投影向量，并求．【答案】向量在平面BCC1上的投影向量為；【詳解】因?yàn)锳1B1⊥平面BCC1，PC1⊥平面BCC1，所以向量在平面BCC1上的投影向量為.所以．【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間向量滿(mǎn)足，，則與的夾角為_(kāi)________．【答案】/120°【詳解】由，即可構(gòu)成三角形，所以，又，故.故答案為：題型02四點(diǎn)共面問(wèn)題【典例1】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列條件中，使與，，一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】空間向量共面定理，，若，，不共線(xiàn)，且，，，共面，則其充要條件是；對(duì)于A(yíng)，因?yàn)椋钥梢缘贸?，，，四點(diǎn)共面；對(duì)于B，因?yàn)椋圆荒艿贸?，，，四點(diǎn)共面；對(duì)于C，，則，，為共面向量，所以與,，一定共面；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面．故選：AC．【典例2】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)槿忮F是正三棱錐，G是的重心，所以，因?yàn)镈是PG上的一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以為，故選：B【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】記，，，則，解得又所以整理得．故選：B【變式1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】空間四邊形OABC中，，，點(diǎn)G是線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，，，D正確；對(duì)于A(yíng)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤.故選：BD【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線(xiàn)為、，、分別是對(duì)邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則、、的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【詳解】、分別是對(duì)邊、的中點(diǎn)，，．，因此，．故選：D題型03平面法向量的求解【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則平面的一個(gè)單位法向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)樗?，令平面ABC的一個(gè)法向量為可得，即，令，則，所以故平面ABC的單位法向量是，即或．故選：B．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間四點(diǎn)，，，．求平面的一個(gè)法向量為_(kāi)_________；【答案】（答案不唯一）【詳解】由題知，，．設(shè)平面ABC的法向量，則，令，則，，∴所以平面ABC的一個(gè)法向量．此外，所有都是平面ABC的法向量，任寫(xiě)一個(gè)皆可.故答案為：（答案不唯一）.【變式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中?？计谀┛臻g直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令得所以，平面的一個(gè)法向量可以是.故選：A【變式2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）平面經(jīng)過(guò)，且垂直于法向量為的一個(gè)平面，則平面的一個(gè)法向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由已知，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，即，比較只有B滿(mǎn)足，故選：B．題型04利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系【典例1】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面．，，分別為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．直線(xiàn)在平面內(nèi) D．相交且不垂直【答案】D【詳解】解：如圖取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以又在三棱柱中，平面，為中點(diǎn)，所以則平面，又平面，所以，，又，則，所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故，又，因?yàn)椋炙灾本€(xiàn)與平面相交，且不垂直于平面．故選：D.【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】ABD【詳解】建系如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則設(shè)，所以設(shè)，，所以,對(duì)于A(yíng)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，且平面，，所以平面，因?yàn)椋捎?，所以與不一定共線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，,，令則，所以，若平面，則，即無(wú)解，所以平面不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，,，令則，所以，，且平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，,，令則，所以，不恒等于0，所以平面不一定成立，故D錯(cuò)誤.故選:ABD.【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】因?yàn)椋抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以為正三角形.因?yàn)闉榈妊菪危?，所?取的中點(diǎn)，連接，則，所以.以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面【典?】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：平面，平面，，又，，平面平面，平面，．又，為等腰直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，，又，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)存在點(diǎn)，使，點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為，所以，，由相似三角形得，即，．，又，．，，故存在點(diǎn)，使．【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．異面直線(xiàn)與所成的角為30°C．平面平面 D．平面平面【答案】D【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，假設(shè)面，則，這與已知與不垂直相矛盾，所以假設(shè)不成立.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，連接，，因?yàn)?，所以為異面直線(xiàn)與所成的角或補(bǔ)角，又因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，由面面平行的判定定理可得平面平面，而平面與平面相交，所以平面與平面也相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，，即，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為，由，所以，即平面平面，故選項(xiàng)D正確.故選：D.【變式2】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體的體積為，，，底面邊長(zhǎng)均為4，且分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的有（

）A． B．平面C． D．平面【答案】ABC【詳解】解：因?yàn)榈酌鏋檫呴L(zhǎng)為的菱形，且，所以四邊形的面積為，又平行六面體的體積為，所以平行六面體的高為，因?yàn)?，所以在底面的投影在上，設(shè)在底面的投影為，則，又，所以，又，所以為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，，，，，因?yàn)?，所以、不平行，故A錯(cuò)誤；又，所以與不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋耘c不垂直，故C錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，所以，所以，又平面，所以平面，故D正確；故選：ABC【變式3】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，，為的中點(diǎn)．(1)求直線(xiàn)與所成角的余弦值；(2)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使平面．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)，連、，則，∴即為與所成的角或其補(bǔ)角．在中，，，，∴．即與所成角的余弦值為．（2）分別以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則可得、、、、、，，設(shè)，則，由于平面，所以，化簡(jiǎn)得，可得，，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而側(cè)面內(nèi)存在一點(diǎn)，當(dāng)?shù)?、的距離分別為1和時(shí)，平面．【變式4】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，且．(1)求證：直線(xiàn)平面；(2)若是正三角形為中點(diǎn)，能否在線(xiàn)段上找一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定該點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，且，使得平面．【詳解】（1）在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)

，而，四邊形是平行四邊形，平面平面，平面．（2）在直線(xiàn)上找一點(diǎn)，使得平面，證明如下：在直三棱柱中，

又兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，在線(xiàn)段上，設(shè)，則，則，，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面，，解得，在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，且，使得平面．題型05異面直線(xiàn)所成角【典例1】（2023春·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓錐的軸截面為等邊三角形，為弧的中點(diǎn)，為母線(xiàn)的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解法一：

如圖1，取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接，易知底面，因?yàn)槠矫?，所以平面底?又平面底面，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?同理可得，.設(shè)底面半徑為，，.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，則在中，或其補(bǔ)角等于異面直線(xiàn)和所成的角.所以.解法二：如圖2，為的中點(diǎn)，連接，易知底面，因?yàn)槠矫妫云矫娴酌?又平面底面，，所以平面.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，記所求角為，則.故選：C.【典例2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為下底面圓周上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】法一：如圖，連接并延長(zhǎng)，交底面圓于，連接，，易知且，所以為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角．因?yàn)?，則，所以為正三角形，故．由圓柱的性質(zhì)知，所以在等腰三角形中，.法二：以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：B【典例3】（2023·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，為上一點(diǎn)，，，且.(1)求的值；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，分別取中點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，?又點(diǎn)分別為取的中點(diǎn)，所以.又由正三棱柱的性質(zhì)可知，平面，所以平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，，，所以.因?yàn)?，所以，所以有，解?（2）由（1）可知，，所以，所以，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.【變式1】（2023春·山東濟(jì)南·高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體滿(mǎn)足，，，且該四面體的體積為，則異面直線(xiàn)與所成角的大小為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】將四面體放入長(zhǎng)方體中，根據(jù)體積公式計(jì)算得到，建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：將四面體放入長(zhǎng)方體中，

，解得，故，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，或，或，，設(shè)異面直線(xiàn)與所成的角的大小為，，，則；或，；綜上所述：異面直線(xiàn)與所成的角的大小為或.故選：C【變式2】（2023·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知兩個(gè)正四棱錐與的高分別為1和2，，則異面直線(xiàn)與所成角的正弦值為_(kāi)_______．【答案】/【詳解】由題設(shè)知，四邊形是正方形，連接，交于點(diǎn)，則，則平面，平面，故平面，故以為原點(diǎn)，以CA，DB，QP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，則，所以異面直線(xiàn)AQ與PB所成角的正弦值為.故答案為：.【變式3】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形的各邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：，；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題意知：三棱錐為正四面體，過(guò)A做底面的垂線(xiàn)，垂足為，由正棱錐的概念知，O為正三角形BCD的中心，連接，則在上，過(guò)做直線(xiàn)，分別交、于、兩點(diǎn)，則、、相互垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，則，，，因?yàn)椋?，所以，；?）由（1）知：，，則，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則，所以異面直線(xiàn)與夾角的余弦值為.題型06利用向量法求直線(xiàn)與平面所成角（定值）【典例1】（2023春·浙江舟山·高一舟山中學(xué)校考階段練習(xí)）在四棱錐中，已知側(cè)?為正三角形，底?為直角梯形，，，，，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，且=2.

(1)求證：平?；(2)若點(diǎn)到平?的距離為，求直線(xiàn)和平?所成角交的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

．可得，，，，，，又平面，平面，平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，作，垂足為，側(cè)面為正三角形，，，，四邊形為平行四邊形，，又，，又，，平面，平面，平面，，又，，，平面，平面，作，交于點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

點(diǎn)P到平?ABCD的距離為，則，0，，，2，，，，，，1，，，，，，2，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，解得，，平面的一個(gè)法向量為，0，，設(shè)直線(xiàn)和平面所成角為，則，，直線(xiàn)和平面所成角的正弦值．【典例2】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)樵谥彼睦庵校?，又面，所以，又因?yàn)?，所以，即兩兩垂直，故以方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，.（2）因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，則，故，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，因?yàn)椋?，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【典例3】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐所得的多面體．現(xiàn)將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)分別作平行于各底面的截面，截去四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐，得到所有棱長(zhǎng)均為1的截角四面體，如圖所示．

(1)求證：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）補(bǔ)全四面體如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)檎拿骟w中各個(gè)面均為正三角形，所以，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)為的三等分點(diǎn)，即，所以，所以．

（2）設(shè)點(diǎn)在底面的投影為點(diǎn)，連接，，，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，因?yàn)闉檎拿骟w，所以點(diǎn)為等邊的中心，所以,，又因?yàn)?，所以，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則．【變式1】（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在中，為直角，，,,沿將折起，使，得到如圖②的幾何體，點(diǎn)在線(xiàn)段上．

(1)求證：平面平面；(2)若平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）在中，，，由余弦定理得：，則，有，于是，即有，又平面，因此平面，而平面，則，又因?yàn)槠矫?，從而平面，而平面，所以平面平?（2）以為原點(diǎn)，以分別為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由（1）知，平面，而，則有平面，則，，連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，則，有，在四邊形中，由，得，即，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，于是，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【變式2】（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校﹨抢蠋煱l(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》有“芻甍”這個(gè)五面體，于是她仿照該模型設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)探究題，如圖：，，分別是正方形的三邊、、的中點(diǎn)，先沿著虛線(xiàn)段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形著線(xiàn)段折起，連接、就得到一個(gè)“芻甍”．(1)若是四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）取線(xiàn)段中點(diǎn)，連接，由圖1可知，四邊形是矩形，且，是線(xiàn)段與的中點(diǎn)，∥且，在圖1中∥且，∥且．所以在圖2中，∥且，∥且四邊形是平行四邊形，則∥由于平面，平面∥平面（2）由圖1，，折起后在圖2中仍有，即為二面角的平面角．，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，且設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，得，取則于是平面的一個(gè)法向量，，∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為題型07利用向量法求直線(xiàn)與平面所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D，在三棱臺(tái)中側(cè)面為等腰梯形，為中點(diǎn).底面為等腰三角形，為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)記二面角的大小為.①當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.②當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①，②最大值為【詳解】（1）因?yàn)闉榈妊切危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面為等腰梯形，為的中點(diǎn)，所以，又平面，因此平面，平面，所以平面平面（2）在平面內(nèi)，作，由（1）中平面平面，且平面平面，平面，可得平面；以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又因?yàn)?，，所以即為二面角的平面角，所以，在中，，易知，又，可得；所以，；即，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，可令，則，即；①當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的為，所以，即時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，即，易知，所以；易知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦的最大值為.【典例2】（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┤鐖D1，在邊長(zhǎng)為4的等邊中，，分別是，的中點(diǎn)．將沿折至（如圖2），使得．(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)在棱上，當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以．因?yàn)榈倪呴L(zhǎng)為4，所以．在中，，，，由余弦定理，得．因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）（方法1）取的中點(diǎn)，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為．記與平面所成角為，則．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，所以，所以．（方法2）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)向作垂線(xiàn)，垂足為．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又因?yàn)?，，平面，所以平面，所以即為與平面所成角．因?yàn)樵谥?，，所以．在平面?nèi)，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，所以此時(shí)取得最大值，也最大．因?yàn)?，所以．【典?】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.

(1)證明：.(2)若，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，交于O，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，則，而，O為的中點(diǎn)，即有，又，且平面，于是平面，而平面，所以；（2）設(shè)，而，有，，又，則，即有，因此，即，，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，設(shè)直線(xiàn)AB與平面所成角為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，則，所以，綜上所述，直線(xiàn)AB與平面所成角的正弦值的最大值為.

【變式1】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，六面體的底面是菱形，，且平面，平面與平面的交線(xiàn)為.(1)證明：直線(xiàn)平面；(2)已知，三棱錐的體積，若與平面所成角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，，即.四邊形為平行四邊形，則.平面平面平面，平面平面，又平面，，四邊形是菱形，，又平面平面，則，又，平面，平面，又平面.（2）連接交于點(diǎn)，，則.平面，平面，因?yàn)槠矫?，則.，四邊形是菱形，則，，以為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則..，即，，則，，又是平面的一個(gè)法向量，，設(shè)，則.【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，為底面圓周上異于，的點(diǎn).(1)在平面內(nèi)，過(guò)作一條直線(xiàn)與平面平行，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)平面∩平面，與平面QAC所成角為，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的取值范圍.【答案】(1)作圖及理由見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）取中點(diǎn)P，作直線(xiàn)，則直線(xiàn)即為所求，取中點(diǎn)H，連接，則有，如圖，在等腰梯形中，，有，則四邊形為平行四邊形，即有，又平面，平面，所以平面.（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)O，作直線(xiàn)，則直線(xiàn)即為直線(xiàn)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，因此平面，即為四棱錐的高，在中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)與重合，梯形的面積為定值，四棱錐的體積，于是當(dāng)最大，即點(diǎn)與重合時(shí)四棱錐的體積最大，，以為原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，在等腰梯形中，，此梯形的高，顯然為的中位線(xiàn)，則，，設(shè)，則設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，則有，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上得，所以的取值范圍是.題型08利用向量法解決直線(xiàn)與平面所成角的探索性問(wèn)題【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市雨花臺(tái)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)設(shè)，，，點(diǎn)在上，若與平面所成的角的正弦值為，求此時(shí)點(diǎn)的位置．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)為的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)位置【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，在和中，所以，所以，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，，所以平面.（2）因?yàn)?，則，，由且，所以是等邊三角形，由且，為的中點(diǎn)，所以，在等腰直角中，則，故，又且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又，，設(shè)，，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，因?yàn)椋?，所以，解得，所以為的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)位置.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖（1），在正三角形中，分別為中點(diǎn)，將沿折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接，過(guò)點(diǎn)作平面與平面平行，分別交于.(1)證明：平面；(2)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)或1【詳解】（1）作DE中點(diǎn)O，連接，分別為中點(diǎn)，則,而二面角為直二面角，且平面平面,平面，故平面，∵平面平面ABD，平面平面，平面平面,∴同理，由分別為中點(diǎn)，，則四邊形為平行四邊形，故，∴F為BC中點(diǎn)，∴G為AC的中點(diǎn)，而，∴，∵平面，平面，∴，而，平面，∴平面，平面，∴，∴，由于，GE是公共邊，∴≌，∴，即,又平面，∴平面.（2）由（1）知平面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,令，則,,,,,,,,設(shè)，,,故，∴，∴，設(shè)平面的法向量，，，則，取，∴，，而與平面所成角的正弦值為，∴，解得或1.【變式1】（2023·廣東·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，梯形底面，.設(shè)為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角余弦為，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)不存在這樣符合條件的點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則共面又，所以；由底面是菱形，，所以為正三角形，所以，又，平面，所以平面，又，，所以，所以平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫?，平面平面，所以平面，則以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，設(shè)，則，，設(shè)平面法向量,由，則，則,所以，整理得，由，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故不存在這樣符合條件的點(diǎn).【變式2】（2023·湖北荊州·沙市中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，(1)若，證明：平面；(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)3.【詳解】（1）記與交于點(diǎn)，連結(jié).由得.又平面，平面,所以平面.（2）取中點(diǎn)，以原點(diǎn)，直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則設(shè)，則設(shè)平面法向量為，則,取因?yàn)榫€(xiàn)面角正弦值為，所以解得，故題型09利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得至處，且．

(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題意得，，，因?yàn)?，則，又，面，所以面，又面，則，又，，平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)，可知，由，且可得，所以四邊形是平行四邊形，所以，則平面，設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以面角的余弦值為．【典例2】（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿(mǎn)足，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以?又，所以PA，AB，AD兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則，，，，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，故，故，，所以，所以.（2），設(shè)平面的法向量為，，，則令，則.設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，所以，因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為.【變式1】（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，多面體中，四邊形是菱形，，，，，，平面，.

(1)求；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)2(2)【詳解】（1）（1）取的中點(diǎn)，連接.

在菱形中，，，所以是正三角形.又是的中點(diǎn)，所以.平面，平面，.，平面，平面.平面，.，，平面，平面，平面.平面，.，，，四邊形是正方形.，.（2）取的中點(diǎn)，連接.

由（1）知，是正三角形.又為的中點(diǎn)，所以，，且.因?yàn)槠矫?，所以?xún)蓛上嗷ゴ怪?如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.所以，，所以，二面角的正弦值為.【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）在正四棱錐中，連接，四邊形為正方形為的中點(diǎn)

又點(diǎn)為的中點(diǎn)為的中位線(xiàn)

又平面，平面，平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)檎睦忮F的體積為，所以正四棱錐的體積，所以，，,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，即，令，則，所以.設(shè)二面角的所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.題型10利用向量法求二面角（最值或范圍）【典例1】（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，所有棱長(zhǎng)都相等，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)若，證明：平面.(2)求平面與平面夾角余弦值的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，記，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）四邊形為菱形，所以，由平面，、平面，得，，故以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，從而，，，.因?yàn)?，所以，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面的夾角為(為銳角)，則.因?yàn)椋?，所以，則當(dāng)時(shí)，平面與平面夾角的余弦值取得最大值.【典例2】（2023秋·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，是的中點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)設(shè)二面角平面角的補(bǔ)角大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）取PA的中點(diǎn)G，連接DG，EG，如圖所示：則，且，，所以四邊形CDGE為平行四邊形．因?yàn)?，所以為直角三角形，，在中，因?yàn)?，所以，所以所以CE的長(zhǎng)為；（2）在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，如圖所示，則，，以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MA，MC為x軸和y軸，以與平面垂直的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取AD的中點(diǎn)為N，連接PN，MN，則，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，在平面PMN內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作，垂足為F，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，由已知可得，則，設(shè)．因?yàn)椋?，因?yàn)?，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以．設(shè)平面PAD的法向量，則令，則．設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，則令．則，所以為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面PAD和平面PBC的夾角為，則．令，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值為．【變式1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，二面角為直二面角.(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，由題設(shè)知四邊形為菱形，，分別為中點(diǎn)，；又為中點(diǎn)，，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，即平面平面，平面平面平面平面，又平面；又平面平?（2），為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，；由（1）知：平面平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，則；，令，則；，即銳二面角的余弦值的取值范圍為.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.【答案】(1)(2)平面和平面夾角余弦值的最小值為【詳解】（1）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時(shí)平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為；（2）解：連接，因?yàn)椋?，所以為的平面角，即，過(guò)點(diǎn)作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，過(guò)作于點(diǎn)，由題意得平面，設(shè),,，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，則，令，可得：，設(shè)兩平面夾角為，則，令，所以，則所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為.題型11利用向量法解決二面角中的探索性問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，在四棱錐中，，，是棱上一點(diǎn)．

(1)若，求證：平面；(2)若平面平面，平面平面，求證：平面；(3)在（2）的條件下，若二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）連接BD交AC于點(diǎn)，連接OM，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍹AC，所以平面MAC.

（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面ABCD，所以平面，因?yàn)槠矫鍼AD，所以．同理可證：．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面ABCD．（3）分別以AD，AB，AP所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由，得，則，由（2）得：平面ABCD，所以平面ABCD的一個(gè)法向量為.設(shè)，即，所以，設(shè)平面AMC的法向量為，則，即，令，則，所以．因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?，解得，所以的值為．【典?】（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為等腰梯形，，，底面梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)和互相垂直，垂足為，，點(diǎn)為棱上的任意一點(diǎn).

(1)求證：；(2)是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為，若存在求出點(diǎn)的位置；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，且，所以為等腰直角三角形，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）解：如圖所示，以為原點(diǎn)，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，故，故假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足題意，設(shè).所以設(shè)平面的法向量為，則，易令，可得，所以又由平面的一個(gè)法向量為設(shè)二面角為，可知二面角為銳二面角則，整理得，即，解得或（舍去），所以，存在點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn).

【變式1】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知在直三棱柱中，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)榕c底面所成角的余弦值為，所以與底面所成角的余弦值為，因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，所以是與底面所成角，所以，所以，所以，又，所以是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，則，，平面，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則，得，令，得，，，令，得，，，因?yàn)椋?，所以平面平?（2）設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，若，則有，則，取，則，此時(shí)，不合題意；所以，令，得，，則，所以，整理得，解得.所以在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn).

【變式2】（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知如圖1直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，沿將梯形折起（如圖2），使平面平面．

(1)證明：平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，F(xiàn)為CD中點(diǎn)【詳解】（1）在直角梯形中，，E為AB的中點(diǎn)，即，，四邊形為平行四邊形，而，，則為正方形，連接，如圖，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，于是得平面，而平面，則有，又，，平面，所以平面.（2）由（1）得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，所以EA，EB，EC兩兩垂直，分別以，，方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，所以，，設(shè)平面FAB的法向量為，則，取x＝2，得，取平面EBC的法向量為，因?yàn)椋詀＝1或（舍去），故線(xiàn)段CD上存在點(diǎn)F，且F為CD中點(diǎn)時(shí)，使得平面FAB與平面EBC所成的銳二面角的余弦值為．題型12利用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體，若平面，且滿(mǎn)足，則到的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別為軸建立空間坐標(biāo)系，,則，則,，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，且面，則，即，得，故，所以，，，則，P到AB的距離為.故選：C【典例2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線(xiàn)段上．(1)求證：；(2)若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1），，，故，則，即，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又平面，則.（2）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：有，設(shè)，則，設(shè)，則，則，，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，即，即，解得，所以.【變式1】（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】已知，，，所以，，點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為.故選：C.【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(1)求平面與平面夾角的正弦值；(2)求到直線(xiàn)的距離．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由平面，，平面，，，又，，則，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，則平面與平面的夾角的正弦值為．（2），，，，距離．題型13利用向量法求點(diǎn)到平面的距離【典例1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，并均以1為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，所以，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，所以.因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)?，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以.所以點(diǎn)到平面的距離.【典例2】（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角正弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1），平面，平面，故平面；同理可得：平面；，且平面，故平面平面；，故平面；（2）如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，，BP與平面所成的角正弦值為：，解得或（舍），設(shè)平面的法向量為，則，取得到，則點(diǎn)D到平面的距離.【變式1】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，是正三角形．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)平面；(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【詳解】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，平面，平面，所以直線(xiàn)平面.

（2）由題意可得：，，平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，則，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，，平面，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點(diǎn)C到平面的距離.

【變式2】（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知多面體，四邊形是等腰梯形，，，四邊形是菱形，，，分別為，的