二次函數(shù)中的平行四邊形問題

...wd......wd......wd...二次函數(shù)綜合〔動點〕問題——平行四邊形存在問題適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中三年級適用區(qū)域全國新課標課時時長〔分鐘〕60分鐘知識點1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)2、平行四邊形性質(zhì)3、平行四邊形模型探究學(xué)習(xí)目標知識與技能1、掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)；2、掌握平行四邊形的性質(zhì)；3、會對平行四邊形模型進展探究，分類討論不同的情況。過程與方法1、首先要掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)，因為平行四邊形存在問題是在二次函數(shù)的前提下進展的；2、掌握平行四邊形的性質(zhì)，先脫離二次函數(shù)，再回到二次函數(shù)的情景中研究；3、先從簡單入手探究平面直角坐標系中動點情況下平行的存在問題，然后回到二次函數(shù)前提下的平行四邊形存在問題。4、充分運用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想來幫助解題。情感、態(tài)度與價值觀1、培養(yǎng)學(xué)生的處理圖像綜合運用的能力；2、讓學(xué)生養(yǎng)成從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)方法；3、形成對圖形的處理能力，形成解題技巧，樹立對解決此類問題的信心。學(xué)習(xí)重點是否存在一點使得四邊形是平行四邊形，如果存在求出點的坐標學(xué)習(xí)難點是否存在一點使得四邊形是平行四邊形，如果存在求出點的坐標學(xué)習(xí)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)〔一〕利用待定系數(shù)法求拋物線解析式的三種常用形式：〔1〕【一般式】拋物線上任意三點時，通常設(shè)解析式為，然后解三元方程組求解；〔2〕【頂點式】拋物線的頂點坐標和拋物線上另一點時，通常設(shè)解析式為求解；〔3〕【交點式】拋物線與軸的交點的坐標時，通常設(shè)解析式為?！捕硳佄锞€上兩個點A〔x1，y〕，B〔x2，y〕之間的關(guān)系：(1)如果兩點關(guān)于對稱軸對稱，則有對稱軸；(2)兩點之間距離公式：兩點，則由勾股定理可得：練一練：A〔0，5〕和B〔－2，3〕，則AB＝。(3)中點公式：兩點，則線段PQ的中點M為。練一練：A〔0，5〕和B〔－2，3〕，則線段AB的中點坐標是(4)如圖：PG∥X軸，QG∥Y軸，P點的橫坐標為X1，G點的橫坐標為X2，縱坐標為Y2，Q點的縱坐標為Y1，則線段PG=〔三〕求三角形的面積：〔1〕直接用面積公式計算；〔2〕割補法；〔3〕鉛垂高法；如圖，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬〞〔a〕，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高〞〔h〕．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S△ABC=eq\f(1,2)ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。BBC鉛垂高水平寬haA〔四〕二次函數(shù)中三角形面積、周長的存在性問題解題思路：〔1〕如果是一個三角形面積為一個三角形面積的多少倍，則分別表示出每個三角形的面積去求解；如果是一個三角形面積為固定值，則用含有未知數(shù)的式子去表示面積去求解；如果是三角形周長最小，則做對稱點去求解；如果是三角形面積最大，則劃歸為二次函數(shù)最值問題去求解?！?〕再畫圖；〔3〕后計算。二、知識講解考點/易錯點1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)：a＞0a＜0圖象開口對稱軸頂點坐標最值當x＝時，y有最值是當x＝時，y有最值是增減性在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而y隨x的增大而在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而y隨x的增大而考點/易錯點2平行四邊形性質(zhì)：兩組對邊分別平行且相等，對角相等，對角線互相平分?？键c/易錯點3平行四邊形模型探究：1.三個定點，一個動點的情況在直角坐標平面內(nèi)確定點M，使得以點M、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標。如圖：分別以三角形ABC的邊做平行線，三條平行線相加形成一個三角形三角形的三個頂點即是滿足題意的M點的坐標。2.兩個定點，兩個動點的情況①確定兩定點連接的線段為一邊，則兩動點連接的線段應(yīng)和邊平行且相等；②兩定點連接的線段沒確定為平行四邊形的邊時，則這條線段可能為平行四邊形的邊或?qū)蔷€。三、例題精析【例題1】【題干】〔十堰〕拋物線y=-ax2+2ax+b與x軸的一個交點為A〔-1，0〕，與y軸的正半軸交于點C．〔1〕直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；〔2〕當點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式；〔3〕坐標平面內(nèi)是否存在點M，使得以點M和〔2〕中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形假設(shè)存在，請求出點M的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】(1)x=1，B〔3，0〕；(2)y=-33x2+233x+3；(3)M1〔4，3〕，M2〔-4，3〕，M3【解析】解：〔1〕對稱軸是直線：x=1，點B的坐標是〔3，0〕．〔2〕如圖，連接PC，∵點A、B的坐標分別是A〔-1，0〕、B〔3，0〕，∴AB=4．∴PC=12AB=12在Rt△POC中，∵OP=PA-OA=2-1=1，∴OC=PC2-PO∴b=3當x=-1，y=0時，-a-2a+3=0∴a=3∴y=-33x2+2〔3〕存在．理由：如圖，連接AC、BC．設(shè)點M的坐標為M〔x，y〕．①當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM=AB．由〔2〕知，AB=4，∴|x|=4，y=OC=3．∴x=±4．∴點M的坐標為M〔4，3〕或〔-4，3〕．②當以AB為對角線時，點M在x軸下方．過M作MN⊥AB于N，則∠MNB=∠AOC=90度．∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC=MB，且AC∥MB．∴∠CAO=∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN=AO=1，MN=CO=3．∵OB=3，∴0N=3-1=2．∴點M的坐標為M〔2，-3〕．綜上所述，坐標平面內(nèi)存在點M，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形．其坐標為M1〔4，3〕，M2〔-4，3〕，M3〔2，-3〕．【例題2】【題干】〔安福縣模擬〕：如圖，拋物線y=ax2+3ax+c〔a＞0〕與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側(cè)．點B的坐標為〔1，0〕，OC=3BO．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；〔3〕假設(shè)點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形假設(shè)存在，求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝34x2+94x?3；(2)272；(3)P1〔-3，-3〕，P2(-3+412，3)，P【解析】解：〔1〕∵B〔1，0〕，∴OB=1；∵OC=3BO，∴C〔0，-3〕；∵y=ax2+3ax+c過B〔1，0〕、C〔0，-3〕，∴c解這個方程組，得a=∴拋物線的解析式為：y＝34x2+9〔2〕過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N在y＝34x2+94得方程34x2+94解這個方程，得x1=-4，x2=1∴A〔-4，0〕設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b∴0解這個方程組，得k=-∴AC的解析式為：y＝34?x∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=152+12?DM?(AN+=152+2?設(shè)D(x，34x2+94x?3)，M(x，?34x?3)DM＝?34x?3?(34x2+94x?3)＝?當x=-2時，DM有最大值3此時四邊形ABCD面積有最大值272〔3〕如以以下圖，①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形，∵C〔0，-3〕∴設(shè)P1〔x，-3〕∴34x2+94x解得x1=0，x2=-3∴P1〔-3，-3〕；②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，∵C〔0，-3〕∴設(shè)P〔x，3〕，∴34x2+94x?3＝3，x解得x＝-3+412或x＝此時存在點P2(-3+412，3)和P3(綜上所述存在3個點符合題意，坐標分別是P1〔-3，-3〕，P2(-3+412，3)，P3(-3-【例題3】【題干】〔義烏市〕如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點〔A點在B點左側(cè)〕，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．〔1〕求A、B兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式；〔2〕P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；〔3〕點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x-1；(2)94；(3)F1〔1，0〕，F(xiàn)2〔-3，0〕，F(xiàn)3〔4+7，0〕，F(xiàn)4〔4-7，0〕【解析】解：〔1〕令y=0，解得x1=-1或x2=3∴A〔-1，0〕B〔3，0〕將C點的橫坐標x=2代入y=x2-2x-3得y=-3∴C〔2，-3〕∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1；〔2〕設(shè)P點的橫坐標為x〔-1≤x≤2〕則P、E的坐標分別為：P〔x，-x-1〕E〔x，x2-2x-3〕∵P點在E點的上方，PE=〔-x-1〕-〔x2-2x-3〕=-x2+x+2=-〔x-12〕2+∴當x＝12時，PE的最大值=9〔3〕存在4個這樣的點F，分別是F1〔1，0〕，F(xiàn)2〔-3，0〕，F(xiàn)3〔4+7，0〕，F(xiàn)4〔4-7，0〕．①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標是〔-3，0〕；②如圖，AF=CG=2，A點的坐標為〔-1，0〕，因此F點的坐標為〔1，0〕；③如圖，此時C，G兩點的縱坐標關(guān)于x軸對稱，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標為〔1+7，3〕，由于直線GF的斜率與直線AC的一樣，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+7．因此直線GF與x軸的交點F的坐標為〔4+7，0〕；④如圖，同③可求出F的坐標為〔4-7，0〕．綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點．四、課堂運用【根基】1.〔阜新〕如圖，拋物線y=12x2+x-3〔1〕求點A、B的坐標；〔2〕在拋物線是否存在點E，使△ABP的面積等于△ABE的面積假設(shè)存在，求出符合條件的點E的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕坐標平面內(nèi)是否存在點F，使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形直接寫出所有符合條件的點F的坐標．2.〔湖州〕拋物線y=x2-2x+a〔a＜0〕與y軸相交于點A，頂點為M．直線y=12〔1〕試用含a的代數(shù)式分別表示點M與N的坐標；〔2〕如圖，將△NAC沿y軸翻折，假設(shè)點N的對應(yīng)點N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；〔3〕在拋物線y=x2-2x+a〔a＜0〕上是否存在一點P，使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形假設(shè)存在，求出P點的坐標；假設(shè)不存在，試說明理由．【穩(wěn)固】1.〔盤錦三?！橙鐖D，對稱軸為直線x=12〔1〕求A、B兩點的坐標及該拋物線對應(yīng)的解析式；〔2〕D為BC的中點，延長OD與拋物線在第四象限內(nèi)交于點E，連結(jié)AE、BE．①求點E的坐標；②判斷ABE的形狀，并說明理由；〔3〕在x軸下方的拋物線上，是否存在一點P，使得四邊形OBEP是平行四邊形假設(shè)存在，求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．2.〔柳州〕如圖，拋物線y=ax2-2ax-b〔a＞0〕與x軸的一個交點為B〔-1，0〕，與y軸的負半軸交于點C，頂點為D．〔1〕直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點A的坐標；〔2〕以AD為直徑的圓經(jīng)過點C．①求拋物線的解析式；②點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標．3.〔槐蔭區(qū)三模〕如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè)〕，與y軸相交于點C，頂點為D，連接BC，BC與拋物線的對稱軸交于點E．〔1〕求點B、點C的坐標和拋物線的對稱軸；〔2〕求直線BC的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F．設(shè)點P的橫坐標為m；用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形【拔高】1.〔湛江〕如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點為D〔-1，-4〕，與y軸交于點C〔0，-3〕，與x軸交于A，B兩點〔點A在點B的左側(cè)〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；〔3〕假設(shè)點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形假設(shè)存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．2.〔路北區(qū)一模〕如圖，拋物線y=〔x+1〕2+k與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C〔0，-3〕．〔1〕求拋物線的對稱軸及k值；〔2〕拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；〔3〕點M是拋物線上一動點，且在第三象限，當M點運動到何處時