專(zhuān)題23立體幾何與空間向量（原卷版）

專(zhuān)題2.3立體幾何與空間向量題組一、線(xiàn)面、面面角的計(jì)算例1、（南京一中2022~2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試試卷高三數(shù)學(xué)）如圖①，在菱形中，且，為中點(diǎn)．將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐．（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．11、（2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期南通市期中學(xué)情檢測(cè)高三數(shù)學(xué)）已知直三棱柱，，，．（1）證明：∥平面；（2）當(dāng)最短時(shí)，求二面角的余弦值．12、（湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教改聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考）（本題滿(mǎn)分12分）如圖，在三棱柱中，，D是棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角．13、（江蘇省南通市通州區(qū)20222023學(xué)年高三（上）期中復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試卷）已知梯形中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，沿將梯形翻折，使平面平面．（1）當(dāng)時(shí)①求證：；②求二面角的余弦值；（2）三棱錐的體積是否可能等于幾何體體積的一半？并說(shuō)明理由．題組二、角與距離的問(wèn)題例2、（2022~2023學(xué)年第一學(xué)期連云港期中調(diào)研考試高三數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面與底面所成角為，四邊形是梯形，，，．（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)T是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．21、（江蘇泰州市2022～2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA＝PB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABCD，N是CD的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)M為線(xiàn)段PD上一點(diǎn)，且平面AMN，求的值；（2）求二面角B－PA－C的正弦值；（3）求點(diǎn)N到面PAC的距離．22、（2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期南通市期中學(xué)情檢測(cè)高三數(shù)學(xué)）如圖，四棱錐中，是的中點(diǎn),，且，，．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到面的距離．題組三、探索性問(wèn)題例3、（青島一中20222023學(xué)年度第一學(xué)期第一次模塊考試）如圖，在三棱柱中，平面，已知，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）求平面與平面夾角的余弦值.（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.31、（江蘇蘇州市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期高三期中調(diào)研試卷數(shù)學(xué)）如圖，在三棱錐中，，底面．（1）求證：平面平面；（2）若，是的中點(diǎn)，記與底面所成角為，與平面所成角為，試研究與的等量關(guān)系．32、（2023屆廣東省高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)）(12分)如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，，側(cè)面為等邊三角形